2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章9.1基本公式直線的斜率與直線方程課件新人教B版

第九章平面解析幾何第一節(jié)基本公式、直線的斜率與直線方程內(nèi)容索引必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析核心素養(yǎng)測評(píng)【教材·知識(shí)梳理】1.直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l_________之間所成的角叫做直線l的傾斜角.當(dāng)直線l與x軸___________時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0(或0°).(2)范圍：直線l傾斜角α的取值范圍是______________________________.向上方向平行或重合[0，π)(或{α|0°≤α<180°})2.直線的斜率(1)若直線l的傾斜角α≠，則l的斜率k=_______.

(2)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，則l的斜率k=_________.tanα3.直線方程的五種形式【常用結(jié)論】1.直線傾斜角和斜率的關(guān)系(1)直線都有傾斜角，但不一定都有斜率.(2)不是傾斜角越大，斜率k就越大，因?yàn)閗=tanα，當(dāng)α∈時(shí)，α越大，斜率k就越大，同樣α∈時(shí)也是如此，但當(dāng)α∈[0，π)且α≠時(shí)就不是了.2.截距和距離的不同之處“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù).應(yīng)注意過原點(diǎn)的特殊情況是否滿足題意.3.直線方程的應(yīng)用設(shè)直線方程時(shí)，只有在斜率存在時(shí)才可設(shè)成點(diǎn)斜式或斜截式，否則要根據(jù)斜率是否存在分兩種情況討論.當(dāng)直線的斜率可能不存在，但一定不為0時(shí)，直線方程可設(shè)為x=ay+m，a∈R.x=ay+m適用于除垂直于y軸以外的所有直線.【知識(shí)點(diǎn)辨析】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)直線的傾斜角越小,其斜率就越小. (

)(2)直線的斜率為tanα,則其傾斜角為α. (

)(3)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等. (

)(4)經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示. (

)提示:(1)×.當(dāng)直線的傾斜角α1=135°,α2=45°時(shí),α1>α2,但其對(duì)應(yīng)斜率k1=-1,k2=1,k1<k2.(2)×.當(dāng)直線斜率為tan(-45°)時(shí),其傾斜角為135°.(3)×.兩直線的斜率相等,則其傾斜角一定相等.(4)√【易錯(cuò)點(diǎn)索引】序號(hào)易錯(cuò)警示典題索引1傾斜角與斜率間的關(guān)系及正切函數(shù)的單調(diào)性考點(diǎn)一、T2,32求直線方程時(shí)要判斷斜率是否存在考點(diǎn)二、T33直線方程中截距是可以為正、為負(fù)、為0的實(shí)數(shù)考點(diǎn)二、T2【教材·基礎(chǔ)自測】1.(必修2P76練習(xí)BT2改編)直線l:xsin30°+ycos150°+a=0的斜率為(

)

【解析】選A.cos150°=,sin30°=,所以k=.2.(必修2P79練習(xí)BT3改編)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,2),B(3,6),C(5,2),M為AB的中點(diǎn),N為AC的中點(diǎn),則中位線MN所在的直線方程為 (

)A.2x+y-12=0 B.2x-y-12=0C.2x+y-8=0 D.2x-y-8=0【解析】選C.由題知M(2,4),N(3,2),中位線MN所在直線的方程為,整理得2x+y-8=0.3.(必修2P90習(xí)題2-2AT3改編)若過兩點(diǎn)A(-m,6),B(1,3m)的直線的斜率為12,則直線的方程為________.

【解析】由題意得=12,解得m=-2,所以A(2,6),所以直線AB的方程為y-6=12(x-2),整理得12x-y-18=0.答案:12x-y-18=04.(必修2P112鞏固與提高T1(2)改編)若直線l:(a-2)x+(a+1)y+6=0,則直線l恒過定點(diǎn)________.

