八年級上冊數(shù)學(xué)知識點提升練習(xí)02-全練版：13.3.1 等腰三角形

第十三章軸對稱13.3等腰三角形13.3.1等腰三角形基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點1等腰三角形的性質(zhì)1.(2023天津師大附中期中)若等腰三角形的底角是頂角的2倍,則這個等腰三角形的底角的度數(shù)是()A.36°B.72°C.36°或72°D.無法確定2.【教材變式·P77T3】如圖,在△ABC中,AB=AD,∠B=2∠C,∠BAD=32°,則∠C的度數(shù)為()A.32°B.35°C.37°D.40°3.(2020甘肅蘭州中考)如圖,在△ABC中,AB=AC,點D在CA的延長線上,DE⊥BC于點E,∠BAC=100°,則∠D=(M8113004)()A.40°B.50°C.60°D.80°4.如圖,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于點D,下列結(jié)論中:①∠BAD=∠CAD;②AD上任意一點到AB、AC的距離相等;③BD=CD;④若點P在直線AD上,則PB=PC.其中正確的是()A.①B.①②C.①②③D.①②③④5.【新獨家原創(chuàng)】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠B=25°,點D在線段BA的延長線上,點E在AC上,連接DE,且AE=DE,點F在BC上,連接DF,且BF=DF,則∠EDF的度數(shù)為.(M8113004)

6.(2023安徽蕪湖一中月考)如圖,△ABC中,D為AB上一點,E為BC上一點,且AC=CD=BD=BE,∠A=40°,則∠CDE的度數(shù)為.

7.【一題多變】(2023湖南長沙長郡中學(xué)期中)如圖,在△ABC中,AB=AC,點E是邊AC上的點,連接BE,若BE⊥AC,∠ACB=66°,則∠ABE的度數(shù)為.(M8113004)

[變式1]如圖,在△ABC中,AB=AC,D,E分別是邊BC,AC上的點,連接AD,BE.若AD,BE分別是△ABC的中線和角平分線,∠CAD=20°,求∠CBE的度數(shù).[變式2]如圖,在△ABC中,AB=AC,D,E分別是邊BC,AC上的點,連接AD,BE,DE,若AD=AE.(1)當AD是邊BC上的高,且∠BAD=30°時,求∠EDC的度數(shù);(2)當AD不是邊BC上的高時,請判斷∠BAD與∠EDC之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.8.【方程思想】如圖,在△ABC中,點D在BC上,AB=AC=CD,且AD=BD.求△ABC的三個內(nèi)角的度數(shù).知識點2等腰三角形的判定9.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所對的邊分別是a,b,c,則下列條件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是()A.∠A∶∠B∶∠C=2∶2∶5B.a∶b∶c=3∶4∶5C.a=5,b=6,c=5D.∠A=40°,∠B=100°10.(2022河北邢臺月考)如圖,已知∠A=36°,∠C=72°,BE平分∠ABC,DE∥BC,則圖中等腰三角形的個數(shù)為()A.3B.4C.5D.無法確定11.【跨學(xué)科·地理】如圖,一艘海輪位于燈塔P的南偏東70°方向的M處,它以每小時40海里的速度向正北方向航行,2小時后到達位于燈塔P的北偏東40°的N處,則N處與燈塔P的距離為海里.

12.【教材變式·P83T10】如圖,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分線交于點O,過點O作EF∥BC分別交AB,AC于點E,F.已知EF=6,BE=4,則CF的長為.

13.(2021河南信陽期中)如圖,將一張長方形紙片ABCD按圖中所示的方式進行折疊,若AE=3,AB=4,BE=5,則重疊部分的面積是.

