2021屆 人教a版 平面向量單元測試 (一)

平面向量

一、單選題

1.在邊長為3的等邊ZVRC中，點￡滿足荏=2反，則麗.麗=（）

C15,27

A.9B.—C.6D.—

24

【答案】C

【解析】

【分析】

首先根據(jù)平面向量基本定理把屁分解為麗和就，再進行向量的數(shù)量積運算即可.

【詳解】

由恁=21，

得麗-BA=2（BC-畫,

^BE=-BA+-BC,

33

則麗?麗=」麗2+2麗.冊=—x3x3+—x3x3xcos60°=6.

3333

故選：C.

【點睛】

本題考查了平面向量基本定理，向量數(shù)量積的運算，屬于基礎題.

注意在向量分解時，往往要把向量分解到已知夾角的方向上.

2.設點G是4ABC的重心，且(56sinA)就+(40sinB)麗+(35sinC)茲=0,則角B

的大小為()

A.450B.600C.300D.150

【答案】B

【解析】

因為(56sinA)而+(4()sinB)礪+(35sinC)OC=0,由正弦定理可得

56aGA+AObGB+35cGC=00因為6是418。的重心，所以

正干,群竽‘小卡’從而有

56a(BA+C4)+40/?(CB+Afi)+35c(^4C+BC)=0<>而巨=麗+麗，所以

56。(2明+CB)+40/?(CB+AS)+35c(2BC+AB)=0,貝U

(402+35c—2-56a)AB=(56a+40Z?-2-35c)BC。因為向量而和巨亍是非零不共

5c

a=一

40/J+35c-2-56a=08

線向量，所以《，化簡可得〈由余弦定理可得

[56a+40/7-2-35c=0,7

b=-c

8

〃242_b21

=則B=6(X，故選B

2ac2

3.已知瓦，可是不共線向量，則下列各組向量中，是共線向量的有（）

①己=5瓦'，b=7百;②五=—|e2?b=3e1-2e2；

③G=瓦+與B=3瓦—3孩

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的共線定理，逐項判斷，即可得出結果.

【詳解】

①中，五=5瓦3=7宙，所以a與B顯然共線；

②中，因為五=：瓦-［筱，3=3瓦一2芭，所以3=6乙故石與3共線；

③中，設3=3匹一3瓦=/￡(瓦*+石)，無解，故五與3不共線.

故選A.

【點睛】

本題主要考查向量共線的判定，熟記向量的共線定理即可，屬于常考題型.

4.已知平面向量9=(k,2),b=(Ll),keR,則k=2是9與6同向的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】

先根據(jù)條件求出9與6同向時k的范圍，再根據(jù)范圍確定充要關系.

【詳解】

若M與5同向，則4=m5，(m>0),即(k,2)=m(1,1),

k=m

則4,得m=2,k=2,即k=2是"與5同向的充要條件，

2=m

故選C.

【點睛】

本題考查向量平行以及充要關系，考查基本分析判斷與求解能力，屬基本題.

+e

5.設q,e2是兩個互相垂直的單位向量，且。4=+02,OB-ex~2則。4在。8

上的投影為

VioV?3#>272

A.4B.3C.10D.3

【答案】C

【解析】

A、/1、

—.OBW'l++萬，2)3A/5

試題分析：投影為。4?空=

\OB\lo-

考點：向量的投影

6.如圖，已知圓M:（x—4））+（丁一4）2=4,四邊形A3GD為圓M的內(nèi)接正方形，

民尸分別為邊的中點，當正方形A8CO繞圓心”轉動時，夜.礪的取值

A.[-872,872]B.[-8,8]C.[-4&,4及]D.[-4,4]

【答案】B

【解析】

【分析】

由平面向量基本定理可知OF=OM+MF'結合垂直關系和數(shù)量積運算性質(zhì)可知

MEOF=MEOM>根據(jù)數(shù)量積的定義，可得礪防=8cos〈麗石?兩>，從

而求得范圍.

【詳解】

由題意可得：OF^OM+MF'

:.1^OF=^（OM+1^）=MEOM+MEMF

ME±MFME-MF=QME-OF=ME-OM

???0"的半徑為2麗耳=J5

又|啊="2+42=40,

ME-OM=\ME\\OM\COS<ME-OM>=Scos<ME-OM>

VCOS<ME-OM>G[-1,1].-.ME-OFG[-8,8]

本題正確選項：B

【點睛】

本題考查向量數(shù)量積取值范圍的求解問題，關鍵是能夠通過平面向量基本定理和垂直關

系將所求數(shù)量積轉化為赤.兩，通過數(shù)量積的定義，結合三角函數(shù)的范圍求得對應

的取值范圍.

