數(shù)字信號處理（第2版）課件 錢玲 第4、5章-快速傅里葉變換（FFT）、-IIR數(shù)字濾波器設(shè)計

1第4章快速傅里葉變換（FFT）4.5FFT算法的應(yīng)用4.3按頻率抽?。―IF）的基2-FFT算法4.2按時間抽取（DIT）的基2–FFT算法4.1DFT的運算量分析4.4線性調(diào)頻z變換（Chirp-z）算法4.6FFT的MATLAB實現(xiàn)24.1DFT的運算量分析一個長度為N的有限長序列x[n]的DFT為由于x[n]可為復(fù)數(shù)，則直接計算DFT量需要復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)加法一個X[k]N次N-1次N個X[k]N2次N(N-1)

次34.1DFT的運算量分析若用實數(shù)運算來完成DFT，則有

每個復(fù)數(shù)乘法需要4次實數(shù)乘法和2次實數(shù)加法，并且每個復(fù)數(shù)加法需要2次實數(shù)加法。因此實數(shù)乘法實數(shù)加法一個X[k]4N次4N-2次N個X[k]4N2次N(4N-2)

次44.1DFT的運算量分析N

復(fù)乘

復(fù)加1625624032102499264409640321281638416256

102410485761047552

如果每次復(fù)數(shù)乘法需要100us，每次復(fù)數(shù)加法需要20us，來計算N=1024點DFT，則需要54.1DFT的運算量分析利用了系數(shù)WNkn的對稱性和周期性來改善DFT計算效率對稱性2.周期性合并n和（N-n）項

：64.1DFT的運算量分析且

其他項可做類似的合并，這樣，乘法的次數(shù)大概可以減少1/2。但仍面臨著正比于N2的大量計算。

離散傅里葉變換的高效運算方法都稱為快速傅里葉變換，即FFT。FFT算法的基本思想是將一個長度為N的序列，依次分解為若干較短序列，充分利用DFT計算中的系數(shù)WNkn的周期性和對稱性，將這些短序列對應(yīng)的DFT進行適當(dāng)?shù)慕M合，達到減少運算量的目的。74.2按時間抽取（DIT）的基2–FFT算法4.2.1

算法原理

設(shè)x[n]點數(shù)為

，其中

為整數(shù)，即N為2的整數(shù)冪，若不滿足，可以補零來達到，這種FFT也稱基2–FFT。84.2按時間抽?。―IT）的基2–FFT算法由于94.2按時間抽?。―IT）的基2–FFT算法式中利用系數(shù)的周期性同理104.2按時間抽?。―IT）的基2–FFT算法由此(4.2-8)再考慮系數(shù),則,上式可以寫作(4.2-9)114.2按時間抽取（DIT）的基2–FFT算法圖4.2-1時間抽取蝶形運算結(jié)構(gòu)

可見，每一個蝶形運算需要一次復(fù)數(shù)乘法

及兩次復(fù)數(shù)加法運算。12例圖4.2-2按時間抽取，將一個N點DFT分解為兩個N/2點DFT計算的信號流圖134.2按時間抽取（DIT）的基2–FFT算法同理144.2按時間抽?。―IT）的基2–FFT算法將系數(shù)統(tǒng)一為,則可得圖4.2-4

將一個N點DFT分解為四個N/4點DFT計算的信號流圖154.2按時間抽取（DIT）的基2–FFT算法2點序列的DFT164.2按時間抽?。―IT）的基2–FFT算法圖4.2-6按時間抽取，輸入倒位序、輸出自然順序的8點FFT流圖174.2按時間抽取（DIT）的基2–FFT算法4.2.2

DIT—FFT算法特點1.蝶形結(jié)構(gòu)運算次分解，就構(gòu)成

級運算過程。圖中，m表示第m級蝶形運算，

。2.運算量每一個蝶形需要一次復(fù)數(shù)乘法和兩次復(fù)數(shù)加法。184.2按時間抽?。―IT）的基2–FFT算法N點的DIT-FFT計算量為復(fù)數(shù)乘法：復(fù)數(shù)加法：例：

如果每次復(fù)數(shù)乘法需要100us，每次復(fù)數(shù)加法需要20us，來計算N=1024點DFT，則需要直接運算則需要125.809s。194.2按時間抽?。―IT）的基2–FFT算法--------輸入信號上節(jié)點;--------輸入信號下節(jié)點;--------輸出信號上節(jié)點;--------輸出信號下節(jié)點;j=i+dm

dm--------第m級的蝶距;sm--------第m級的蝶形組數(shù);--------蝶形結(jié)構(gòu)的W因子。20m12…v-1v12……

N/2N/4…214.2按時間抽?。―IT）的基2–FFT算法214.2按時間抽?。―IT）的基2–FFT算法例：若N=64，問第4級的中有幾組蝶形運算流圖？每組有多少

基本蝶形？并確定該級的權(quán)系數(shù)的種類。(1)(2)(每組8個基本蝶形)(3)或解：224.2按時間抽取（DIT）的基2–FFT算法3.原位運算

按時間抽取FFT算法流圖中，可以看出每一級的蝶形運算的輸入數(shù)據(jù)與以后的運算無關(guān)，因而不需要保留。在蝶形運算中，每一個輸出數(shù)據(jù)Xm[l]可以直接存放在原來存儲輸入數(shù)據(jù)Xm-1[l]的單元中，即每一級蝶形運算輸入和輸出都存儲在同一地址的存儲單元中，這就稱為原位（或同址）運算。原位運算只需要N個復(fù)數(shù)的存儲單元，節(jié)省了大量的存儲單元。234.2按時間抽?。―IT）的基2–FFT算法4.序數(shù)重排FFT的輸出是按先后自然順序排列的，而輸入數(shù)據(jù)不是按照自然順序，而是按倒位序排列的。

倒位序，首先將序號n用二進制碼表示（如n2n1n0），然后將該二進制倒位，形成倒位序二進制數(shù)（n0n1n2），最后再將倒位序二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)。例：N=8，采用三位二進制碼表示，n=6=(110)

2倒位序的二進制為

：(011)

