2024屆湖北省鄂東南省示范高中教改聯(lián)盟校高三下學(xué)期五月模擬考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省鄂東南省示范高中教改聯(lián)盟校2024屆高三下學(xué)期五月模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A.3 B. C.4 D.5〖答案〗B〖解析〗由，則，所以.故選：B.2.已知集合，則下列表述正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗表示是的含義是正奇數(shù)除以4，表示的含義是整數(shù)除以4,所以，故選：C.3.已知向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，因為，所以，解得，，即向量在向量上的投影向量為.故選：A4.被9除的余數(shù)為（）A.1 B.4 C.5 D.8〖答案〗B〖解析〗其中是9的整數(shù)倍.故被9除的余數(shù)為4.故選：B.5.已知數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，可得.由，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，可得，故A正確，C錯誤.當(dāng)時，；當(dāng)且僅當(dāng)時取等，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，故B，D都錯誤.故選：A.6.已知拋物線的焦點為，過的直線與與交于兩點（點在軸上方），點，若，則的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)Ax1,，即，由得，，的方程為，由得，，，，，故.故選：B.7.已知點是直線上的動點，由點向圓引切線，切點分別為且，若滿足以上條件的點有且只有一個，則（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗連接，則.又，所以四邊形為正方形，，于是點在以點為圓心，為半徑的圓上.又由滿足條件的點有且只有一個，則圓與直線相切，所以點到直線的距離，解得.故選：D.8.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，設(shè)，則，當(dāng)時，在1,+∞上單調(diào)遞增，∴f107>f，又，設(shè)gx則，令，則，在1,+∞上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，，，故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的有（）A.“與是互斥事件”是“與互為對立事件”的必要不充分條件B.的下四分位數(shù)為95C.在經(jīng)驗回歸方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個單位時，響應(yīng)變量將平均減少個單位D.隨機(jī)變量服從二項分布，則，且的概率最大〖答案〗ACD〖解析〗對于A，與是互斥事件，與不一定互為對立事件，故充分性不成立；與互為對立事件，則與是互斥事件，故必要性成立.所以，“與是互斥事件”是“與互為對立事件”的必要不充分條件，所以A正確；對于B，共有9個數(shù)據(jù)，而，故下四分位數(shù)為從小到大排列的第3個數(shù)據(jù)，即為91，所以B錯誤；對于C，在經(jīng)驗回歸方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個單位時，則減小，即響應(yīng)變量將平均減少個單位，故C正確；對于D，.而的概率最大，所以D正確.故選：ACD.10.如圖，有一個正四面體ABCD，其棱長為1．下列關(guān)于說法中正確的是（）A.過棱AC的截面中，截面面積的最小值為B.若為棱BD(不含端點)上的動點，則存在點P使得C.若M，N分別為直線AC，BD上的動點，則M，N兩點的距離最小值為D.與該正四面體各個頂點的距離都相等的截面有10個〖答案〗AC〖解析〗對于，設(shè)截面與棱BD的交點為，如圖，過棱AC的截面為，則為棱BD的中點時，的面積取得最小值，在等腰中，，可求得，故正確；對于B，因為，所以，所以，設(shè)，則，在中，，所以，故B錯誤；對于C，取線段AC，BD的中點分別為M，N，因為，所以在等腰中，MN為底邊上的中線，則，同理可證，故MN為線段AC，BD的公垂線，所以M，N分別為線段AC，BD的中點時，M，N的距離最小，此時，所以，即M，N兩點的距離最小值為，故C正確；對于D，與正四面體各個頂點的距離都相等的截面分為以下兩類：（1）平行于正四面體的一個面，且到頂點和到底面距離相等，這樣的截面有4個；（2）平行于正四面體的兩條對棱，且到兩條對棱距離相等，這樣的截面有3個，故與正四面體各個頂點的距離都相等的截面共有7個，故D錯誤．故選：AC．11.已知，下列結(jié)論正確的是（）A.若的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱，則可以等于B.若在0,π上恰有3個零點，則的取值范圍是C.