2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精講精練系列：第1講-實(shí)數(shù)概念與應(yīng)用-附解析

2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精講精練系列：第1講-實(shí)數(shù)概念與應(yīng)用-附解析2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精講精練系列：第1講-實(shí)數(shù)概念與應(yīng)用-附解析/2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精講精練系列：第1講-實(shí)數(shù)概念與應(yīng)用-附解析2024中考數(shù)學(xué)精講與精練(全國(guó)通用版)第一講 實(shí)數(shù)考點(diǎn)1：實(shí)數(shù)的相關(guān)概念1、相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)、數(shù)軸的概念(1)相反數(shù)：絕對(duì)值相同而符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)稱為相反數(shù);(2)絕對(duì)值：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離,|a|≥0.零的絕對(duì)值時(shí)它本身,也可看成它的相反數(shù),若|a|=a,則a≥0;若|a|=-a,則a≤0.正數(shù)大于零,負(fù)數(shù)小于零,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù),兩個(gè)負(fù)數(shù),絕對(duì)值大的反而小.(3)倒數(shù)：如果a與b互為倒數(shù),則有ab=1,反之亦成立.倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1.零沒(méi)有倒數(shù).(4)數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線.2、有理數(shù)、無(wú)理數(shù)概念(1)有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù),即能寫成分?jǐn)?shù)形式的數(shù).有理數(shù)的四種表現(xiàn)形式：整數(shù)、分?jǐn)?shù)、有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù).(2)無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù),無(wú)理數(shù)的四種常見(jiàn)表現(xiàn)形式：(1)開方開不盡的數(shù),如等;(2)有特定意義的數(shù),如圓周率π,或化簡(jiǎn)后含有π的數(shù),如+8等;(3)有特定結(jié)構(gòu)的數(shù),如0.1010010001…等;(注意省略號(hào))(4)某些三角函數(shù),如sin60o等3.平方根、算術(shù)平方根和立方根(1)平方根如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根(或二次方跟).一個(gè)數(shù)有兩個(gè)平方根,他們互為相反數(shù);零的平方根是零;負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.正數(shù)a的平方根記做””.(2)算術(shù)平方根正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根,記作””.正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè),零的算術(shù)平方根是零.(0);的雙重非負(fù)性：-(<0) 0(3)立方根如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根(或a的三次方根).一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根;一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根;零的立方根是零.注意：,這說(shuō)明三次根號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)可以移到根號(hào)外面.考點(diǎn)2：實(shí)數(shù)的分類1、按照定義分類 2、按照正負(fù)分類 考點(diǎn)3：科學(xué)記數(shù)法把一個(gè)數(shù)寫做a×10n的形式,其中1考點(diǎn)4：實(shí)數(shù)的大小比較與估計(jì)1、實(shí)數(shù)的大小比較的常用方法：方法一：數(shù)軸比較法：左<右方法二： 作差比較法aaa方法三： 作商比較法設(shè)a、b是兩正實(shí)數(shù),ab方法四： 平方法設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù),則a2設(shè)a、b是兩正實(shí)數(shù),則a22、無(wú)理數(shù)的大小估計(jì)方法：先找到離a最近的兩個(gè)平方數(shù),例如a的前面一個(gè)平方數(shù)為m,后面一個(gè)平方數(shù)為n,即m<a<n,則m考點(diǎn)5：實(shí)數(shù)的運(yùn)算中考數(shù)學(xué)中實(shí)數(shù)的運(yùn)算有加、減、乘、除、乘方、開方、三角函數(shù)、絕對(duì)值等幾種運(yùn)算.重點(diǎn)有二：一、要熟練掌握各種運(yùn)算的法則;二、要注意觀察運(yùn)算的順序.1、冪的運(yùn)算(1352、特殊角的三角函數(shù)值αsinαcosαtanα30°45°160°中考數(shù)學(xué)中,實(shí)數(shù)概念的考查主要以選擇、填空為主,實(shí)數(shù)的運(yùn)算主要以混合運(yùn)算為主.細(xì)心是解決它的關(guān)鍵所在.例題1．(2023·湖北恩施·中考真題)如圖,數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)的相反數(shù)是()A．9 B． C． D．【分析】先根據(jù)數(shù)軸得到A表示的數(shù),再求其相反數(shù)即可．【詳解】解：由數(shù)軸可知,點(diǎn)A表示的數(shù)是9,相反數(shù)為,故選：D．【感悟】本題考查數(shù)軸和相反數(shù),掌握相反數(shù)的定義和數(shù)軸的概念是解題的關(guān)鍵．例題2．(2023·山東·中考真題)實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示,下列式子正確的是(