2=6244.2按時間抽?。―IT）的基2–FFT算法十進制數(shù)二進制數(shù)倒位序二進制數(shù)倒位序順序0000000010011004201001023011110641000011510110156110011371111117表4.1自然順序和二進制倒位序254.2按時間抽?。―IT）的基2–FFT算法5.系數(shù)WNr的確定

對

點的DIT-FFT運算來講，第

級運算，用N/2點的DFT合成N點DFT，系數(shù)因子用

；第

級運算，用N/4合成N/2點DFT，系數(shù)因子用

；第

級運算，用N/8合成N/4點DFT，系數(shù)因子用

；依此類推，可得所有m級運算的系數(shù)因子。-1-1-1-1-1-1-1-1X[0]X[1]X[2]X[3]X[4]X[5]X[6]X[7]X[8]X[9]X[10]X[11]X[12]X[13]X[14]X[15]-1-1-1-1-1-1-1-1WN3WN0WN1WN2WN4WN5WN6WN7-1-1-1-1-1-1-1-1WN0WN2WN4WN6WN0WN2WN4WN6-1-1-1-1-1-1-1-1WN0WN4WN0WN4WN0WN4WN0WN4x[0]x[8]x[4]x[12]x[2]x[10]x[6]x[14]x[1]x[9]x[5]x[13]x[3]x[11]x[7]x[15]WN0WN0WN0WN0WN0WN0WN0WN026274.2按時間抽?。―IT）的基2–FFT算法4.2.3按時間抽取FFT算法的其他形式流圖圖4.2-8按時間抽取，輸入自然順序、輸出倒位序的8點FFT流圖284.3按頻率抽?。―IF）的基2–FFT算法4.3.1

算法原理28

仍設(shè)x[n]點數(shù)為

，

為整數(shù)，N為2的整數(shù)冪，首先將時間序列x[n]按n的順序分為前后兩部分，得。因分別計算偶序號頻率樣本X[2r]和奇序號頻率樣本X[2r+1]294.3按頻率抽?。―IF）的基2–FFT算法由于304.3按頻率抽?。―IF）的基2–FFT算法類似由于則314.3按頻率抽取（DIF）的基2–FFT算法令有圖4.3-1頻率抽取蝶形運算結(jié)構(gòu)324.3按頻率抽?。―IF）的基2–FFT算法圖4.3-2按頻率抽取，將一個N點DFT分解為兩個N/2點DFT計算的信號流圖334.3按頻率抽?。―IF）的基2–FFT算法圖4.3-3

將一個N點DFT分解為四個N/4點DFT計算的信號流圖344.3按頻率抽?。―IF）的基2–FFT算法圖4.3-4按頻率抽取，輸入自然順序、輸出倒位序的8點FFT流圖354.3按頻率抽?。―IF）的基2–FFT算法4.3.2

DIF—FFT算法特點1.蝶形結(jié)構(gòu)運算2.運算量每一個蝶形需要一次復(fù)數(shù)乘法和兩次復(fù)數(shù)加法。次分解，就構(gòu)成

級運算過程。364.3按頻率抽?。―IF）的基2–FFT算法N點的DIF-FFT計算量為復(fù)數(shù)乘法：復(fù)數(shù)加法：3.原位運算

按頻率抽取FFT算法流圖仍是原位運算，每一級蝶形的輸入和輸出在運算前后可以存儲在同一地址的存儲單元中。4.序數(shù)重排

按頻率抽取FFT算法的輸入是自然順序，而輸出是按位反轉(zhuǎn)的倒位序?？梢姡搭l率抽取的FFT算法和按時間抽取的FFT算法是兩種等價的FFT運算。374.3按頻率抽?。―IF）的基2–FFT算法5.系數(shù)WNr的確定

對

點的DIF-FFT運算來講，第1級運算，將N點DFT分解為兩個N/2點的DFT，系數(shù)因子

；第2級運算，將N/2點DFT分解為兩個N/4點的DFT進行計算，系數(shù)因子

；第3級運算，將N/4點DFT分解為兩個N/8點的DFT，系數(shù)因子

；依此類推，可得所有m級運算的系數(shù)因子。38m12…v-1v12……N/2N/4…214.3按頻率抽取（DIF）的基2–FFT算法394.3按頻率抽?。―IF）的基2–FFT算法4.3.3按頻率抽取FFT算法的其他形式流圖圖4.3-6按頻率抽取，輸入倒位序、輸出自然順序的8點FFT流圖404.4線性調(diào)頻z變換（Chirp-z）算法4.4.1算法原理設(shè)N點序列x[n]，其z變換為對z變換在單位圓上采樣，即DFT沿著z平面上的一條螺線作等分角取樣，各取樣點zk

為這里M為任意整數(shù)，A為起始點位置，表示為

。414.3線性調(diào)頻z變換（Chirp-z）算法參數(shù)螺線內(nèi)縮螺線外伸一段圓弧表示螺旋線上相鄰兩抽樣點之間的等分角?！蛄衳[n]的線性調(diào)頻z變換424.3線性調(diào)頻z變換（Chirp-z）算法4.4.2線性調(diào)頻z變換的快速算法利用布魯斯坦等式令則434.3線性調(diào)頻z變換（Chirp-z）算法交換變量k和n，相當(dāng)于序列g(shù)[n]與h[n]卷積，然后再乘以,得，角頻率

隨時間n線性增長，稱為Chirp信號444.5FFT算法的應(yīng)用4.5.1

用FFT計算IDFT直接利用FFT的算法再次取共軛，有454.5FFT算法的應(yīng)用IFFT實現(xiàn)步驟是：1.對X[k]取共軛，即虛部乘以-1，得到

；2.利用FFT程序計算；3.再對運算結(jié)果取一次共軛變換，并乘以常數(shù)

，

即可得到x[n]。464.5FFT算法的應(yīng)用4.5.2

實序列的DFT計算（1）用一次N點FFT計算兩個長度為N的實序列的N點DFT

序列x[n]和y[n]是長度為N的實序列，要求一次N點FFT求兩個實序列的DFTX[k]和Y[k]。1.構(gòu)成復(fù)序列2.對g[n]進行一次N點FFT運算3.利用DFT的圓周共軛對稱性474.5FFT算法的應(yīng)用（2）用一次N點FFT計算一個長度為2N的實序列的2N點DFT

