上海市晉元高中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

上海市晉元高中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)在處有極值為，則的值為（）A. B.C. D.2．已知三維數(shù)組，，且，則實(shí)數(shù)（）A.-2 B.-9C. D.23．圓與圓的位置關(guān)系是()A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.相離4．若點(diǎn)是函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)（其中的自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則到直線的距離最小值為（）A. B.C. D.5．如圖甲是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（簡(jiǎn)稱ICME—7）的會(huì)徽?qǐng)D案，其主體圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知，，，，為直角頂點(diǎn)，設(shè)這些直角三角形的周長(zhǎng)從小到大組成的數(shù)列為，令，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.8 B.9C.10 D.116．中國(guó)景德鎮(zhèn)陶瓷世界聞名，其中青花瓷最受大家的喜愛(ài)，如圖1這個(gè)精美的青花瓷花瓶，它的頸部（圖2）外形上下對(duì)稱，基本可看作是離心率為的雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，若該頸部中最細(xì)處直徑為16厘米，瓶口直徑為20厘米，則頸部高為（）A.10 B.20C.30 D.407．執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的S的值為（）A. B.0C.1 D.28．在空間直角坐標(biāo)系中，為直線的一個(gè)方向向量，為平面的一個(gè)法向量，且，則（）A. B.C. D.9．若直線：與：互相平行，則a的值是（）A. B.2C.或2 D.3或10．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F1作直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A.3 B.4C.6 D.811．雙曲線的漸近線方程為A. B.C. D.12．如圖，直三棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等，P是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，設(shè)，若P到平面的距離為2d，則點(diǎn)P的軌跡是（）A.圓的一部分 B.橢圓的一部分C.拋物線的一部分 D.雙曲線的一部分二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．動(dòng)點(diǎn)M在圓上移動(dòng)，則M與定點(diǎn)連線的中點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)__________.14．曲線在處的切線方程是________.15．觀察式子：，，，由此歸納，可猜測(cè)一般性的結(jié)論為_(kāi)_____.16．已知向量，，若向量與向量平行，則實(shí)數(shù)______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為的曲線C上.（1）求雙曲線C的方程；（2）記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q(0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，若△OEF的面積為求直線l的方程18．（12分）已知兩條直線，.設(shè)為實(shí)數(shù)，分別根據(jù)下列條件求的值.（1）；（2）直線在軸、軸上截距之和等于.19．（12分）國(guó)家助學(xué)貸款由國(guó)家指定的商業(yè)銀行面向在校全日制高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生發(fā)放.用于幫助他們支付在校期間的學(xué)習(xí)和日常生活費(fèi).從年秋季學(xué)期起，全日制普通本專(zhuān)科學(xué)生每人每年申請(qǐng)貸款額度由不超過(guò)元提高至不超過(guò)元，助學(xué)貸款償還本金的寬限期從年延長(zhǎng)到年.假如學(xué)生甲在本科期間共申請(qǐng)到元的助學(xué)貸款，并承諾在畢業(yè)后年內(nèi)還清，已知該學(xué)生畢業(yè)后立即參加工作，第一年的月工資為元，第個(gè)月開(kāi)始，每個(gè)月工資比前一個(gè)月增加直到元，此后工資不再浮動(dòng).（1）學(xué)生甲參加工作后第幾個(gè)月的月工資達(dá)到元；（2）如果學(xué)生甲從參加工作后的第一個(gè)月開(kāi)始，每個(gè)月除了償還應(yīng)有的利息外，助學(xué)貸款的本金按如下規(guī)則償還：前個(gè)月每個(gè)月償還本金元，第個(gè)月開(kāi)始到第個(gè)月每個(gè)月償還的本金比前一個(gè)月多元，第個(gè)月償還剩余的本金.則他第個(gè)月的工資是否足夠償還剩余的本金.（參考數(shù)據(jù)：；；）20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，△的三個(gè)頂點(diǎn)分別是點(diǎn).