)A． B． C． D．【分析】根據(jù)數(shù)軸可得,,再根據(jù)逐項(xiàng)判定即可．【詳解】由數(shù)軸可知,∴,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;∴,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;∴,故C選項(xiàng)正確;∴,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤;故選：C．【感悟】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸,根據(jù)進(jìn)行判斷是解題關(guān)鍵．例題3．(2023·浙江湖州·中考真題)國(guó)家互聯(lián)網(wǎng)信息辦公室2023年5月23日發(fā)布的《數(shù)字中國(guó)發(fā)展報(bào)告(2022年)》顯示,2022年我國(guó)數(shù)字經(jīng)濟(jì)規(guī)模達(dá)502000億元．用科學(xué)記數(shù)法表示502000,正確的是(

)A． B． C． D．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式,其中,n為整數(shù)．確定n的值時(shí),要看把原數(shù)變成a時(shí),小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位,n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．【詳解】解：用科學(xué)記數(shù)法表示502000為．故選：C．【感悟】此題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)的方法,準(zhǔn)確確定a與n值是關(guān)鍵．例題4．(2023·四川德陽(yáng)·中考真題)下列各數(shù)中,是無(wú)理數(shù)的是(

)A． B． C．0 D．【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義判斷即可．【詳解】解：0,,為有理數(shù),為無(wú)理數(shù)．故選：B．【感悟】本題考查了無(wú)理數(shù)的概念,理解其概念是解題的關(guān)鍵．要熟記無(wú)理數(shù)的四種常見(jiàn)形式等.例題5．(2023·江蘇無(wú)錫·中考真題)實(shí)數(shù)9的算術(shù)平方根是(

)A．3 B． C． D．【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可求出結(jié)果．【詳解】解：,故選：A．【感悟】本題考查了平方根和算術(shù)平方根的定義．注意一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根,它們互為相反數(shù);0的平方根是0;負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．例題6．(2023·四川內(nèi)江·中考真題)若a、b互為相反數(shù),c為8的立方根,則．【分析】利用相反數(shù),立方根的性質(zhì)求出及c的值,代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意得：,,故答案為：【感悟】此題考查了相反數(shù)、立方根的概念及性質(zhì),熟練掌握立方根的概念是解本題的關(guān)鍵．例題7．(2023·安徽·中考真題)計(jì)算：．【分析】理解立方根的概念和有理數(shù)的加法法則.【詳解】解：,故答案為：．【感悟】本題考查了求一個(gè)數(shù)的立方根,熟練掌握立方根的定義是解題的關(guān)鍵．例題8．(2023·內(nèi)蒙古·中考真題)若為兩個(gè)連續(xù)整數(shù),且,則．【答案】3【分析】根據(jù)夾逼法求解即可．【詳解】解：∵,即,∴,∴,∴．故答案為：3．【感悟】題目主要考查無(wú)理數(shù)的估算,熟練掌握估算方法是解題關(guān)鍵．例題9．(2023·青海西寧·中考真題)計(jì)算：．【答案】【分析】計(jì)算乘方、化簡(jiǎn)絕對(duì)值、計(jì)算零指數(shù)冪,再進(jìn)行加減運(yùn)算即可得到答案．【詳解】解：原式.【感悟】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算,熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．例題10．(2023·江蘇鹽城·中考真題)計(jì)算：.【答案】【分析】利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪分別化簡(jiǎn)計(jì)算即可.【詳解】原式．【感悟】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算,正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．中考數(shù)學(xué)中,實(shí)數(shù)是比較基礎(chǔ)的,難度較低,但失分率仍然較高,主要原因有二：其一是對(duì)基本概念理解不夠,很多同學(xué)對(duì)較基礎(chǔ)的考點(diǎn)沒(méi)有足夠的重視;其二是對(duì)實(shí)數(shù)的運(yùn)算熟練程度不夠.很多同學(xué)感覺(jué)計(jì)算題簡(jiǎn)單,輕敵,導(dǎo)致了計(jì)算出現(xiàn)失誤,結(jié)果丟了很多分.要想在這部分拿到高分,就必須從這兩個(gè)方面入手,重點(diǎn)概念要理解透徹,計(jì)算時(shí)要足夠地細(xì)心.尤其是對(duì)實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算,要時(shí)刻注意運(yùn)算的順序.一、選擇題1．的運(yùn)算結(jié)果等于(

