2024年中考數(shù)學復(fù)習精講精練系列：第2講-代數(shù)式概念與應(yīng)用-附解析

2024年中考數(shù)學復(fù)習精講精練系列：第2講-代數(shù)式概念與應(yīng)用-附解析2024年中考數(shù)學復(fù)習精講精練系列：第2講-代數(shù)式概念與應(yīng)用-附解析/2024年中考數(shù)學復(fù)習精講精練系列：第2講-代數(shù)式概念與應(yīng)用-附解析2024中考數(shù)學精講與精練(全國通用版)第二講 代數(shù)式考點1：整式的基本概念1.單項式、多項式、整式(1)單項式：由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做單項式,所有字母指數(shù)的和叫做單項式的次數(shù),數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù).注：①單項式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的,其中系數(shù)不能用帶分數(shù)表示,如,這種表示就是錯誤的,應(yīng)寫成;②一個單項式中,所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù).如是6次單項式.(2)多項式：由幾個單項式相加組成的代數(shù)式叫做多項式,多項式里次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做這個多項式的次數(shù),其中不含字母的項叫做常數(shù)項.(3)整式：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式.2.同類項同類項：多項式中所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項,叫做同類項.考點2：整式的運算1.整式的加減整式的加減：一般地,幾個整式相加減,如果有括號就先去括號,然后再合并同類項.2.冪的運算am·an=am+n;(am)n=amn;(ab)n=anbn;am÷an=.3.整式的乘法和除法(1)整式的乘法：單項式與單項式相乘,把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘,對于只在一個單項式里含有的字母,則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.單項式與多項式相乘：m(a+b+c)=ma+mb+mc.多項式與多項式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.(2)乘法公式：平方差公式：.完全平方公式：.(3)整式的除法：單項式除以單項式,把系數(shù)、同底數(shù)的冪分別相除,作為商的因式：對于只在被除式含有的字母,則連同它的指數(shù)作為商的因式.多項式除以單項式：先把這個多項式的每一項除以單項式,再把所得的商相加.考點3.因式分解1．因式分解：把一個多項式化成幾個因式積的形式,叫做因式分解,因式分解與整式乘法是互逆運算.2．因式分解的基本方法：(1)提取公因式法：.(2)公式法：平方差公式：.完全平方公式：.3．分解因式的一般步驟：(1)如果多項式各項有公因式,應(yīng)先提取公因式;(2)如果各項沒有公因式,可以嘗試使用公式法：為兩項時,考慮平方差公式;為三項時,考慮完全平方公式;為四項時,考慮利用分組的方法進行分解;(3)檢查分解因式是否徹底,必須分解到每一個多項式都不能再分解為止.簡單記為”一提二套三檢查”.考點4：二次根式的概念1.二次根式的概念及有意義的條件二次根式的概念形如的式子叫做二次根式．其中符號””叫做二次根號,二次根號下的數(shù)叫做被開方數(shù)．二次根式有意義的條件：要使二次根式eq\r(a)有意義,則a≥0．2.最簡二次根式：被開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù),因式是整式,不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式,叫做最簡二次根式．3.同類二次根式：化成最簡二次根式后,被開方數(shù)相同的幾個二次根式,叫做同類二次根式．考點5.二次根式的性質(zhì)(1)≥0(≥0);(2);(3);考點6.二次根式的運算1.二次根式的加減：合并同類二次根式：在二次根式的加減運算中,把幾個二次根式化為最簡二次根式后,若有同類二次根式,可把同類二次根式合并成一個二次根式．2.二次根式的乘除：乘法法則：;除法法則：．3.