2024屆湖北省十堰市鄖陽區(qū)高三下學期5月月考數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省十堰市鄖陽區(qū)2024屆高三下學期5月月考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以.故選：A.2.若，則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，所以，所以，故選：B.3.展開式中的系數為（）A. B.5 C.15 D.35〖答案〗A〖解析〗若要產生這一項，則當在中取1時，再在中取2個、取4個1，當在中取時，再在中取3個、取3個1，所以展開式中的系數為.故選：A.4.已知是等比數列，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設等比數列an的公比為，因為，所以，得到，所以，由，得到，所以，故選：C.5.某單位設置了a，b，c三檔工資，已知甲、乙、丙三人工資各不相同，且甲的工資比c檔高，乙的工資比b檔高，丙領取的不是b檔工資，則甲、乙、丙領取的工資檔次依次為（）A.a，b，c B.b，a，c C.a，c，b D.b，c，a〖答案〗B〖解析〗由丙領取的不是b檔工資，乙的工資比b檔高，可得只有甲領取的是b檔工資；又由甲的工資比c檔高和乙的工資比b檔高推出乙只能領取檔工資；而從甲、乙、丙三人工資各不相同可推出丙只能領取c檔工資；所以甲、乙、丙領取的工資檔次依次為b，a，c.故選：B.6.三棱錐中，平面，．若該三棱錐的最長的棱長為9，最短的棱長為3，則該三棱錐的最大體積為（）A. B. C.18 D.36〖答案〗C〖解析〗因為平面，平面，所以，，故，因為，所以，故，則該三棱錐的最長的棱為，故，最短的棱為或，當最短的棱為，即時，由勾股定理得，故，故，當且僅當時，等號成立，故三棱錐體積為，當最短的棱為，即時，設，則，則，故，三棱錐體積為，當且僅當，即時，等號成立，當最短的棱為，即時，設，則，則，故，三棱錐體積為，當且僅當，即時，等號成立，綜上，該三棱錐的最大體積為18.故選：C.7.在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P在C上，且，，則C的離心率為（）A. B. C.3 D.2〖答案〗D〖解析〗如圖所示，根據雙曲線的定義，，，在中，由余弦定理得,即，又因，所以，所以，即.在中，由余弦定理得，，且,所以，化解得，即，，，所以，即，則故離心率.故選：D.8.已知函數的定義域為R，且，則下列結論一定成立的是（）A. B.為偶函數C.有最小值 D.在上單調遞增〖答案〗C〖解析〗由于函數的定義域為R，且，令，則，得，時，恒成立，無法確定，A不一定成立；由于不一定成立，故不一定為偶函數，B不確定；由于的對稱軸為與的位置關系不確定，故在上不一定單調遞增，D也不確定，由于表示開口向上的拋物線，故函數必有最小值，C正確，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某同學投籃兩次，第一次命中率為．若第一次命中，則第二次命中率為；若第一次未命中，則第二次命中率為．記為第i次命中，X為命中次數，則（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，易知，故A正確；對于D，易知，故D正確；對于B、C，易知可取，則,，所以，，故B正確；C錯誤；故選：ABD.10.已知內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，外接圓半徑為R．若，且，則（）A. B.面積的最大值為C. D.邊上的高的最大值為〖答案〗AD〖解析〗在中，由及正弦定理，得，而，則，由余弦定理得，而，解得，對于A，，A正確；對于B，顯然，當且僅當時取等號，，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，令邊上的高為，則，解得，D正確.故選：AD.11.已知函數，則（）A.曲線在處的切線斜率為B.方程有無數個實數根C.曲線上任意一點與坐標原點連線的斜率均小于D.在上單調遞減〖答案〗BCD〖解析〗對于A，，則，故，A錯誤；對于B，由于為周期函數，當時，，故的圖象大致如圖示：結合圖象可知，當x增大到一定數值滿足后，大于的數將有無數個滿足，B正確；對于C，設為y=fx上任意一點，則，由于，故，由于時，，故曲線y=fx上任意一點與坐標原點連線的斜率在時才取到正值，則時，取正值時，，取負值時，顯然成立；設，則，當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，故，由于取等號條件和取等號條件不一致，故，C正確；對于D，設，則，故在上單調遞減，則，則；設，，故在1,+∞上單調遞減，D正確，故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.數列滿足，若，，則數列的前20項的和為______．〖答案〗210〖解析〗數列滿足，若，，則，所以數列的奇數項、偶數項分別構成以1，2為首項，公差均為2的等差數列所以數列的前20項的和為.13.在正四棱柱中，，，M，N分別是，中點，則平面MNC1截該四棱柱所得截面的周長為______．〖答案〗〖解析〗延長相交于點，連接交于點，連接，因為正四棱柱中，，，M，N分別是，的中點，所以MN=AM2+AN因為∽，，故，，在上取點，連接，則，同理可知，所以四邊形為平行四邊形，故四點共面，則平面MNC1截該四棱柱所得的截面為五邊形，，同理，故截面周長為.14.已知拋物線與圓相交于四個不同的點，則r的取值范圍為______，四邊形面積的最大值為______．