令v[n]是長度為2N的實序列，將其偶數(shù)序號和奇數(shù)序號的樣本值分別組成兩個N點的實序列，即

根據(jù)上例，由x[r]和y[r]構(gòu)成復(fù)序列g(shù)[n]，再對g[n]進行一次N點FFT運算，由圓周共軛對稱性求出x[r]和y[r]的N點DFTX[k]和Y[k]。則v[n]的2N點DFTV[k]為：484.5FFT算法的應(yīng)用即類似于按時間抽取的FFT算法494.5FFT算法的應(yīng)用4.5.3

用FFT實現(xiàn)線性卷積（1）線性卷積的FFT實現(xiàn)流程圖

若某FIR數(shù)字濾波器的單位樣值響應(yīng)為h[n]，，輸入信號為x

[n]，，系統(tǒng)的輸出

當(dāng)圓周卷積和的點數(shù)N滿足圖4.5-1兩個有限長序列線性卷積的FFT實現(xiàn)框圖504.5FFT算法的應(yīng)用（2）有限長序列和無限長序列的線性卷積當(dāng)輸入信號x

[n]是無限長的，或者比單位樣值響應(yīng)h[n]長得多，可采用分段卷積的方法，將x

[n]分割成與h[n]長度相當(dāng)?shù)亩?，再對信號進行分段卷積處理，有兩種分段卷積的處理方法：重疊相加法和重疊保留法。重疊相加法設(shè)h[n]長度為N2，將x[n]分解成長度為N1的段，兩者數(shù)量級相當(dāng)xi[n]表示x[n]的第i段514.5FFT算法的應(yīng)用圖4.5-2輸入信號及其分段524.5FFT算法的應(yīng)用x[n]和h[n]的線性卷積為其中53圖4.5-3重疊相加法示意圖544.5FFT算法的應(yīng)用重疊相加法用FFT實現(xiàn)的步驟，1.h[n]補零，至N點，即：2.將x[n]分段，第i段xi[n]補零，至N點，3.分別求出xi[n]和h[n]的N點DFT，由FFT算法實現(xiàn)

5.N點IDFT，由IFFT算法實現(xiàn)，6.重疊部分相加：4.554.5FFT算法的應(yīng)用重疊保留法仍將x[n]分為長N1的段xi[n]，不同點在于，不在末端補零，而是在每一段序列前端補上前一段序列的(N2-1)點，組成(N1

+N2-1)點的序列。第一段的數(shù)據(jù)前應(yīng)該補上(N2-1)個零值點。

一個(N1+N2-1

)點的序列與一個N2點的序列做(N=

N1+N2-1)點的圓周卷積時，其結(jié)果中的前(N2-1)個點是混疊部分，而其余點與線性卷積相同。由此重疊保留法即將輸入段xi[n]和h[n]的圓周卷積舍掉前(N2-1)個點，將各相鄰段留下來的樣本銜接起來，就構(gòu)成了最終的輸出。56圖4.5-5重疊保留法示意圖574.6FFT的MATLAB實現(xiàn)Matlab為計算離散快速傅里葉變換，提供了一系列豐富的數(shù)學(xué)函數(shù)，主要有fft，ifft，fft2，ifft2，fftn，ifftn和fftshift，ifftshift等。例4.6-1已知：

和。試用Matalb實現(xiàn)由DFT計算兩個序列的循環(huán)卷積，并討論什么情況下，可以得到線性卷積結(jié)果。解：線性卷積584.6FFT的MATLAB實現(xiàn)x1=[2,1,0,-3,4,2,6];x2=[3,2,-1,0,4,2];L=[10,12,16];forr=1:3N=L(r);X1=fft(x1,N);X2=fft(x2,N);s=ifft(X1.*X2);k=0:N-1;subplot(1,3,r);stem(k,real(s));xlabel('k');ylabel('幅度');title('卷積結(jié)果');axis([0,N,-1,35])end594.6FFT的MATLAB實現(xiàn)例4.6-3對

進行采樣，采樣頻率為

，截取長度分別選N=60和N=64，繪制采樣后的離散序列和離散序列的幅度譜，分析不同長度N所得到的幅度頻譜。解：采樣后序列為：604.6FFT的MATLAB實現(xiàn)close;N1=59;n1=0:N1;xa1=cos(0.125*pi*n1);subplot(2,2,1);plot(n1,xa1);hold;plot(n1,xa1,'o');axis([0N1-11]);xlabel('t/T');ylabel('x[n]');xk1=fft(xa1);xk1=abs(xk1);subplot(2,2,2);stem(n1,xk1);axis([0N1028]);xlabel('k');ylabel('X[k]');N2=63;n2=0:N2;xa2=cos(0.125*pi*n2);subplot(2,2,3);plot(n2,xa2);hold;plot(n2,xa2,'o');axis([0N2-11]);xlabel('t/T');ylabel('x[n]');xk2=fft(xa2);xk2=abs(xk2);subplot(2,2,4);stem(n2,xk2);axis([0N2033]);xlabel('k');ylabel('X[k]');61

本章小結(jié)1.直接計算DFT的計算量

2.DIT-FFT原理、蝶形流圖、算法特點3.DIF-FFT原理、蝶形流圖、算法特點4.FFT算法的應(yīng)用第5章IIR數(shù)字濾波器設(shè)計625.1數(shù)字濾波器設(shè)計的基本概念5.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計方法5.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計5.4數(shù)字濾波器的頻率變換5.5用Matlab函數(shù)設(shè)計IIR數(shù)字濾波器5.1數(shù)字濾波器設(shè)計的基本概念635.1.1數(shù)字濾波器及其設(shè)計方法概述5.1.2理想數(shù)字濾波器5.1.3全通系統(tǒng)與最小相位系統(tǒng)5.1.1數(shù)字濾波器及其設(shè)計方法概述64數(shù)字濾波：

對輸入信號進行數(shù)值運算，讓輸入信號中的有用頻率成分以較高的保真度通過，濾除（阻止）某些無用的頻率成分，實現(xiàn)對輸入信號的選頻處理。優(yōu)點：

處理精度高，穩(wěn)定性好，體積小，實現(xiàn)方法靈活，不存在阻抗匹配問題，可以實現(xiàn)模擬濾波器無法實現(xiàn)的特殊濾波功能。5.1.1數(shù)字濾波器及其設(shè)計方法概述65

