云南省文山州馬關縣一中2025屆數(shù)學高二上期末質量檢測模擬試題含解析

云南省文山州馬關縣一中2025屆數(shù)學高二上期末質量檢測模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．橢圓的（）A.焦點在x軸上，長軸長為2 B.焦點在y軸上，長軸長為2C.焦點在x軸上，長軸長為 D.焦點在y軸上，長軸長為2．我國古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長5尺，頭部1尺，重4斤；尾部1尺，重2斤；若該金杖從頭到尾每一尺重量構成等差數(shù)列，其中重量為，則的值為（）A.4 B.12C.15 D.183．已知實數(shù)，滿足不等式組，則的最小值為（）A2 B.3C.4 D.54．已知向量為平面的法向量，點在內，點在外，則點到平面的距離為（）A. B.C. D.5．三棱錐D－ABC中，AC＝BD，且異面直線AC與BD所成角為60°，E、F分別是棱DC、AB的中點，則EF和AC所成的角等于()A.30° B.30°或60°C.60° D.120°6．若，滿足約束條件則的最大值是A.-8 B.-3C.0 D.17．如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）中，E為延長線上一點，，則=（）A. B.C. D.8．已知空間四邊形，其對角線、，、分別是邊、的中點，點在線段上，且使，用向量，表示向量是A. B.C. D.9．如圖所示，正方形邊長為2cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是（）A.16cm B.cmC.8cm D.cm10．已知曲線的方程為，則下列說法正確的是（）①曲線關于坐標原點對稱；②曲線是一個橢圓；③曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積.A.① B.①②C.③ D.①③11．如圖甲是第七屆國際數(shù)學家大會（簡稱ICME—7）的會徽圖案，其主體圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知，，，，為直角頂點，設這些直角三角形的周長從小到大組成的數(shù)列為，令，為數(shù)列的前項和，則（）A.8 B.9C.10 D.1112．已知函數(shù)在處取得極值，則的極大值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若命題“”是假命題，則a的取值范圍是_______.14．2021年7月，某市發(fā)生德爾塔新冠肺炎疫情，市衛(wèi)健委決定在全市設置多個核酸檢測點對全市人員進行核酸檢測.已知組建一個小型核酸檢測點需要男醫(yī)生1名，女醫(yī)生3名，每小時可做200人次的核酸檢測，組建一個大型核酸檢測點需要男醫(yī)生3名，女醫(yī)生3名.每小時可做300人次的核酸檢測.某三甲醫(yī)院決定派出男醫(yī)生10名、女醫(yī)生18名去做核酸檢測工作，則這28名醫(yī)生需要組建________個小型核酸檢測點和________個大型核酸檢測點，才能更高效的完成本次核酸檢測工作.15．已知向量，，不共線，點在平面內，若存在實數(shù)，，，使得，那么的值為________.16．如圖，在長方體ABCD﹣A'B'C'D'中，點P，Q分別是棱BC，CD上的動點，BC＝4，CD＝3，CC'＝2，直線CC'與平面PQC'所成的角為30°，則△PQC'的面積的最小值是__三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調性；（2）當時，記在區(qū)間的最大值為M，最小值為N，求的取值范圍.18．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，.（1）若數(shù)列中依次取出第2項，第4項，第6項，…，第項，按原來順序組成一個新數(shù)列，試求出數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面底面ABCD，，，，，（1）證明：是直角三角形；（2）求平面PCD與平面PAB的夾角的余弦值20．（12分）如圖，在正方體中，，分別為棱，的中點（1）求證：直線平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值21．