若在上恰有3個零點，則的取值范圍是D.若在上單調(diào)，且，則的最小正周期為〖答案〗BD〖解析〗A項，向在平移個單位長度后，得到的函數(shù)為，由所得圖象關(guān)于軸對稱，，即，不可能取，故A錯誤.B項，時，，故，即，故B正確.C項，由得，的所有零點為.不妨設(shè)是在上的三個零點，則，，解得且.由得，由得，故.當(dāng)時，且；當(dāng)時，且，.綜上可知，或，故C錯誤D項，因為在區(qū)間上單調(diào)，，故.由，且區(qū)間上單調(diào)，為的一個對稱中心.又，且，為的一條對稱軸.而，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線在點處的切線為，則在軸上的截距是______.〖答案〗〖解析〗，的方程為.令得，，故在軸上的截距是－1.13.斜率為1的直線與雙曲線交于兩點，點是上的一點，滿足的重心分別為的外心為.記直線，的斜率為.若，則雙曲線的離心率為______.〖答案〗2〖解析〗不妨取的中點.因為的重心為，且在中線上，所以.由中點弦結(jié)論知，，，，因為，所以，，又由，可得的外心為的中點，于是由中點弦結(jié)論知，又，所以，即.由得，，解得，所以雙曲線的離心率.14.設(shè)是絕對值不大于10的整數(shù)，函數(shù)滿足，則的所有可能取值組成的集合為______.〖答案〗〖解析〗首先，我們來證明一元三次方程的韋達(dá)定理，我們設(shè)一元三次方程三個根分別為，而可化為，也可以寫成，將展開，合并同類項，得到，所以，，，所以一元三次方程的韋達(dá)定理得證，接著證明是的零點.事實上，設(shè)，則，其中是整數(shù)，假設(shè)，即，而，而是整數(shù)且是無理數(shù)，所以，故，必定是整數(shù)，且整數(shù)相減的結(jié)果不可能在，從而，因為，故f2-3>100，而，矛盾故，即，所以.設(shè)的三個根為，其中，則，，得，所以.由及，所以我們得到，解得，也可得到，解得，而是絕對值不大于10的整數(shù)，得到，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若點是邊上一點，且，求的值.解：（1）由及正弦定理得，整理得，又由余弦定理及三角形內(nèi)角性質(zhì)得，.（2），記，則.在Rt中，.①在中，由正弦定理得.②由①②及得，即，解得.由，解得，故.16.如圖，四邊形是圓臺的軸截面，是圓臺的母線，點C是的中點．已知，點M是BC的中點．（1）若直線與直線所成角為，證明：平面；（2）記直線與平面ABC所成角為，平面與平面的夾角為，若，求．（1）證明：連接，則四邊形是直角梯形.過作于N，則四邊形是矩形，，連接，，為的中點.又M為的中點，平面，，平面又平面，，在中，，為的中點，又，，平面，，平面又平面，，，OB，平面，，平面（2）解：以O(shè)為原點，直線OC，OB，分別為x，y，z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，設(shè)平面的法向量，則，取得，，設(shè)平面的法向量，則，取得，解得在中，，由（1）知，17.為了推動“體育助力鄉(xiāng)村振興”，豐富人民群眾的文化生活，某地決定舉辦“村超”足球友誼賽.比賽邀請本地兩支村足球隊（實力相當(dāng)）和外地兩支村足球隊（實力相當(dāng)）參加.賽事規(guī)定：（1）比賽分為兩個階段，第一階段：四支球隊分成兩組，每組進(jìn)行一場比賽；第二階段：第一階段的勝者之間、負(fù)者之間各進(jìn)行一場比賽，前者決出第一、二名，后者決出第三、四名.（2）第一階段分組方案：采取抽簽法，每組本地一支球隊、外地一支球隊.已知各場比賽的勝率和上座率均互相獨立，單場比賽的勝率和上座率如下：勝率本地隊外地隊本地隊0.50.6外地隊0.40.5上座率本地隊外地隊本地隊0.81外地隊10.8（1）第二階段兩場比賽上座率之和記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）求本地足球隊獲得第一名的概率.解：（1）的取值為，2.當(dāng)時，第一階段比賽本地隊均勝或均負(fù)，所以.當(dāng)時，第一階段比賽本地隊一勝或一負(fù)，所以.分布列為1.620.520.48（2）記本地兩支球隊為甲、乙，外地兩支球隊為丙、丁，則第一階段有兩種分組方法：①甲、丙一組，乙、丁一組；②甲、丁一組，乙、丙一組，分別記為事件，則.記事件“甲勝乙”為，事件“甲勝丙”為，事件“甲勝丁”為，事件“乙勝丁”為，記事件“甲獲得第一名”為，則，同理.記事件“乙獲得第一名”為，同理可得.本地足球隊獲得第一名的概率為.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓的方程分別為和.以坐標(biāo)原點為端點作射線，與圓和圓分別交于兩點.過作軸的垂線，過作軸的垂線，兩垂線交于點，設(shè)點的軌跡為.（1）求點的軌跡的方程；（2）若曲線與軸交于兩點（點位于點上方）.已知點，直線，分別和曲線交于點，直線交軸于點，求的取值范圍.解：（1）如圖①所示，記以射線為終邊的角為，則.設(shè)Px,y，則，所以，故點的軌跡的方程為.（2）如圖②所示，由題意可知，直線的斜率存在.設(shè)，直線為.