濾波器分類

經(jīng)典濾波器（一般濾波器）（本書介紹）

線性系統(tǒng)構(gòu)成的濾波器，信號和干擾的頻帶互不重疊時采用。分類（功能）：高通、低通、帶通、帶阻；分類（結(jié)構(gòu)）：遞歸系統(tǒng)、非遞歸系統(tǒng)；分類（實現(xiàn)方法）：無限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器IIR（本章介紹）有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器FIR（下章介紹）

現(xiàn)代濾波器

隨機信號統(tǒng)計理論為基礎(chǔ)構(gòu)成的濾波器，信號和干擾的頻帶相互重疊時采用（例如：維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器等）5.1.1數(shù)字濾波器及其設(shè)計方法概述66間接設(shè)計法：是借助模擬濾波器設(shè)計方法進行設(shè)計的。（1）先根據(jù)數(shù)字濾波器性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換成原型模擬濾波器性能指標(biāo)；（2）再用模擬濾波器設(shè)計方法設(shè)計原型模擬濾波器；（3）最后將原型模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。直接設(shè)計法：在時域或頻域直接設(shè)計數(shù)字濾波器。（1）這種設(shè)計方法一般是先確定最優(yōu)準(zhǔn)則；（2）找出使最優(yōu)準(zhǔn)則下誤差最小的濾波器系統(tǒng)函數(shù)。5.1.1數(shù)字濾波器及其設(shè)計方法概述67按照任務(wù)的要求，確定濾波器的性能指標(biāo)；1.設(shè)計數(shù)字濾波器一般分三步：(2)用一個因果穩(wěn)定的離散線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，去逼近濾波器性能指標(biāo)的要求。這個系統(tǒng)函數(shù)可以是IIRDF的系統(tǒng)函數(shù)或FIRDF的系統(tǒng)函數(shù)；(3)數(shù)字濾波器實現(xiàn)，主要工作包含：選擇運算結(jié)構(gòu)，確定運算和系數(shù)存儲的字長，選用通用計算機及相應(yīng)的軟件或?qū)Ｓ脭?shù)字濾波器硬件實現(xiàn)這一系統(tǒng)。5.1.1數(shù)字濾波器及其設(shè)計方法概述682.數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)以可實現(xiàn)的低通濾波器為例，用頻率響應(yīng)的幅頻特性允許誤差來表征。通帶：指信號中通過濾波器后基本保持無衰減的頻率范圍；阻帶：指信號中被濾波器濾除的頻率范圍。過渡帶：幅頻特性平滑地從通帶下降到阻帶的頻率范圍。5.1.1數(shù)字濾波器及其設(shè)計方法概述69:通帶的邊界頻率(passbandedgefrequency):通帶峰值波紋(peakpassbandripple):阻帶的邊界頻率(stopbandedgefrequency):阻帶峰值波紋(peakstopbandripple):通帶的的衰減(passbandattenuation):阻帶的的衰減(stopbandattenuation)5.1.1數(shù)字濾波器及其設(shè)計方法概述703.性能指標(biāo)關(guān)系（5.1-2）（5.1-1）通帶：阻帶：用分貝表示的濾波器的增益(gain)響應(yīng)定義當(dāng)數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)

實數(shù)序列時，濾波器的幅頻特性

是

偶函數(shù)，所以一般只用描述0～

區(qū)間的幅頻特性，就確定了濾波器頻響特性的幅度要求。5.1.2理想數(shù)字濾波器71理想濾波器對數(shù)字信號進行濾波可以達到最理想的效果，但是它不可能實時實現(xiàn)，只能近似實現(xiàn)。設(shè)計時把理想濾波器作為逼近標(biāo)準(zhǔn)。1.理想數(shù)字濾波器的種類數(shù)字濾波器按頻響特性劃分成低通、高通、帶通、帶阻、全通等類型。理想頻響特性是不可能實現(xiàn)的，原因是頻率之間幅頻特性是突變的，因而其單位脈沖響應(yīng)是非因果的。5.1.2理想數(shù)字濾波器72數(shù)字濾波器頻響特性是周期性，周期為2

，頻率變量以數(shù)字頻率

來表示,數(shù)字濾波器設(shè)計時必須給出采樣頻率。

為模擬角頻率，T為采樣脈沖周期，fT為采樣頻率

按照奈奎斯特采樣定理，頻響特性只能限于范圍。在通帶內(nèi)，幅度為常數(shù)（非零），相位具有線性；在阻帶內(nèi)，幅度與相位均為零。5.1.2理想數(shù)字濾波器732.理想數(shù)字低通濾波器頻響特性表達式如下：式中，n0是一個正數(shù)，

c稱為通帶截止頻率。信號通過該濾波器后，其輸出的頻譜應(yīng)為如果輸入信號的頻譜限制的范圍內(nèi),輸出信號為:該式表示輸出信號相對于輸入信號沒有發(fā)生失真5.1.2理想數(shù)字濾波器74該濾波器的單位脈沖響應(yīng)為：顯然當(dāng)n<0

時，，它的單位脈沖響應(yīng)是一個無限長的非因果序列，因此理想低通濾波器物理不可實現(xiàn)。5.1.2全通系統(tǒng)與最小相位系統(tǒng)75全通系統(tǒng)(All-passfilter)是指系統(tǒng)頻響特性的幅度在整個頻帶[0，2

]上均為1或某一常數(shù)的系統(tǒng)。設(shè)全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：

對于所有頻率滿足：信號通過全通系統(tǒng)后，其輸出的幅頻特性保持不變，僅相位發(fā)生變化，因此全通系統(tǒng)也稱為純相位系統(tǒng)。1.數(shù)字全通濾波器的定義2.數(shù)字全通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)（1）一階全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：5.1.2全通系統(tǒng)與最小相位系統(tǒng)76這一系統(tǒng)所應(yīng)的零點，極點位置如圖5.1-4(a)所示（取）（2）一個實系數(shù)有理二階全通系統(tǒng)函數(shù)如式（5.1-9），系統(tǒng)對應(yīng)的零點，極點位置如圖5.1-4(b)所示（?。?。（3）N階數(shù)字全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)5.1.2全通系統(tǒng)與最小相位系統(tǒng)77為具有實系數(shù)多項式，其根全在單位圓內(nèi)

