新高考數(shù)學(xué)各地市期末好題分類匯編專題15數(shù)列解答題(原卷版+解析)

試卷第頁，共SECTIONPAGES頁專題15數(shù)列解答題一、解答題1．（2022·河北唐山·高三期末）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且．(1)證明：為常數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．2．（2022·河北保定·高三期末）在數(shù)列中，，且數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.3．（2022·河北張家口·高三期末）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.4．（2022·河北深州市中學(xué)高三期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．5．（2022·山東萊西·高三期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，為等差數(shù)列；數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(2)若對(duì)于，總有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.6．（2022·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足：，，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．7．（2022·山東青島·高三期末）給定數(shù)列，若滿足，對(duì)于任意的，都有，則稱為“指數(shù)型數(shù)列”.(1)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，證明：為“指數(shù)型數(shù)列”；(2)若數(shù)列滿足：；（I）判斷是否為“指數(shù)型數(shù)列”，若是給出證明，若不是說明理由；(Ⅱ)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.8．（2022·山東臨沂·高三期末）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．9．（2022·山東淄博·高三期末）已知數(shù)列滿足．(1)設(shè)，求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的通項(xiàng)公式．10．（2022·山東棗莊·高三期末）已知等差數(shù)列中，，公差，其前四項(xiàng)中去掉某一項(xiàng)后（按原來的順序）恰好是等比數(shù)列的前三項(xiàng)．(1)求的值；(2)設(shè)中不包含的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成新數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，求．11．（2022·山東泰安·高三期末）在等比數(shù)列中，分別是下表第一，二，三列中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表中的同一行，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.第一列第二列第三列第一行116第二行27第三行5128(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：數(shù)列中的任意連續(xù)三項(xiàng)按適當(dāng)順序排列后，可以成等差數(shù)列.12．（2022·山東日照·高三期末）數(shù)列中，已知，數(shù)列{bn}滿足，點(diǎn)在直線上.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列中滿足：①；②存在使的項(xiàng)組成新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}所有項(xiàng)的和.13．（2022·山東青島·高三期末）已知數(shù)列滿足：.(1)求證：存在實(shí)數(shù)，使得；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.14．（2022·山東德州·高三期末）已知等差數(shù)列中，，首項(xiàng)，其前四項(xiàng)中刪去某一項(xiàng)后（按原來的順序）恰好是等比數(shù)列的前三項(xiàng).(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)中不包含的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成新數(shù)列，記的前n項(xiàng)和為，求.15．（2022·山東煙臺(tái)·高三期末）已知數(shù)列滿足，．(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．16．（2022·山東濟(jì)南·高三期末）已知數(shù)列滿足：，，.(1)記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.17．（2022·湖北武昌·高三期末）已知數(shù)列滿足，，且對(duì)任意，都有．(1)求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)求使得不等式成立的最大正整數(shù)m．18．（2022·湖北江岸·高三期末）已知數(shù)列中，，，且滿足.(1)設(shè)，證明：是等差數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（2022·湖北襄陽·高三期末）設(shè)是正項(xiàng)等比數(shù)列，是等差數(shù)列，已知，，，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，是否存在實(shí)數(shù)、，使得前項(xiàng)和為，如果存在，求實(shí)數(shù)、的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．20．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知數(shù)列滿足，；數(shù)列前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求前項(xiàng)和.21．（2022·湖北·高三期末）已知等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，，，．(1)求；(2)記數(shù)列中不超過正整數(shù)m的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為，求數(shù)列的前100項(xiàng)和．