7.給出下列命題：

①兩個長度相等的向量一定相等；

②零向量方向不確定；

③若ABCD-A'B'C'D'為平行六面體，則通=灰；

④若ABCD-A'B'C'D'為長方體，則通+前+*=曲+AD1.

其中正確命題的個數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】

【分析】

對①，方向不一定相同；對②，根據(jù)零向量的定義可知正確；對③，兩個向量的方向不

相同：對④，利用向量加法進行運算.

【詳解】

對①，方向不一定相同，故①錯誤；

對②，根據(jù)零向量的定義可知正確，故②正確；

對③，兩個向量的方向不相同，故③錯誤；

對④，利用向量加法進行運算得：AB+BC+CC=AC＞衣+正=初，故④

錯誤；

故選：D.

【點睛】

本題考查向量的基本概念及向量加法的幾何意義，考查對概念的理解，屬于基礎題.

8.如圖，平行四邊形ABC。的對角線交于點/，若而=￡,AD=5，用Q、B表

示該為（）

1-1

A.-a+-bB.-a--bC.——a——brD.--a+-b

22222222

【答案】D

【解析】

【分析】

——1—

先利用￡、石表示出向量而，再由加。=56?？傻贸鼋Y果.

【詳解】

由平面向量減法的三角形法則可得BD=AD-AB=b-a，

???平行四邊形ABC。的對角線交于點M,則點M為8D的中點，

—.1—.1-1_

因止匕，MD=—BD=——a+-h.

222

故選：D.

【點睛】

本題考查利用基底表示平面向量，考查了平面向量減法法則的應用，考查計算能力，屬

于基礎題.

9.已知命題p:VxwR,3'>2"命題夕：若ZVWC中，a=5/=8,c=7,貝！J

BCCA=-2Q>則下列命題正確的是（）

A.PMB.（-n/?）AqC.pv（-17）D.（「〃）人（「q）

【答案】B

【解析】

【分析】

舉出反例證明命題p:VxeR,3X>2'為假命題，再對命題夕中根據(jù)余弦定理求解cosC

再判定即可.

【詳解】

對命題〃：VxeR,3、>21當x=0時3'=2、故P為假命題.

a2+b2-c225+64-491

對命題q,AABC中，a=5/=8,c=7則cosC=

lab802

因為Ce(O,%),所以C=q.故比.瓦=a2?cos(%—C)=—20.故命題夕為真命題.

故正確.

故選：3

【點睛】

本題主要考查了命題真假的判斷，同時也考查了指數(shù)函數(shù)與解三角形與平面向量的應用

等.屬于基礎題.

10.如圖，|礪|=|而|=1,礪與礪的夾角為120°,反與礪的夾角為30°，若

反=/而+〃而則&等于().

R2石

X.------o.---------

23

【答案】D

【解析】

【分析】

將反沿次與前方向進行分解，易得麗=4礪，礪=〃而，再在△DOC中,

\OD\i

，代入相關值即可得到答案.

\cb\sin4C0D

【詳解】

將06沿礪與前方向進行分解，如圖,

由平行四邊形法則有無=而+礪=4麗+〃礪，且4〃>0,所以礪=2礪,

OE^/JOB,又ZDOC=30°,NOC￡>=90'，在△OOC中,

\0D\119

|CD|sinZCOD1，

2

儡*2,

【點睛】

本題考查平面向量的基本定理的應用，考查學生數(shù)形結合的思想，是一道中檔題.

11.已知△ABC外接圓的半徑為1，圓心為0,且不，+屈=血，|礪H而|，則

CABC的值是（）

A.3B.2C.-2D.-3

【答案】D

【解析】

試題分析：由己］+正=痂易得AABC是直角三角形，且A為直角，又|耐卜|無理，

故C=30。.由此|4。|=百，忸C|=2,C4,^C=|c,4|-|c5|cosl500=-3.故D

正確.

考點：平面向量數(shù)量積公式.

12.設向量M=5=(3,—2),則3a—25=()

A.(—3,7)B.(0,7)C.(3,5)D.(—3,5)

【答案】A

【解析】

【分析】

直接將坐標代入計算即可得到結果.

【詳解】

?.?向量年=(,1),^=(3,-2)

35-2^=3(1,1)-2(3,-2)=(3,3)-(6,-4)=(-3,7)

故選：A

【點睛】

本題主要考查平面向量的坐標形式的線性運算，屬于基礎題.

