高考試題卷解析-2004數(shù)學(xué)

PAGEPAGE102004年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理工類湖南卷）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求的.1．復(fù)數(shù)的值是 （） A． B．－ C．4 D．－42．如果雙曲線上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離等于，那么點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離是 （） A． B．13 C．5 D．3．設(shè)是函數(shù)的反函數(shù)，若，則的值為 （）A．1 B．2 C．3 D．4．把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，當(dāng)A、BC、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，直線BD與平面ABC所成的角的大小為 （） A．90° B．60° C．45° D．30°5．某公司甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷售點(diǎn)。公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個(gè)特大型銷售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其收入和售后服務(wù)等情況，記這項(xiàng)調(diào)查為②。則完成①、②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是 （） A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 B．分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法 C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 D．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法6．設(shè)函數(shù)則關(guān)于x的方程解的個(gè)數(shù)為 （）A．1 B．2 C．3 D．47．設(shè)則以下不等式中不恒成立的是 （） A． B． C． D．8．?dāng)?shù)列 （） A． B． C． D．9．設(shè)集合，那么點(diǎn)P（2，3）（）的充要條件是 （） A． B． C． D．10．從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，其中直角三角形的個(gè)數(shù)為（） A．56 B．52 C．48 D．4011．農(nóng)民收入由工資性收入和其它收入兩部分構(gòu)成。2003年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為3150元(其中工資性收入為1800元，其它收入為1350元),預(yù)計(jì)該地區(qū)自2004年起的5年內(nèi)，農(nóng)民的工資性收入將以每年6%的年增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，其它收入每年增加160元。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2008年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于 （） A．4200元~4400元 B．4400元~4600元 C．4600元~4800元 D．4800元~5000元12．設(shè)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，且則不等式的解集是 （）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上。13．已知向量a=，向量b=，則|2a－b|的最大值是.14．同時(shí)拋物線兩枚相同的均勻硬幣，隨機(jī)變量ξ=1表示結(jié)果中有正面向上，ξ=0表示結(jié)果中沒有正面向上，則Eξ=.15．若的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為84，則n=.16．設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)Pi（i=1，2，3，…），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…組成公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍為.三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分12分）已知的值.18．（本小題滿分12分）甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為,乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為,甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為.（Ⅰ）分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工零件是一等品的概率；（Ⅱ）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率.19．（本小題滿分12分）如圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,點(diǎn)E在PD上，且PE:ED=2:1.（I）證明PA⊥平面ABCD；（II）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的大?。唬á螅┰诶釶C上是否存在一點(diǎn)F，使BF//平面AEC？證明你的結(jié)論.PPEEAADDCBCB20．（本小題滿分12分）已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間[0，1]上的最大值.21．（本小題滿分12分）如圖，過拋物線x2=4y的對(duì)稱軸上任一點(diǎn)P（0,m）(m>0)作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).（I）設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為，證明:；（II）設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0，過A、B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線，求圓C的方程.22．（本小題滿分14分）如圖，直線相交于點(diǎn)P.直線l1與x軸交于點(diǎn)P1，過點(diǎn)P1作x軸的垂線交直線l2于點(diǎn)Q1，過點(diǎn)Q1作y軸的垂線交直線l1于點(diǎn)P2，過點(diǎn)P2作x軸的垂線交直線l2于點(diǎn)Q2，…，這樣一直作下去，可得到一系列點(diǎn)P1、Q1、P2、Q2，…，點(diǎn)Pn（n=1，2，…）的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列（Ⅰ）證明；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）比較的大小.2004年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)參考答案（文史類湖南卷）1.D2.A3.B4.C5.B6.C7.B8.C9.A10.C11.B12.D13．414．0.7515．916．17．解：由得又于是18．解：（Ⅰ）設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件.①②③①②③由①、③得代入②得27[P(C)]2－51P(C)+22=0.解得（舍去）.將分別代入③、②可得即甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各加工的零件是一等品的概率分別是（Ⅱ）記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的事件，則故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，至少有一個(gè)一等品的概率為19．（Ⅰ）證明因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB.同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.（Ⅱ）解作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD.知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，連結(jié)EH，則EH⊥AC，∠EHG即為二面角的平面角.又PE:ED=2:1，所以從而（Ⅲ）解法一以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AD、AP分別為y軸、z軸，過A點(diǎn)垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.由題設(shè)條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為所以設(shè)點(diǎn)F是棱PC上的點(diǎn)，則令得解得即時(shí)，亦即，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)時(shí)，、、共面.又BF平面AEC，所以當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，BF//平面AEC.解法二當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，BF//平面AEC，證明如下，證法一取PE的中點(diǎn)M，連結(jié)FM，則FM//CE.①由知E是MD的中點(diǎn).連結(jié)BM、BD，設(shè)BDAC=O，則O為BD的中點(diǎn).所以BM//OE.②由①、②知，平面BFM//平面AEC.又BF平面BFM，所以BF//平面AEC.證法二因?yàn)樗?、、共?又BF平面ABC，從而BF//平面AEC.20．解：（Ⅰ）（i）當(dāng)a=0時(shí)，令若上單調(diào)遞增；若上單調(diào)遞減.（ii）當(dāng)a<0時(shí)，令若上單調(diào)遞減；若上單調(diào)遞增；若上單調(diào)遞減.（Ⅱ）（i）當(dāng)a=0時(shí)，在區(qū)間[0，1]上的最大值是（ii）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間[0，1]上的最大值是.（iii）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間[0，1]上的最大值是21．解：（Ⅰ）依題意，可設(shè)直線AB的方程為代入拋物線方程得①設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、、x2是方程①的兩根.所以由點(diǎn)P（0，m）分有向線段所成的比為，得又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（0，－m），從而.所以（Ⅱ）由得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（6，9）、（－4，4）.由得所以拋物線在點(diǎn)A處切線的斜率為設(shè)圓C的方程是則解之得所