2024-2025學年廣東省佛山市南海區(qū)高一上學期開學考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省佛山市南海區(qū)2024-2025學年高一上學期開學考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列各式正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對A：原式，所以A選項錯誤；對B：原式，所以B選項錯誤；對C：原式，所以C選項錯誤；對D：顯然，所以原式，所以D選項正確.故選：D.2.如圖，已知矩形中，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在矩形中，可得，所以，因為，且，所以，可得，所以，所以.故選：C3.化簡，結果是（）A.6x-6 B.-6x+6 C.-4 D.4〖答案〗D〖解析〗∵，∴，∴，∴.故選：D.4.已知，則（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以，則，即，則.故選：A.5.因式分解（）A.B.C.D.〖答案〗B〖解析〗由.故選：B.6.若，，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，，.故選：D.7.在中，，則的長為（）A. B.4 C. D.5〖答案〗C〖解析〗根據(jù)三角形內(nèi)角和為，所以可知，則，根據(jù)正弦定理可知，代入解之可得.故選：C.8.一種產(chǎn)品今年1月份的銷售額是2萬元，3月份的銷售額是4.5萬元，從1月份到3月份，該產(chǎn)品銷售額平均每月的增長率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設銷售額平均每月的增長率為，根據(jù)題意可得：，解得.故選：A.9.開口方向向上的二次函數(shù)的圖象與軸相交于兩點，則以下結論：①；②對稱軸為；③；④.其中正確的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗由題意可知，所以，則，，，，即①③正確.故選：C.10.如圖所示，在邊長為的正方形鐵皮上剪下一個扇形和一個圓，使之恰好圍成一個圓錐，則圓錐的高為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖1，過⊙F圓心F作于E，于G，則四邊形為正方形，設小圓半徑為r，扇形半徑為R，則，小圓周長為，扇形弧長為，∵剪下一個扇形和圓恰好圍成一個圓錐，，解得，即，，∵正方形鐵皮邊長為，，，∴；在圖2中，，由勾股定理得，圓錐的高.故選：B二、填空題：本題共10小題，每小題3分，共30分.11.已知，則________．〖答案〗2或1〖解析〗將左右兩邊同時除以，可得.得，所以或2.12.如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，若，則的度數(shù)是__________．〖答案〗〖解析〗，，四邊形為的內(nèi)接四邊形，，.13.方程的兩根為，且，則____________.〖答案〗-3〖解析〗∵方程的兩根為，∴，，由題意得：；，∵，∴，，故.14.不等式：的解為______．〖答案〗或〖解析〗由，得或，解得或，所以不等式的解為或.15.在平面直角坐標系中，圓的圓心為點，半徑為2，圓的圓心為點，半徑為.若圓和圓有三條公切線，則半徑的值為__________.〖答案〗〖解析〗因為圓和圓有三條公切線，所以兩圓外切，所以，所以.16.已知，則__________.〖答案〗〖解析〗由配方得，，因，，故必須滿足，此時.17.把拋物線向左平移__________個單位，得到拋物線的〖解析〗式為.〖答案〗〖解析〗注意到，與相比較可得向左平移個單位可滿足題意.18.已知正整數(shù)n滿足：則n＝______.〖答案〗6〖解析〗依題意，，解得.19.因式分解：_______.〖答案〗〖解析〗.20.已知實數(shù)x，y滿足方程組，則____________．〖答案〗13〖解析〗，把代入，可得，，．三、解答題：本題共4小題，每小題10分，共40分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.21.已知關于的一元二次方程有實數(shù)根.（1）求的取值范圍；（2）若該方程的兩個實數(shù)根分別為，且，求的值.解：（1）根據(jù)題意，，即，解得，所以的取值范圍是.（2）由題，，，，，化簡得，，解得或3（舍去），.22.已知函數(shù)，當時，；當時，.（1）求這個函數(shù)的〖解析〗式；（2）在平面直角坐標系中畫出該函數(shù)的圖象，觀察函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）若關于的方程有4個不同實數(shù)根，請直接寫出的取值范圍.解：（1）由題意可得，解得，，.（2），當時，隨著的增大而增大（〖答案〗不唯一）.（3）方程有4個不同實數(shù)根，即函數(shù)與函數(shù)有4個不同的交點，由圖象得.23.如圖，是的直徑，點是上一點，與過點的切線垂直，垂足為點，直線與的延長線相交于點，弦平分，交于點.（1）證明：平分；（2）證明：.解：（1）由與過點的切線垂直，垂足為點知：，且，則，又為等腰三角形，則，所以，即平分.（2）連接，由弦平分，則，所以，根據(jù)已知及圓的性質(zhì)知，又等腰三角形，則，結合（1）知，所以，則.24.一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項，常用符號表示，第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項，常用符號表示，，第個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第項，常用符號表示.定義：一個正整數(shù)稱為“漂亮數(shù)”，當且僅當存在一個數(shù)列，滿足①②③：①都是正整數(shù)；②；③.（1）寫出最小的“漂亮數(shù)”；（2）當時，求出所有的“漂亮數(shù)”.解：（1）若是“漂亮數(shù)”，設，滿足，則，所以，即，故，得，則，所以，此時，假設，則，又，所以全部可能取值為，經(jīng)驗證，上述的取值都不等于1，不符合題意.所以，又，故6為“漂亮數(shù)”，所以最小的“漂亮數(shù)”是6.