仿射變換理論及其在幾何中的應(yīng)用_第1頁(yè)
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二[2]:解化橢圓為參數(shù)方程求得橢圓所圍面積為例2試證明梅內(nèi)勞斯(Menelaus)定理[3]:在的三邊或其延長(zhǎng)線(xiàn)上分別取三點(diǎn)則共線(xiàn)的充要條件是(1.14)證以為原點(diǎn)為坐標(biāo)向量建立仿射坐標(biāo)系如圖五若令則根據(jù)定比分點(diǎn)公式,有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為,共線(xiàn)的充要條件是,而所以的充要條件是化簡(jiǎn)得,(1.14)式成立.古希臘亞歷山大里亞的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家梅內(nèi)勞斯(公元98年左右),在其幸運(yùn)的保留下來(lái)的三卷≤球面幾何≥()[4]中提出了著個(gè)定理.例3[5]設(shè)點(diǎn)是線(xiàn)段上的一點(diǎn)的坐標(biāo)分別是當(dāng)點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)求點(diǎn)的坐標(biāo)當(dāng)點(diǎn)是線(xiàn)段的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)求點(diǎn)的坐標(biāo)解:(1)如圖6由向量的線(xiàn)性運(yùn)算可知所以點(diǎn)的坐標(biāo)是當(dāng)點(diǎn)是線(xiàn)段的一個(gè)等三分點(diǎn)時(shí)有兩種情況即如果那么即點(diǎn)的坐標(biāo)是.同理如果(圖8)那么點(diǎn)的坐標(biāo)是例4[6]求橢圓兩點(diǎn),兩點(diǎn),和中心的連線(xiàn)以及橢圓弧所圍成的所圍成的?解：如圖,仿射變換把橢圓，變成相應(yīng)的點(diǎn),分別變成，在中又因?yàn)椋?,圓中的扇形面積而,所以例5討論三角形那些概念在歐氏幾何里適用?那些概念在仿射幾何里適用.解三角形的放射圖形仍然是三角形,而且仿射變換將平行線(xiàn)變?yōu)槠叫芯€(xiàn),將線(xiàn)段的中點(diǎn)變到線(xiàn)段的中點(diǎn),因此(1)三角形的中線(xiàn);(2)三角形的中位線(xiàn)性質(zhì);(3)三角形的重心性質(zhì)(三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn))都屬于仿射幾何的內(nèi)容.結(jié)論仿射變換解決了正交變換的不足，討論了圖形經(jīng)仿射變換后的不變性質(zhì)通過(guò)單比解決求圖形面積的問(wèn)題和證

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