第四章第一節(jié)　導(dǎo)數(shù)的概念及其意義導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

第四章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.了解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2.通過(guò)函數(shù)圖象,理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).【考情分析】考點(diǎn)考法:高考命題常以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和幾何意義為重點(diǎn)考查內(nèi)容,考查形式以選擇題、填空題為主,屬于中檔題.核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)記作f'(x0)或y'|x(2)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線(xiàn)的斜率,相應(yīng)的切線(xiàn)方程為yf(x0)=f'(x0)(xx0).【微點(diǎn)撥】求曲線(xiàn)的切線(xiàn)時(shí),要分清在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)的區(qū)別,前者點(diǎn)P是切點(diǎn),只有一條切線(xiàn),而后者點(diǎn)P可以不是切點(diǎn)包括了前者.3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))f'(x)=0f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)f'(x)=αxf(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=sinxf(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=axlnaf(x)=exf'(x)=exf(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=1f(x)=lnxf'(x)=14.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若f'(x),g'(x)存在,則有[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);[f(x)g(x)]'[cf(x)]'=cf'(x).5.復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)(1)一般地,對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=f(u)和u=g(x),如果通過(guò)中間變量u,y可以表示成x的函數(shù),那么稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=f(u)與u=g(x)的復(fù)合函數(shù),記作y=f(g(x)).(2)復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y'x=y'u·u'x,即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.【微點(diǎn)撥】在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中要分清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量的求導(dǎo),不能混淆.【基礎(chǔ)小題·自測(cè)】類(lèi)型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)13421.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.f'(x0)是函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的瞬時(shí)變化率B.函數(shù)f(x)=sin(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=cosxC.求f'(x0)時(shí),可先求f(x0),再求f'(x0)D.曲線(xiàn)y=f(x)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)y=f(x)過(guò)某點(diǎn)的切線(xiàn)意義是相同的【解析】選BCD.Bf(x)=sin(x)=sinx,則f'(x)=cosx.×C求f'(x0)時(shí),應(yīng)先求f'(x),再代入求值,錯(cuò)誤.×D“在某點(diǎn)”的切線(xiàn)是指以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線(xiàn),因此此點(diǎn)橫坐標(biāo)處的導(dǎo)數(shù)值為切線(xiàn)的斜率;而對(duì)于“過(guò)某點(diǎn)”的切線(xiàn),則該點(diǎn)不一定是切點(diǎn),要利用解方程組的思想求切線(xiàn)的方程,在曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)只有一條,但過(guò)某點(diǎn)的切線(xiàn)可以不止一條.×2.(2023·全國(guó)甲卷)曲線(xiàn)y=exx+1在點(diǎn)(1,e2)A.y=e4x B.y=e2C.y=e4x+e4 D.y=e2【解析】選C.設(shè)曲線(xiàn)y=exx+1在點(diǎn)(1,e2)處的切線(xiàn)方程為ye2因?yàn)閥=ex所以y'=ex(x所以k=e4所以ye2=e4(所以曲線(xiàn)y=exx+1在點(diǎn)(1,e2)處的切線(xiàn)方程為y=e3.(選擇性必修二·P81T6·變形式)已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)=f'(π4)cosxsinx,則f'(π4)=1【解析】f'(x)=f'(π4)sinxcosx令x=π4,得f'(π4)=22f'(π解得f'(π4)=124.(混淆在點(diǎn)P處的切線(xiàn)和過(guò)P點(diǎn)的切線(xiàn))已知曲線(xiàn)y=aex+xlnx在點(diǎn)(1,ae)處的切線(xiàn)方程為y=2x+b,則a的值為1e;b的值為1【解析】y'=aex+lnx+1,所以ae+1=2,【巧記結(jié)論·速算】1.奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù),周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).2.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢(shì),其正負(fù)號(hào)反映了變化的方向,其大小|f'(x)|反映了變化的快慢,|f'(x)|越大,曲線(xiàn)在這點(diǎn)處的切線(xiàn)越“陡”.【即時(shí)練】1.已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件:①f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)為奇函數(shù);②f(0)≠0;③在區(qū)間[2,1]上單調(diào)遞增,則f(x)的一個(gè)解析式為f(x)=x2+1(答案不唯一).

