2022-2024北京重點(diǎn)校高一（上）期末匯編：等差數(shù)列

第1頁/共1頁2022-2024北京重點(diǎn)校高一（上）期末匯編等差數(shù)列一、單選題1．（2024北京十一學(xué)校高一上期末）已知無窮等差數(shù)列的公差為，則“”是“存在無限項(xiàng)滿足”（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024北京十一學(xué)校高一上期末）若數(shù)列滿足（），且，，則當(dāng)?shù)那皀項(xiàng)和取到最大值，n的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．83．（2023北京十一學(xué)校高一上期末）已知公差不為0的等差數(shù)列中，，，則使其前項(xiàng)和取得最大值的正整數(shù)的值為（

）A．11或12 B．6或7 C．10或11 D．5或64．（2023北京十一學(xué)校高一上期末）等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（

）A．9 B．12 C．30 D．455．（2023北京十一學(xué)校高一上期末）已知是等差數(shù)列，且，則（

）A．1 B．3 C．5 D．7二、填空題6．（2024北京十一學(xué)校高一上期末）已知等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為．7．（2024北京十一學(xué)校高一上期末）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正整數(shù)，對任意的，和中有且僅有一個成立，且，．記．給出下列四個結(jié)論：①可能為等差數(shù)列；②中最大的項(xiàng)為；③不存在最大值；④的最小值為36．其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題8．（2024北京十一學(xué)校高一上期末）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.9．（2023北京十一學(xué)校高一上期末）已知兩個均含有項(xiàng)的有限數(shù)列，，其中對于，且．定義數(shù)列與之間的距離：．定義數(shù)列的“和序列”，其滿足對于，，數(shù)列的項(xiàng)和記為：；定義數(shù)列的“和序列”，其滿足對于，，數(shù)列的項(xiàng)和記為：．(1)已知數(shù)列，，求和；(2)當(dāng)且時(shí)，求的所有可能取值；(3)當(dāng)且時(shí)，求的最大值和最小值，并分別列舉一對數(shù)列，，使取到最大值和最小值；(4)求證：對于，當(dāng)且是4的倍數(shù)時(shí)，的最小值為0；(5)當(dāng)，時(shí)，直接寫出一對數(shù)列，，使得．

參考答案1．C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的公差為，則數(shù)列為遞增數(shù)列，所以存在無限項(xiàng)滿足成立，即充分性成立；反之：由等差數(shù)列的公差為，在數(shù)列為單調(diào)數(shù)列，若存在無限項(xiàng)滿足成立，則數(shù)列為遞增數(shù)列，則，即必要性成立，所以“”是“存在無限項(xiàng)滿足”充要條件.故選：C.2．A【分析】根據(jù)題意可知數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而求公差和通項(xiàng)公式，利用的符號性判斷前n項(xiàng)和的最值.【詳解】因?yàn)椋ǎ?，可知?shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，解得，可得，令，解得，可知時(shí)，；時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，的前n項(xiàng)和取到最大值.故選：A.3．D【分析】分和兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)利用等差數(shù)列的求和公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得取得最大值時(shí)的的值【詳解】當(dāng)時(shí)，由可得，且等差數(shù)列單調(diào)遞增，不存在；當(dāng)時(shí)，則數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，由可得，則，所以，則，，所以，當(dāng)或時(shí)，取得最大值.故選：D4．D【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式求得，然后再由前項(xiàng)和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算．【詳解】是等差數(shù)列，∴，，，，，．故選：D．5．B【分析】結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可解決.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，，則故選：B.6．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求得，求得，再結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由，可得，解得，又因?yàn)?，可得，又由，解得，所?故答案為：.7．③④【分析】利用等差數(shù)列的定義判斷①；利用已知舉例說明判斷②③；求出的最小值判斷④作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，由得，由得，于是與僅只一個為1，即，因此數(shù)列不能是等差數(shù)列，①錯誤；令，依題意，與均為整數(shù)，且有且僅有一個為1（即隔項(xiàng)為1），若，則，，而，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)列為時(shí)取等號，若，則，，而，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)列為時(shí)取等號，從而的最小值為36，④正確；當(dāng)時(shí)，取，數(shù)列為：，滿足題意，取，，中最大的項(xiàng)不為，②錯誤；由于的任意性，即無最大值，因此不存在最大值，③正確，所以所有正確結(jié)論的序號是③④.故答案為：③④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.8．(1)(2)【分析】（1）利用求得.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，得，則.當(dāng)時(shí)，有，符合上式.綜上，.（2）由（1）得，，則.9．(1)，(2)4，3，2，1(3)的最大值19，例如：，；的最小值1，例如：，（的列舉不唯一）(4)證明見解析(5)數(shù)列，（答案不唯一）【分析】（1）利用新定義直接代入計(jì)算即可；（2）當(dāng)且時(shí)，中1的個數(shù)為1，其余3個為0，結(jié)合的表達(dá)式即可得出結(jié)果；（3）當(dāng)且時(shí)，中1的個數(shù)為2，其余8個為0．結(jié)合分析可得出結(jié)果；（4）設(shè)，中1的個數(shù)為，其余的為0．在中，取相鄰4項(xiàng)作為一組，共取組（取的項(xiàng)不重復(fù)），即可求解；（5）當(dāng)，時(shí)，中1的個數(shù)為7，其余3個為0，結(jié)合條件寫出結(jié)果即可．【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列，所以．（2）因?yàn)?，故?，，，當(dāng)且時(shí)，中1的個數(shù)為1，其余3個為0當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，則故的所有可能取值為：4，3，2，1．（3）當(dāng)且時(shí)，中1的個數(shù)為2，其余8個為0則當(dāng)或時(shí)，取到最大值19，例如：，在中，取相鄰2項(xiàng)，令第1項(xiàng)的值為1，第2項(xiàng)的值為－1；或令第1項(xiàng)的值為－1，第2項(xiàng)的值為1，此時(shí)取到最小值1，例如：，．（4）當(dāng)且是4的倍數(shù)時(shí)設(shè)，中1的個數(shù)為，其余的為0在中，取相鄰4項(xiàng)作為一組，共取組（取的項(xiàng)不重復(fù)）令每組的第1項(xiàng)與第4項(xiàng)的值為1，第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的值為－1；或令每組的第1項(xiàng)與第4項(xiàng)的值為－1，第2項(xiàng)與第3項(xiàng)的值為1，此時(shí)取到最