D(z)的根（Hap(z)的極點）應(yīng)是單位圓內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)

D(z-1)的根（Hap(z)的零點）應(yīng)是單位圓外的共軛復(fù)數(shù)，是D(z)的根的“鏡像”5.1.2全通系統(tǒng)與最小相位系統(tǒng)783.數(shù)字最小相位系統(tǒng)定義：一個因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)零點與極點均在單位圓內(nèi)，該系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)Hmin(z)。特征：在幅頻特性相同的所有因果、穩(wěn)定系統(tǒng)中，對角頻率

的任意化范圍，最小相位系統(tǒng)的相頻特性變化最小?！白钚∠辔弧睂嶋H是一個不準(zhǔn)確的名稱，其實際是“最小相位變化系統(tǒng)”。4.數(shù)字全通濾波器系統(tǒng)的特性（1）任意一個因果穩(wěn)定系統(tǒng)的（非最小相位系統(tǒng)）系統(tǒng)函數(shù)H(z)

都可以表示成全通系統(tǒng)Hap(z)和最小相位系統(tǒng)Hmin(z)的級聯(lián)，即

（2）如果設(shè)計出的濾波器是非穩(wěn)定的，則可以用級聯(lián)全通系統(tǒng)的辦法將它變成一個穩(wěn)定的濾波器，這樣可以將單位圓外的極點加以抵消，同時又不改變?yōu)V波器的幅頻特性。5.1.2全通系統(tǒng)與最小相位系統(tǒng)79（3）IIR濾波器的相頻特性是非線性，而視頻信號的傳輸中希望系統(tǒng)具有線性相位，此時可以采用全通濾波器作為相位均衡器，來校正系統(tǒng)的非線性相位得到線性相位，同時不改變系統(tǒng)的幅頻特性。例5.1-1

非最小相位系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)畫出系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布圖，將其分解成全通系統(tǒng)與最小相位系統(tǒng)的級聯(lián)5.1.2全通系統(tǒng)與最小相位系統(tǒng)80例5.1-2

一個非穩(wěn)定濾波器的系統(tǒng)函數(shù)級聯(lián)一個全通系統(tǒng)，使級聯(lián)后的濾波器變成穩(wěn)定系統(tǒng)。5.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計方法815.2.1系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性5.2.2典型模擬低通濾波器的設(shè)計方法5.2.3頻率變換825.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計方法從時域上看，一個物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)應(yīng)滿足：（即物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)一定是因果系統(tǒng)）從頻域上看，一個物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的頻響特性應(yīng)滿足：---------佩利-維納準(zhǔn)則（Paley-Winnercriterion）

一個物理可實現(xiàn)的實際濾波器的特性只能是理想特性的最佳逼近。5.2.1系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性835.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計方法5.2.2典型模擬低通濾波器的設(shè)計方法通帶

過渡帶

阻帶0通帶公差帶阻帶公差帶通帶邊界頻率阻帶邊界頻率低通濾波器的實際特性：845.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計方法1.巴特沃茲（Butterworth）濾波器（最大平坦幅度特性）---------截止頻率n---------階數(shù)模擬濾波器的設(shè)計步驟：(1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)（濾波器的幅頻特性），確定系統(tǒng)函數(shù)H(s)；(2)設(shè)計實際網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)H(s)。855.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計方法

巴特沃茲濾波器的極點分布特征：865.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計方法令即當(dāng)n為奇數(shù)時：當(dāng)n為偶數(shù)時：設(shè)n=2,則875.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計方法可以證明：選左半s平面的兩個極點作為H(s)的極點，則一般形式：---------巴特沃茲多項式885.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計方法如圖所示，設(shè)計一低通巴特沃思濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。要求在通帶邊界頻率=200

rad/s處，幅度衰減δp≤2dB，在阻帶邊界頻率=400

rad/s處，幅度衰減δs≥15dB。解：由于通帶邊界頻率處幅度衰減不為3dB，因此要根據(jù)通帶和阻帶的衰減要求，聯(lián)立方程。例5.2-1895.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計方法上述兩式取等號可求出由于濾波器的階數(shù)n必須是整數(shù)，為了滿足和超過所給的技術(shù)指標(biāo)，n應(yīng)取3。

905.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計方法

c=687rad/s通過查表5.2-1并將s用代替，最后可得巴特沃思濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)后，通?？梢圆捎脽o源網(wǎng)絡(luò)或有源網(wǎng)絡(luò)來實現(xiàn)。915.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計方法2.切比雪夫(Chebyshew)濾波器切比雪夫濾波器的幅頻特性就具有這種等波紋特性。它有兩種形式：①幅頻特性在通帶內(nèi)是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)的全極點濾波器，稱為切比雪夫I型濾波器；②幅頻特性在通帶內(nèi)是單調(diào)的，在阻帶內(nèi)是等波紋的，并且既有零點又有極點的濾波器，稱為切比雪夫II型濾波器。圖5.2-5切比雪夫I型濾波器的幅頻特性925.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計方法（1）I類切比雪夫濾波器的幅頻特性其中，

是與通帶波紋有關(guān)的參數(shù)，

p是通帶的邊界頻率，Tn(x)一個n階切比雪夫多項式，

當(dāng)n為奇數(shù)或n為偶數(shù)時，濾波器的幅頻特性有所不同。對于n為奇數(shù),Tn(0)=0,由此可得

H

(0)=1；對于n為偶數(shù),Tn(0)=1,由此可得

H

(0)=1(1+

2)；幅頻特性在0

p之間是等波紋的，在

p時單調(diào)下降。當(dāng)=s時，濾波器幅度等于1/A，稱

s為濾波器阻帶邊界頻率濾波器的系統(tǒng)函數(shù)935.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計方法（2）II類切比雪夫濾波器的幅頻特性II型低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)不再是全極點函數(shù)，它既有極點也有零點。濾波器的系統(tǒng)函數(shù)945.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計方法3.橢圓（elliptical）濾波器橢圓濾波器又稱考爾濾波器（Cauerfilter)，是在通帶和阻帶等波紋的一種濾波器。在階數(shù)相同的條件下有著最小的通帶和阻帶波動。橢圓濾波器是既有極點又有零點的濾波器，濾波器的階數(shù)越大，則通帶與阻帶的起伏次數(shù)越多，階數(shù)等于濾波器幅頻特性在通帶中（或阻帶中）極大值個數(shù)與極小值個數(shù)之和。濾波器的幅頻特性其中：