【解析】由條件①知f(x)為偶函數(shù),可設(shè)f(x)=ax2+c,因?yàn)閒(0)≠0,所以c≠0,又f(x)在區(qū)間[2,1]上單調(diào)遞增,所以a<0,因此滿(mǎn)足條件的一個(gè)解析式為f(x)=x2+1.2.(多選題)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.f'(3)>f'(2) B.f'(3)<f'(2)C.f(3)f(2)>f'(3) D.f(3)f(2)<f'(2)【解析】選BCD.由題圖可知,f'(2)>f'(3)>0,故A錯(cuò)誤,B正確.設(shè)A(2,f(2)),B(3,f(3)),則f(3)f(2)=f(3)-f由題圖知f'(3)<kAB<f'(2),即f'(3)<f(3)f(2)<f'(2),故C,D正確.【核心考點(diǎn)·分類(lèi)突破】考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的概念[例1](1)已知函數(shù)f(x)可導(dǎo),則f(2+2Δx)-A.f'(x) B.f'(2) C.f(x) D.f(2)【解析】選B.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)可導(dǎo),所以f'(x)=f(x所以f(2+2Δx)-f(2)函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[1,2]上的平均變化率為3,在x=2處的導(dǎo)數(shù)為4.

【解析】函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[1,2]上的平均變化率為22-122-1=3;因?yàn)閒'(x)=2x,所以f(x(3)(多選題)環(huán)保部門(mén)要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理,排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改,設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為W=f(t),用f(b)-f(a)b-a的大小評(píng)價(jià)在[下列四個(gè)結(jié)論正確的是()A.在[t1,t2]這段時(shí)間內(nèi),甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)B.在t2時(shí)刻,甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)C.在t3時(shí)刻,甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)D.甲企業(yè)在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]這三段時(shí)間中,在[0,t1]的污水治理能力最強(qiáng)【解析】選ABC.f(b)-f(a)b-a表示區(qū)間端點(diǎn)連線(xiàn)斜率的負(fù)數(shù),在[t1,t2]在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]這三段時(shí)間中,甲企業(yè)在[t1,t2]這段時(shí)間內(nèi),斜率最小,其相反數(shù)最大,即在[t1,t2]的污水治理能力最強(qiáng),D錯(cuò)誤;在t2時(shí)刻,甲切線(xiàn)的斜率比乙的小,所以甲切線(xiàn)的斜率的相反數(shù)比乙的大,甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng),B正確;在t3時(shí)刻,甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水達(dá)標(biāo)排放量以下,所以都已達(dá)標(biāo),C正確.【解題技法】求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)的步驟(1)求函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)f(x0);(2)求平均變化率ΔyΔx(3)得導(dǎo)數(shù)f'(x0)=,簡(jiǎn)記作:一差、二比、三極限.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(多選題)某市開(kāi)始全面實(shí)施垃圾分類(lèi),家庭廚余垃圾的分出量不斷增加.已知甲、乙兩個(gè)小區(qū)在[0,t]這段時(shí)間內(nèi)的家庭廚余垃圾的分出量Q與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示.下列四個(gè)結(jié)論正確的是()A.在[t1,t2]這段時(shí)間內(nèi),甲小區(qū)的平均分出量比乙小區(qū)的平均分出量大B.在[t2,t3]這段時(shí)間內(nèi),乙小區(qū)的平均分出量比甲小區(qū)的平均分出量大C.在t2時(shí)刻,甲小區(qū)的分出量比乙小區(qū)的分出量增長(zhǎng)得慢D.甲小區(qū)在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]這三段時(shí)間中,在[t2,t3]的平均分出量最大【解析】選BC.對(duì)于A,在[t1,t2]這段時(shí)間內(nèi),甲的增長(zhǎng)量小于乙的增長(zhǎng)量,所以甲的平均分出量小于乙,說(shuō)法錯(cuò)誤.對(duì)于B,在[t2,t3]這段時(shí)間內(nèi),甲的增長(zhǎng)量小于乙的增長(zhǎng)量,所以乙的平均分出量大于甲,說(shuō)法正確.對(duì)于C,在t2時(shí)刻,乙的圖象比甲的圖象陡,瞬時(shí)增長(zhǎng)率大,說(shuō)法正確.