八年級下冊數學教案總集

第/章二次根式

目錄

1.2二次根式的性質（1）..........................................2

1.2二次根式的性質（2）.........................................4

1.3二次根式的運算（1）.........................................7

1.3二次根式的運算（2）........................................10

1.3二次根式的運算（3）..........................................13

-1-

初中激堂，，不被千

1.2二次根式的性質(1)

【教學目標】

i.經歷二次根式的性質:卜=Q(a“)，4a"=\a|

=fa(a>0)的發(fā)現(xiàn)過程，體驗歸納，猜想的思想方法

V

—a(aY0)

2.了解二次根式的上述兩個性質.

3.會運用上述兩個性質進行有關的計算.

【教學重點、難點】

A重點：本節(jié)的重點是二次根式性質：=a(a>0),

4^=a\=W-0)

[-a(aY0)

a難點：4a"=卜|①-0)

一a(aY0)

【教學過程】

一、引入新課

1)提問：2的平方根是什么？什么數的平方是2?(±V2)

得到：（J5）：=2（-V2）2=2

2

2)提問：(V7)、？=?(-721)=?

選三個中下游的學生回答，教師鼓勵學生大膽發(fā)言。

二、新課講授

1、由上面的提問得到什么樣的結論？(JZ)=a

2、那么對于上面的性質，a能小于。嗎？(不能，a必須大于等于0)

3、提問：VF=?|2|=?7（-5）2-?|-5|=?

Vo7=?|o|=?

請幾個中游的學生回答。（2,2；5,5；0,0）

4、議一議：二與|。|有什么關系?當a>0時,病=?當a<0時,

-2-

初中W考，\年很千

4a"=?

經學生討論后，指定一名學生（程度中下）回答，再指定一名學生（程度較好）點評。

教師總結：4a"=\a\=~°）

\-a{aY0）

5、提問：J（—7）2=?jz^=?-3）2=?

三、講解例題

例1、計算

（1）7PW-G15）2

（2）[\/2-^/（-2）2]*72+272

按教師提問，學生回答，教師板書解題過程交替進行的方式教學，問題設計：

D應用哪一個性質？具體怎么算？

2）計算順序應該怎樣？

第一題選擇中下游學生回答，第二題選擇中上游學生回答。

教師總結：計算時應看清符合哪一個性質？a是大于。還是小于0?

22

練習：1）（-A/5）-7MF+VC-2004）

2=?:

2）（2A./3）-7（6）+7（V2-1）

例2計算?|一|）+￡一|

對于此題，學生可能會先算括號里的，講解時可以把兩種方法作比較，以體現(xiàn)二次根式的性

質。=_」+2的優(yōu)點。在這里應強調判斷中a的符號。

由學生獨立完成解題過程，指定一名中等水平的學生板演。老師點評板演結果。

完成課本“課內練習”

四、小結

師生共同完成：通過今天的學習，你有什么收獲或困惑？

五、布置作業(yè)

課本作、也本

-3-

初中激堂，，不被千

1.2二次根式的性質(2)

【教學目標】

i.探索二次根式的性質的由來，體驗歸納、類推的思想方法.

2.會用二次根式的性質進行簡單的計算和化簡.

【教學重點、難點】

A重點：二次根式的積和商的性質.

A難點：例3中(4)及探究活動涉及的較復雜的化簡過程與技巧.

【教學過程】

一、引入新課

動手做一做：填空(可用計算器計算)：

(1)74x974x79=_;

(2)74x574x75=_;

叵一9_.

(3)

V16--1而一

3巫.

(4)\2~~,正-一.

比較每一組左右兩邊的等式，結果相等嗎？多試幾組類似的計算，想一想能否推廣

到一般形式？如果能，請用字母表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

二、新課講解

1、一般地，二次根式的積與商的性質：

積的性質：4ab=4a-4b(a>0,b>0);

layfa

商的性質:(a>0,b>0)

2、性質深化：

練習：判斷下列等式是否成立？若不成立，請說明理由并改正:

(1)J(-4)x(-9)=J-4xJ-9；

(2)(a為任意實數)

解：(1)不成立。因為被開方數不能為負，JN、Q無意義。

改正：J(-4)x(-9)=而=6.