)A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)：負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)直接求解即可得到答案;【詳解】解：由題意可得,,故選：B;2．實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示,下列判斷正確的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)可得,,據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：由數(shù)軸可知,,．A、,則此項(xiàng)錯(cuò)誤,不符合題意;B、,則此項(xiàng)錯(cuò)誤,不符合題意;C、,,則此項(xiàng)正確,符合題意;D、,,則此項(xiàng)錯(cuò)誤,不符合題意;故選：C．3．實(shí)數(shù)a與b在數(shù)軸上的位置如圖所示,則它們的大小關(guān)系是(

)A． B． C． D．無(wú)法確定【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)總大于左邊的數(shù)求解即可．【詳解】解：由圖可知,,故選：C．4．如圖,數(shù)軸上點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù),下列各式的值最小的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由數(shù)軸可知點(diǎn)C離原點(diǎn)最近,所以在、、、中最小的是;故選C．5．已知數(shù)軸上的點(diǎn)分別表示數(shù),其中,．若,數(shù)在數(shù)軸上用點(diǎn)表示,則點(diǎn)在數(shù)軸上的位置可能是(

)A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】先由,,,根據(jù)不等式性質(zhì)得出,再分別判定即可．【詳解】解：∵,,∴∵∴A、,故此選項(xiàng)不符合題意;B、,故此選項(xiàng)符合題意;C、,故此選項(xiàng)不符合題意;D、,故此選項(xiàng)不符合題意;故選：B．6．面積為9的正方形,其邊長(zhǎng)等于()A．9的平方根 B．9的算術(shù)平方根 C．9的立方根 D．5的算術(shù)平方根【答案】B【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義解答即可．【詳解】解：∵面積等于邊長(zhǎng)的平方,∴面積為9的正方形,其邊長(zhǎng)等于9的算術(shù)平方根．故選B．7．已知,則a、b、c的大小關(guān)系是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】由,,進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵,,∴,故選：C．8．下列各數(shù)中,為有理數(shù)的是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)立方根、無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的概念即可得．【詳解】解：A、,是有理數(shù),則此項(xiàng)符合題意;B、是無(wú)限不循環(huán)小數(shù),是無(wú)理數(shù),則此項(xiàng)不符合題意;C、是無(wú)理數(shù),則此項(xiàng)不符合題意;D、是無(wú)理數(shù),則此項(xiàng)不符合題意;故選：A．9．下列各數(shù)為無(wú)理數(shù)的是(

)A．0.618 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由題意知,0.618,,,均為有理數(shù),是無(wú)理數(shù),故選：C．10．已知,則與最接近的整數(shù)為()A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算,進(jìn)而估算無(wú)理數(shù)的大小即可求解．【詳解】解：∵,∴,∴與最接近的整數(shù)為,故選：B．11．從黨的二十大報(bào)告中了解到,我國(guó)互聯(lián)網(wǎng)上網(wǎng)人數(shù)達(dá)．將用科學(xué)記數(shù)法表示為．【答案】【分析】科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式,其中,n為整數(shù),確定n的值時(shí),要看把原數(shù)變成a時(shí),小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位,n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同,當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí),n是正數(shù),當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)n是負(fù)數(shù);由此進(jìn)行求解即可得到答案．【詳解】解：,故答案為：．12．,3,三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)為．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)比較大小的法則即可求出答案．【詳解】解：,,3三個(gè)數(shù)中,只有3是正數(shù),3最大．,,,．最小．故答案為：．13．計(jì)算：．【答案】3【分析】根據(jù)立方根和零指數(shù)冪計(jì)算即可．【詳解】解：,故答案為：314．如圖,數(shù)軸上的點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù),則0.(用””“”或””填空)【答案】【分析】根據(jù)數(shù)軸可得,進(jìn)而即可求解．【詳解】解：由數(shù)軸可得∴15．已知實(shí)數(shù)a,b滿足,則．【答案】【分析】由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得且,求解a,b的值,再代入計(jì)算即可．【詳