二次根式的混合運算：二次根式的混合運算順序與實數(shù)的運算順序一樣,先乘方,后乘除,最后加減,有括號的先算括號內(nèi)的．在運算過程中,乘法公式和有理數(shù)的運算律在二次根式的運算中仍然適用．中考數(shù)學中,代數(shù)式的考查是比較重要的,基本概念的考查方式有兩種,方式1是單獨考查,一般以選擇和填空形式考查;方式2是與綜合題混合在一起考查,比如整式的因式分解會結(jié)合分式的運算或分式方程一起考查.例題1．(2023·四川攀枝花·中考真題)以下因式分解正確的是(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】利用平方差公式,還可分解因式;利用十字相乘法,．【詳解】解：;故A不正確,不符合題意．;故B正確,符合題意．;故C,D不正確,不符合題意．故選：B．【感悟】本題考查因式分解的方法,熟練掌握因式分解的方法是本題的關(guān)鍵．例題2．(2023·甘肅蘭州·中考真題)計算：(

)A． B． C．5 D．a(chǎn)【答案】D【分析】分子分解因式,再約分得到結(jié)果．【詳解】解：,故選：D．【感悟】本題考查了分式的約分,掌握提公因式法分解因式是解題的關(guān)鍵．例題3．(2023·廣東廣州·中考真題)下列運算正確的是(

)A． B．()C． D．()【答案】C【分析】根據(jù)整式的計算法則：冪的乘方法則,同底數(shù)冪除法法則,同底數(shù)冪乘法法則,負整數(shù)指數(shù)冪計算法則分別計算判斷．【詳解】解：A、,故該項原計算錯誤;B、(),故該項原計算錯誤;C、,故該項原計算正確;D、(),故該項原計算錯誤;故選：C．【感悟】此題考查了整式的計算,理解冪的乘方法則,同底數(shù)冪除法法則,同底數(shù)冪乘法法則,負整數(shù)指數(shù)冪計算法則是解題的關(guān)鍵．例題4．(2023·內(nèi)蒙古·中考真題)下列運算正確的是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式加減的運算性質(zhì)、積的乘方的運算性質(zhì)、分式加減的運算性質(zhì)、分式乘除的運算性質(zhì)判斷即可．【詳解】A、,運算錯誤,該選項不符合題意;B、,運算錯誤,該選項不符合題意;C、,運算錯誤,該選項不符合題意;D、運算正確,該選項符合題意．故選：D．【感悟】本題主要考查二次根式加減、積的乘方、分式的加減、分式的乘除,牢記二次根式加減的運算性質(zhì)、積的乘方的運算性質(zhì)、分式加減的運算性質(zhì)、分式乘除的運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例題5．(2023·青海西寧·中考真題)下列運算正確的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的運算法則運算判斷．【詳解】解：A、,不能合并,原計算錯誤,本選項不合題意;B、,原計算錯誤,本選項不合題意;C、,計算正確,本選項符合題意;D、,注意運算順序,原計算錯誤,本選項不合題意;故選：C【感悟】本題考查二次根式的運算,乘法公式;注意掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．例題6．(2022·廣東·中考真題)單項式的系數(shù)為．【答案】3【分析】單項式中數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù),從而可得出答案．【詳解】的系數(shù)是3,故答案為：3．【感悟】此題考查了單項式系數(shù)的概念,解答本題的關(guān)鍵是掌握單項式系數(shù)的定義．例題7．(2022·江蘇宿遷·中考真題)按規(guī)律排列的單項式：,,,,,…,則第20個單項式是．【答案】【分析】觀察一列單項式發(fā)現(xiàn)偶數(shù)個單項式的系數(shù)為：奇數(shù)個單項式的系數(shù)為：而單項式的指數(shù)是奇數(shù),從而可得答案．【詳解】解：,,,,,…,由偶數(shù)個單項式的系數(shù)為：所以第20個單項式的系數(shù)為第1個指數(shù)為：第2個指數(shù)為：第3個指數(shù)為：指數(shù)為所以第20個單項式是：故答案為：【感悟】本題考查的是單項式的系數(shù)與次數(shù)的含義及規(guī)律探究,掌握”從特殊到一般的探究方法”是解本題的關(guān)鍵．例題8．(2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題)使分式有意義的x的取值范圍是．【答案】【分析】如果要使分式有意義,則分母不能為零,即可求得答案．