對(duì)于D,甲的圖象大致為一條直線(xiàn),所以三個(gè)時(shí)間段的平均分出量相等,說(shuō)法錯(cuò)誤.2.如圖,函數(shù)f(x)的圖象是折線(xiàn)段f(x),其中A,B,C的坐標(biāo)分別為(0,4),(2,0),(6,4),則f(1+Δx【解析】由題圖可得在x∈[0,2]上,函數(shù)圖象上每一點(diǎn)處的斜率都是4-00-2=2.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算[例2](1)(多選題)下列求導(dǎo)正確的是()A.[(3x+5)3]'=9(3x+5)2B.(x3lnx)'=3x2lnx+x2C.(2sinxx2)D.(2x+cosx)'=2xln2sinx【解析】選ABD.對(duì)于A,[(3x+5)3]'=3(3x+5)2(3x+5)'=9(3x+5)2,故A正確;對(duì)于B,(x3lnx)'=(x3)'lnx+x3(lnx)'=3x2lnx+x2,故B正確;對(duì)于C,(2sinxx2)'=(2sinx)'x對(duì)于D,(2x+cosx)'=(2x)'+(cosx)'=2xln2sinx,故D正確.(2)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且滿(mǎn)足f(x)=x3+x2f'(1)+2x1,則f'(2)=()A.1 B.9 C.6 D.4【解析】選C.因?yàn)閒(x)=x3+x2f'(1)+2x1,所以f'(x)=3x2+2xf'(1)+2,把x=1代入f'(x),得f'(1)=3×12+2f'(1)+2,解得f'(1)=5,所以f'(x)=3x210x+2,所以f'(2)=6.(3)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):①y=(3x34x)(2x+1);②y=lnx③y=11-2x2;④y=cos(3【解析】①方法一:y=(3x34x)(2x+1)=6x4+3x38x24x,所以y'=24x3+9x216x4.方法二:y'=(3x34x)'·(2x+1)+(3x34x)(2x+1)'=(9x24)(2x+1)+(3x34x)·2=24x3+9x216x4.②y'=(lnxx2+2xx2)'=(lnxx2)'+(=1-③設(shè)y=u-12,u=12則y'x=y'u·u'x=(u-12)'·(12x=12u-3=12(12x2)-32=2x(12x2)-④y'=sin(3x2π6)(3x2π6=6xsin(3x2π6)【解題技法】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算技巧(1)連乘積形式函數(shù)式求導(dǎo):先展開(kāi)化為多項(xiàng)式的形式,再求導(dǎo).(2)分式形式函數(shù)式求導(dǎo):觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù),再求導(dǎo).(3)對(duì)數(shù)形式函數(shù)式求導(dǎo):先化為和、差的形式,再求導(dǎo).(4)根式形式函數(shù)式求導(dǎo):先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,再求導(dǎo).(5)三角形式函數(shù)式求導(dǎo):先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式,再求導(dǎo).【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(多選題)下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()A.若f(x)=sin(2x+3),則f'(x)=2cos(2x+3)B.若f(x)=e2x+1,則f'(x)=e2x+1C.若f(x)=xex,則f'(xD.若f(x)=xlnx,則f'(x)=lnx+1【解析】選ACD.f(x)=sin(2x+3),f'(x)=cos(2x+3)·(2x+3)'=2cos(2x+3),故A正確;f(x)=e2x+1,則f'(x)=2e2x+1,故B錯(cuò)誤;f(x)=xex,f'(x)=ex-xexf(x)=xlnx,f'(x)=(x)'lnx+x(lnx)'=lnx+1,故D正確.2.已知f(x)=x(2022+lnx),若f'(x0)=2023,則x0=()A.e2 B.1 C.ln2 D.e【解析】選B.f'(x)=2022+lnx+x·1x=2023+lnx,故由f'(x0)=2023,得2023+lnx02023,則lnx0=0,解得x0=1.3.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),若f(x)=x2+f'(π3)sinx,則f(π6)=π【解析】因?yàn)閒'(x)=2x+f'(π3)cosx所以f'(π3)=2π3+12f'(所以f'(π3)=4π所以f(x)=x2+4π3sinx所以f(π6)=π2364.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=x(x2+1x+1x3);(2)y=x2(3)y=x2x;(4)y=ln【解析】(1)因?yàn)閥=x3+1x所以y'=3x22x(2)y'=(x2)'sinx+x2(sinx)'=2xsinx+x2cosx.(3)因?yàn)閥=x2x=2所以y'=(2x32)'(4)y'=(=1x(x考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的幾何意義角度1求切線(xiàn)方程[例3](1)金榜原創(chuàng)·易錯(cuò)對(duì)對(duì)碰已知曲線(xiàn)f(x)=x34x2+5x4.①曲線(xiàn)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線(xiàn)方程為xy4=0;

②曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(2,f(2))的切線(xiàn)方程為xy4=0或y+2=0.

