2023-2024學(xué)年北京五中高三（上）期中數(shù)學(xué)試題和答案

高中PAGE1試題2023北京五中高三（上）期中數(shù)學(xué)班級(jí)______姓名_______學(xué)號(hào)______成績(jī)________一.選擇題:共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1．已知集合，，若，則的取值范圍是A. B. C. D.2．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是A．若，則B．若，則C．若，則//D．若，則3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是A．B．C．D．4.已知直線與直線平行，則的值為A．B．C．或D．5．已知圓，過直線上的動(dòng)點(diǎn)P作圓O的一條切線，切點(diǎn)為，則的最小值為A．B．C．D．6．關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是A．是偶函數(shù)B．是的極值點(diǎn)C．在上有且僅有個(gè)零點(diǎn)D．的值域是7．《九章算術(shù)》卷五商功中有如下描述：今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無(wú)廣，高一丈.意思為：今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹膸缀误w，下底面寬3丈，長(zhǎng)4丈，上棱長(zhǎng)2丈，高1丈.現(xiàn)有一芻甍，如圖所示，則該芻甍的體積為A.立方丈 B.立方丈 C.立方丈 D.立方丈8．已知和是兩個(gè)互相垂直的單位向量，，則“”是“和夾角為”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件9．已知為雙曲線的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線上，滿足為等腰三角形，頂角為，則雙曲線的離心率為A. B.2 C. D.10．如圖,正方體的棱長(zhǎng)，點(diǎn)為底面的中心，點(diǎn)在側(cè)面的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng).若，則△面積的最小值為A．B．C．D．二.填空題:共5小題，每小題5分，共25分.11．已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則.12．已知雙曲線的兩條漸近線方程為，若焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，則雙曲線方程為．13．函數(shù)的圖像向左平移_______個(gè)長(zhǎng)度單位得到函數(shù)的圖像，若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的最大值為_______14.北京2022年冬奧會(huì)將于2022年2月4日開幕.某社區(qū)為了宣傳冬奧會(huì)，決定在辦公樓外墻建一個(gè)面積為的矩形展示區(qū)，并計(jì)劃在該展示區(qū)內(nèi)設(shè)置三個(gè)全等的矩形宣傳欄(如圖所示)，要求上下各空0.25m，左右各空0.25m，相鄰宣傳欄之間也空0.25m.設(shè)三個(gè)宣傳欄的面積之和為(單位:)，則的最大值為15.對(duì)于函數(shù)，下列4個(gè)結(jié)論正確的是.①任取，都有；②，對(duì)一切恒成立；③若關(guān)于x的方程有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根，則；④函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)三、解答題：本大題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過程．16.如圖，在四邊形中，，且.（1）求的長(zhǎng)；（2）若_________；求的面積.從①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.17.如圖，在四棱錐中，面，，且.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求平面與平面的夾角；（Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面垂直，如果垂直，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離，如果不垂直，說(shuō)明理由.18.智能體溫計(jì)由于測(cè)溫方便、快捷，已經(jīng)逐漸代替水銀體溫計(jì)應(yīng)用于日常體溫檢測(cè).調(diào)查發(fā)現(xiàn)，使用水銀體溫計(jì)測(cè)溫結(jié)果與人體的真實(shí)體溫基本一致，而使用智能體溫計(jì)測(cè)量體溫可能會(huì)產(chǎn)生誤差.對(duì)同一人而言，如果用智能體溫計(jì)與水銀體溫計(jì)測(cè)溫結(jié)果相同，我們認(rèn)為智能體溫計(jì)“測(cè)溫準(zhǔn)確”；否則，我們認(rèn)為智能體溫計(jì)“測(cè)溫失誤”.現(xiàn)在某社區(qū)隨機(jī)抽取了20人用兩種體溫計(jì)進(jìn)行體溫檢測(cè)，數(shù)據(jù)如下：序號(hào)智能體溫計(jì)測(cè)溫（）水銀體溫計(jì)測(cè)溫（）序號(hào)智能體溫計(jì)測(cè)溫（）水銀體溫計(jì)測(cè)溫（）0136.636.61136.336.20236.636.51236.736.70336.536.71336.236.20436.536.51435.435.40536.536.41535.235.30636.436.41635.635.60736.236.21737.237.00836.336.41836.836.80936.536.51936.636.61036.336.42036.736.7（Ⅰ）試估計(jì)用智能體溫計(jì)測(cè)量該社區(qū)1人“測(cè)溫準(zhǔn)確”的概率；（Ⅱ）用頻率估計(jì)概率，從該社區(qū)中任意抽查3人用智能體溫計(jì)測(cè)量體溫，設(shè)隨機(jī)變量為使用智能體溫計(jì)“測(cè)溫準(zhǔn)確”的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(Ⅲ)醫(yī)學(xué)上通常認(rèn)為，人的體溫在不低于且不高于時(shí)處于“低熱”狀態(tài).該社區(qū)某一天用智能體溫計(jì)測(cè)溫的結(jié)果顯示，有3人的體溫都是，能否由上表中的數(shù)據(jù)來(lái)認(rèn)定這3個(gè)人中至少有1人處于“低熱”狀態(tài)？