不定積分概念與性質(zhì)

一、不定積分一元函數(shù)積分學(xué)二、定積分三、廣義積分四、一元積分學(xué)的應(yīng)用第四章微分法:積分法:互逆運算不定積分Indefiniteintegral二、基本積分表

三、不定積分的性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)

第四章一、原函數(shù)與不定積分的概念已知求定義1.

若在區(qū)間I

上定義的兩個函數(shù)F(x)及f(x)滿足在區(qū)間

I

上的一個原函數(shù).則稱F(x)為f(x)如引例中:的原函數(shù)有PROBLEMS

1.在什么條件下,一個函數(shù)的原函數(shù)存在?3.

若原函數(shù)存在,它如何表示?2.

若存在,是否唯一?如果不唯一,它們之間有什么聯(lián)系?簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).定理1.

若函數(shù)在區(qū)間I

上連續(xù)，則在I

上

存在原函數(shù).(下章證明)Examples:（為任意常數(shù)）定理2.若是的一個原函數(shù),則的所有原函數(shù)都在函數(shù)族(C為任意常數(shù))內(nèi).證:1)又知即屬于函數(shù)族數(shù)，即故(為某個常數(shù))是的原函數(shù)定義2.

在區(qū)間

I上的原函數(shù)全體稱為的不定積分,那么記作任意常數(shù)積分號被積函數(shù)被積表達(dá)式積分常數(shù)積分變量若則(C為任意常數(shù))C

稱為積分常數(shù)不可丟!例如:不定積分的幾何意義:的原函數(shù)的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組成的平行曲線族.的積分曲線

.例1.

設(shè)曲線通過點(1,2),

且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線的方程.解:所求曲線過點(1,2),故有因此所求曲線為分析:例2.

質(zhì)點在距地面處以初速力,求它的運動規(guī)律.解:

取質(zhì)點運動軌跡為坐標(biāo)軸,原點在地面,指向朝上,質(zhì)點拋出時刻為此時質(zhì)點位置為初速為設(shè)時刻

t

質(zhì)點所在位置為則(運動速度)(加速度)垂直上拋,不計阻

先由此求

再由此求先求由知再求于是所求運動規(guī)律為由知故二、基本積分公式(P186)從不定積分定義可知:或或?qū)嵗龁⑹灸芊窀鶕?jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(P94)二、基本積分表(P186)利用逆向思維(k

為常數(shù))或或例3.

求解:

原式=例4.

求解:

原式=三、不定積分的性質(zhì)推論:

若則?例5.

求解:

原式=例6.

求解:

原式=例7.

求解:

原式=例8.

求解:

原式=CONCLUTIONS1.不定積分的概念?原函數(shù)與不定積分的定義?不定積分的性質(zhì)?基本積分表(見P186)2.直接積分法:利用恒等變形,及基本積分公式進(jìn)行積分.常用恒等變形方法分項積分加項減項利用三角公式,代數(shù)公式,積分性質(zhì)思考與練習(xí)提示:1.

若是的原函數(shù)，則2.

若是的原函數(shù),則提示:已知3.

若的導(dǎo)函數(shù)為則