14.(2023河北保定期中)如圖,在△ABC中,AB=AC,M、N分別是AB、AC邊上的點,并且MN∥BC.(M8113004)(1)求證:△AMN是等腰三角形;(2)點P是MN上的一點,并且BP平分∠ABC,求證:△BPM是等腰三角形.15.(2021廣東東莞期中)在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的中線,AE是∠BAD的平分線,DF∥AB交AE的延長線于F.(M8113004)(1)若∠BAC=120°,求∠BAD的度數(shù);(2)求證:△ADF是等腰三角形.能力提升全練16.(2022山東泰安中考,5,★★☆)如圖,l1∥l2,點A在直線l1上,點B在直線l2上,AB=BC,∠C=25°,∠1=60°,則∠2的度數(shù)是()A.70°B.65°C.60°D.55°17.(2020四川南充中考,6,★★☆)如圖,在等腰△ABC中,BD為∠ABC的平分線,∠A=36°,AB=AC=a,BC=b,則CD=(M8113004)()A.a+b2B.a?b2C.a18.【方程思想】(2023云南昆明八中期中,6,★★☆)如圖,在△ABC中,∠A為鈍角,AB=20cm,AC=12cm,點P從點B出發(fā)以3cm/s的速度向點A運動,點Q同時從點A出發(fā)以2cm/s的速度向點C運動,其中一個動點到達端點時,另一個動點也隨之停止運動.當△APQ是等腰三角形時,運動的時間是()A.2.5sB.3sC.3.5sD.4s第18題圖第19題圖19.(2023廣東廣州華僑外國語學(xué)校月考,8,★★☆)如圖,在平面直角坐標系xOy中,A(4,0)、B(0,3),AB=5,點D在x軸上,若在線段AB(包括兩個端點)上找點P,使得點A、D、P構(gòu)成等腰三角形的點P恰好只有1個,下列選項中滿足上述條件的點D的坐標不可能是()A.(-3,0)B.(-1,0)C.(5,0)D.(9,0)20.【數(shù)學(xué)文化】(2019浙江衢州中考,7,★★☆)“三等分角”大約是在公元前5世紀由古希臘人提出來的,借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角.這個三等分角儀由兩根有槽的棒OA,OB組成,兩根棒在O點相連并可繞O轉(zhuǎn)動,C點固定,OC=CD=DE,點D、E可在槽中滑動.若∠BDE=75°,則∠CDE的度數(shù)是(M8113004)()A.60°B.65°C.75°D.80°21.(2020湖北黃岡中考,12,★☆☆)已知:如圖,在△ABC中,點D在邊BC上,AB=AD=DC,∠C=35°,則∠BAD=度.

22.(2022四川廣安中考,14,★★☆)若(a-3)2+b?5=0,則以a、b為邊長的等腰三角形的周長為.(M8113004)23.(2022山東濟南期末,17,★★☆)如圖,已知∠BAC=130°,AB=AC,AC的垂直平分線交BC于點D,連接AD,則∠BAD是.

24.(2021黑龍江牡丹江中考,6,★★☆)過等腰三角形頂角頂點的一條直線將該等腰三角形分成的兩個三角形均為等腰三角形,則原等腰三角形的底角度數(shù)為.(M8113004)

25.(2022浙江溫州中考,20,★★☆)如圖,BD是△ABC的角平分線,DE∥BC,交AB于點E.(1)求證:∠EBD=∠EDB;(2)當AB=AC時,請判斷CD與ED的大小關(guān)系,并說明理由.26.(2022山西運城實驗中學(xué)期末,22,★★☆)如圖,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=40°,點D在線段BC上運動(D不與B、C重合),連接AD,作∠ADE=40°,DE交線段AC于E.(M8113004)(1)當∠BDA=115°時,∠BAD=°;點D從B向C運動時,∠BDA逐漸變(填“大”或“小”);

(2)在點D的運動過程中,△ADE的形狀也在改變,判斷當∠BDA等于多少度時,△ADE是等腰三角形.素養(yǎng)探究全練27.【幾何直觀】如果一個三角形能被一條線段分割成兩個等腰三角形,那么稱這條線段為這個三角形的特異線,稱這個三角形為特異三角形.(1)如圖,在△ABC中,∠B=2∠C,線段AC的垂直平分線交AC于點D,交BC于點E,求證:AE是△ABC的一條特異線;(2)若△ABC是特異三角形,∠A=30°,∠B為鈍角,求出所有可能的∠B的度數(shù).28.【推理能力】已知:△ABC和△DBE均為等腰直角三角形,如圖①,易證AD=CE且AD⊥CE.(1)將△DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置時,線段AD和CE有怎樣的關(guān)系?(2)將△DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至圖③的位置時,線段AD和CE又有怎樣的關(guān)系?