22．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知是公差為1的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．23．（2022·湖南婁底·高三期末）在等差數(shù)列中，已知，是一元二次方程的兩個(gè)根．(1)求，；(2)求的通項(xiàng)公式．24．（2022·湖南常德·高三期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足：，求數(shù)列前20項(xiàng)的和．25．（2022·湖南郴州·高三期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和．26．（2022·廣東揭陽·高三期末）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.27．（2022·廣東潮州·高三期末）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．在這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問中，并求解．(注意:如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分)28．（2022·廣東東莞·高三期末）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在任意相鄰兩項(xiàng)和之間插入個(gè)1，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，求數(shù)列的前200項(xiàng)的和.29．（2022·廣東羅湖·高三期末）已知數(shù)列滿足，，且（）．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記的前n項(xiàng)和為，若，均有，求實(shí)數(shù)的最小值．30．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，從下面①②③中選擇兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①，②，③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．31．（2022·廣東汕尾·高三期末）已知等比數(shù)列滿足是的等差中項(xiàng)．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.32．（2022·廣東佛山·高三期末）設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，、、成等差數(shù)列.(1)求證：、、成等差數(shù)列；(2)若，是數(shù)列的前項(xiàng)積，求的最大值及相應(yīng)的值.33．（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列，表示不超過的最大整數(shù)，求的前1000項(xiàng)和.34．（2022·江蘇海門·高三期末）已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a5＝17，a1，a2，a7成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)將數(shù)列{an}與{3n}的相同的項(xiàng)按由小到大的順序排列構(gòu)成的數(shù)列記為{bn}，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．35．（2022·江蘇通州·高三期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足＝2，2()＝6－.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的最大值為M，最小值為m，求M－m的值.36．（2022·江蘇宿遷·高三期末）已知數(shù)列滿足.(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.37．（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}，數(shù)列{an}的公差d≠0，a1＝2．若a3，a6，a12分別是數(shù)列{bn}的前3項(xiàng)．(1)求數(shù)列{bn}的公比q；(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn．38．（2022·江蘇海安·高三期末）已知數(shù)列{an}滿足，且．(1)請(qǐng)你在①，②中選擇一個(gè)證明：①若，則{bn}是等比數(shù)列；②若，則{bn}是等差數(shù)列．注：如果選擇多個(gè)分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Sn．39．（2022·江蘇如東·高三期末）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n頁和為Sn，且a1＝2，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.40．（2022·江蘇如皋·高三期末）已知數(shù)列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋(－1)nn.(1)求a2n；(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.41．（2022·江蘇蘇州·高三期末）若數(shù)列滿足（，是不等于的常數(shù)）對(duì)任意恒成立，則稱是周期為，周期公差為的“類周期等差數(shù)列”．已知在數(shù)列中，，．(1)求證：是周期為的“類周期等差數(shù)列”，并求的值；(2)若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．42．（2022·江蘇常州·高三期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．43．（2022·江蘇無錫·高三期末）已知數(shù)列中，，，其前項(xiàng)和滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.專題15數(shù)列解答題一、解答題1．（2022·河北唐山·高三期末）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且．(1)證明：為常數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）由已知得，即，利用與的關(guān)系化簡可得化簡即可得出結(jié)果.（2）由（1）可得，化簡可知，通過裂項(xiàng)求和可得出結(jié)果.(1)由已知得，即，時(shí)，由，，兩式相減得，則，又于是為常數(shù)列．