〖答案〗〖解析〗聯(lián)立，由題意知該方程有兩個不等正根，即，所以；如圖所示，由圖形的對稱性，不妨設，易知四邊形為等腰梯形，其面積為，又點在拋物線上則有：，而，所以，，則，令，則，令，易得時，此時單調遞增，時，此時單調遞減，即，則，時取得等號.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.近年來，我國眾多新能源汽車制造企業(yè)迅速崛起．某企業(yè)著力推進技術革新，利潤穩(wěn)步提高．統(tǒng)計該企業(yè)2019年至2023年的利潤（單位：億元），得到如圖所示的散點圖．其中2019年至2023年對應的年份代碼依次為1，2，3，4，5．（1）根據散點圖判斷，和哪一個適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億元）關于年份代碼x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據（1）中的判斷結果，建立y關于x的回歸方程；（3）根據（2）的結果，估計2024年的企業(yè)利潤．參考公式及數據；，，，，，，解：（1）由散點圖的變化趨勢，知適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億元）關于年份代碼x的回歸方程類型；（2）由題意得：，，，，所以；（3）令，，估計2024年的企業(yè)利潤為99.25億元．16.如圖，在三棱臺中，平面平面，，，．（1）求三棱臺的高；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求．解：（1）作于點O，因為平面平面，平面平面，平面，，所以平面，即為三棱臺高，又因為平面，所以，連接，因為，，所以，，平面，所以平面，又平面，所以，，，所以，，所以三棱臺的高為；（2）以O為原點，在面內，作，以，，所在的直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，設平面的法向量為，則，可取，設，則，設直線與平面所成角為，，化簡得，解得，或（舍去，因為，則，所以），所以．17.已知函數，其中且．（1）若是偶函數，求a的值；（2）若時，，求a的取值范圍．解：（1）由題意，，即，解得，或（舍），經檢驗時，是偶函數，所以a的值為；（2）當時，，成立；當且時，，，又已證，故此時符合題意；當時，，因為函數都是增函數，所以函數f'x在上單調遞增，且，故存在，使得當時，，從而單調遞減，所以，存在，使得，此時不合題意．綜上所述，且．18.已知點在橢圓上，到的兩焦點的距離之和為．（1）求的方程；（2）過拋物線上一動點，作的兩條切線分別交于另外兩點．（ⅰ）當為的頂點時，求直線在軸上的截距（結果用含有的式子表示）；（ⅱ）是否存在，使得直線總與相切．若存在，求的值；若不存在，說明理由．解：（1）由題意，得．又在上，得，從而，故E的方程為．（2）（ⅰ）當為的頂點時，，不妨設在第一象限，直線的方程為，聯(lián)立的方程為，可得．由，得．聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程，可得，則點的縱坐標為，由對稱性知，故直線在軸上的截距為．（ⅱ）要使（2）中的直線與相切，必有，即，解得或（舍去）．設Px1,y1，Qx2,y直線方程為，即．聯(lián)立橢圓方程可得，由可得，即．同理可得．因為直線同時經過點，所以的直線方程為．聯(lián)立橢圓方程可得，于是．故直線與橢圓相切，因此符合題意．19.高斯二項式定理廣泛應用于數學物理交叉領域．設，，記，，并規(guī)定．記，并規(guī)定．定義（1）若，求和；（2）求；（3）證明：．（1）解：若，，而；（2）解：當時，．當時，由，可得．因此，；（3）證明：要證，只需證，令，一方面，，另一方面，，當且時，由于，比較兩式中的系數可得，則，由可知，當時，由，可知：，此時命題也成立．當時，也成立．綜上所述，．湖北省十堰市鄖陽區(qū)2024屆高三下學期5月月考數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以.故選：A.2.若，則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，所以，所以，故選：B.3.展開式中的系數為（）A. B.5 C.15 D.35〖答案〗A〖解析〗若要產生這一項，則當在中取1時，再在中取2個、取4個1，當在中取時，再在中取3個、取3個1，所以展開式中的系數為.故選：A.4.已知是等比數列，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設等比數列an的公比為，因為，所以，得到，所以，由，得到，所以，故選：C.5.某單位設置了a，b，c三檔工資，已知甲、乙、丙三人工資各不相同，且甲的工資比c檔高，乙的工資比b檔高，丙領取的不是b檔工資，則甲、乙、丙領取的工資檔次依次為（）A.a，b，c B.b，a，c C.a，c，b D.b，c，a〖答案〗B〖解析〗由丙領取的不是b檔工資，乙的工資比b檔高，可得只有甲領取的是b檔工資；又由甲的工資比c檔高和乙的工資比b檔高推出乙只能領取檔工資；而從甲、乙、丙三人工資各不相同可推出丙只能領取c檔工資；所以甲、乙、丙領取的工資檔次依次為b，a，c.故選：B.6.三棱錐中，平面，．若該三棱錐的最長的棱長為9，最短的棱長為3，則該三棱錐的最大體積為（）A. B. C.18 D.36〖答案〗C〖解析〗因為平面，平面，所以，，故，因為，所以，故，則該三棱錐的最長的棱為，故，最短的棱為或，當最短的棱為，即時，由勾股定理得，故，故，當且僅當時，等號成立，故三棱錐體積為，當最短的棱為，即時，設，則，則，故，三棱錐體積為，當且僅當，即時，等號成立，當最短的棱為，即時，設，則，則，故，三棱錐體積為，當且僅當，即時，等號成立，綜上，該三棱錐的最大體積為18.