Rn(x)是雅可比(Jacobi)橢圓函數(shù)

通帶邊界頻率400Hz，通帶波紋為0.022，阻帶邊界頻率500Hz，阻帶的最大波紋為0.1955.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計方法4.貝塞爾（Bessel）濾波器貝賽爾濾波器是具有最大平坦的群延時（線性相位響應(yīng)）的線性濾波器,具有幾乎橫跨整個通頻帶的恒定群延時。模擬濾波器的相頻特性為

(

)

，其群延時濾波器的系統(tǒng)函數(shù)典型貝賽爾低通濾波器的頻響特性曲線965.2模擬濾波器的基本概念與設(shè)計方法模擬濾波器的比較巴特沃思濾波器幅頻特性單調(diào)下降。切比雪夫Ⅰ濾波器通帶內(nèi)等波紋幅頻特性，過渡帶、阻帶單調(diào)下降。切比雪夫Ⅱ濾波器阻帶內(nèi)等波紋幅頻特性，通帶、過渡帶單調(diào)下降。橢圓濾波器通帶、阻帶內(nèi)均等波紋幅頻特性，過渡帶單調(diào)下降。貝塞爾濾波器在通帶內(nèi)逼近線性相位特性?！镌谙嗤A數(shù)，相同通帶衰減、阻帶衰減要求下，巴特沃思濾波器的過渡帶最寬；橢圓濾波器過渡帶最窄；兩種類型的切比雪夫濾波器的過渡帶寬度相等，介于巴特沃思濾波器和橢圓濾波器?！镌谙嗤笜?biāo)要求下，橢圓濾波器所需的階次N最低，切比雪夫次之，巴特沃思最高，參數(shù)的靈敏度則恰恰相反。5.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計975.3.1脈沖響應(yīng)不換法5.3.2雙線性變換法985.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計目標(biāo)：滿足給定頻率響應(yīng)指標(biāo)、因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)間接法設(shè)計過程確定數(shù)字濾波器的指標(biāo)轉(zhuǎn)換成原型模擬濾波器的指標(biāo)設(shè)計原型模擬濾波器將原型模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換995.3IIR數(shù)字濾波器設(shè)計原型模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的要求保證因果穩(wěn)定性，Ha(s)的因果穩(wěn)定性映射成H(z)

后保持不變，即s平面的左半平面Re{s}＜0應(yīng)映射到z平面的單位圓以內(nèi)|z|＜1;設(shè)計模擬Ha(s)

轉(zhuǎn)換成數(shù)字H(z)H(z)的頻響要能模仿Ha(s)的頻響，即s平面的虛軸應(yīng)映射到Z平面的單位圓ej

上。1005.3.1脈沖響應(yīng)不變法1．變換原理脈沖響應(yīng)不變法(impulseinvariancemethod)是從濾波器的脈沖響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h[n]模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng),使正好等于ha(t)的采樣值。

其中T為采樣周期設(shè)：根據(jù)采樣定理（5.3-2）令，代入上式得：（5.3-3）1015.3.1脈沖響應(yīng)不變法圖5.3-1s平面到z平面的映射關(guān)系上式表明，采用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器時，它所完成的s平面到z平面的變換，正是信號與系統(tǒng)課程討論的拉普拉斯變換到z變換的標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系，即首先對Ha(s)作周期延拓，然后再經(jīng)過z=esT

的映射關(guān)系映射到z平面上。（5.3-3）脈沖響應(yīng)不變法：從s平面到z平面不是一一映射關(guān)系1025.3.1脈沖響應(yīng)不變法2.混疊失真數(shù)字濾波器的頻響特性和模擬濾波器的頻響特性之間的關(guān)系（5.3-4）上式說明，數(shù)字濾波器的頻響特性是模擬濾波器的頻響特性的周期延拓。（5.3-5）滿足式（5.3-5）條件，使數(shù)字濾波器的頻響特性在折迭頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻響特性而不產(chǎn)生混疊失真。（5.3-6）任何一個實際的模擬濾波器，其頻響特性都不可能是真正帶限的，因此不可避免地存在頻譜的交疊，即頻譜混疊，數(shù)字濾波器的頻響特性將不同于原模擬濾波器的頻響特性而具有一定的失真。1035.3.1脈沖響應(yīng)不變法圖5.3-2實際模擬低通濾波器數(shù)字化的幅頻特性由于存在頻率混疊效應(yīng)，所以脈沖響應(yīng)不變法只適合帶限的模擬濾波器，例如低通和帶通濾波器。高通和帶通濾波器不宜采用脈沖響應(yīng)不變法，否則要加保護濾波器，濾掉高于折迭頻率以上的分量。1045.3.1脈沖響應(yīng)不變法3.H(z)的計算

脈沖響應(yīng)不變法特別適用于用部分分式表達系統(tǒng)函數(shù)，模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)若只有單階極點，且分母的階數(shù)高于分子階數(shù)N>M，則可表達為部分分式形式；其拉氏反變換為：單位階躍信號對ha(t)采樣得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列1055.3.1脈沖響應(yīng)不變法再對h[n]取z變換，得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)：第二個求和為等比級數(shù)之和，要收斂的話，必有