(2)不成立。因為a作為分母不能為零，所以a不能為任意實數，即a的取

值范圍是不等于零的任何實數。

-4-

初中激老，，不被千

3、講解例題:

化簡：(1)7121x225；(2)；(3)J|；(4)2

例3

(5)

解：（1）7121x225=V121><7225=11x15=165；

“2>7=">近=4療；

(2)

'=好=立

(3)9一為一1-；

2

(4)

^3^2_V6

(5)

2^2-V

注：①一般地，二次根式化簡的結果中分母中不含根號，而且根號內的數就是一

個自然數，且自然數的因數中，不含有除1以外的自然數的平方數。

②被開方數為帶分數時，還要先化為假分數再利用性質化簡

練習：

1、化簡：⑴,25x4；(2)V0.01x0.49；(3)V32X52.

1|；⑶15

2、化簡：⑴》⑵

例4先化筒，再求出下面算式的近似值（精確到0.01）

⑴(—18)x(—24)；⑵1—；(3)Jo.001x0.5

49

解：(1)J(-18)x(-24)=72x9x3x8=A/24X33=逝乂后=12班=20.78；

50_V50_5V2

---------------r^=-------I.UI;

⑵心49廊7

⑶

4

=VlO^xW'xS=V10-X5=J(1ON)*石=I。-?*亞=0.0175?

0.02

總結:

化筒的結果要求：①根號內不再含有可以開方的因式；②根號內不再含有分母

-5—

初中W考，\年很千

練習：先化簡，再求出下面算式的近似值：

(1)5^|(結果保留4個有效數字);

(2),(精確到0.01).

V53

三、探究活動：

化簡下列兩組式子：

①哈=一，星—

你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請用字母表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，并與同伴交流。

請再任意先兒個數驗正你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

四、小結：

師生共同完成：通過今天的學習，你有那些收獲或困惑？

五、布置作業(yè)

見作業(yè)本

-6—

1.3二次根式的運算（1）

【教學目標】

i.了解二次根式的運算法則是由二次根式的性質得到的.

2.會進行簡單的二次根式的乘除運算.

【教學重點、難點】

A重點：本節(jié)教學的重點是二次根式的運算法則.

A難點：例1第（3）題和例2的計算過程中涉及多種運算和運算法則,

是本節(jié)教學的難點。

【教學過程】

設計學生

教師活動教學內容

意圖活動

1、二進一自由

=a,(6f>0)

次根步梳口答

yl~a^=laI

式有理和默寫

哪些y[ab=y[a-4b,(.a>0,/?>0)鞏固

性4a-4h=>0,h>0)已生

質。成的

知

識。

2、怎化簡下列二次根式：體驗自愿

樣化性質上來

屈>3A，>^/48

簡二與公板演，

次根式的其他

回

式。準確自己

顧

運做。

用。

3、怎體驗自愿

Vo^xVTo,

樣計分別上來

板演

7003化筒

的復其他

是否~7F

有簡雜。自己

便方觀察做

法？是否

有簡

便方

法。

教師書寫二次根式的運算1（乘除運算）

課題

設計學生

教師活動教學內容

意圖活動

-7-

4、引

導、

啟發(fā)

把二

次根

式的體驗

乘除4a又加=4ab{a>0,b>0）;二次

性質*E（aN0,b>0）根式

公式的乘

觀察

左右除運

與思

交換Vo^9xVio=7o.9xlO=79=3算法

考

則的

下。等=愣=舸=0.1發(fā)現(xiàn)

