信號與系統(tǒng)（MATLAB版 微課視頻版 第2版） 課件 2-1 連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學描述

2.1連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學描述連續(xù)時間系統(tǒng)處理連續(xù)時間信號，在時域中通常用微分方程和方框圖來描述這類系統(tǒng)。在系統(tǒng)的微分方程中包含有激勵和響應(yīng)的時間函數(shù)以及它們對時間的各階導(dǎo)數(shù)的線性組合，它描述了系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵之間的數(shù)學運算關(guān)系，便于數(shù)學分析和計算，稱為系統(tǒng)的輸入輸出描述法模型。微分方程的階數(shù)就是系統(tǒng)的階數(shù)。系統(tǒng)也可以用其傳輸算子來描述。有時可以借助方框圖表示系統(tǒng)模型。各單元和子系統(tǒng)在系統(tǒng)中的作用和地位、系統(tǒng)輸入輸出之間的關(guān)系直觀明了、便于系統(tǒng)的功能分解和合成以及軟件設(shè)計模塊化。這種系統(tǒng)的描述方法稱為連續(xù)時間系統(tǒng)的時域模擬。系統(tǒng)的各種描述方法之間可以相互轉(zhuǎn)換。2.1.1連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學模型——微分方程系統(tǒng)微分方程建立的依據(jù)：元件的約束特性VAR和互聯(lián)的約束特性KCL與KVL。教材P51-P52例2-1式中Cn，Cn-1，…，C1，C0和Em，Em-1，…，E1，E0均為常數(shù)。對于線性時不變系統(tǒng)，其微分方程是常系數(shù)線性微分方程。一般情況，設(shè)激勵信號為，系統(tǒng)響應(yīng)為，描述n階復(fù)雜系統(tǒng)的微分方程的一般表達式：2.1.2連續(xù)時間系統(tǒng)的時域模擬——方框圖

在n階常系數(shù)線性微分方程中的基本運算單元有微分運算、數(shù)乘運算、加法運算，積分運算是微分運算的逆運算。但在實際應(yīng)用中因為積分器比微分器的抗干擾的性能好，所以往往選用積分單元。連續(xù)時間系統(tǒng)的方框圖，是用方框（或圓圈）等圖形符號表示一個具有某種數(shù)學運算功能的基本運算單元（也可以表示一個子系統(tǒng)），將各個基本運算單元（或子系統(tǒng)）按它們之間的運算關(guān)系和輸入輸出關(guān)系連接起來得到的模型。這種描述系統(tǒng)的方法稱為連續(xù)時間系統(tǒng)的時域模擬。分別示出這三種基本運算單元的方框圖及其運算功能，其中箭頭所指方向為信號的流向。(a)積分(b)相加(c)數(shù)乘1、已知系統(tǒng)的方框圖，寫出系統(tǒng)的微分方程（3）消去中間變量，整理成標準的輸入輸出方程。一般步驟（1）設(shè)方框圖最右端積分器的輸出為中間變量，則此積分器的輸入為的一階導(dǎo)數(shù)，簡寫為，其左邊的積分器的輸入為的二階導(dǎo)數(shù)，依此類推所有的積分器。若方框圖中無數(shù)乘前饋支路及輸出加法器，則無需另設(shè)中間變量。（2）寫出每個加法器的輸出信號方程。方框圖中積分器的個數(shù)n即為描述該系統(tǒng)的微分方程的階數(shù)。若方框圖中只有n條負反饋支路，無數(shù)乘前饋支路及輸出加法器，則描述該系統(tǒng)的微分方程只與輸出變量、輸出變量的各階導(dǎo)數(shù)以及輸入信號有關(guān)，與輸入信號的各階導(dǎo)數(shù)無關(guān)；若方框圖中不僅有n條負反饋支路，還有m條數(shù)乘前饋支路及輸出加法器，則描述該系統(tǒng)的微分方程不僅與輸出變量、輸出變量的各階導(dǎo)數(shù)以及輸入信號有關(guān)，還與輸入信號的各階導(dǎo)數(shù)有關(guān)。例

已知系統(tǒng)的方框圖如圖所示，寫出系統(tǒng)的微分方程。

移項整理得描述此系統(tǒng)的微分方程解：系統(tǒng)方框圖中有兩個積分器，所以描述此系統(tǒng)的方程是二階微分方程。方框圖最右端積分器的輸出為輸出變量，則此積分器的輸入為的一階導(dǎo)數(shù)，其左邊的積分器的輸入為的二階導(dǎo)數(shù)，寫出加法器的輸出信號方程例

已知系統(tǒng)的方框圖如圖所示，寫出系統(tǒng)的微分方程。解：設(shè)方框圖最右端積分器的輸出為中間變量，則此積分器的輸入為的一階導(dǎo)數(shù)，其左邊的積分器的輸入為的二階導(dǎo)數(shù)，寫出兩個加法器的輸出信號方程因為系統(tǒng)是二階的，所以輸入輸出方程應(yīng)包括、項，由上式得整理，消去中間變量及其各階導(dǎo)數(shù)項，得系統(tǒng)的輸入輸出方程

移項整理得描述此系統(tǒng)的微分方程將上述結(jié)論推廣應(yīng)用于n階連續(xù)系統(tǒng)。

設(shè)n階系統(tǒng)的方框圖如圖所示則系統(tǒng)的輸入輸出方程為式中m<n2、已知某連續(xù)時間系統(tǒng)的輸入輸出方程，畫出系統(tǒng)的方框圖例

已知某連續(xù)時間系統(tǒng)的輸入輸出方程解：將輸入輸出方程改寫為因為系統(tǒng)是二階系統(tǒng)，所以在系統(tǒng)的方框圖中應(yīng)使用兩個積分器。以輸出信號的最高階導(dǎo)數(shù)作為起始信號，經(jīng)過兩個積分器后分別得到和。畫出系統(tǒng)的方框圖。將信號和分別數(shù)乘和后與激勵一起作為加法器的輸入信號，其輸出就是起始信號。用基本運算單元連接即可畫出該系統(tǒng)的方框圖。

例

已知某連續(xù)時間系統(tǒng)的輸入輸出方程,畫出系統(tǒng)的方框圖。解：此系統(tǒng)的系統(tǒng)方程是一個一般的二階微分方程。方程中包含有激勵及其各階導(dǎo)數(shù)。對于這類系統(tǒng)，可以通過引用中間變量的方法畫出系統(tǒng)方框圖。設(shè)中間變量滿足方程將上式及其微分式代入已知方程得輸出信號滿足的方程注意：在中間變量方程中，中間變量及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)與輸入輸出方程中輸出信號及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)相同；在輸出信號方程中，中間變量及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)與輸入輸出方程中激勵信號及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)相同。因為系統(tǒng)是二階系統(tǒng)，所以在系統(tǒng)的方框圖中應(yīng)使用兩個積分器。以中間變量的最高階導(dǎo)數(shù)作為起始信號，經(jīng)過兩個積分器后分別得到和。將信號和分別數(shù)乘和后與激勵一起作為輸入端加法器的輸入信號，其輸出就是起始信號；再將信號和分別數(shù)乘和后一起作為輸出端加法器的輸入信號，其輸出就是輸出信號。將上述過程用基本運算單元連接即可畫出該系統(tǒng)的方框圖。有了系統(tǒng)