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文檔簡介
2022-2023學(xué)年內(nèi)蒙古呼和浩特市高三下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題理試題分類匯編注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.在區(qū)間上隨機取一個數(shù),使直線與圓相交的概率為()A. B. C. D.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,則不可能為()A. B. C. D.3.設(shè)等差數(shù)列的前項和為,若,,則()A.21 B.22 C.11 D.124.已知集合,,若,則()A.4 B.-4 C.8 D.-85.已知為圓:上任意一點,,若線段的垂直平分線交直線于點,則點的軌跡方程為()A. B.C.() D.()6.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是()A. B. C. D.7.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.對于任意,函數(shù)滿足,且當(dāng)時,函數(shù).若,則大小關(guān)系是()A. B. C. D.9.函數(shù)的部分圖象如圖所示,已知,函數(shù)的圖象可由圖象向右平移個單位長度而得到,則函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.10.據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的數(shù)據(jù),2019年11月全國CPI(居民消費價格指數(shù)),同比上漲4.5%,CPI上漲的主要因素是豬肉價格的上漲,豬肉加上其他畜肉影響CPI上漲3.27個百分點.下圖是2019年11月CPI一籃子商品權(quán)重,根據(jù)該圖,下列結(jié)論錯誤的是()A.CPI一籃子商品中所占權(quán)重最大的是居住B.CPI一籃子商品中吃穿住所占權(quán)重超過50%C.豬肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%D.豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為0.18%11.設(shè)為的兩個零點,且的最小值為1,則()A. B. C. D.12.已知復(fù)數(shù)z=2i1-i,則A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知是函數(shù)的極大值點,則的取值范圍是____________.14.設(shè)為定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時,(為常數(shù)),若,則實數(shù)的值為______.15.已知非零向量的夾角為,且,則______.16.函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對稱點,則實數(shù)的取值范圍為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)單調(diào)性;(2)當(dāng)時,求證:.18.(12分)某大學(xué)生在開學(xué)季準(zhǔn)備銷售一種文具套盒進(jìn)行試創(chuàng)業(yè),在一個開學(xué)季內(nèi),每售出1盒該產(chǎn)品獲利50元,未售出的產(chǎn)品,每盒虧損30元.根據(jù)歷史資料,得到開學(xué)季市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.該同學(xué)為這個開學(xué)季進(jìn)了160盒該產(chǎn)品,以(單位:盒,)表示這個開學(xué)季內(nèi)的市場需求量,(單位:元)表示這個開學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤.(1)根據(jù)直方圖估計這個開學(xué)季內(nèi)市場需求量的平均數(shù)和眾數(shù);(2)將表示為的函數(shù);(3)以需求量的頻率作為各需求量的概率,求開學(xué)季利潤不少于4800元的概率.19.(12分)設(shè),函數(shù).(1)當(dāng)時,求在內(nèi)的極值;(2)設(shè)函數(shù),當(dāng)有兩個極值點時,總有,求實數(shù)的值.20.(12分)定義:若數(shù)列滿足所有的項均由構(gòu)成且其中有個,有個,則稱為“﹣數(shù)列”.(1)為“﹣數(shù)列”中的任意三項,則使得的取法有多少種?(2)為“﹣數(shù)列”中的任意三項,則存在多少正整數(shù)對使得且的概率為.21.(12分)某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品,該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成,圓錐的側(cè)面用于藝術(shù)裝飾,如圖1.為了便于設(shè)計,可將該禮品看成是由圓及其內(nèi)接等腰三角形繞底邊上的高所在直線旋轉(zhuǎn)180°而成,如圖2.