概括過

新

二次程。

課

根式

講

的乘

解

除運

算法

則。

例1計算

⑴虛X石⑵舊，府（3）^^

⑴，⑵

9

V3V10V1.3X10規(guī)范題兩

5、出

（2）中被開方數是帶分數要先化成假分，運算結果沙弓位學

示例

知道生板

1-夜不能寫成J0或1.5企。

22運算演。領

解：⑶程序悟與

練習

的一|5.2xl07R21

原式寸TE而寸謨=歷=二

會正學生

6、學

遷先做，

課生完

移，后挑

堂成解

課本12頁課內練習第1、2題領悟選部

練題后

方法分屏

習出示

與步幕展

答案

驟示

-8-

初中W考，\年很千

對具

7、乘體的自由

除運計算回答

（1）運用法則，化歸為根號內的實數運算；

算的題會問題，

（2）完成根號內相乘、相除（約分）等運算；

一般先設觀察

（3）化簡二次根式

步計計與總

驟。算程結

序

8、屏（1）作AO_LBC，則

幕顯

BD=CD」BC==X2O=6

示例22

計算

2,幫（2）由勾股定理算出AD

正三

助學22討論，

ADAC-CD=J（2痣>一（痣尸=J8-2=后角形

生審自由

的面

題?；卮?/p>

枳得

（3）路標的面積問題。

先算

S=-xBCxAD=-x2V2xV6=V12=2V3（平方單位）高。

22

說明計算結果能化簡的，則應化簡。沒有精確度要求，結果用

化筒的二次根式表示。

課9、學課本12頁，課內練習3。形成自由

內牛.完整體到黑

練成解題板上

習后，思解題。

出示路。其他

答案自己

做。

課10、①二次根式的乘除運算法則。幫助自由

堂問：Vaxy[b=>[ab{ci>0,b>0）;學生回答。

小這一梳理

當書心0力>0）

結節(jié)課知識

學習理解

了什②被開方數是帶分數要先化成假分。數學

么③規(guī)范書寫。如3&不能寫成或1.5"的應

22用價

④二次根式的簡單應用——三角形面積算法。值

布置作業(yè)完成課本作業(yè)第13頁（做在A本上）和作業(yè)本（1）

-9-

初中激堂，，不被千

1.3二次根式的運算（2）

【教學目標】

I.會進行簡單的二次根式的四則混合運算.

2.通過整式運算的某些法則在二次根式四則運算中的應用，體驗遷移、化歸等數學思想.

【教學重點、難點】

A重點：本節(jié)教學的重點是二次根式的四則混合運算.

A難點：例3的計算思路的形成比較困難是本節(jié)的難點.

【教學過程】

一、課題引入

計算2a--a--a

33

并回答問題：

1.你是應用什么知識解決上面的計算？（學生回答后，教師板書解題過程

-12〃12、

2a——a—a=（2--------）a=a

3333

廠2A/2--V2--V2=（2----）V2=V2

2.上題中的a若用"2替代，即：3333你

認為運算是否正確？（答案是肯定的）

k教師歸納』我們發(fā)現(xiàn)整式中的合并同類項法則在二次根式的運算中也適用.

猜想：那么整式中的其它運算法則或運算律或運算次序是否也適用于二次根式的運算呢？

（教師作肯定回答后）導出課題：二次根式的四則運算.

二、進行新課

1.復習回憶：整式中的有關法則、運算律、運算次序.（通過復習對例3的計算思路的

形成有所幫助，一定程度上降低了例3的教學難度）

2.舉例分析：

例1.先化簡，再求出近似值（精確到0.01）

啟發(fā)提問：⑴這是一題二次根式的什么運算？能否適用合并同類項的方法進行合

并?（學生會做出否定回答）

⑵上面的二次根式是否還可以化簡？請同學們試一下.然后再回答提問

（1）（最后教師板書解題過程）

歸納：⑴二次根式加減之前,應先化簡二次根式;再把所含二次根式完全相同的

合并成一項.

⑵在二次根式加減（或其它運算）時，把根號前的乘數看作它的系數.

如中2遍的2就看作、同的系數

牛刀小試：先化簡，再求出近似值（精確到0.01）

-10―

祗一—一1匹

例2.計算：

⑴V27-3A/6X2V2

(J1-3也)?屈

(2)V8

(3)(V48-V27)-V3

啟發(fā)提問：⑴第⑴題有哪些運算?次序怎樣？系數-3和2如何處理?(可以仿照整式中的單

項式相乘法則，處理系數)

⑵第⑵、⑶題可否用運算律？

⑶第⑴、⑵題能否先做括號內的？(教師板書解題過程)

學以致用：計算：

-724-273x72

⑴2

V3(l—Vt5)—3./—

⑵V5.

例3.計算：

⑴(2V2-3V3)(3V3+2V2)_

⑵(2-收)(3+2及).

提問：⑴這兩題的計算與整式中的什么運算相近？

⑵第⑴題又有什么特征？(教師板書解題過程)

鞏固練習：計算：

(1)(1+V2)(2-V2)

⑵(3V5-5V2)2

三、課堂小結

1.整式中的各運算法則、運算律各運算次序在二次根式運算中

也能適用.

2.二次根的加減運算時，應先化簡二次根式;然后合并二次根式完全相同的.

3.含有二次根式的代數相乘，可以把它看作多項式相乘，運用多項式乘法法則和乘法

公式.

4.適當運用運算律簡便計算.

四、加深印象

1.計算下列各題：

-11-

初中激堂，，不被千

1

(3V27-6^)-(8<125-6拈)

⑴

9745

⑵

西-1)2-(2揚2

⑶

2.PM課內練習第4題（選用）

五、布置作業(yè)

見作業(yè)本1??3?2節(jié)；回家作業(yè)課本中作業(yè)題1、2、3、6.

-12―

初中激堂，，不被千

1.3二次根式的運算（3）

【教學目標】

i.會應用二次根式解決簡單的實際問題，掌握坡比的意義.

2.進一步體驗二次根式及其運算的實際意義和應用價值.