故選：C.7.在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點P在C上，且，，則C的離心率為（）A. B. C.3 D.2〖答案〗D〖解析〗如圖所示，根據雙曲線的定義，，，在中，由余弦定理得,即，又因，所以，所以，即.在中，由余弦定理得，，且,所以，化解得，即，，，所以，即，則故離心率.故選：D.8.已知函數的定義域為R，且，則下列結論一定成立的是（）A. B.為偶函數C.有最小值 D.在上單調遞增〖答案〗C〖解析〗由于函數的定義域為R，且，令，則，得，時，恒成立，無法確定，A不一定成立；由于不一定成立，故不一定為偶函數，B不確定；由于的對稱軸為與的位置關系不確定，故在上不一定單調遞增，D也不確定，由于表示開口向上的拋物線，故函數必有最小值，C正確，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某同學投籃兩次，第一次命中率為．若第一次命中，則第二次命中率為；若第一次未命中，則第二次命中率為．記為第i次命中，X為命中次數，則（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，易知，故A正確；對于D，易知，故D正確；對于B、C，易知可取，則,，所以，，故B正確；C錯誤；故選：ABD.10.已知內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，外接圓半徑為R．若，且，則（）A. B.面積的最大值為C. D.邊上的高的最大值為〖答案〗AD〖解析〗在中，由及正弦定理，得，而，則，由余弦定理得，而，解得，對于A，，A正確；對于B，顯然，當且僅當時取等號，，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，令邊上的高為，則，解得，D正確.故選：AD.11.已知函數，則（）A.曲線在處的切線斜率為B.方程有無數個實數根C.曲線上任意一點與坐標原點連線的斜率均小于D.在上單調遞減〖答案〗BCD〖解析〗對于A，，則，故，A錯誤；對于B，由于為周期函數，當時，，故的圖象大致如圖示：結合圖象可知，當x增大到一定數值滿足后，大于的數將有無數個滿足，B正確；對于C，設為y=fx上任意一點，則，由于，故，由于時，，故曲線y=fx上任意一點與坐標原點連線的斜率在時才取到正值，則時，取正值時，，取負值時，顯然成立；設，則，當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，故，由于取等號條件和取等號條件不一致，故，C正確；對于D，設，則，故在上單調遞減，則，則；設，，故在1,+∞上單調遞減，D正確，故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.數列滿足，若，，則數列的前20項的和為______．〖答案〗210〖解析〗數列滿足，若，，則，所以數列的奇數項、偶數項分別構成以1，2為首項，公差均為2的等差數列所以數列的前20項的和為.13.在正四棱柱中，，，M，N分別是，中點，則平面MNC1截該四棱柱所得截面的周長為______．〖答案〗〖解析〗延長相交于點，連接交于點，連接，因為正四棱柱中，，，M，N分別是，的中點，所以MN=AM2+AN因為∽，，故，，在上取點，連接，則，同理可知，所以四邊形為平行四邊形，故四點共面，則平面MNC1截該四棱柱所得的截面為五邊形，，同理，故截面周長為.14.已知拋物線與圓相交于四個不同的點，則r的取值范圍為______，四邊形面積的最大值為______．〖答案〗〖解析〗聯(lián)立，由題意知該方程有兩個不等正根，即，所以；如圖所示，由圖形的對稱性，不妨設，易知四邊形為等腰梯形，其面積為，又點在拋物線上則有：，而，所以，，則，令，則，令，易得時，此時單調遞增，時，此時單調遞減，即，則，時取得等號.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.近年來，我國眾多新能源汽車制造企業(yè)迅速崛起．某企業(yè)著力推進技術革新，利潤穩(wěn)步提高．統(tǒng)計該企業(yè)2019年至2023年的利潤（單位：億元），得到如圖所示的散點圖．其中2019年至2023年對應的年份代碼依次為1，2，3，4，5．（1）根據散點圖判斷，和哪一個適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億元）關于年份代碼x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據（1）中的判斷結果，建立y關于x的回歸方程；（3）根據（2）的結果，估計2024年的企業(yè)利潤．參考公式及數據；，，，，，，解：（1）由散點圖的變化趨勢，知適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億元）關于年份代碼x的回歸方程類型；（2）由題意得：，，，，所以；（3）令，，估計2024年的企業(yè)利潤為99.25億元．16.如圖，在三棱臺中，平面平面，，，．（1）求三棱臺的高；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求．解：（1）作于點O，因為平面平面，平面平面，平面，，所以平面，即為三棱臺高，又因為平面，所以，連接，因為，，所以，，平面，所以平面，又平面，所以，，，所以，，所以三棱臺的高為；（2）以O為原點，在面內，作，以，，所在的直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，