(2)由（1）得．則，故．2．（2022·河北保定·高三期末）在數(shù)列中，，且數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列寫出通項(xiàng)公式即可；（2）由，利用裂項(xiàng)相消法求和即可.(1)因?yàn)閿?shù)列是公差為2的等差數(shù)列，所以，則.因?yàn)?，所以，解?故.(2)因?yàn)?，所?3．（2022·河北張家口·高三期末）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用求得.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得.(1)當(dāng)時(shí)，由，得，則.當(dāng)時(shí)，有，符合上式.綜上，.(2)由（1）得，，則.4．（2022·河北深州市中學(xué)高三期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析；【解析】【分析】（1）根據(jù)得到是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）首先求出，令，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可得證；【詳解】解：（1）因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以，即，即，又，所以是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，即．（2）由（1）知，，令，則，所以．5．（2022·山東萊西·高三期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，為等差數(shù)列；數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(2)若對(duì)于，總有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)得，繼而有，兩式相減得，由此得數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，求得，，再由此求得，運(yùn)用分組求和法和等比數(shù)列的求和公式可求得.（2）由（1）將不等式轉(zhuǎn)化為，再令，作，判斷出當(dāng)時(shí)，取得最大值，由此得，求解即可.(1)解：因?yàn)?，，為等差?shù)列，所以，所以，兩式相減得，即，所以數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，又，，所以，解得，所以，，所以，所以，所以；(2)解：由（1）得不等式為，整理得，令，則，所以當(dāng)，時(shí)，，即，當(dāng)，時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，即，解得.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.6．（2022·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足：，，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】(1)利用給定的遞推公式變形即可推理作答.(2)由(1)求出的表達(dá)式，再借助裂項(xiàng)相消法計(jì)算作答.(1)數(shù)列的前項(xiàng)和，由，有，而，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)知，，于是得，因此，，所以.7．（2022·山東青島·高三期末）給定數(shù)列，若滿足，對(duì)于任意的，都有，則稱為“指數(shù)型數(shù)列”.(1)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，證明：為“指數(shù)型數(shù)列”；(2)若數(shù)列滿足：；（I）判斷是否為“指數(shù)型數(shù)列”，若是給出證明，若不是說明理由；(Ⅱ)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2)（I）是，證明見解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（1）由新定義直接驗(yàn)證即可證明（2）（I）由題意可得，先求出的通項(xiàng)公式，再由新定義直接驗(yàn)證即可.(Ⅱ)由題意可得，由分組求和即可得出答案.(1)為“指數(shù)型數(shù)列”(2)（I）將兩邊同除得：，是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”（Ⅱ）因?yàn)?，則8．（2022·山東臨沂·高三期末）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)化簡條件可得數(shù)列為等差數(shù)列，再由求出首項(xiàng)即可得出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)等差、等比數(shù)列的求和公式利用分組求和即可求解.(1)，是以2為公差的等差數(shù)列，，即，解得，(2)，.9．（2022·山東淄博·高三期末）已知數(shù)列滿足．(1)設(shè)，求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的通項(xiàng)公式．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）分析可得，由前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由已知可得，利用累加法與錯(cuò)位相減法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.(1)解：由已知可得.當(dāng)時(shí)，則有，可得，當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差可得，所以，，滿足，故.(2)解：由（1）可得，設(shè)，則，上述兩個(gè)等式作差可得，所以，，由已知可得，，，，累加得，所以，，因此，，因?yàn)榉仙鲜?，所?10．（2022·山東棗莊·高三期末）已知等差數(shù)列中，，公差，其前四項(xiàng)中去掉某一項(xiàng)后（按原來的順序）恰好是等比數(shù)列的前三項(xiàng)．(1)求的值；(2)設(shè)中不包含的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成新數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）等差數(shù)列的前四項(xiàng)為2，，，，分別討論去掉第一項(xiàng)、去掉第二項(xiàng)、去掉第三項(xiàng)、去掉第四項(xiàng)，余下的三項(xiàng)成等比中項(xiàng)列可得答案；（2）由（1），，計(jì)算出，，，，得的前200項(xiàng)是由的前208項(xiàng)依次去掉的前8項(xiàng)得到的．