已知圓的半徑為,設(shè),圓錐的側(cè)面積為.(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;(2)為了達(dá)到最佳觀賞效果,要求圓錐的側(cè)面積最大.求取得最大值時腰的長度.22.(10分)某校共有學(xué)生2000人,其中男生900人,女生1100人,為了調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時間,采用分層抽樣的方法收集該校100名學(xué)生每周平均體育鍛煉時間(單位:小時).(1)應(yīng)抽查男生與女生各多少人?(2)根據(jù)收集100人的樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均體育鍛煉時間的頻率分布表:時間(小時)[0,1](1,2](2,3](3,4](4,5](5,6]頻率0.050.200.300.250.150.05若在樣本數(shù)據(jù)中有38名男學(xué)生平均每周課外體育鍛煉時間超過2小時,請完成每周平均體育鍛煉時間與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關(guān)”?男生女生總計每周平均體育鍛煉時間不超過2小時每周平均體育鍛煉時間超過2小時總計附:K2.P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.879
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
根據(jù)直線與圓相交,可求出k的取值范圍,根據(jù)幾何概型可求出相交的概率.【詳解】因為圓心,半徑,直線與圓相交,所以,解得所以相交的概率,故選C.【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系,幾何概型,屬于中檔題.2.D【解析】
依題意,設(shè),由,得,再一一驗證.【詳解】設(shè),因為,所以,經(jīng)驗證不滿足,故選:D.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義,還考查了推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.3.A【解析】
由題意知成等差數(shù)列,結(jié)合等差中項,列出方程,即可求出的值.【詳解】解:由為等差數(shù)列,可知也成等差數(shù)列,所以,即,解得.故選:A.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),考查了等差中項.對于等差數(shù)列,一般用首項和公差將已知量表示出來,繼而求出首項和公差.但是這種基本量法計算量相對比較大,如果能結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì),可使得計算量大大減少.4.B【解析】
根據(jù)交集的定義,,可知,代入計算即可求出.【詳解】由,可知,又因為,所以時,,解得.故選:B.【點睛】本題考查交集的概念,屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】
如圖所示:連接,根據(jù)垂直平分線知,,故軌跡為雙曲線,計算得到答案.【詳解】如圖所示:連接,根據(jù)垂直平分線知,故,故軌跡為雙曲線,,,,故,故軌跡方程為.故選:.【點睛】本題考查了軌跡方程,確定軌跡方程為雙曲線是解題的關(guān)鍵.6.A【解析】
觀察可知,這個幾何體由兩部分構(gòu)成,:一個半圓柱體,底面圓的半徑為1,高為2;一個半球體,半徑為1,按公式計算可得體積?!驹斀狻吭O(shè)半圓柱體體積為,半球體體積為,由題得幾何體體積為,故選A。【點睛】本題通過三視圖考察空間識圖的能力,屬于基礎(chǔ)題。7.C【解析】
化簡得到,得到答案.【詳解】,故,對應(yīng)點在第三象限.故選:.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡和對應(yīng)象限,意在考查學(xué)生的計算能力.8.A【解析】
由已知可得的單調(diào)性,再由可得對稱性,可求出在單調(diào)性,即可求出結(jié)論.【詳解】對于任意,函數(shù)滿足,因為函數(shù)關(guān)于點對稱,當(dāng)時,是單調(diào)增函數(shù),所以在定義域上是單調(diào)增函數(shù).因為,所以,.故選:A.【點睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值的大小,解題的關(guān)鍵要掌握函數(shù)對稱性的代數(shù)形式,屬于中檔題..9.A【解析】
由圖根據(jù)三角函數(shù)圖像的對稱性可得,利用周期公式可得,再根據(jù)圖像過,即可求出,再利用三角函數(shù)的平移變換即可求解.【詳解】由圖像可知,即,所以,解得,又,所以,由,所以或,又,所以,,所以,,即,因為函數(shù)的圖象由圖象向右平移個單位長度而得到,所以.故選:A【點睛】本題考查了由圖像求三角函數(shù)的解析式、三角函數(shù)圖像的平移伸縮變換,需掌握三角形函數(shù)的平移伸縮變換原則,屬于基礎(chǔ)題.10.D【解析】
