二元函數(shù)的極值(共14張課件)

第六節(jié)二元函數(shù)(hánshù)的極值

一、二元函數(shù)(hánshù)的極值二、二元函數(shù)(hánshù)的最大值與最小值三、條件極值

第一頁，共十四頁。

一、二元函數(shù)的極值,點(diǎn)為極大值點(diǎn),為極大值定義：設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)定義，若該鄰域內(nèi)

的某個(gè)鄰域內(nèi)有,點(diǎn)為極小值點(diǎn),為極小值第二頁，共十四頁。（亦稱點(diǎn)

為駐點(diǎn)）

定理1（極值的必要條件）:若函數(shù)

在點(diǎn)有極值，且

在點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在,則

該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必為零定理2（極值存在(cúnzài)的充分條件）:設(shè)點(diǎn)是函數(shù)(hánshù)的駐點(diǎn)(zhùdiǎn)，且函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，令第三頁，共十四頁。則(1)當(dāng)時(shí),點(diǎn)）時(shí),點(diǎn)是極值(jízhí)點(diǎn),且（i）當(dāng)（或）時(shí),點(diǎn)是極大值點(diǎn)；(ii)當(dāng)（或是極小值點(diǎn).(２)當(dāng)(３)當(dāng)時(shí),點(diǎn)不是(bùshi)極值點(diǎn)．時(shí),點(diǎn)不是(bùshi)極值點(diǎn)．可能是極值點(diǎn)也可能第四頁，共十四頁。（2）解方程組得駐點(diǎn)(zhùdiǎn)及例1

求函數(shù)的極值(jízhí)．解:（1）求偏導(dǎo)數(shù)(dǎoshù)第五頁，共十四頁。結(jié)論(jiélùn)

:在處,在處,取得(qǔdé)極大值

函數(shù)(hánshù)在處無極值函數(shù)在注意:對一般函數(shù),可能的極值點(diǎn)包括駐點(diǎn)或至少一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).第六頁，共十四頁。二、二元函數(shù)的最大值與最小值類似一元函數(shù),求多元函數(shù)(hánshù)在有界閉區(qū)域上的可能最值點(diǎn)包括(bāokuò)駐點(diǎn)和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)和邊界點(diǎn).分別求出各點(diǎn)處的函數(shù)(hánshù)值,比較其大小即可.第七頁，共十四頁。例2

在坐標(biāo)(zuòbiāo)面上找一點(diǎn)使它到三點(diǎn)(sāndiǎn)的距離(jùlí)平方和為最?。庠O(shè)為面上的任一點(diǎn),則到三點(diǎn)距離的平方和為第八頁，共十四頁。求

的偏導(dǎo)數(shù)(dǎoshù)，有解方程組得駐點(diǎn)(zhùdiǎn)由問題的實(shí)際意義知，到三點(diǎn)(sāndiǎn)距離平方和最小的點(diǎn)一定存在,又只有一個(gè)駐點(diǎn),因此即為所求點(diǎn)．第九頁，共十四頁。三、條件極值（1）條件極值

無條件極值

（2）條件極值不能轉(zhuǎn)化(zhuǎnhuà)為無條件極值（運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)(chénɡshù)法）。第十頁，共十四頁。求函數(shù)在約束條件下的極值(jízhí)，其步驟(bùzhòu)為：(1)構(gòu)造(gòuzào)輔助函數(shù),稱為拉格朗日函數(shù),其中參數(shù)稱為拉格朗日乘數(shù)；(2)解聯(lián)立方程組得可能極值點(diǎn)第十一頁，共十四頁。構(gòu)造輔助(fǔzhù)函數(shù),而體積(tǐjī)為最大的長方體的體積(tǐjī)．例8

求表面積為則長方體體積(tǐjī)解設(shè)長方體長、寬、高分別為約束條件為即為第十二頁，共十四頁。,解聯(lián)立方程(liánlìfānɡchénɡ)組解得因?yàn)?yīnwèi)是唯一可能的極值(jízhí)點(diǎn)，所以由問題的實(shí)際意義知第十三頁，共十四頁。內(nèi)容(nèiróng)總結(jié)第六節(jié)二元函數(shù)的極值。第六節(jié)二元函數(shù)的極值?？赡?kěnéng)是極值點(diǎn)也可能(kěnéng)。例1求函數(shù)。最值點(diǎn)包括駐點(diǎn)和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)和邊界點(diǎn).分別。例2在。解設(shè)。由問題的實(shí)際意義知，到三點(diǎn)距離平方和