再利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求和可得答案．(1)等差數(shù)列的前四項(xiàng)為2，，，，若去掉第一項(xiàng)，則有，解得，不符合題意，若去掉第二項(xiàng)，則有，即，由題意，這是不可能的，若去掉第三項(xiàng)，則有，解得（舍去），或，若去掉第四項(xiàng)，則有，解得，不符合題意，綜上，．(2)由（1），，等比數(shù)列的前三項(xiàng)為2，4，8，故的公比，所以，由，，，，知的前200項(xiàng)是由的前208項(xiàng)依次去掉的前8項(xiàng)得到的，于是．11．（2022·山東泰安·高三期末）在等比數(shù)列中，分別是下表第一，二，三列中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表中的同一行，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.第一列第二列第三列第一行116第二行27第三行5128(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：數(shù)列中的任意連續(xù)三項(xiàng)按適當(dāng)順序排列后，可以成等差數(shù)列.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】（1）分別討論、、時(shí)與的值構(gòu)成的等比數(shù)列可得答案；（2）求出、、根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì)可得答案.(1)當(dāng)時(shí)，不論取7還是12都不能與或構(gòu)成等比數(shù)列，不合題意當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)符合題意，當(dāng)時(shí)，不論取7還是都不能與或構(gòu)成等比數(shù)列，不合題意，∴，∴.(2)，∴，，∵，∴或成等差數(shù)列，∴數(shù)列中的任意連續(xù)三項(xiàng)按適當(dāng)順序排列后可以成等差數(shù)列.12．（2022·山東日照·高三期末）數(shù)列中，已知，數(shù)列{bn}滿足，點(diǎn)在直線上.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列中滿足：①；②存在使的項(xiàng)組成新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}所有項(xiàng)的和.【答案】(1)，(2)341【解析】【分析】(1)由與的關(guān)系式可得通項(xiàng)公式，再由點(diǎn)與直線的關(guān)系可得的通項(xiàng)公式；(2)找出滿足條件的共同項(xiàng)再求和即可.(1)，，，①，，，滿足①，所以是以1為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列，所以.因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，，是首項(xiàng)為1公差為3的等差數(shù)列，所以.(2)且滿足的中項(xiàng)一定是除3余1的數(shù)，即形如的數(shù)，同時(shí)滿足，所以，，，，數(shù)列{cn}所有項(xiàng)的和為：.13．（2022·山東青島·高三期末）已知數(shù)列滿足：.(1)求證：存在實(shí)數(shù)，使得；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）先假設(shè)存在，再通過變形論證存在即可；（2）通過（1）先得到，再變形為即可求解.(1)證明：由變形整理得：，所以，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，或都滿足題意.故存在實(shí)數(shù)，使得.(2)由（1）不妨取，則有，而，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，設(shè)其可變形為，解得，即有，而，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，經(jīng)檢驗(yàn)，也滿足上式，故.14．（2022·山東德州·高三期末）已知等差數(shù)列中，，首項(xiàng)，其前四項(xiàng)中刪去某一項(xiàng)后（按原來的順序）恰好是等比數(shù)列的前三項(xiàng).(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)中不包含的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成新數(shù)列，記的前n項(xiàng)和為，求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出，從而求出通項(xiàng)公式；（2）先求出的前25項(xiàng)和，再減去前25項(xiàng)中含有數(shù)列中的項(xiàng)的和，求出答案.(1)等差數(shù)列中，，，其前四項(xiàng)，，，中刪去某一項(xiàng)后（按原來的順序）恰好是等比數(shù)列的前三項(xiàng).根據(jù)題意，當(dāng)刪去數(shù)列中第三項(xiàng)時(shí)，滿足，解得；刪去時(shí)，滿足，此方程無解，不滿足題意，同理可證，刪除與時(shí)，均不滿足題意；故；所以，(2)已知等差數(shù)列中，，數(shù)列中的項(xiàng)為：4，8，16，32，64，128，256，…，所以.故數(shù)列的前25項(xiàng)和為，數(shù)列的前25項(xiàng)中含有數(shù)列中的項(xiàng)的和為，所以.15．（2022·山東煙臺(tái)·高三期末）已知數(shù)列滿足，．(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析；，；(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)給定的遞推公式依次計(jì)算并探求可得，求出即可得證，并求出通項(xiàng)公式.(2)由(1)求出，再按奇偶分組求和即可計(jì)算作答.(1)依題意，，而，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，.(2)由(1)知，，則有，又，則，于是有，因此，，所以.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列性質(zhì)的問題，認(rèn)真分析遞推公式并進(jìn)行變形，有的可借助累加、累乘求通項(xiàng)的方法分析、探討項(xiàng)間關(guān)系，有的可利用奇偶分析逐步計(jì)算探求項(xiàng)間關(guān)系而解決問題.16．