所以有s平面上的極點s=si

變換到z平面上是極點,而Ha(s)與H(z)中部分分式所對應(yīng)的系數(shù)不變，但要注意，這種Ha(s)到H(z)的對應(yīng)變換關(guān)系，只有將Ha(s)表達為部分分式形式才成立。1065.3.1脈沖響應(yīng)不變法比較上面兩式：s平面上的極點s=si，變換到z平面上是極點z=esiT，而Ha(s)與H(z)中部分分式所對應(yīng)的系數(shù)不變。如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，則所有極點s=si都在s左半平面，即Re[si]<0，那么變換后的極點z=esiT也都在單位圓以內(nèi)，因此數(shù)字濾波器保持穩(wěn)定。雖然脈沖響應(yīng)不變法能保證s平面與z平面的極點位置有一一對應(yīng)的代數(shù)關(guān)系，但這并不是說整個s平面與z平面就存在這種一一對應(yīng)的關(guān)系，特別是數(shù)字濾波器的零點位置與s平面上的零點就沒有一一對應(yīng)關(guān)系。值得注意的是，這種Ha(s)到H(z)的對應(yīng)變換關(guān)系，只有將Ha(s)表達為部分分式形式才成立。1075.3.1脈沖響應(yīng)不變法例5.3-1：將一個具有如下系統(tǒng)函數(shù)的模擬濾波器數(shù)字化。解：直接利用的部分分式形式,得模擬濾波器的頻響特性為:數(shù)字濾波器的頻響特性為:1085.3.1脈沖響應(yīng)不變法顯然與采樣間隔有關(guān)，T越小,衰減越大,混疊越小。本例中，當(dāng)時,混疊可忽略不計。1095.3.1脈沖響應(yīng)不變法小結(jié):(1)脈沖響應(yīng)不變法的一個重要特點是頻率坐標(biāo)的變換是線性的，ω＝ΩΤ，ω與Ω是線性關(guān)系。(2)在某些場合，要求數(shù)字濾波器在時域上能模仿模擬濾波器的功能時，如要實現(xiàn)時域沖激響應(yīng)的模仿，一般使用脈沖響應(yīng)不變法。(3)如果Ha(s)是穩(wěn)定的，即其極點在s左半平面，映射后得到的H(z)也是穩(wěn)定的。(4)脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點：有頻譜周期延拓效應(yīng)，因此只能用于帶限的頻響特性，如衰減特性很好的低通或帶通，而高頻衰減越大，頻響的混淆效應(yīng)越小，至于高通和帶阻濾波器,由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中，此時可增加一保護濾波器，濾掉高于ΩT/2的頻帶，再用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，這會增加設(shè)計的復(fù)雜性和濾波器階數(shù)，只有在一定要滿足頻率線性關(guān)系或保持網(wǎng)絡(luò)瞬態(tài)響應(yīng)時才采用。

1105.3.2雙線性變換法1.變換公式

雙線性變換法(bilineartransformmethod)是一種能克服脈沖響應(yīng)不變法頻譜混疊的濾波器設(shè)計方法，是一種常用的IIR數(shù)字濾波器設(shè)計方法。

為了克服這一缺點，設(shè)想變換分為兩步：第1步：將整個s平面壓縮到s1平面的一條橫帶里；第2步：通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此橫帶變換到整個Z平面上去。

脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點是頻譜交疊產(chǎn)生的混淆，這是從s平面到z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換z＝esT的多值對應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致的.

由此建立s平面與z平面一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除多值性，也就消除了混淆現(xiàn)象。s平面s1平面z平面1115.3.2雙線性變換法

為了將s平面的jΩ軸壓縮到s1平面jΩ1軸上的-π/T到π/T一段上，可通過以下的正切變換實現(xiàn)：

經(jīng)過這樣的頻率變換，當(dāng)Ω由-∞→0→∞

時,Ω1由-π/T經(jīng)過０變化到π/T

，即s平面的整個jΩ軸被壓縮到s1平面的。這里C是待定常數(shù)

將這一關(guān)系解析擴展至整個s平面，則得到s平面到s1平面的映射關(guān)系：（5.3-10）再將s1平面通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到z平面，即令,取C=2/T（5.3-11）1125.3.2雙線性變換法2.雙線性變換的特性雙線性變換是否符合：由模擬濾波器變換到數(shù)字濾波器時，從s平面到z平面映射變換的二個基本原則。(1)當(dāng)z=ej

時，代入雙線性變換關(guān)系式（5.3-10），得即s平面的虛軸映射到z平面正好是單位圓。(2)當(dāng)代入雙線性變換關(guān)系式（5.3-11），得

當(dāng)1135.3.2雙線性變換法即s左半平面映射在單位圓內(nèi)，s右半平面映射在單位圓外，因此穩(wěn)定的模擬濾波器通過雙線性變換后，所得到的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。

當(dāng)下圖即是數(shù)字頻率ω與模擬頻率之間的映射關(guān)系雙線性變換的頻率非線性關(guān)系1145.3.2雙線性變換法雙線性變換靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系得到s平面與z平面的單值一一對應(yīng)關(guān)系，整個j

軸單值對應(yīng)于單位圓一周，這個頻率關(guān)系為：（5.3-12）由圖看出，s平面的正（負(fù)）虛軸映射成z平面單位圓的上（下）半圓。由于s平面的整個正虛軸（

=0～∞）映射成有限寬的數(shù)字頻段（ω=0～

），所以雙線性變換引起數(shù)字頻率與模擬頻率之間的嚴(yán)重非線性畸變。正是這種頻率非線性畸變，使整個模擬頻率軸映射成數(shù)字頻率的主值區(qū)[-

，

]，從而消除了頻譜混疊失真。這種頻率非線性畸變使數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)曲線不能模仿相應(yīng)的過渡模擬濾波器頻率響應(yīng)曲線的波形。1155.3.2雙線性變換法頻率響應(yīng)的畸變(舉例)幅頻特性相頻特性1165.3.2雙線性變換法3.預(yù)畸變的方法雙線性變換引起數(shù)字頻率與模擬頻率之間的嚴(yán)重非線性畸變，有關(guān)頻率點的畸變可以通過預(yù)畸變來加以校正，即將模擬濾波器的邊界頻率事先加以畸變，通過雙線性變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。(1)根據(jù)所要設(shè)計的數(shù)字濾波器的性能指標(biāo)，如需要設(shè)計數(shù)字低通濾波器，其指標(biāo)為，計算原型模擬濾波器的邊界頻率。(2)根據(jù)這些模擬濾波器的邊界頻率點設(shè)計原型模擬濾波器。(3)作雙線性變換，得到所需的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。1175.3.2雙線性變換法4.H(z)的計算從模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)

可直接通過變換公式（5.3-10）得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)（5.3-13）數(shù)字濾波器的頻響特性（5.3-14）1185.3.2雙線性變換法例(補充）用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字低通濾波器，指標(biāo)要求解:根據(jù)上述用雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟求解。（1）確定數(shù)字濾波器指標(biāo):

（2）非線性預(yù)畸變校正，將數(shù)字濾波器設(shè)計指標(biāo)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的原型模擬濾波器指標(biāo)。設(shè)采樣周期T=2s。