（2）若，設，滿足，則，所以，即，而，所以，即，故，得，即，又，所以，而，故，即.若，則，所以.假設，則，矛盾.故，所以，得.故，則，得，又，所以.又，矛盾，故或.當時，有，得，則，得，即.由，得，分別代入，使得為正整數(shù)的有，對應的分別為.當時，有，得，則，得，即.由，得，分別代入，使得為正整數(shù)的有，對應的分別為.綜上，滿足條件的全部為.廣東省佛山市南海區(qū)2024-2025學年高一上學期開學考試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列各式正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗對A：原式，所以A選項錯誤；對B：原式，所以B選項錯誤；對C：原式，所以C選項錯誤；對D：顯然，所以原式，所以D選項正確.故選：D.2.如圖，已知矩形中，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在矩形中，可得，所以，因為，且，所以，可得，所以，所以.故選：C3.化簡，結果是（）A.6x-6 B.-6x+6 C.-4 D.4〖答案〗D〖解析〗∵，∴，∴，∴.故選：D.4.已知，則（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以，則，即，則.故選：A.5.因式分解（）A.B.C.D.〖答案〗B〖解析〗由.故選：B.6.若，，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，，.故選：D.7.在中，，則的長為（）A. B.4 C. D.5〖答案〗C〖解析〗根據(jù)三角形內(nèi)角和為，所以可知，則，根據(jù)正弦定理可知，代入解之可得.故選：C.8.一種產(chǎn)品今年1月份的銷售額是2萬元，3月份的銷售額是4.5萬元，從1月份到3月份，該產(chǎn)品銷售額平均每月的增長率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設銷售額平均每月的增長率為，根據(jù)題意可得：，解得.故選：A.9.開口方向向上的二次函數(shù)的圖象與軸相交于兩點，則以下結論：①；②對稱軸為；③；④.其中正確的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗由題意可知，所以，則，，，，即①③正確.故選：C.10.如圖所示，在邊長為的正方形鐵皮上剪下一個扇形和一個圓，使之恰好圍成一個圓錐，則圓錐的高為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖1，過⊙F圓心F作于E，于G，則四邊形為正方形，設小圓半徑為r，扇形半徑為R，則，小圓周長為，扇形弧長為，∵剪下一個扇形和圓恰好圍成一個圓錐，，解得，即，，∵正方形鐵皮邊長為，，，∴；在圖2中，，由勾股定理得，圓錐的高.故選：B二、填空題：本題共10小題，每小題3分，共30分.11.已知，則________．〖答案〗2或1〖解析〗將左右兩邊同時除以，可得.得，所以或2.12.如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，若，則的度數(shù)是__________．〖答案〗〖解析〗，，四邊形為的內(nèi)接四邊形，，.13.方程的兩根為，且，則____________.〖答案〗-3〖解析〗∵方程的兩根為，∴，，由題意得：；，∵，∴，，故.14.不等式：的解為______．〖答案〗或〖解析〗由，得或，解得或，所以不等式的解為或.15.在平面直角坐標系中，圓的圓心為點，半徑為2，圓的圓心為點，半徑為.若圓和圓有三條公切線，則半徑的值為__________.〖答案〗〖解析〗因為圓和圓有三條公切線，所以兩圓外切，所以，所以.16.已知，則__________.〖答案〗〖解析〗由配方得，，因，，故必須滿足，此時.17.把拋物線向左平移__________個單位，得到拋物線的〖解析〗式為.〖答案〗〖解析〗注意到，與相比較可得向左平移個單位可滿足題意.18.已知正整數(shù)n滿足：則n＝______.〖答案〗6〖解析〗依題意，，解得.19.因式分解：_______.〖答案〗〖解析〗.20.已知實數(shù)x，y滿足方程組，則____________．〖答案〗13〖解析〗，把代入，可得，，．三、解答題：本題共4小題，每小題10分，共40分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.21.已知關于的一元二次方程有實數(shù)根.（1）求的取值范圍；（2）若該方程的兩個實數(shù)根分別為，且，求的值.解：（1）根據(jù)題意，，即，解得，所以的取值范圍是.（2）由題，，，，，化簡得，，解得或3（舍去），.22.已知函數(shù)，當時，；當時，.（1）求這個函數(shù)的〖解析〗式；（2）在平面直角坐標系中畫出該函數(shù)的圖象，觀察函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；（3）若關于的方程有4個不同實數(shù)根，請直接寫出的取值范圍.解：（1）由題意可得，解得，，.（2），當時，隨著的增大而增大（〖答案〗不唯一）.（3）方程有4個不同實數(shù)根，即函數(shù)與函數(shù)有4個不同的交點，由圖象得.23.如圖，是的直徑，點是上一點，與過點的切線垂直，垂足為點，直線與的延長線相交于點，弦平分，交于點.（1）證明：平分；（2）證明：.解：（1）由與過點的切線垂直，垂足為點知：，且，則，又為等腰三角形，則，所以，即平分.（2）連接，由弦平分，則，所以，根據(jù)已知及圓的性質(zhì)知，又等腰三角形，則，結合（1）知，所以，則.24.一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項，常用符號表示，第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項，常用符號表示，，第個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第項，常用符號表示.定義：一個正整數(shù)稱為“漂亮數(shù)”，當且僅當存在一個數(shù)列，滿足①②③：①都是正整數(shù)；②；③.（1）寫出最小的“漂亮數(shù)”；（2）當時，求出所有的“漂亮數(shù)”.解：（1）若是“漂亮數(shù)”，設，