（2022·山東濟(jì)南·高三期末）已知數(shù)列滿足：，，.(1)記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】(1)(2)353【解析】【分析】（1）令n取代入已知條件可以得到，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）先分奇偶求出數(shù)列的表達(dá)式，分別求奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，相加得到(1)因?yàn)?，令n取，則，即，，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以(2)令n取2n，則，所以，由（1）可知，；；所以17．（2022·湖北武昌·高三期末）已知數(shù)列滿足，，且對(duì)任意，都有．(1)求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)求使得不等式成立的最大正整數(shù)m．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】【分析】(1)由條件可得從而可證明，再根據(jù)累加法可求出的通項(xiàng)公式.(2)由錯(cuò)位相減法求出的表達(dá)式，然后再解不等式從而得出答案.(1)由，得，所以是等比數(shù)列.所以從而所以，．(2)設(shè)即，所以，，于是，．因?yàn)?，且，所以，使成立的最大正整?shù)．18．（2022·湖北江岸·高三期末）已知數(shù)列中，，，且滿足.(1)設(shè)，證明：是等差數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義可證得數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得出，再利用等比數(shù)列的求和公式可求得.(1)證明：，，所以，，即，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列.(2)解：由（1）可得：，所以，，整理可得，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，所以，，則，則所以，.19．（2022·湖北襄陽·高三期末）設(shè)是正項(xiàng)等比數(shù)列，是等差數(shù)列，已知，，，．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，是否存在實(shí)數(shù)、，使得前項(xiàng)和為，如果存在，求實(shí)數(shù)、的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，；(2)存在，，.【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即求；（2）由題可得，然后利用錯(cuò)位相減法可得，再結(jié)合條件即得.(1)設(shè)數(shù)列的公比為，數(shù)列的公差為，則由，得，即，解得或（舍），又，所以，∴，即，解得，所以；(2)∵，∴于是，，兩式相減可得：，∴，又因?yàn)樗源嬖?，，使得前?xiàng)和為.20．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知數(shù)列滿足，；數(shù)列前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求前項(xiàng)和.【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可；（2）利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解即可.(1)，，∴，又，，（為正整數(shù)）時(shí)，是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列,∴，，（為正整數(shù)）時(shí)，是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.∴，∴，∴，∵，∴時(shí)，，∴，又，∴時(shí)，，，∴；(2)由（1）得，設(shè)①則②①②得，，∴21．（2022·湖北·高三期末）已知等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，，，．(1)求；(2)記數(shù)列中不超過正整數(shù)m的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為，求數(shù)列的前100項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義和求和公式，列出方程組，解出和公比，則可求出其通項(xiàng)公式；（2）由（1）可求得，且當(dāng)時(shí)，，可依次求出的值，再求和即可.(1)由得，則，因?yàn)?，則，，又，，則，所以.(2)（2）由題設(shè)及（1）得，且當(dāng)時(shí)，，即，，所以．22．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知是公差為1的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等比中項(xiàng)定義，求得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而求得的通項(xiàng)公式．（2）數(shù)列可以看成等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，因而前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法求解．【詳解】（1）由題意得，，故，所以的通項(xiàng)公式為．（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，兩式相減得，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)的定義，錯(cuò)位相減法在求和公式中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．23．（2022·湖南婁底·高三期末）在等差數(shù)列中，已知，是一元二次方程的兩個(gè)根．(1)求，；(2)求的通項(xiàng)公式．【答案】(1)，或，(2)或【解析】【分析】（1）求出方程的根即可.（2）由（1）可解出等差數(shù)列的公差即可.(1)因?yàn)?，所以?4，所以，；或，．(2)設(shè)公差為d，若，，得，所以通項(xiàng)公式為；若，，則，所以通項(xiàng)公式為．故的通項(xiàng)公式：或.24．（2022·湖南常德·高三期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足：，求數(shù)列前20項(xiàng)的和．