答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.B設(shè)頂角為x度,則底角為2x度,則x+2x+2x=180,解得x=36,∴2x=72,故選B.2.C∵AB=AD,∠BAD=32°,∴∠B=∠ADB=12×(180°-32°)=74°∵∠B=2∠C,∴∠C=12∠B=37°,故選C3.B∵AB=AC,∠BAC=100°,∴∠C=∠B=40°,∵DE⊥BC,∴∠D=90°-∠C=50°,故選B.4.D∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,又∵AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD,BD=CD,故①③正確;∵∠BAD=∠CAD,∴AD上任意一點到AB、AC的距離相等,故②正確;∵AD⊥BC,BD=CD,∴AD垂直平分BC,若點P在直線AD上,則PB=PC,故④正確.故選D.5.答案25°解析∵AB=AC,∴∠C=∠B=25°.∴∠DAC=∠B+∠C=50°.∵AE=DE,∴∠EDA=∠EAD=50°.∵BF=DF,∴∠FDB=∠FBD=25°.∴∠EDF=∠ADE-∠FDB=50°-25°=25°.6.答案60°解析∵AC=CD=BD=BE,∠A=40°,∴∠CDA=∠A=40°,∠B=∠DCB,∠BDE=∠BED,∵∠B+∠DCB=∠CDA=40°,∴∠B=20°,∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°,∴∠BDE=∠BED=12×(180°-20°)=80°∴∠CDE=180°-∠CDA-∠EDB=180°-40°-80°=60°.7.答案42°解析∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=66°.∵BE⊥AC,∴∠BEC=90°,∴∠EBC=90°-∠ACB=90°-66°=24°,∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=66°-24°=42°.[變式1]解析∵AB=AC,AD是△ABC的中線,∴∠BAD=∠CAD=20°,∠ABC=∠ACB,∴∠ABC=12×(180°-20°-20°)=70°∵BE是△ABC的角平分線,∴∠CBE=12∠ABC=35[變式2]解析(1)∵AD是邊BC上的高,AB=AC,∴∠ADC=90°,AD是∠BAC的平分線,∴∠BAD=∠CAD,∵∠BAD=30°,∴∠CAD=30°.∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=12×(180°-30°)=75°∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.(2)∠BAD=2∠EDC.證明:∵AB=AC,AD=AE,∴∠ABC=∠C,∠ADE=∠AED.∵∠ADC=∠ABC+∠BAD,∠AED=∠C+∠EDC,∴∠ABC+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=∠C+2∠EDC,∴∠BAD=2∠EDC.8.解析設(shè)∠B=x,∵AB=AC,∴∠C=∠B=x,∵AC=CD,∴∠CAD=∠CDA,∵AD=BD,∴∠BAD=∠B=x,由三角形外角的性質(zhì)得∠CDA=∠B+∠BAD=2x,∵∠C+∠CAD+∠CDA=180°,∴x+2x+2x=180°,解得x=36°,∴∠C=36°,∠B=36°,∴∠BAC=180°-36°-36°=108°,∴△ABC的三個內(nèi)角的度數(shù)分別是108°,36°,36°.9.B選項A中,∵∠A∶∠B∶∠C=2∶2∶5,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=180°×22+2+5=40°,∠B=180°×22+2+5=40∴∠A=∠B,∴△ABC是等腰三角形,故A不符合題意;選項B中,∵a∶b∶c=3∶4∶5,∴a≠b≠c,∴△ABC不是等腰三角形,故B符合題意;選項C中,∵a=5,b=6,c=5,∴a=c,∴△ABC是等腰三角形,故C不符合題意;選項D中,∵∠A=40°,∠B=100°,∴∠C=180°-∠A-∠B=40°,∴∠A=∠C,∴△ABC是等腰三角形,故D不符合題意.故選B.10.C∵∠A=36°,∠C=72°,∴∠ABC=180°-∠A-∠C=72°,∴∠C=∠ABC,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC=12∠ABC=36°,∴∠A=∠ABE∴EA=EB,∴△ABE是等腰三角形,∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠C,∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE,∴△ADE是等腰三角形,∵DE∥BC,∴∠DEB=∠EBC=36°,∴∠DBE=∠DEB,∴DB=DE,∴△DBE是等腰三角形,∵∠EBC=36°,∠C=72°,∴∠BEC=180°-∠EBC-∠C=72°,∴∠C=∠BEC,∴BE=BC,∴△BEC是等腰三角形.故等腰三角形的個數(shù)是5.11.答案80解析∵向北的方向線是平行的,∴∠M=70°,∵∠NPM=180°-70°-40°=70°,∴∠NPM=∠M,∴NP=MN=40×2=80(海里),故答案為80.12.答案2解析∵BO平分∠ABC,∴∠ABO=∠CBO,∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC,∴∠EOB=∠EBO,∴BE=OE,同理可證CF=OF,∴EF=OE+OF=BE+CF,∵EF=6,BE=4,∴CF=EF-BE=2,故答案為2.13.答案10解析如圖,由折疊可知∠1=∠2,易知∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴ED=EB=5,∴重疊部分的面積=12DE·AB=12故答案為10.14.