【解析】①因?yàn)閒'(x)=3x28x+5,所以f'(2)=1,又f(2)=2,所以曲線(xiàn)f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線(xiàn)方程為y(2)=x2,即xy4=0.②設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,x034x02因?yàn)閒'(x0)=3x028x所以切線(xiàn)方程為y(2)=(3x028x0+5)(又切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(x0,x034x02所以x034x02+5x02=(3x028整理得(x02)2(x01)=0,解得x0=2或x0=1,所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,2)的曲線(xiàn)f(x)的切線(xiàn)方程為xy4=0或y+2=0.(2)(2023·臨沂模擬)函數(shù)f(x)=xln(x),則曲線(xiàn)y=f(x)在x=e處的切線(xiàn)方程為2xy+e=0.

【解析】易得切點(diǎn)為(e,e),f'(x)=ln(x)+1,則f'(e)=2,所以切線(xiàn)方程為y(e)=2(x+e),即2xy+e=0.(3)(2022·新高考Ⅱ卷)曲線(xiàn)y=ln|x|過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線(xiàn)的方程分別為y=1ex,y=1e【解析】因?yàn)閥=ln|x|,當(dāng)x>0時(shí)y=lnx,設(shè)切點(diǎn)為(x0,lnx0),由y'=1x,所以y'|x=x0=1x0,所以切線(xiàn)方程為ylnx0又切線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),所以lnx0=1x0(x0),解得x0=e,所以切線(xiàn)方程為y1=1e(xe),即y=當(dāng)x<0時(shí)y=ln(x),設(shè)切點(diǎn)為(x1,ln(x1)),由y'=1x,所以y'|x=x1=1x1,所以切線(xiàn)方程為yln(x1又切線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),所以ln(x1)=1x1(x1),解得x1=e,所以切線(xiàn)方程為y1=1-e(x+e),即【解題技法】求曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)方程的方法(1)當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)是切點(diǎn)時(shí),切線(xiàn)方程為yy0=f'(x0)(xx0);(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)不是切點(diǎn)時(shí),可分以下幾步完成:第一步:設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P'(x1,f(x1));第二步:寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)P'(x1,f(x1))的切線(xiàn)方程yf(x1)=f'(x1)(xx1);第三步:將點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0,y0)代入切線(xiàn)方程求出x1;第四步:將x1的值代入方程yf(x1)=f'(x1)(xx1)可得過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)的切線(xiàn)方程.角度2求切點(diǎn)坐標(biāo)[例4](1)已知曲線(xiàn)y=x223lnx的一條切線(xiàn)的斜率為2,則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(A.3 B.2 C.1 D.1【解析】選A.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),且x0>0,由y'=x3x,得切線(xiàn)斜率k=x03x0=2,所以x(2)(2023·貴陽(yáng)模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a1)x2+ax,若f(x)為奇函數(shù),且曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x+y=0垂直,則切點(diǎn)P(x0,f(x0))的坐標(biāo)為(0,0).

【解析】因?yàn)閒(x)=x3+(a1)x2+ax,所以f'(x)=3x2+2(a1)x+a.又f(x)為奇函數(shù),所以f(x)=f(x)恒成立,即x3+(a1)x2ax=x3(a1)x2ax恒成立,所以a=1,f'(x)=3x2+1,令3x02+1=1,得x0=0,f(x0)=0,所以切點(diǎn)P(x0,f(x0))的坐標(biāo)為【解題技法】求切點(diǎn)坐標(biāo)的思路(1)已知切線(xiàn)方程(或斜率)求切點(diǎn)的一般思路是先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再讓導(dǎo)數(shù)等于切線(xiàn)的斜率,從而求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo),將橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo).(2)已知曲線(xiàn)外一點(diǎn)求切點(diǎn)的一般思路是先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),列出切線(xiàn)方程,將切點(diǎn)代入曲線(xiàn)方程,已知點(diǎn)代入切線(xiàn)方程聯(lián)立方程組求出切點(diǎn)坐標(biāo).角度3求參數(shù)的值(范圍)[例5](1)(2023·重慶模擬)已知a為非零實(shí)數(shù),直線(xiàn)y=x+1與曲線(xiàn)y=aln(x+1)相切,則a=e.

【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t,aln(t+1)),對(duì)函數(shù)y=aln(x+1)求導(dǎo)得y'=ax所以at+1=1,aln((2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲線(xiàn)y=(x+a)ex有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線(xiàn),則a的取值范圍是(∞,4)∪(0,+∞).