【教學重點、難點】

A重點：本節(jié)教學的重點是二次根式及其運算的實際應用.

A難點：課本上的例7涉及多方面的知識和綜合運用，思路比較復雜,是本節(jié)教學的難點.

【教學過程】

二次根式的知識在實際生活中有廣泛的用途.

如圖，我們規(guī)定斜坡的鉛直高h與水平長度I的比叫做坡比（或坡度），即:

坡比i=y

已知斜坡的坡比為3:4,且其高CE=2dm,寬AB=1dm

一只螞蟻從A點爬到C點，最短路程多少？

說明:設計本題有以下目的：

⑴介紹預備知識“坡比”；

⑵激發(fā)學生的興趣；

⑶會用二次根式表示未知量.在Rt^BCE中,BC的長宜直接表示為:BCRBE-CEZ;

⑷建議用投影機播放此題目和圖片，教師引導學生分析，解答過程宜板書而棄

PowerPoint.以下例題同.

K初步體驗1（課本17頁課內練習1）

二、應用舉例

K例（課本15頁例6）如圖，扶梯AB的坡比為1:0.8,滑梯CD的坡比為

3-I

1:1.6,AE=1,Bc￥cD,一男孩從扶梯走到滑梯K（.r

的頂部，然后從滑梯滑下，他經過了多少路程（結

果要求先化簡，再取近似值，精確到0.01米）？

,I

I-----------------------------------------------------1'3,L〃n

[㈠從已知看！已知什么？J

3

扶梯AB的坡比為1:018,且AE=j

______能得什絲______

可求得BE和AB

㈢已知滑梯CD的坡比

為1:1.6有何用？

-13―

初中激老，，不被千

缺CD,BC=5CD.怎樣求CD?

I飛什么？

求AB+BC+CD

|㈡從族看!求不2?|

說明:以上的分析過程顯示了求解問題的格式化的程序，學生必須養(yǎng)成這樣的思維習

慣.

R練習一1（課本18頁A組3）

K例22（課本16頁例7）如圖㈠是一張等腰直角三角形彩色紙,AC=BC=40cm.將斜邊

上的高CD四等分，然后截出3張寬度相等的長方形紙條.

⑴分別求出3張長方形紙條的長度；

⑵若用這些紙條為一幅正方形美術作品鑲邊（紙條不重疊），如圖㈡,正方形美術作品的面

積最大不能超過多少err??

分析：

⑴①如圖一，從已知能得什么？

在RtAABC中,CDLAC=BC=40,易求得AB和CD長（讓學生求），則CE3=E3F3

=F3G3=G3D=-CD,紙條的寬度可求.

②怎樣求紙條的長度？

紙條的總長度=EIE2+FF2+GIG2，如怎樣求EIE2（讓學生想一想）？E1E2=2CE3.,FF2

和G￡2呢?同理,FF2=2CF3,G1G2=2CG3.

⑵如圖㈡，由⑴得紙條的總長度為6球,它被四等分,每條長AC=15也，它們所圍成的正

方形的邊長AB多少？AB=AC—BC=lM.

K練習二】（課本18頁B組4）

三、總結

四、布置作業(yè)

-14-

初中激老，，不被千

第2章一無二法方程

R錄

2.1一元二次方程（1）..........................................16

2.1一元二次方程（2）..........................................18

2.2一元二次方程的解法（1）....................................20

2.2一元二次方程和解法（2）....................................22

2.2一元二次方程的解法（3）....................................24

2.3一元二次方程的應用（2）....................................28

一15-

2.1一元二次方程(1)

K教學目標】

?1、經歷一元二次方程概念的發(fā)生過程。

?2、理解一元二次方程的概念.

?3、了解一元二次方程的一般形式，會辨別一元二次方程的二次項系數，-次項系數

及常數項。

K教學重點與難點》

?教學重點：一元二次方程的概念，包括一般形式.

?教學難點：例1第4題計算容易產生差錯，是本節(jié)教學的難點。

K教學過程1

一、合作學習

1、列出下列問題中關于未知數x的方程

①正方形的面積為80,邊長為X,則可列出方程。

②某村的糧食年產量，在兩年內從60萬千克增長到72萬千克，問平均每年增長的百分

率是多少？設年平均增長率為x,則可列出方程。

二、引入新課

觀察方程X2=80和60(1+%)2=72

兩邊都是整式，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2次，我們把這樣的方程

叫做一元二次方程，能使一元二次方程兩邊相等的未知數的值叫一元二次方程的解(或

根)