【答案】(1)，，(2)【解析】【分析】（1）在已知條件中分別取,可求得的值，當(dāng)時(shí)利用和與項(xiàng)的一般關(guān)系得到，從而判定數(shù)列為等差數(shù)列，然后得到通項(xiàng)公式；（2）利用分段求和法、等差數(shù)列求和公式和裂項(xiàng)求和法求得數(shù)列前20項(xiàng)的和．(1)解：由題可知，，解得.在中令,得,解得；∵①,∴②,由①－②得：，即,∴．∴數(shù)列是首項(xiàng)與公差都為2的等差數(shù)列,∴.(2)解：題可知，當(dāng)時(shí)，,∴.當(dāng)時(shí)，,∴,∴.25．（2022·湖南郴州·高三期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）由已知列式解方程組可得解.（2）裂項(xiàng)求和即可.(1)∵當(dāng)，，兩式相減可得由，代入可得，滿足，所以為等比數(shù)列，∴，不妨設(shè)等差數(shù)列公差為，由條件可得，即，解得，所以(2)由（1）可知∴.26．（2022·廣東揭陽·高三期末）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由條件可得，從而可解得，得到答案.（2）由（1）可得，則利用裂項(xiàng)相消法可得答案.(1)設(shè)數(shù)列的公比為，依題意可得解得或，又因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以.從而可求得，所以，.(2)，【點(diǎn)睛】27．（2022·廣東潮州·高三期末）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．在這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問中，并求解．(注意:如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分)【答案】(1)；(2)若選，；若選，.【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可；（2）若選，利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解即可；若選，利用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得：；(2)若選.因?yàn)椋?，因此，，兩個(gè)等式相減得：，，；若選，因?yàn)?，所以，因此有?28．（2022·廣東東莞·高三期末）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在任意相鄰兩項(xiàng)和之間插入個(gè)1，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，求數(shù)列的前200項(xiàng)的和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由求解；（2）方法一：由題意得到，的各項(xiàng)為，再確定數(shù)列的項(xiàng)求解；方法二：由在數(shù)列中，前面（包括）共有項(xiàng)，令，確定數(shù)列的項(xiàng)求解.(1)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題得，即，整理得，解得.所以.(2)方法一：由題意可知，的各項(xiàng)為即，因?yàn)?，且，所以，，，，，，?huì)出現(xiàn)在數(shù)列的前200項(xiàng)中，所以前面（包括）共有126+7=133項(xiàng)，所以后面（不包括）還有67個(gè)1，所以，方法二：在數(shù)列中，前面（包括）共有項(xiàng)，令，則，所以，，，，，，會(huì)出現(xiàn)在數(shù)列的前200項(xiàng)中，所以前面（包括）共有126+7=133項(xiàng)，所以后面（不包括）還有67個(gè)1，所以，29．（2022·廣東羅湖·高三期末）已知數(shù)列滿足，，且（）．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記的前n項(xiàng)和為，若，均有，求實(shí)數(shù)的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）對(duì)遞推公式進(jìn)行變形，利用等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明；（2）先利用（1）結(jié)論得到，再利用累加法和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出，再求出，再分離參數(shù)，利用放縮法進(jìn)行求解.(1)解：因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋允且詾槭醉?xiàng)，為公比的等比數(shù)列；(2)解：由（1），得，所以，，…，（），所以（），經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，，亦滿足，所以()，所以，因?yàn)槿我?，均有，所?)，又因?yàn)?)，所以，即實(shí)數(shù)的最小值為.30．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，從下面①②③中選擇兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①，②，③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】答案見解析【解析】【分析】（1）、若選①②作為條件證明③：由①推出的關(guān)系，由②進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而推出③；（2）、若選①③作為條件證明②：由①推出的關(guān)系，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式；由③求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而推出②；（3）、若選②③作為條件證明①：由③求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由②求出的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列的前n項(xiàng)和為,進(jìn)而推出①；【詳解】（1）、若選①②作為條件證明③：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，所以，所以．因?yàn)?，所以，即，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．所以，所以．（2）、若選①③作為條件證明②：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，所以，所以，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．