【解析】因?yàn)閥=(x+a)ex,所以y'=(x+1+a)ex,設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則y0=(x0+a)ex0,切線(xiàn)斜率k=(x0+1+a)ex0,切線(xiàn)方程為:y(x0+a)ex0=(x0+1+a)ex所以(x0+a)ex0=(x0+1+a)ex0整理得x02+ax0因?yàn)榍芯€(xiàn)有兩條,所以Δ=a2+4a>0,解得a<4或a>0,故a的取值范圍是(∞,4)∪(0,+∞).【解題技法】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的方法利用切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線(xiàn)的斜率、切線(xiàn)的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿(mǎn)足的不等式(組),進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍.提醒:(1)注意曲線(xiàn)上橫坐標(biāo)的取值范圍;(2)謹(jǐn)記切點(diǎn)既在切線(xiàn)上又在曲線(xiàn)上.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2023·大同模擬)已知函數(shù)f(x)=2e2lnx+x2,則曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線(xiàn)方程為()A.4exy+e2=0 B.4exye2=0C.4ex+y+e2=0 D.4ex+ye2=0【解析】選B.因?yàn)閒(x)=2e2lnx+x2,所以f'(x)=2e2x所以f(e)=2e2lne+e2=3e2,f'(e)=4e,所以曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線(xiàn)方程為y3e2=4e(xe),即4exye2=0.2.(2023·瀘州模擬)已知曲線(xiàn)y=acosxx在點(diǎn)(π,aπ)處的切線(xiàn)方程為y=2π2x+b,A.4π B.2 C.4π D【解析】選D.令y=f(x)=acos則f'(x)=-a曲線(xiàn)在點(diǎn)(π,aπ)處的切線(xiàn)的斜率為f'(π)=aπ2=2π23.設(shè)a∈R,函數(shù)f(x)=ex+aex是偶函數(shù),若曲線(xiàn)y=f(x)的一條切線(xiàn)的斜率是32,【解析】由f(x)為偶函數(shù),易得a=1.所以f(x)=ex+ex,f'(x)=exex.設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則f'(x0)=ex0e-x0=32【重難突破】?jī)汕€(xiàn)的公切線(xiàn)問(wèn)題的求法解決兩曲線(xiàn)的公切線(xiàn)問(wèn)題的兩種方法(1)利用其中一曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)與另一曲線(xiàn)相切,列出關(guān)系式求解.(2)設(shè)公切線(xiàn)l在y=f(x)上的切點(diǎn)P1(x1,f(x1)),在y=g(x)上的切點(diǎn)P2(x2,g(x2)),則f'(x1)=g'(x2)=f(類(lèi)型一求兩曲線(xiàn)的公切線(xiàn)[例1](2023·湘潭模擬)已知直線(xiàn)l是曲線(xiàn)y=ex1與y=lnx+1的公共切線(xiàn),則l的方程為y=ex1或y=x.

【解析】直線(xiàn)l與曲線(xiàn)y=ex1相切,設(shè)切點(diǎn)為(a,ea1),y'=ex,切線(xiàn)的斜率為ea,切線(xiàn)方程為yea+1=ea(xa),即y=eaxaea+ea1.直線(xiàn)l與y=lnx+1相切,設(shè)切點(diǎn)為(b,lnb+1),y'=1x,切線(xiàn)的斜率為1b,切線(xiàn)方程為ylnb1=1b(xb),即y=1bx+lnb.直線(xiàn)l是曲線(xiàn)y=ex1與y=lnx+1解得a=1,所以l的方程為y=ex1或y=x.類(lèi)型二切點(diǎn)相同的公切線(xiàn)問(wèn)題[例2](2023·金華模擬)已知函數(shù)f(x)=ax2與g(x)=lnx的圖象在公共點(diǎn)處有共同的切線(xiàn),則實(shí)數(shù)a的值為12e【解析】設(shè)公共點(diǎn)為P(x0,y0)(x0>0),則ax02=lnx由f(x)=ax2,得f'(x)=2ax,由g(x)=lnx,得g'(x)=1x因?yàn)楹瘮?shù)f(x)與g(x)的圖象在公共點(diǎn)P(x0,y0)處有共同的切線(xiàn),所以f'(x0)=g'(x0),即2ax0=1x0,得a=所以12x02·x即lnx0=12,得x0=e所以a=12x02