練一練：1、判斷下列方程是否為一元二次方程：①2(3x+2)=-x2

3

②4+X+3=0③x2-2y-5=0④2x2=3x⑤5x2=0

X

2、判斷未知數的值x=—1、x=。、x=2是否是方程Y—2=x的根。

一般地，任何一個關于x的一元二次方程都可以化為ax?+云+。=0(〃。0)的形式,

我們把形如a/+Ax+c=0(a、b、c為常數，aW0)稱為?元二次方程的?般

形式，其中a/、以、。分別稱為二次項、-次項和常數項?！ǚ謩e稱為二次項

系數和一次項系數。

思考：為什么awO,b、c可以為零嗎？

三、范例講解：

例1：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數，一次項系數

和常數項。

@3x2=5x+2②(2x-l)(3x+2)=》2+2

③(x+3)(x-4)=—6?(X+1)2-2(X-1)2=6X-5

-16-

初中數學，'耳很下

解：①移項，整理，得3/_5x-2=0

這個二次項系數為3,一次項系數為—5,常數項為—2。

2

②移項，整理，得5%+x-4=0

這個二次項系數為5,一次項系數為1,常數項為-4。

③移項，整理，得x2-x-6=0

這個二次項系數為1,一次項系數為一1,常數項為-6。

④移項，整理，得一X2+4=0

這個二次項系數為-1,一次項系數為0,常數項為4。

我們在寫一元二次方程的一般形式時，通常按未知數的系數從高到低排列，先寫

二次項，再寫一次項，最后是常數項。

四、練習鞏固：

1、方程①7X2-8X=1②2/-5xy+6y=0③51----1=0

9x

④?=3y中是一元二次方程的為（填序號）。

2、關于x的一元二次方程/+。％+。=0的一個解是3,則。=

3、判斷下列各方程后面的兩個數是不是它的解。

①X2-6x-7=0(-1,7)()

②3x2+5x-2=0今告（）

(§)2/-3x+l=0(3,1)()

④x2-4x+l=0(-2+73,-2-73)()

五、小結：

1、記住一元二次方程的一般形式，并會判斷方程是否為一元二次方程；

2、化成?元二次方程的一般形式后，能說出二次項系數，一次項系數和常數項;

3、能判斷x的值是不是方程的解。

作業(yè)：見作業(yè)本

-17-

初中激堂，，不被千

2.1一元二次方程(2)

【教學目標】

?i.掌握因式分解法解一元二次方程的基本步驟.

?2.會用因式分解法解一元二次方程.

【教學重點與難點】

?教學重點：用因式分解法解一元二次方程.

?教學難點：例3方程中含有無理系數，需將常數項2看成(行)'，才能分解因式，是本

節(jié)教學的難點.

【教學過程】

一.復習引入

1、將下列各式分解因式：

(l)/-3y(2)4X2-9(3)(3%-4)2-(4x-3)2(4)x2-2V2x+2

教師指出：把一個多項式化成幾個整式的積的形式叫做因式分解.

2、你能利用因式分解解下列方程嗎？

(l)/-3y=0(2)4x2=9

請中等程度的學生上來板演，其余學生寫在練習本上，教師巡視.

之后教師指出：像上面這種利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。(板書課

題)

二.新課學習

1、歸納因式分解法解一元二次方程的步驟：

教師首先指出：當方程的一邊為0,另一邊容易分解成兩個一次因式的積時，用因式分

解法求解方程比較方便.然后歸納步驟：(板書)

①若方程的右邊不是零，則先移項，使方程的右邊為零；

②將方程的左邊分解因式；

③根據若M-N=0,則M=0或N=0,將解一元二次方程轉化為解兩個一元一次方程。

2、講解例2.

(1)解下列一元二次方程：

(l)(x-5)(3x-2)=10(2)x-2=x(x-2)(3)(3x-4)2=(4x-3)2

教師在講解中不僅要突出整體的思想：把x-2及3x-4和4x-3看成整體，還要突出化歸的思

想：通過因式分解把一元二次方程轉化為一元一次方程來求解.并且教師要認真板演，示范

表述格式，強調兩個一元一次方程之間的連結詞要用“或”，而不能用且。

(2)想一想：將第(1),(2),(3)題的解分別代人原方程的左、右兩邊，等式成立嗎？

(3)歸納用因式分解法解的一元二次方程的基本類型：

①先變形成一般形式，再因式分解：

②移項后直接因式分解.

在選擇方法時通?？上瓤紤]移項后能否直接分解因式，然后再考慮化簡后能否分解因式。

2、講解例3.

解方程=2夜》一2

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在本例中出現(xiàn)無理系數，要注意引導學生將將常數項2看成另外對于方程中出現(xiàn)兩

個相等的根，教