由得，，則.又.由得，所以.所以，即，即.將韋達(dá)定理代入上式得.上式化簡得，解得.所以直線過定點，故.設(shè)，則，代入橢圓方程有，即，即，則，即.故.19.在數(shù)值計算中，帕德近似是一種常用的逼近方法．給定兩個正整數(shù)，若函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，其中為函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)．對于給定的正整數(shù)，函數(shù)的階帕德近似是唯一的，函數(shù)的帕德近似記為．例如，．（1）證明：當(dāng)時，；（2）當(dāng)時，比較與的大小；（3）數(shù)列滿足，記，求證：．（1）證明：令，則，故時，為增函數(shù)，，故當(dāng)時，，令，則，故時，為增函數(shù)，，故當(dāng)時，，綜上可知，當(dāng)時，．（2）解：令，則，設(shè)，則，故在上為減函數(shù)，所以當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，時，，所以，故當(dāng)時，．（3）解：令，則，引理：若，則，事實上，令，則，故，又時，，且，所以，即，由引理可知，這樣一直下去，有，令，由當(dāng)時，，則，故，由及知，所以由（2）可知，當(dāng)時，，故，，累加可知，，且時也滿足，故，故，綜上可知，．湖北省鄂東南省示范高中教改聯(lián)盟校2024屆高三下學(xué)期五月模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A.3 B. C.4 D.5〖答案〗B〖解析〗由，則，所以.故選：B.2.已知集合，則下列表述正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗表示是的含義是正奇數(shù)除以4，表示的含義是整數(shù)除以4,所以，故選：C.3.已知向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，因為，所以，解得，，即向量在向量上的投影向量為.故選：A4.被9除的余數(shù)為（）A.1 B.4 C.5 D.8〖答案〗B〖解析〗其中是9的整數(shù)倍.故被9除的余數(shù)為4.故選：B.5.已知數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，可得.由，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，可得，故A正確，C錯誤.當(dāng)時，；當(dāng)且僅當(dāng)時取等，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，故B，D都錯誤.故選：A.6.已知拋物線的焦點為，過的直線與與交于兩點（點在軸上方），點，若，則的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)Ax1,，即，由得，，的方程為，由得，，，，，故.故選：B.7.已知點是直線上的動點，由點向圓引切線，切點分別為且，若滿足以上條件的點有且只有一個，則（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗連接，則.又，所以四邊形為正方形，，于是點在以點為圓心，為半徑的圓上.又由滿足條件的點有且只有一個，則圓與直線相切，所以點到直線的距離，解得.故選：D.8.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，設(shè)，則，當(dāng)時，在1,+∞上單調(diào)遞增，∴f107>f，又，設(shè)gx則，令，則，在1,+∞上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，，，故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的有（）A.“與是互斥事件”是“與互為對立事件”的必要不充分條件B.的下四分位數(shù)為95C.在經(jīng)驗回歸方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個單位時，響應(yīng)變量將平均減少個單位D.隨機(jī)變量服從二項分布，則，且的概率最大〖答案〗ACD〖解析〗對于A，與是互斥事件，與不一定互為對立事件，故充分性不成立；與互為對立事件，則與是互斥事件，故必要性成立.所以，“與是互斥事件”是“與互為對立事件”的必要不充分條件，所以A正確；對于B，共有9個數(shù)據(jù)，而，故下四分位數(shù)為從小到大排列的第3個數(shù)據(jù)，即為91，所以B錯誤；對于C，在經(jīng)驗回歸方程中，當(dāng)解釋變量每增加1個單位時，則減小，即響應(yīng)變量將平均減少個單位，故C正確；對于D，.而的概率最大，所以D正確.故選：ACD.10.如圖，有一個正四面體ABCD，其棱長為1．下列關(guān)于說法中正確的是（）A.過棱AC的截面中，截面面積的最小值為B.若為棱BD(不含端點)上的動點，則存在點P使得C.