【解析】

直線l的方程變形為a(x+y)-2x+y+6=0,由解得x=2,y=-2,所以直線l恒過定點(diǎn)(2,-2).答案:(2,-2)考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率

【題組練透】1.直線x-y+1=0的傾斜角為 (

)A.30°

B.45°

C.120°

D.150°2.如圖所示,直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則 (

)A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2C.k1<k3<k2 D.k3<k2<k13.(2020·石家莊模擬)直線x+(a2+1)y+1=0的傾斜角的取值范圍是 (

)4.若點(diǎn)A(4,3),B(5,a),C(6,5)三點(diǎn)共線,則a的值為________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解析】1.選B.由題得,直線y=x+1的斜率為1,設(shè)其傾斜角為α,則tanα=1,又0°≤α<180°,故α=45°.2.選C.由圖可知k1<0,k2>k3>0,所以k2>k3>k1,故選C.3.選B.由直線方程可得該直線的斜率為-,又-1≤-<0,所以傾斜角的取值范圍是.4.因?yàn)閗AC==1,kAB==a-3.由于A,B,C三點(diǎn)共線,所以a-3=1,即a=4.答案:4【規(guī)律方法】1.傾斜角α與斜率k的關(guān)系:(1)當(dāng)α∈時(shí),k∈[0,+∞),且傾斜角越大,斜率越大.(2)當(dāng)α=時(shí),斜率k不存在.(3)當(dāng)α∈時(shí),k∈(-∞,0),且傾斜角越大,斜率越大.2.斜率的兩種求法:(1)定義法:若已知直線的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)值,一般根據(jù)k=tanα求斜率.(2)公式法:若已知直線上兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),一般根據(jù)斜率公式k=(x1≠x2)求斜率.【秒殺絕招】第3題可以用檢驗(yàn)答案的方法求解,假設(shè)傾斜角α=,則斜率k=-=1不成立,故A、C、D都不對(duì),所以選B.考點(diǎn)二求直線的方程

【典例】1.求過點(diǎn)A(1,3),傾斜角是直線y=-x的傾斜角的的直線方程.2.經(jīng)過圓C:(x+5)2+(y-2)2=1的圓心,且在x軸上截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程.3.求過A(2,1),B(m,3)兩點(diǎn)的直線l的方程. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1求點(diǎn)A關(guān)于l1,l2的對(duì)稱點(diǎn)A′,A′′.2看到截距想到直線方程的截距式3看到字母想到對(duì)斜率是否存在的討論【解析】1.因?yàn)閥=-x的斜率為k=-,其傾斜角為120°,所以所求直線的傾斜角為60°,其斜率為,所以直線方程為y-3=(x-1),即直線方程為x-y+3-=0.2.因?yàn)閳AC的圓心為(-5,2),當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí),設(shè)所求直線方程為=1,將(-5,2)代入所設(shè)方程,解得a=-,所以直線方程為x+2y+1=0;當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí),設(shè)直線方程為y=kx,則-5k=2,解得k=-,所以直線方程為y=-x,即2x+5y=0.故所求直線方程為2x+5y=0或x+2y+1=0.3.①當(dāng)m=2時(shí),直線l的方程為x=2;②當(dāng)m≠2時(shí),直線l的方程為即2x-(m-2)y+m-6=0.因?yàn)閙=2時(shí),代入方程2x-(m-2)y+m-6=0,即為x=2,所以直線l的方程為2x-(m-2)y+m-6=0.【規(guī)律方法】1.在求直線方程時(shí),應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?并注意各種形式的適用條件.2.對(duì)于點(diǎn)斜式、截距式方程使用時(shí)要注意分類討論思想的運(yùn)用:若采用點(diǎn)斜式,應(yīng)先考慮斜率不存在的情況;若采用截距式,應(yīng)判斷截距是否為零.3.截距是數(shù),不是距離.它是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo),在x軸上的截距是直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),在y軸上的截距是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo).截距可正、可負(fù)、可為0,因此在解與截距有關(guān)的問題時(shí),一定要注意“截距為0”的情況,以防漏解.【變式訓(xùn)練】1.(2020·邯鄲模擬)經(jīng)過點(diǎn)(2,1),且傾斜角比直線y=-x-1的傾斜角小的直線方程是 (

)A.x=2

B.y=1

C.x=1

D.y=2【解析】選A.因?yàn)橹本€y=-x-1的斜率為-1,則傾斜角為.由已知,所求直線的傾斜角為,斜率不存在,所以過點(diǎn)(2,1)的直線方程為x=2.2.一條直線經(jīng)過點(diǎn)A(-2,2),并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1,則此直線的方程為________.