（12分）已知等差數(shù)列的前n項和為，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求k的值22．（10分）已知動圓過點且動圓內切于定圓：記動圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線方程；（2）若、是曲線上兩點，點滿足求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】把橢圓方程化為標準方程可判斷焦點位置和求出長軸長.【詳解】橢圓化為標準方程為，所以，且，所以橢圓焦點在軸上，，長軸長為.故選：B.2、C【解析】先求出公差，再利用公式可求總重量.【詳解】設頭部一尺重量為，其后每尺重量依次為，由題設有，，故公差為.故中間一尺的重量為所以這5項和為.故選：C.3、B【解析】畫出可行域，找到最優(yōu)解，得最值.【詳解】畫出不等式組對應的可行域如下：平行移動直線，當直線過點時，.故選：B.4、A【解析】先求出向量，再利用空間向量中點到平面的距離公式即可求解.【詳解】解：由題知，點在內，點在外，所以又向量為平面的法向量所以點到平面的距離為：故選：A.5、B【解析】取AD中點為G，連接GF、GE，易知△EFG為等腰三角形，且∠EGF為異面直線AC和BD所成角或其補角，據(jù)此可求∠FEG大小，從而得EF和AC所成的角的大小【詳解】如圖，取AD中點為G，連接GF、GE，易知FG∥BD，GE∥AC，且FG＝，GE＝AC，故FG＝GE，∠EGF為異面直線AC和BD所成角或其補角，故∠EGF＝60°或120°故EF和AC所成角為∠FEG或其補角，當∠EGF＝60°時，∠FEG＝60°，當∠EGF＝120°時，∠FEG＝30°，∴EF和AC所成的角等于30°或60°故選：B6、C【解析】作出可行域，把變形為，平移直線過點時，最大.【詳解】作出可行域如圖：由得：，作出直線，平移直線過點時，.故選C.【點睛】本題主要考查了簡單線性規(guī)劃問題，屬于中檔題.7、A【解析】根據(jù)空間向量的加減法運算法則，直接寫出向量的表達式，即可得答案.【詳解】=,故選：A.8、C【解析】根據(jù)所給的圖形和一組基底，從起點出發(fā)，把不是基底中的向量，用是基底的向量來表示，就可以得到結論【詳解】解：故選：【點睛】本題考查向量的基本定理及其意義，解題時注意方法，即從要表示的向量的起點出發(fā)，沿著空間圖形的棱走到終點，若出現(xiàn)不是基底中的向量的情況，再重復這個過程，屬于基礎題9、A【解析】由直觀圖確定原圖形中平行四邊形中線段的長度與關系，然后計算可得【詳解】由斜二測畫法，原圖形是平行四邊形，，又，，，所以，周長為故選：A10、D【解析】對于①在方程中換為，換為可判斷；對于②分析曲線的圖形是兩個拋物線的部分組成的可判斷；對于③在第一象限內，分析橢圓的圖形與曲線圖形的位置關系可判斷.【詳解】在曲線的方程中，換為，換為，方程不變，故曲線關于坐標原點對稱所以①正確,當時，曲線的方程化為，此時當時，曲線的方程化為，此時所以曲線圖形是兩個拋物線的部分組成的，不是橢圓，故②不正確.當，時，設，設，則，（當且僅當或時等號成立）所以在第一象限內，橢圓的圖形在曲線的上方.根據(jù)曲線和橢圓的的對稱性可得橢圓的圖形在曲線的外部（四個頂點在曲線上）所以曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積，故③正確.故選：D11、B【解析】由題意可得的邊長，進而可得周長及，進而可得，可得解.【詳解】由，可得，，，，所以，，所以前項和，所以，故選：B.12、B【解析】首先求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意可得，即可求出參數(shù)的值，從而得到函數(shù)解析式，再根據(jù)導函數(shù)得到函數(shù)單調性，即可求出函數(shù)的極值點，從而求出函數(shù)的極大值；【詳解】解：因為，所以，依題意可得，即，解得，所以定義域為，且，令，解得或，令解得，即在和上單調遞增，在上單調遞減，即在處取得極大值，在處取得極小值，所以；故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】依題意可得是真命題，參變分離得到，再利用基本不等式計算可得；【詳解】解：因為命題“”是假命題，所以命題“”是真命題，即，所以，因為，當且僅當即時取等號，所以，即故答案：14、①.4②.2【解析】根據(jù)題意建立不等式組，進而作出可行域，最后通過數(shù)形結合求得答案.