（1）求△的外接圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線平行于直線，判斷直線與圓O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.21．（12分）已知橢圓C的兩焦點(diǎn)分別為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;⑵已知過(guò)點(diǎn)（0，2）且斜率為1的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng)度22．（10分）已知直線l經(jīng)過(guò)兩條直線2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交點(diǎn)，且與直線x+y﹣2＝0垂直（1）求直線l的方程；（2）若圓C過(guò)點(diǎn)（1，0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l被該圓所截得的弦長(zhǎng)為，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)函數(shù)在處有極值為，由，求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以，，解得a=6,b=9，=-3，故選：B2、D【解析】由空間向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解【詳解】∵，，，，，，且，∴，解得故選：D3、B【解析】判斷圓心距與兩圓半徑之和、之差關(guān)系即可判斷兩圓位置關(guān)系.【詳解】由得圓心坐標(biāo)為，半徑，由得圓心坐標(biāo)為，半徑，∴，，∴，即兩圓相交.故選：B.4、A【解析】設(shè)，，設(shè)與平行且與相切的直線與切于，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，則到直線的距離最小值為點(diǎn)到直線的距離，再求解即可.【詳解】解：設(shè)，，設(shè)與平行且與相切的直線與切于所以所以則到直線的距離為，即到直線的距離最小值為，故選：A5、B【解析】由題意可得的邊長(zhǎng)，進(jìn)而可得周長(zhǎng)及，進(jìn)而可得，可得解.【詳解】由，可得，，，，所以，，所以前項(xiàng)和，所以，故選：B.6、B【解析】設(shè)雙曲線方程為，根據(jù)已知條件可得的值，由可得雙曲線的方程，再將代入方程可得的值，即可求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線方程為由雙曲線的性質(zhì)可知：該頸部中最細(xì)處直徑為實(shí)軸長(zhǎng)，所以，可得，因?yàn)殡x心率為，即，可得，所以，所以雙曲線的方程為：，因瓶口直徑為20厘米，根據(jù)對(duì)稱性可知頸部最右點(diǎn)橫坐標(biāo)為，將代入雙曲線可得，解得：，所以頸部高為，故選：B7、A【解析】直接求出的值即可.【詳解】解：由題得，程序框圖就是求，由于三角函數(shù)的最小正周期為，，，所以.故選：A8、B【解析】由已知條件得出，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)椋瑒t，解得.故選：B.9、A【解析】根據(jù)直線：與：互相平行，由求解.【詳解】因?yàn)橹本€：與：互相平行，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，直線：，：，互相平行；當(dāng)時(shí)，直線：，：，重合；所以，故選：A10、D【解析】由的周長(zhǎng)為，結(jié)合橢圓的定義，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，即，如圖所示，根據(jù)橢圓的定義，可得的周長(zhǎng)為故選：D.11、A【解析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程知，，故選A.12、B【解析】取的中點(diǎn)，得出平面，作，在直角中，求得，以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)的軌跡方程，即可求解.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，得到平行于平面且過(guò)點(diǎn)的平面，如圖（1）（2）所示，作，則P1與E重合，則，在直角中，可得，在圖（3）中，設(shè)直三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為，且，以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，所以，即所以，整理得，所以點(diǎn)P的軌跡是橢圓的一部分.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】設(shè)，中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，中點(diǎn)，則，即，因?yàn)樵趫A上，代入得故答案為：.14、【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，把代入即可得到切線的斜率，然后根據(jù)和斜率寫(xiě)出切線的方程即可.【詳解】解：由函數(shù)知，把代入得到切線的斜率則切線方程為：，即.