證明(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∵MN∥BC,∴∠AMN=∠ABC,∠ANM=∠C,∴∠AMN=∠ANM,∴AM=AN,∴△AMN是等腰三角形.(2)∵BP平分∠ABC,∴∠MBP=∠CBP,∵MN∥BC,∴∠MPB=∠CBP,∴∠MBP=∠MPB,∴MB=MP,∴△BPM是等腰三角形.15.解析(1)∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,∵AD為△ABC的中線,∴∠BAD=∠CAD,∵∠BAC=120°,∴∠BAD=60°.(2)證明:∵AE是∠BAD的平分線,∴∠DAE=∠EAB,∵DF∥AB,∴∠F=∠BAE,∴∠DAF=∠F,∴AD=DF,∴△ADF是等腰三角形.能力提升全練16.A如圖,設(shè)直線l2交AC于點E,∵AB=BC,∠C=25°,∴∠BAC=∠C=25°.∵l1∥l2,∠1=60°,∴∠EBA=∠1=60°,∴∠BEC=∠EBA+∠BAC=60°+25°=85°,∴∠2=180°-∠C-∠BEC=180°-25°-85°=70°.17.C∵在等腰△ABC中,BD為∠ABC的平分線,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°,∴∠ABD=36°=∠A,∴BD=AD,∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C,∴BD=BC,∵AB=AC=a,BC=b,∴CD=AC-AD=AB-BC=a-b,故選C.18.D設(shè)運動的時間為xs,則AP=(20-3x)cm,AQ=2xcm,當△APQ是等腰三角形時,AP=AQ,即20-3x=2x,解得x=4.故選D.19.B∵A(4,0),B(0,3),AB=5,∴當點D的坐標為(-3,0)時,只能作以PD、PA為腰的等腰三角形;當點D的坐標為(-1,0)時,可以作以PD、PA為腰的等腰三角形,也可以作以AP、AD為腰的等腰三角形;當點D的坐標為(5,0)時,只能作以AD、PA為腰的等腰三角形;當點D的坐標為(9,0)時,只能作以AD、PA為腰的等腰三角形.故選B.20.D∵OC=CD=DE,∴∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC,∴∠DEC=∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC,∴∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=75°,∴∠ODC=25°,∵∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=105°,∴∠CDE=105°-25°=80°.故選D.21.答案40解析∵AD=DC,∴∠DAC=∠C=35°,∴∠ADB=∠DAC+∠C=70°.∵AB=AD,∴∠B=∠ADB=70°,∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-70°-70°=40°.故答案為40.22.答案11或13解析∵(a-3)2+b?5=0∴a-3=0,b-5=0,解得a=3,b=5.當?shù)妊切蔚娜呴L分別為3,3,5時,周長為3+3+5=11;當?shù)妊切蔚娜呴L分別為3,5,5時,周長為3+5+5=13.綜上所述,等腰三角形的周長為11或13.23.答案105°解析∵AC的垂直平分線交BC于點D,∴AD=CD,∴∠C=∠CAD,∵AB=AC,∴∠B=∠C,在△ABC中,∠BAC+∠B+∠C=180°,∴130°+2∠C=180°,∴∠C=∠CAD=25°,∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=105°,故答案為105°.24.答案36°或45°解析(1)如圖,△ABC中,AB=AC,BD=AD,AC=CD,求∠ABC的度數(shù).∵AB=AC,BD=AD,AC=CD,∴∠ABC=∠C=∠BAD,∠CDA=∠CAD,∵∠CDA=∠CAD=∠B+∠BAD=2∠ABC,∴∠CAB=3∠ABC,∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴5∠ABC=180°,∴∠ABC=36°.(2)如圖,△ABC中,AB=AC,AD=BD=CD,求∠ABC的度數(shù).∵AB=AC,AD=BD=CD,∴∠B=∠C=∠DAC=∠DAB,∴∠BAC=2∠ABC,∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴4∠ABC=180°,∴∠ABC=45°.綜上,∠ABC的度數(shù)為36°或45°.25.解析(1)證明:∵BD是△ABC的角平分線,∴∠CBD=∠EBD.∵DE∥BC,∴∠CBD=∠EDB,∴∠EBD=∠EDB.(2)CD=ED.理由如下:∵AB=AC,∴∠C=∠ABC.∵DE∥BC,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC,∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE,∴AC-AD=AB-AE,即CD=BE.由(1)得∠EBD=∠EDB,∴BE=ED,∴CD=ED.26.解析(1)∠BAD=180°-∠ABD-∠BDA=180°-40°-115°=25°,由題圖可得,點D從B向C運動時,∠BDA逐漸變小,故答案為25;小.(2)∵AB=AC,∴∠C=∠B=40°,①當AD=AE時,∠AED=∠ADE=40°,∵∠AED>∠C,∴不符合題意;②當DA=DE時,∠DAE=∠DEA=12×(180°-40°)=70°∵∠BAC=180°-40°-40°=100°,∴∠BAD=100°-70°=30°,∴∠BDA=180°-30°-40°=110°;③當EA=ED時,∠DAE=∠ADE=40°,∴∠BAD=100°-40°=60°,∴∠BDA=180°-60°-40°=80°.∴