二、填空題

13.在等邊AABC中，。，E分別為邊AB,AC的三等分點，且=EC=2AE,

BC=6,^DE-AB=.

【答案】-18

【解析】

【分析】

先求得詼=；而一g而，再由詼.麗=麗卜麗展開求解即可.

【詳解】

__12

因為AD=237)，EC=2AE?所以。E=AE—AO=—AC—AB,

33

所以

______(12——、——1——2——2112

DEAB^\-AC——AB?"=—AC-A5——AB=—x6x6x-------x62=-18

(33133323

【點睛】

本題主要考查了向量的數(shù)量積的計算，涉及到利用基底表示向量，屬于基礎題.

14.如圖，正方形A8CQ的邊長為2,三角形DPC是等腰直角三角形(P為直角頂

點)，E,尸分別為線段CO,A8上的動點(含端點)，則而.麗的范圍為.

【答案】[2,4]

【解析】

【分析】

建立平面直角坐標系，轉化為E、F兩點的橫坐標，然后利用不等式知識可求得PE-PF

的范圍.

【詳解】

以A為原點，AB和AD分別為x、y軸建立平面直角坐標系，則A(0,0)、B(2,0)、C

(2,2)、D(0,2)、P(1,3),

設E(a,2)、F(b,0)(0WaW2,0WbW2),則麗=(a-1,-1),~pp=(b-1,

-3),

.?.而?麗=(a-1,-1)?(b-1,-3)=(a-l)(b-1)+3,：0WaW2,0WbW2,

，-IWa-lWl,-IWb-1W1,-1W(a-1)(b-1)Wl,；.2W而?而W4

故而?方的取值范圍是[2,4].

故答案為：[2,4]

【點睛】

本題考查了向量數(shù)量積、不等式性質(zhì)、數(shù)形結合思想，屬于中檔題.

15.已知向量〃=（5,機），^=（2,-2）,若僅叫?方=閭可，則實數(shù)加=.

【答案】-1

【解析】

【分析】

利用平面向量數(shù)量積的坐標運算和向量模的坐標運算可得出關于實數(shù)機的方程，進而

可解得實數(shù)加的值.

【詳解】

由題意得，a—力=（3,“2+2）,-b）.b=|同，6—2（/〃+2）=4,解得m=-1.

故答案為：-1.

【點睛】

本題考查平面向量數(shù)量積的坐標運算，考查學生的運算求解能力，屬于基礎題.

16.已知平面向量a、5滿足條件：無5=0，同=cosa,M]=sina,a,

若向d=/lG+歷(Z〃eR),且(2/L-l)2cos2a+(2〃—iysin2a=L則同的最

9

小值為_______

【答案】2

3

【解析】

【分析】

由題意可設白=(cosa,0),5=(0,sina),c=(x,y),且設。由

3+求出C點的軌跡方程，結合圓的性質(zhì)可求最值.

【詳解】

由題意可設4=（cosa,0）,5=（0，sina）,c—（x,y）,設反^之,

c=Aa+/db—（Xcosa,psina）,

x=Acosan

，（0,—

y=/Lisina2

（24-1）2COS2C^+（2/Z-1）2sin26z=,

則（2x-cosa）“+（2y—sina）2

9

n即nz-c三osa、）2（亍sindf卜Y方1

cosotsinn1rr

...C在以。(二土,為圓心，以一為半徑的圓上，ae(0,-),

2262

I，1111

故答案為；.

3

【點睛】

本題主要考查了平面向量的基本定理及向量的坐標表示，平面向量的加法減法的幾

何意義，平面向量的數(shù)乘及幾何意義及圓的方程的應用，屬于綜合題.

三、解答題

17.已知△ABC的面積為S,且福.而=S.

（1）求sirr--cos'----V^sin2A的值；

22

（2）若角A,8,C成等差數(shù)列，|行一刀|=4求AABC的面積S.

【答案】⑴-75;（2）3273-48

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)三角形面積公式、平面向量數(shù)量積定義，可以得到tanA的值，再根據(jù)同角

的三角函數(shù)關系求出sinA,cosA的值，最后運用二倍角的余弦公式和正弦公式計算求

值即可；

（2）根據(jù)等差中項的定義，結合三角形內(nèi)角和定理可以求出3的值，結合（1）,利用

兩角和的正弦公式可以求出sinC的值，根據(jù)平面向量減法的運算法則和正弦定理可以

求出〃，最后利用三角形面積公式求解即可.