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題15、【解析】根據(jù)規(guī)律，不等式的左邊是個(gè)自然數(shù)倒數(shù)的平方的和，右邊分母是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，分子是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，由此可得結(jié)論【詳解】解：觀察可以發(fā)現(xiàn)，第個(gè)不等式左端有項(xiàng)，分子為1，分母依次為，，，，；右端分母為，分子成等差數(shù)列，首項(xiàng)為3，公差為2，因此第個(gè)不等式（）故答案為：（）16、2【解析】先求出的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求得答案.【詳解】由題意，，因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)使得.故答案為：2.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)雙曲線方程為(2)滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y=和【解析】（1）由雙曲線焦點(diǎn)可得值，進(jìn)而可得到的關(guān)系式，將點(diǎn)P代入雙曲線可得到的關(guān)系式，解方程組可求得值，從而確定雙曲線方程；（2）求直線方程采用待定系數(shù)法，首先設(shè)出方程的點(diǎn)斜式，與雙曲線聯(lián)立，求得相交的弦長(zhǎng)和O到直線的距離，代入面積公式可得到直線的斜率，求得直線方程試題解析：（1）由已知及點(diǎn)在雙曲線上得解得；所以，雙曲線的方程為（2）由題意直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為由得設(shè)直線與雙曲線交于、，則、是上方程的兩不等實(shí)根，且即且①這時(shí)，又即所以即又適合①式所以，直線的方程為與18、（1）；（2）.【解析】（1）由兩直線平行可得出關(guān)于的等式，求出的值，再代入兩直線方程，驗(yàn)證兩直線是否平行，由此可得出結(jié)果；（2）分析可知，求出直線在軸、軸上的截距，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【小問(wèn)1詳解】解：由，則，即，解得或.當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)重合，不合乎題意.綜上所述，；【小問(wèn)2詳解】解：對(duì)于直線，由已知可得，則，令，得；令，得.因?yàn)橹本€在軸、軸上截距之和等于，即，解得.19、（1）；（2）不能，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)甲參加工作后第個(gè)月的月工資達(dá)到元，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的不等式，結(jié)合參考數(shù)據(jù)可求得結(jié)果；（2）分析可知從第個(gè)月開(kāi)始到第個(gè)月償還的本金是首項(xiàng)為為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，計(jì)算出甲前個(gè)月償還的本金，再由甲第個(gè)月的工資可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)甲參加工作后第個(gè)月的月工資達(dá)到元，則，可得，，解得，所以，學(xué)生甲參加工作后第個(gè)月的月工資達(dá)到元.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)榧浊皞€(gè)月每個(gè)月償還本金元，第個(gè)月開(kāi)始到第個(gè)月每個(gè)月償還的本金比前一個(gè)月多元，所以，從第個(gè)月開(kāi)始到第個(gè)月償還的本金是首項(xiàng)為為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以，前個(gè)月償還的本金為，因?yàn)榈趥€(gè)月開(kāi)始，每個(gè)月工資比前一個(gè)月增加直到元，所以，第個(gè)月的工資為元，因?yàn)?，因此，甲第個(gè)月的工資不能足夠償還剩余的本金.20、（1）；（2）直線與圓O相切，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）法1：設(shè)外接圓為，由點(diǎn)在圓上，將其代入方程求參數(shù)，即可得圓的方程；法2：利用斜率的兩點(diǎn)式易得，則是△外接圓的直徑，進(jìn)而求圓心坐標(biāo)、半徑，即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）由題設(shè)有直線垂直于x軸，根據(jù)直線平行于直線及所過(guò)的點(diǎn)寫(xiě)出直線l的方程，求圓O的圓心與直線距離，并與半徑比大小，即可確定它們的位置關(guān)系.【小問(wèn)1詳解】法1：設(shè)過(guò)三點(diǎn)的圓的方程為，則，解得，所求圓的方程為，即.法2：因，所以，則是△外接圓的直徑，圓心，所以所求圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，則直線垂直于x軸，所以直線的方程為，由（1）知：圓心到直線的距離，所以直線與圓O相切.21、（1）；（2）【解析】(1)由焦點(diǎn)坐標(biāo)可求c值，a值，然后可求出b的值．進(jìn)而求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）先求出直線方程然后與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求出|AB|的長(zhǎng)度【詳