A.從第一個圖觀察居住占23%,與其他比較即可.B.CPI一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判斷.C.食品占19.9%,再看第二個圖,分清2.5%是在CPI一籃子商品中,還是在食品中即可.D.易知豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%.【詳解】A.CPI一籃子商品中居住占23%,所占權(quán)重最大的,故正確.B.CPI一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,權(quán)重超過50%,故正確.C.食品占中19.9%,分解后后可知豬肉是占在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%,故正確.D.豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%,故錯誤.故選:D【點睛】本題主要考查統(tǒng)計圖的識別與應(yīng)用,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.11.A【解析】
先化簡已知得,再根據(jù)題意得出f(x)的最小值正周期T為1×2,再求出ω的值.【詳解】由題得,設(shè)x1,x2為f(x)=2sin(ωx﹣)(ω>0)的兩個零點,且的最小值為1,∴=1,解得T=2;∴=2,解得ω=π.故選A.【點睛】本題考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題.12.C【解析】分析:根據(jù)復(fù)數(shù)的運算,求得復(fù)數(shù)z,再利用復(fù)數(shù)的表示,即可得到復(fù)數(shù)對應(yīng)的點,得到答案.詳解:由題意,復(fù)數(shù)z=2i1-i所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(-1,-1),位于復(fù)平面內(nèi)的第三象限,故選C.點睛:本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運算及復(fù)數(shù)的表示,其中根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算求解復(fù)數(shù)z是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
方法一:令,則,,當(dāng),時,,單調(diào)遞減,∴時,,,且,∴在上單調(diào)遞增,時,,,且,∴在上單調(diào)遞減,∴是函數(shù)的極大值點,∴滿足題意;當(dāng)時,存在使得,即,又在上單調(diào)遞減,∴時,,,所以,這與是函數(shù)的極大值點矛盾.綜上,.方法二:依據(jù)極值的定義,要使是函數(shù)的極大值點,由知須在的左側(cè)附近,,即;在的右側(cè)附近,,即.易知,時,與相切于原點,所以根據(jù)與的圖象關(guān)系,可得.14.1【解析】
根據(jù)為定義在上的偶函數(shù),得,再根據(jù)當(dāng)時,(為常數(shù))求解.【詳解】因為為定義在上的偶函數(shù),所以,又因為當(dāng)時,,所以,所以實數(shù)的值為1.故答案為:1【點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.15.1【解析】
由已知條件得出,可得,解之可得答案.【詳解】向量的夾角為,且,,可得:,
可得,
解得,
故答案為:1.【點睛】本題考查根據(jù)向量的數(shù)量積運算求向量的模,關(guān)鍵在于將所求的向量的模平方,利用向量的數(shù)量積化簡求解即可,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
先求得與關(guān)于軸對稱的函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有交點,即方程有解.對分成三種情況進(jìn)行分類討論,由此求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為關(guān)于軸對稱的函數(shù)為,因為函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對稱點,所以與的圖象有交點,方程有解.時符合題意.時轉(zhuǎn)化為有解,即,的圖象有交點,是過定點的直線,其斜率為,若,則函數(shù)與的圖象必有交點,滿足題意;若,設(shè),相切時,切點的坐標(biāo)為,則,解得,切線斜率為,由圖可知,當(dāng),即時,,的圖象有交點,此時,與的圖象有交點,函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對稱點,綜上可得,實數(shù)的取值范圍為.故答案為:【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點以及對稱性,函數(shù)與方程等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生分析問題,解決問題的能力,推理與運算求解能力,轉(zhuǎn)化與化歸思想和應(yīng)用意識.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)見解析(2)見解析【解析】