【詳解】解：本題考查了分式有意義的條件,即,解得,故答案為：．【感悟】本題考查了分式有意義的條件,掌握分式有意義的條件是關(guān)鍵．例題9．(2023·浙江衢州·中考真題)(1)計算：;(2)化簡：．【答案】(1);(2)【分析】(1)利用平方差公式求解即可;(2)利用平方差公式和分式的性質(zhì)進行化簡即可．【詳解】解：(1);(2)．【感悟】本題考查分式的化簡,熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．例題10．(2023·遼寧丹東·中考真題)先化簡,再求值：,其中．【答案】,1【分析】先將分子分母因式分解,除法改寫為乘法,括號里面通分計算,再根據(jù)分式混合運算的運算法則和運算順序進行化簡,根據(jù)負整數(shù)冪和0次冪的運算法則,求出x的值,最后將x的值代入計算即可．【詳解】解：,∵,∴原式．【感悟】本題考查分式的化簡求值,熟練掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合運算法則,以及負整數(shù)冪和0次冪的運算法則是解題的關(guān)鍵．代數(shù)式是代數(shù)部分的基礎(chǔ).也是數(shù)學抽象的根源,好多同學感覺數(shù)學難學的原因之一就是數(shù)學太抽象,由小學數(shù)的運算到初中代數(shù)(字母)的運算,很多孩子難以接受,其實,字母與數(shù)是一樣的,字母就是來代替數(shù)的.代數(shù)式主要有三種形式：整式、分式、二次根式.學好這部分內(nèi)容重在概念和運算,一定要理解所有概念和公式,再通過一定的題組訓練,就可以很牢固的掌握.理解整式、分式、二次根式的相關(guān)概念,對涉及到的運算法則和公式一定要多問問為什么是這樣,能自己推導公式,并結(jié)合下面的題組訓練達到熟練應(yīng)用.1．下列各式運算結(jié)果中,系數(shù)與次數(shù)相等的是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)合并同類項,同底數(shù)冪的除法、冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法依次計算,然后判斷即可．【詳解】解：A、,系數(shù)與次數(shù)不相等,不符合題意;B、,系數(shù)與次數(shù)相等,符合題意;C、,系數(shù)與次數(shù)不相等,不符合題意;D、,系數(shù)與次數(shù)不相等,不符合題意;故選：B．2．下列各式中,運算結(jié)果為六次單項式的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)單項式的次數(shù),冪的乘方,積的乘方,同底數(shù)冪的乘法進行計算即可求解．【詳解】解：A．＋為多項式,次數(shù)為4,故該選項不符合題意;B．,次數(shù)為8,故該選項不符合題意;C．,次數(shù)為6,且為單項式,故該選項符合題意;D．,次數(shù)為12,故該選項不符合題意．故選C．3．多項式的次數(shù)和常數(shù)項分別是(

)A．, B．, C．, D．,【答案】C【分析】根據(jù)多項式的相關(guān)概念即可求解,幾個單項式的和叫做多項式,每個單項式叫做多項式的項,其中不含字母的項叫做常數(shù)項．多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做多項式的次數(shù)．【詳解】解：多項式的次數(shù)和常數(shù)項分別是,故選：C．4．下列各式中,是多項式的是()A． B．2023 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)多項式的定義解決此題．【詳解】解：A．根據(jù)多項式的定義,單項式,不是多項式,那么A不符合題意;B．根據(jù)多項式的定義,2023是單項式,不是多項式,那么B不符合題意;C．根據(jù)多項式的定義,是單項式,不是多項式,那么C不符合題意;D．根據(jù)多項式的定義,是多項式,那么D符合題意．故選：D．5．若的運算結(jié)果是關(guān)于x的二次二項式,則m的值等于(