【解析】設(shè)所求直線的方程為=1.因?yàn)锳(-2,2)在直線上,所以-=1.①又因直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1,所以|a|·|b|=1.②由①②可得(i)或(ii)由(i)解得或方程組(ii)無解.故所求的直線方程為=1或=1,即x+2y-2=0或2x+y+2=0為所求直線的方程.答案:x+2y-2=0或2x+y+2=0

考點(diǎn)三直線方程的綜合應(yīng)用

命題精解讀考什么:(1)與直線方程有關(guān)的最值問題.(2)數(shù)形結(jié)合思想.(3)基本不等式.(4)函數(shù)的單調(diào)性.怎么考:以選擇題或填空題形式出現(xiàn)新趨勢:數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的應(yīng)用學(xué)霸好方法1.求解與直線方程有關(guān)的最值問題基本不等式或函數(shù)法求最值.2.含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程,分離參數(shù)法求出定點(diǎn).3.交匯問題

(1)三角形和四邊形的面積.(2)基本不等式.(3)函數(shù)的單調(diào)性.【命題角度1】與不等式相結(jié)合的最值問題【典例】當(dāng)k>0時(shí),兩直線kx-y=0,2x+ky-2=0與x軸圍成的三角形面積的最大值為________.

【解析】直線2x+ky-2=0與x軸交于點(diǎn)(1,0).由解得y=,所以兩直線kx-y=0,2x+ky-2=0與x軸圍成的三角形的面積為

又k+≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)k=時(shí)取等號(hào),故三角形面積的最大值為.答案:

【題后反思】如何用直線方程求出三角形的邊長?提示:根據(jù)直線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而求得三角形的邊長.【命題角度2】與函數(shù)結(jié)合的最值問題【典例】已知直線x+2y=2分別與x軸、y軸相交于A,B兩點(diǎn),若動(dòng)點(diǎn)P(a,b)在線段AB上,則ab的最大值為________.

【解析】由題得A(2,0),B(0,1),由動(dòng)點(diǎn)P(a,b)在線段AB上,可知0≤b≤1,且a+2b=2,從而a=2-2b,故ab=(2-2b)b=-2b2+2b=-2由于0≤b≤1,故當(dāng)b=時(shí),ab取得最大值.答案:【解后反思】如何找到a,b的關(guān)系進(jìn)行消元?提示:P(a,b)在直線x+2y=2上,將a,b代入直線方程,得到a與b的關(guān)系.【命題角度3】由直線方程求參數(shù)的范圍【典例】已知直線l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,當(dāng)0<a<2時(shí),直線l1,l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形,當(dāng)四邊形的面積最小時(shí),實(shí)數(shù)a=________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解析】由題意知直線l1,l2恒過定點(diǎn)P(2,2),直線l1的縱截距為2-a,直線l2的橫截距為a2+2,所以四邊形的面積S=×2(2-a)+×2(a2+2)=a2-a+4=.又0<a<2,所以當(dāng)a=時(shí)面積最小.答案:【解后反思】四邊形的面積如何轉(zhuǎn)化成三角形的面積?提示:設(shè)題中l(wèi)1與y軸交點(diǎn)為A(0,2-a),l2與x軸交點(diǎn)為B(a2+2,0),則四邊形OAPB的面積為三角形OAP和三角形OBP的面積之和.【題組通關(guān)】【變式鞏固·練】1.已知點(diǎn)P(x,y)在直線x+y-4=0上,則x2+y2的最小值是 (

)A.8

B.2

C.

D.16【解析】選A.因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)在直線x+y-4=0上,所以y=4-x,所以x2+y2=x2+(4-x)2=2(x-2)2+8,當(dāng)x=2時(shí),x2+y2取得最小值8.2.過點(diǎn)P(2,1)作直線l,與x軸和y軸的正半軸分別交于A,B兩點(diǎn),求:(1)△AOB面積的最小值及此時(shí)直線l的方程.(2)求|PA|·|PB|的最小值及此時(shí)直線l的方程.【解析】(1)設(shè)所求直線l的方程為+=1(a>0,b>0),則+=1.又因?yàn)?/p>

+≥2?ab≥4,當(dāng)且僅當(dāng)==,即a=4,b=2時(shí),△AOB面積S=ab有最小值為4.此時(shí),直線l的方程是+=1,即x+2y-4=0.(2)由題意知直線l的斜率存在