(1)根據(jù)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分類討論單調(diào)性(2)欲證,只需證,構(gòu)造函數(shù),證明,這時需研究的單調(diào)性,求其最大值即可【詳解】解:(1)的定義域為,,①當(dāng)時,由得,由,得,所以在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;②當(dāng)時,由得,由,得,或,所以在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;③當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增;④當(dāng)時,由,得,由,得,或,所以在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(2)當(dāng)時,欲證,只需證,令,,則,因存在,使得成立,即有,使得成立.當(dāng)變化時,,的變化如下:0單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以.因為,所以,所以.即,所以當(dāng)時,成立.【點睛】考查求函數(shù)單調(diào)性的方法和用函數(shù)的最值證明不等式的方法,難題.18.(1),眾數(shù)為150;(2);(3)【解析】
(1)由頻率直方圖分別求出各組距內(nèi)的頻率,由此能求出這個開學(xué)季內(nèi)市場需求量的眾數(shù)和平均數(shù);(2)由已知條件推導(dǎo)出當(dāng)時,,當(dāng)時,,由此能將表示為的函數(shù);(3)利用頻率分布直方圖能求出利潤不少于4800元的概率.【詳解】(1)由直方圖可估計需求量的眾數(shù)為150,由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:∴估計需求量的平均數(shù)為:(2)當(dāng)時,當(dāng)時,∴(3)由(2)知當(dāng)時,當(dāng)時,得∴開學(xué)季利潤不少于4800元的需求量為由頻率分布直方圖可所求概率【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用,考查函數(shù)解析式的求法,考查概率的估計,是中檔題,解題時要注意頻率分布直方圖的合理運用.19.(1)極大值是,無極小值;(2)【解析】
(1)當(dāng)時,可求得,令,利用導(dǎo)數(shù)可判斷的單調(diào)性并得其零點,從而可得原函數(shù)的極值點及極大值;(2)表示出,并求得,由題意,得方程有兩個不同的實根,,從而可得△及,由,得.則可化為對任意的恒成立,按照、、三種情況分類討論,分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值可解決;【詳解】(1)當(dāng)時,.令,則,顯然在上單調(diào)遞減,又因為,故時,總有,所以在上單調(diào)遞減.由于,所以當(dāng)時,;當(dāng)時,.當(dāng)變化時,的變化情況如下表:+-增極大減所以在上的極大值是,無極小值.(2)由于,則.由題意,方程有兩個不等實根,則,解得,且,又,所以.由,,可得又.將其代入上式得:.整理得,即當(dāng)時,不等式恒成立,即.當(dāng)時,恒成立,即,令,易證是上的減函數(shù).因此,當(dāng)時,,故.當(dāng)時,恒成立,即,因此,當(dāng)時,所以.綜上所述,.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、研究函數(shù)的極值等知識,考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想,考查學(xué)生綜合運用知識分析問題解決問題的能力,該題綜合性強,難度大,對能力要求較高.20.(1)16;(2)115.【解析】
(1)易得使得的情況只有“”,“”兩種,再根據(jù)組合的方法求解兩種情況分別的情況數(shù)再求和即可.(2)易得“”共有種,“”共有種.再根據(jù)古典概型的方法可知,利用組合數(shù)的計算公式可得,當(dāng)時根據(jù)題意有,共個;當(dāng)時求得,再根據(jù)換元根據(jù)整除的方法求解滿足的正整數(shù)對即可.【詳解】解:(1)三個數(shù)乘積為有兩種情況:“”,“”,其中“”共有:種,“”共有:種,利用分類計數(shù)原理得:為“﹣數(shù)列”中的任意三項,則使得的取法有:種.(2)與(1)同理,“”共有種,“”共有種,而在“﹣數(shù)列”中任取三項共有種,根據(jù)古典概型有:,再根據(jù)組合數(shù)的計算公式能得到:,時,應(yīng)滿足,,共個,時,應(yīng)滿足,視為常數(shù),可解得,,根據(jù)可知,,,,根據(jù)可知,,(否則),下設(shè),則由于為正整數(shù)知必為正整數(shù),,,化簡上式關(guān)系式可以知道:,均為偶數(shù),設(shè),則,由于中必存在偶數(shù),只需中存在數(shù)為的倍數(shù)即可,,.檢驗:符合題意,共有個,綜上所述:共有個數(shù)對符合題意.【點睛】本題主要考查了排列組合的基本
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