【詳解】設需要組建個小型核酸檢測點和個大型核酸檢測點，則每小時做核酸檢測的最高人次，作出可行域如圖中陰影部分所示，由圖可見當直線過點A時，z取得最大值，由得恰為整數(shù)點，所以組建4個小型核酸檢測點和2個大型核酸檢測點，才能更高效的完成本次核酸檢測工作.故答案為：4；2.15、1【解析】通過平面向量基本定理推導出空間向量基本定理得推論.【詳解】因為點在平面內，則由平面向量基本定理得：存在，使得：即，整理得：，又，所以，，，從而.故答案為：116、8【解析】設三棱錐C﹣C′PQ的高為h，CQ＝x，CP＝y(tǒng)，由體積法求得的關系，由直線CC’與平面C’PQ成的角為30°，得到xy≥8，再由VC﹣C′PQ＝VC′﹣CPQ，能求出△PQC'的面積的最小值【詳解】解：設三棱錐C﹣C′PQ的高為h，CQ＝x，CP＝y(tǒng)，由長方體性質知兩兩垂直，所以，，，，，所以，由得，所以，∵直線CC’與平面C’PQ成的角為30°，∴h＝2，∴，，∴xy≥8，再由體積可知：VC﹣C′PQ＝VC′﹣CPQ，得，S△C′PQ＝xy，∴△PQC'的面積的最小值是8故答案為：8三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求得，對參數(shù)進行分類討論，根據(jù)導函數(shù)函數(shù)值的正負即可判斷的單調性；（2）根據(jù)（1）中所求，求得，以及，再求其取值范圍即可.【小問1詳解】因為，故可得，令，可得或；當時，，此時在上單調遞增；當時，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；當時，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.綜上所述：當時，在上單調遞增；當時，和單調遞增，在單調遞減；當時，在和單調遞增，在單調遞減.【小問2詳解】由（1）可知：當時，在單調遞減，在單調遞增又，，故在單調遞減，在單調遞增.則的最小值；又，當時，的最大值，此時；當時，的最大值，此時，令，則，所以在上單調遞減，所以，所以；所以的取值范圍為.18、（1），；（2）.【解析】(1)利用等差數(shù)列性質求出數(shù)列公差及通項公式，由求解作答.(2)由(1)的結論求出，再用錯位相減法計算作答.【小問1詳解】等差數(shù)列中，，解得，公差，則，因此，，依題意，，所以數(shù)列的通項公式，.【小問2詳解】由(1)知，，則，因此，，，所以.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接BD，在四邊形ABCD中求得，在中，取得，得到，由線面垂直的性質證得平面，得到，再由線面垂直的判定定理，證得平面PBD，進而得到，即可證得是直角三角形（2）以為原點，以所在直線為x軸，過點且與平行直線為y軸，所在直線為z軸，建立的空間直角坐標系，分別求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：如圖所示，連接BD，因為四邊形中，可得，，，所以，，則在中，由余弦定理可得，所以，所以因為平面底面，平面底面，底面ABCD，所以平面PAB，因為平面PAB，所以，因為，，所以平面PBD因為平面PBD，所以，即是直角三角形【小問2詳解】解：由（1）知平面PAB，取AB的中點O，連接PO，因為，所以，因為平面，平面底面，平面底面，所以底面,以為原點，以所在直線為x軸，過點且與平行的直線為y軸，所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，，可得，，，設平面的一個法向量為，則，令，可得，，所以，因為是平面的一個法向量，所以，即平面與平面的夾角的余弦值為20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明，則，可證明，由平面，可得，再由線面垂直的判定定理即可求證；（2）連結，可知，所以或其補角即為異面直線與所成的角，在中由余弦定理計算的值即可求解.【小問1詳解】在正方形中，，分別為棱，的中點，則，，，所以，則，所以，即，又因為平面，面，所以，因為，所以平面【小問2詳解】連結，，可知，所以或其補角即為異面直線與所成的角，令，則，，，在中，由余弦定理可得：，故異面直線與所成角的余弦值為.21、（1）（2）10【解析】(1)設等差數(shù)列的公差為d，利用已知建立方程組，解之可求得數(shù)列的通項公式；(2)利用等差數(shù)列的前項和公式，化簡即可求解