給定數(shù)字濾波器指標(biāo)設(shè)計時：T可以任意選給定模擬濾波器：

T如何選？1195.3.2雙線性變換法（3）設(shè)計相應(yīng)的過渡模擬濾波器Ha(s)。根據(jù)單調(diào)下降要求，選擇巴特沃思濾波器。并仿照例5.2-1計算出n=2，

c≈0.72rad/s。查表5.2-1得到歸一化2階巴特沃思模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

去歸一化得到

（4）用雙線性變換法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，即5.4數(shù)字濾波器的頻率變換1205.4.1模擬域的頻率變換5.4.2模擬域的頻率變換5.4.3高通、帶通和帶阻數(shù)字濾波器設(shè)計1215.4數(shù)字濾波器的頻率變換歸一化模擬低通數(shù)字低通數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻數(shù)字域頻率變換或雙線性變換沖激響應(yīng)不變法歸一化模擬低通模擬低通、高通、帶通、帶阻數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻模擬域頻率變換雙線性變換脈沖響應(yīng)不變法一.模擬域頻率變換二.數(shù)字域頻率變換1225.4.1模擬域的頻率變換具體設(shè)計步驟是：①先根據(jù)對高通、帶通、帶阻等濾波器性能指標(biāo)，導(dǎo)出相應(yīng)的低通原型的性能指標(biāo)；②然后確定原型低通的HL(p)；③再根據(jù)對應(yīng)的頻率變換關(guān)系得到模擬高通、帶通和帶阻濾波器的HD(s)。1235.4.1模擬域的頻率變換低通濾波器高通濾波器設(shè)：－－－低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)（角頻率為截止角頻率為）－－－高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)（角頻率為截止角頻率為）變換關(guān)系：令有

上式表明：s平面中的虛軸正好映射到p平面的虛軸上，其變換關(guān)系為：1245.4.1模擬域的頻率變換與之間的關(guān)系：(5.4-2)將高通濾波器的性能指標(biāo)，即高通濾波器的通帶邊界頻率

p，阻帶邊界頻率

s，分別代入式(5.4-2)中，求出低通原型的通帶邊界頻率

p，阻帶邊界頻率

s。而高通的通帶波紋δp及阻帶波紋δs，即對應(yīng)低通原型的通帶與阻帶的要求。1255.4.1模擬域的頻率變換從原型低通濾波器到高通濾波器的變換關(guān)系為：根據(jù)

p,

s,δp和δs確定低通原型系統(tǒng)函數(shù)HL(p)

模擬域的頻率變換可以設(shè)計模擬低通、高通，帶通和帶阻濾波器，然后利用雙線性變換法完成模擬濾波器到數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換，一般只有低通和帶通模擬濾波器可以考慮用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。1265.4.2數(shù)字域的頻率變換數(shù)字域的頻率變換實現(xiàn)步驟①先將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換數(shù)字低通濾波器；②利用頻率變換將低通數(shù)字濾波器轉(zhuǎn)換成所需要的數(shù)字濾波器。參數(shù)設(shè)定：數(shù)字低通濾波器：HL(z)，單位圓所需要的數(shù)字濾波器：，單位圓變換：1275.4.2數(shù)字域的頻率變換要求：函數(shù)在單位圓上恒等于1，是一個全通系統(tǒng)。(5.4-7)1285.4.2數(shù)字域的頻率變換1.低通到低通

為實數(shù)由得：(5.4-8)1295.4.2數(shù)字域的頻率變換參數(shù)

一般可以通過通帶邊界頻率和計算(5.4-10)1305.4.2數(shù)字域的頻率變換低通頻率響應(yīng)在單位圓上旋轉(zhuǎn)180o，即得高通頻率響應(yīng)：2.低通到高通代入式（5.4-8）

(5.4-11)1315.4.2數(shù)字域的頻率變換解：由已知條件則：高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：1325.4.2數(shù)字域的頻率變換3.低通到帶通1335.4.2數(shù)字域的頻率變換4.低通到帶阻1345.4.3高通、帶通和帶阻數(shù)字濾波器設(shè)計1.模擬域頻率變換設(shè)計步驟（1）預(yù)畸變：用式（5.3-12）將期望的數(shù)字濾波器HD

(z)的數(shù)字邊界頻率轉(zhuǎn)換成同類型模擬濾波器Ha(s)的邊界頻率；（2）模擬域指標(biāo)變換：將Ha(s)性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬原型低通濾波器的性能指標(biāo)，可以用表5.4-1；（3）設(shè)計模擬低通原型濾波器HL(p)；（4）模擬域頻率變換：將模擬原型濾波器HL(p)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬濾波器Ha(s)；（5）雙線性變換：用雙線性變換將模擬濾波器Ha(s)變換成期望的數(shù)字濾波器HD

(z)。1355.4.3高通、帶通和帶阻數(shù)字濾波器設(shè)計2.數(shù)字域頻率變換設(shè)計步驟（1）預(yù)畸變：用式（5.3-12）將期望的數(shù)字濾波器HD

(z)的數(shù)字邊界頻率轉(zhuǎn)換成同類型模擬濾波器Ha(s)的邊界頻率；（2）模擬域指標(biāo)變換：將Ha(s)性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬原型低通濾波器的性能指標(biāo)，可以用表5.4-1；（3）設(shè)計模擬低通原型濾波器HL(p)；（4）雙線性變換：用雙線性變換將模擬濾波器HL(p)變換成期望的數(shù)字濾波器HL

(z)；（5）模擬域頻率變換：將數(shù)字低通濾波器HL

(z))轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的數(shù)字濾波器HD

(z)

。1365.5用Matlab函數(shù)設(shè)計IIR數(shù)字濾波器用Buttord、Cheb1ord、Cheb2ord和Ellipord函數(shù)可以得到模擬或數(shù)字濾波器的最低階數(shù)和歸一化截止頻率；用Butter、Cheby1、Cheby2和Ellip函數(shù)可以得到模擬或數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，用Besself和Besselap可以設(shè)計貝塞爾模擬濾波器。在給定濾波器性能指標(biāo)的條件下，希望用最小階次的濾波器來實現(xiàn)。解：其程序dsp501