)A．或0 B．2或0 C．或2 D．2或或0【答案】B【分析】先利用多項式乘法公式計算出,再根據(jù)一次項的系數(shù)或常數(shù)項為0計算m的值．【詳解】解：,運算結(jié)果是關(guān)于x的二次二項式,或,解得或,故選B．6．下列運算正確的是()A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了整式的運算,掌握整式的運算法則、運算順序和運算律是解決本題的關(guān)鍵;利用合并同類項法則、單項式乘單項式法則、積的乘方法則、同底數(shù)冪的除法法則逐個計算得結(jié)論;【詳解】解：,故選項A錯誤;,故選項B錯誤;,故選項C正確;,故選項D錯誤．故選：C．7．下列計算正確的是()A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)合并同類項、同底數(shù)冪的乘法及除法和積的乘方運算法則逐一判斷即可求解．【詳解】解：A、,原選項錯誤,故不符合題意;B、,原選項錯誤,故不符合題意;C、,原選項錯誤,故不符合題意;D、,原選項正確,故符合題意;故選D．8．下列計算正確的是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】直接利用完全平方公式以及二次根式的加減運算法則、合并同類項法則、同底數(shù)冪的乘法運算法則分別化簡,進而判斷得出答案．【詳解】解：A．,故此選項不合題意;B．,故此選項不合題意;C．,故此選項不合題意;D．,故此選項符合題意．故選：D．9．下列因式分解正確的一項是(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)因式分解的定義進行判斷即可．【詳解】解：A、不符合因式分解的定義,故本選項不符合題意;B、符合因式分解的定義,且因式分解正確,故本選項符合題意;C、,不符合因式分解的定義,故本選項不符合題意;D、,原因式分解錯誤,故本選項不符合題意;故選：B．10．已知,,則的值是()A． B．6 C． D．1【答案】A【分析】先將因式分解,再把,代入計算即可．【詳解】解：∵,,∴,故選：A．11．要使分式有意義,則x應(yīng)滿足的條件是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分式有意義的條件進行求解即可．【詳解】解：∵分式有意義,∴,∴,故選B．12．計算的值等于()A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式混合運算法則進行計算即可．【詳解】解：,故選：D．13．若為實數(shù),化簡的結(jié)果是()A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可求解．【詳解】解：依題意,,故選：D．14．下列二次根式中,為最簡二次根式的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義：被開方式不含開得盡方的數(shù),分母不帶根號或根號下不含分母的二次根式是最簡二次根式直接判斷即可得到答案;【詳解】解：,不是最簡二次根式,,不是最簡二次根式,是最簡二次根式,,不是最簡二次根式,故選：C;15．下列計算正確的是()A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根數(shù)的混合運算法則分別判斷得出答案．【詳解】解：A、和不是同類二次根式,無法合并,故此選項不合題意;B、,故此選項不合題意;C、,故此選項不合題意;D、,故此選項符合題意,故選：D．16．如果,那么代數(shù)式的值為．【答案】7【分析】此題考查了代數(shù)式求值問題,用整體代入法求解即可．【詳解】解：∵,∴,∴,故答案為：7．17．定義：任意兩個數(shù)a、b,按規(guī)則擴充得到一個新數(shù)c,稱所得的新數(shù)c為”鴻蒙數(shù)”,若,,并比較b,c的大小,bc．【答案】【分析】根據(jù)定義用x表示出c,再利用減法比較b、c的大小即可．【詳解】解：∵,,∴,∴,∴,故答案為：．18．計算的結(jié)果是．【答案】4【分析】根據(jù)平方差公式計算即可．【詳解】解：,故答案為：4．19．分解因式：．【答案】【分析】根據(jù)提取公因式,再運用公式法,可分解因式．【詳解】解：,,,故答案為：．20．已知,其中A、B為常數(shù),那么的值為．【答案】1【分析】由,可得,即可求出與的值．【詳解】解：由可得,,,,,．故答案為：1．21．若分式的值為0,則a的值為．【答案】2【分析】先進行因式分解和約分,可得,再進行求解即可．【詳解】解：原式,∵分式值為0,∴,解得：,故答案為：2．22．已知,化簡求值：．【答案】【分析】先將小括號內(nèi)的式子進行通分計算,然后再算括號外面的,最后利用整體代入思想代入求值即可．【詳解】解：,,,,原式,故答案為：．23．當時,代數(shù)式的值是．【答案】【分析】根據(jù)分式的減法法則、除法法則把原式化簡,把的值代入計算即可．【詳解】解：原式,將代入,