若M，N分別為直線AC，BD上的動點，則M，N兩點的距離最小值為D.與該正四面體各個頂點的距離都相等的截面有10個〖答案〗AC〖解析〗對于，設(shè)截面與棱BD的交點為，如圖，過棱AC的截面為，則為棱BD的中點時，的面積取得最小值，在等腰中，，可求得，故正確；對于B，因為，所以，所以，設(shè)，則，在中，，所以，故B錯誤；對于C，取線段AC，BD的中點分別為M，N，因為，所以在等腰中，MN為底邊上的中線，則，同理可證，故MN為線段AC，BD的公垂線，所以M，N分別為線段AC，BD的中點時，M，N的距離最小，此時，所以，即M，N兩點的距離最小值為，故C正確；對于D，與正四面體各個頂點的距離都相等的截面分為以下兩類：（1）平行于正四面體的一個面，且到頂點和到底面距離相等，這樣的截面有4個；（2）平行于正四面體的兩條對棱，且到兩條對棱距離相等，這樣的截面有3個，故與正四面體各個頂點的距離都相等的截面共有7個，故D錯誤．故選：AC．11.已知，下列結(jié)論正確的是（）A.若的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱，則可以等于B.若在0,π上恰有3個零點，則的取值范圍是C.若在上恰有3個零點，則的取值范圍是D.若在上單調(diào)，且，則的最小正周期為〖答案〗BD〖解析〗A項，向在平移個單位長度后，得到的函數(shù)為，由所得圖象關(guān)于軸對稱，，即，不可能取，故A錯誤.B項，時，，故，即，故B正確.C項，由得，的所有零點為.不妨設(shè)是在上的三個零點，則，，解得且.由得，由得，故.當(dāng)時，且；當(dāng)時，且，.綜上可知，或，故C錯誤D項，因為在區(qū)間上單調(diào)，，故.由，且區(qū)間上單調(diào)，為的一個對稱中心.又，且，為的一條對稱軸.而，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線在點處的切線為，則在軸上的截距是______.〖答案〗〖解析〗，的方程為.令得，，故在軸上的截距是－1.13.斜率為1的直線與雙曲線交于兩點，點是上的一點，滿足的重心分別為的外心為.記直線，的斜率為.若，則雙曲線的離心率為______.〖答案〗2〖解析〗不妨取的中點.因為的重心為，且在中線上，所以.由中點弦結(jié)論知，，，，因為，所以，，又由，可得的外心為的中點，于是由中點弦結(jié)論知，又，所以，即.由得，，解得，所以雙曲線的離心率.14.設(shè)是絕對值不大于10的整數(shù)，函數(shù)滿足，則的所有可能取值組成的集合為______.〖答案〗〖解析〗首先，我們來證明一元三次方程的韋達(dá)定理，我們設(shè)一元三次方程三個根分別為，而可化為，也可以寫成，將展開，合并同類項，得到，所以，，，所以一元三次方程的韋達(dá)定理得證，接著證明是的零點.事實上，設(shè)，則，其中是整數(shù)，假設(shè)，即，而，而是整數(shù)且是無理數(shù)，所以，故，必定是整數(shù)，且整數(shù)相減的結(jié)果不可能在，從而，因為，故f2-3>100，而，矛盾故，即，所以.設(shè)的三個根為，其中，則，，得，所以.由及，所以我們得到，解得，也可得到，解得，而是絕對值不大于10的整數(shù)，得到，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若點是邊上一點，且，求的值.解：（1）由及正弦定理得，整理得，又由余弦定理及三角形內(nèi)角性質(zhì)得，.（2），記，則.在Rt中，.①在中，由正弦定理得.②由①②及得，即，解得.由，解得，故.16.如圖，四邊形是圓臺的軸截面，是圓臺的母線，點C是的中點．已知，點M是BC的中點．（1）若直線與直線所成角為，證明：平面；（2）記直線與平面ABC所成角為，平面與平面的夾角為，若，求．（1）證明：連接，則四邊形是直角梯形.過作于N，則四邊形是矩形，，連接，，為的中點.又M為的中點，平面，，平面又平面，，在中，，為的中點，又，，平面，，平面又平面，，，OB，平面，，平面（2）解：以O(shè)為原點，直線OC，OB，分別為x，y，z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，設(shè)平面的法向量，則，取得，，設(shè)平面的法向量，則，取得，解得在中，，由（1）知，17.為了推動“體育助力鄉(xiāng)村振興”，豐富人民群眾的文化生活，某地決定舉辦“村超”足球友誼賽.比賽邀請本地兩支村足球隊（實力相當(dāng)）和外地兩支村足球隊（實力相當(dāng)）參加.賽事規(guī)定：（1）比賽分為兩個階段，第一階段：四支球隊分成兩組，每組進(jìn)行一場比賽；第二階段：第一階段的勝者之間、負(fù)者之間各進(jìn)行一場比賽，前者決出第一、二名，后者決出第三、四名.（2）第一階段分組方案：采取抽簽法，每組本地一支球隊、外地一支球隊.已知各場比賽的勝率和上座率均互相獨立，單場比賽的勝率和上座率如下：勝率本地隊外地隊本地隊0.50.6外地隊0.40.5上座率本地隊外地隊本地隊0.81外地隊10.8（1）第二階段兩場比賽上座率之和記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）求本地足球隊獲得第一名的概率.解：（1）的取值為