【詳解】

解：（1）設AABC中4、B、C的對邊分別為4、氏C,

]sinA

ABAC=SRS=—bcsinA：.tanA=2=>----=2-：sin2A+cos2A=l,

2cosA

..275A亞

sinA=----,cosA=——?

55

sin2--cos2--V5sin2A=-cosA-25/5sinAcosA=-75

22

(2)V2B=A+C,A+B+C=7r,

5=y,從而有sinC-sin(A+B)-sinAcosB+cosAsinB=2唾;

,：\CB-CA\=c=4

由正弦定理，7；=-^；得力=8厲—12不

sinCsinB

所以S=-/?csinA=32>/3-48

2

【點睛】

本題考查了三角形面積公式、正弦定理的應用，考查了同角的三角函數(shù)關系式，考查了

兩角和的正弦公式，考查了數(shù)學運算能力.

18.已知|￡|=2,用辦表示出與［方向相同的單位向量，以及與［方向相反的單位向量.

【答案】與加方向相間的單位向量為與［方向相反的單位向量為一

【解析】

【分析】

由數(shù)乘向量的定義可得：±二為與￡共線的單位向量，將|=2代入即可得答案.

\a\

【詳解】

由數(shù)乘向量的定義可得：±3為與［共線的單位向量,

\a\

所以巴與［方向相同的單位向量;

2

-應與公方向相反的單位向量.

2

【點睛】

本題考查數(shù)乘向量的幾何意義，考查邏輯推理能力和運算求解能力.

19.已知向量用=(2sin-,cos—),n—(cos—,Q),且/(x)-m*n.

424

(I)求函數(shù)/(x)的最小正周期；

(D)若OWxW兀，求函數(shù)/(x)的最大值和最小值.

【答案】(I)4%(II)最大值2,最小值1

【解析】

【分析】

(1)利用向量的數(shù)量積公式，結合輔助角公式化簡函數(shù)，再求函數(shù)/(X)的最小正周

期;

(II)利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，整體思維求函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,II］上的最大值和

最小值.

【詳解】

解：(I)f(x]=a-h=2sin—cos—+y/3cos—

V7442

=sin—+yf3cos—

22

1,xV3x、

2-sin—I---cos-

2222)

1.X乃X.乃)(X

=2sin—cos—+cos—sin—=2sin\一+一,

(2323JU3J

_2乃.

T=—=47r

：.f(x)的最小正周期1

2

X71715萬

(II)VxG[0,n],一,---

2336

當：+!=￥，即x=n時，/(x““=2si〃警=1；

236\oJ

.X7171n1.""rt_x￡/、c.乃c

當一+—=—，即工=—時，fMfnaK=2sm—=2

23232

TT

.?.當X=7T時，函數(shù)/(X)取得最小值1；當X=§時，函數(shù)/(X)取得最大值2.

【點睛】

本題考查向量的數(shù)量積公式，輔助角公式，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，正確化簡是關鍵.

20.(9分)已知向量b與向量a=(5,-12)的方向相反，且|b|=26,求b.

18.解.?:h與也方向相反,b=Xa=4(5,—12)皿<0

【答案】X\b\=26,.-.V(5^)2+(12A)2=2613|A|=26

EPX=-2,b=(-10,24)

【解析】

由于向量益與向量B方向相反，所以3=<0),再根據(jù)的=26,

求出4值，確定出向量族的坐標.

21.已知橢圓C:1+工=1(。>人〉0)的離心率為Y2,且以原點為圓心，以短軸長

a-h-2

為直徑的圓G過點。，0).

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若過點M(2,0)的直線/與橢圓C交于不同的兩點A,8,且與圓G沒有公共點，

設G為橢圓C上一點，滿足(礪+礪)=z礪(。為坐標原點)，求實數(shù)t的取值范圍.

2

【答案】(1)y+/=l.(2)ze(-2,-,2).

【解析】

【分析】

(1)利用直線與圓相切的充要條件列出方程求出。的值，利用橢圓的離心率公式得到。，

C的關系，再利用橢圓本身三個參數(shù)的關系求出a,C的值，將。，方的值代入橢圓的

方程即可；

（2）設A3的方程代入橢圓方程，利用西+麗=f9確定A，B,尸三點之間的關

系，利用點P在橢圓上，建立方程，從而可求實數(shù)r取值范圍.

【詳解】

（1）???以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+0=O相切

/./?=1