所以，所以．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因?yàn)楫?dāng)時(shí)也滿足上式，所以，故．（3）、若選②③作為條件證明①：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)滿足上式，所以.因?yàn)椋?，所以，故?1．（2022·廣東汕尾·高三期末）已知等比數(shù)列滿足是的等差中項(xiàng)．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)，將全部代換為與有關(guān)的形式，結(jié)合等差中項(xiàng)性質(zhì)化簡即可求解；（2）結(jié)合（1）可得，由錯(cuò)位相減法可求.(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，又，∴，，；(2)，①，②，①-②得：，.32．（2022·廣東佛山·高三期末）設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，、、成等差數(shù)列.(1)求證：、、成等差數(shù)列；(2)若，是數(shù)列的前項(xiàng)積，求的最大值及相應(yīng)的值.【答案】(1)證明見解析；(2)當(dāng)或時(shí)，取得最大值.【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，分析得出，利用已知條件可求得的值，再計(jì)算得出，即可證得結(jié)論成立；（2）分析可知是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，求得，解不等式，求得的取值范圍，可求得的最大值及其對(duì)應(yīng)的值.(1)解：設(shè)等比數(shù)列的公比為.當(dāng)時(shí)，則，則，故，由已知可得，得，整理得，即，因?yàn)椋傻?，故，，所以，，因此，、、成等差?shù)列.(2)解：，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，，顯然，令，解得，故當(dāng)或時(shí)，取最大值，且.33．（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列，表示不超過的最大整數(shù)，求的前1000項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用可求出；（2）根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用分組求和法求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，將代入上式驗(yàn)證顯然適合，所以.（2）因?yàn)?，，，，所以，所?【點(diǎn)睛】本題考查和的關(guān)系，考查分組求和法，屬于基礎(chǔ)題.34．（2022·江蘇海門·高三期末）已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a5＝17，a1，a2，a7成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)將數(shù)列{an}與{3n}的相同的項(xiàng)按由小到大的順序排列構(gòu)成的數(shù)列記為{bn}，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．【答案】(1)an＝4n－3(2)【解析】【分析】（1）由及成等差數(shù)列建立等式求解即可；（2）根據(jù)條件求出數(shù)列，再求和即可.(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，d≠0，由條件得解之得所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝4n－3．(2)設(shè)4n－3＝3m，則n＝＝＝，當(dāng)m＝2k，k∈N*時(shí)，(－1)m＋3＝4，所以N*，當(dāng)m＝2k－1，k∈N*時(shí)，(－1)m＋3＝2，所以N*，所以，所以．35．（2022·江蘇通州·高三期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足＝2，2()＝6－.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的最大值為M，最小值為m，求M－m的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式之間的關(guān)系即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得數(shù)列的前n項(xiàng)和的解析式，求其最值后即可解決.(1)數(shù)列中，＝2，2()＝6－當(dāng)時(shí)，2()＝6－則2()-2()＝6－－（6－），整理得當(dāng)時(shí)，由2()＝6－，可得，滿足綜上，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，(2)由（1）可知，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，則綜上得，數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值為2，最小值為故M－m36．（2022·江蘇宿遷·高三期末）已知數(shù)列滿足.(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）對(duì)已知的式子變形得，則，從而可得數(shù)列是以4為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可求出的通項(xiàng)公式；（2）由（1）求出，從而可求出，進(jìn)而可求出(1)由可知，，即，由可知，，所以是以12為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以的通項(xiàng)公式為.(2)由（1）知，，所以所以，所以的前20項(xiàng)和.37．（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}，數(shù)列{an}的公差d≠0，a1＝2．若a3，a6，a12分別是數(shù)列{bn}的前3項(xiàng)．(1)求數(shù)列{bn}的公比q；(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn．【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)建立方程解得公差d，再利用等比數(shù)列的定義可求得答案；（2）由（1）得，運(yùn)用數(shù)列錯(cuò)位相減法求和即可.(1)解：由題意得a62＝a3a12，即，解得d＝2或d＝0，因?yàn)閐≠0，所以d＝2，所以．(2)解：由（1）可得，