說(shuō)明理由.19.已知橢圓的右焦點(diǎn)為.（Ⅰ）求點(diǎn)的坐標(biāo)和橢圓的離心率；（Ⅱ）直線過點(diǎn)，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，如果點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，判斷直線是否經(jīng)過軸上的定點(diǎn)，如果經(jīng)過，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不經(jīng)過，說(shuō)明理由．20.已知函數(shù)，其中為常數(shù).（Ⅰ）若，求函數(shù)的極值；（Ⅱ）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若，設(shè)函數(shù)在上的極值點(diǎn)為，求證：.21.對(duì)于向量，若，，三數(shù)互不相等，令向量，其中，，，.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，試寫出向量；（Ⅱ）證明：對(duì)于任意的，向量中的三個(gè)數(shù)，，至多有一個(gè)為0；（Ⅲ）若，證明：存在正整數(shù)，使得

參考答案一.選擇題:共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).12345678910BCDBCCAADB二.填空題:共5小題，每小題5分，共25分.11．【答案】12．【答案】13．【答案】，14.【答案】15.【答案】①③【詳解】對(duì)于①，函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，，則任取，都有，故①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，則，而由解析式知，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示，若關(guān)于x的方程有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根，則，由對(duì)稱性可知，③正確；對(duì)于④，函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示，由圖可知，兩函數(shù)的交點(diǎn)有3個(gè)，即函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，④錯(cuò)誤.故答案為：①③.三、解答題：本大題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過程．16.（1）由，得，又，所以，在中，由余弦定理，得，所以；（2）選①：，由(1)知，由，得，在中，由余弦定理，得，即，解得，所以.選②：，由(1)知，由，得，所以在中，由正弦定理，得，則，所以；17.【詳解】（1）證明：，∴.∵在中，由余弦定理得，即，所以，∴.∴.又平面，平面.∴.又：平面，∴平面，∵平面，∴.（2）解：取中點(diǎn)N，連結(jié).∵，∴.∴四邊形是平行四邊形.∴.∵，∴.∵平面，∴.∴以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則∴.平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則∴令，則得，此時(shí).∴.∴平面與平面所成角的余弦值為.（3）解：∵為的中點(diǎn)，距離為.18.解：(Ⅰ)表中20人的體溫?cái)?shù)據(jù)中，用智能體溫計(jì)與水銀體溫計(jì)測(cè)溫結(jié)果相同的序號(hào)是01，0406，07，09，12，13，14，16，18，19，20，共有12種情況.由此估計(jì)所求概率為.…………4分（Ⅱ）隨機(jī)變量的所有可能取值為由(Ⅰ)可知，用智能體溫計(jì)測(cè)量該社區(qū)1人“測(cè)溫準(zhǔn)確”的概率為.所以；；；；所以的分布列為故的數(shù)學(xué)期望（Ⅲ）設(shè)這3人中至少有1人處于“低熱”狀態(tài)為事件.表中20人的體溫?cái)?shù)據(jù)中，用智能體溫計(jì)的測(cè)溫結(jié)果，高于其真實(shí)體溫的序號(hào)為02，05，11，17，共計(jì)4種情況，由此估計(jì)從社區(qū)任意抽查1人，用智能體溫計(jì)的測(cè)溫結(jié)果高于其真實(shí)體溫的概率為.由此估計(jì)，這3人中至少有1人處于“低熱”狀態(tài)的概率為.結(jié)論1：因?yàn)榻咏?，由此可以認(rèn)定這3人中至少有1人處于“低熱”狀態(tài).結(jié)論2：因?yàn)?，所以有可能這3人都不處于“低熱”狀態(tài).19.解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓：，所以焦點(diǎn)，離心率．（Ⅱ）直線：（）過點(diǎn)，所以，所以：．由得．（依題意）．設(shè)，，則，．因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則．所以，直線的方程可以設(shè)為，令，所以直線過軸上定點(diǎn)．20.解：1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，，令，?極大值當(dāng)時(shí)，的極大值為，無(wú)極小值.（2），由題意對(duì)恒成立.，，對(duì)恒成立，對(duì)恒成立.令，，則，①若，即，則對(duì)恒成立，在上單調(diào)遞減，則，，與矛盾，舍去；②若，即，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，.綜上.（3）當(dāng)時(shí)，，，令，，則，令，得，①當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，恒成立，單調(diào)遞減，且.②當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，存在唯一，使得，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，由①和②可知，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取極大值.，，，又，，.21.【詳解】（1），，，即；，，，即；，，，即；，，，即；，，，即；，，，即；，，，即；由上，從開始，每3個(gè)向量出現(xiàn)重復(fù)一個(gè)向量，而.（2）假設(shè)中，，有不止1個(gè)為0，若且，則，故，此時(shí)矛盾；若且，，所以為定值，而，，三數(shù)互不相等，當(dāng)，則，不妨令，則，顯然，即，所以