2025屆湖北省“宜荊荊恩”高三上學(xué)期9月起點考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省“宜荊荊恩”2025屆高三上學(xué)期9月起點考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分，每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上，1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，故.故選：C.2.已知兩條直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時，，則，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的對應(yīng)點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，故，其對應(yīng)的點為，該點在第四象限，故選：D.4.將這個數(shù)據(jù)作為總體，從這個數(shù)據(jù)中隨機選取個數(shù)據(jù)作為一個樣本，則該樣本的平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意可知，總體平均數(shù)為，從這個數(shù)據(jù)中隨機選取個數(shù)據(jù)作為一個樣本，情況如下：選到，則樣本平均數(shù)為，所以，選到，則樣本平均數(shù)為，所以，選到，則樣本平均數(shù)為，所以，選到，則樣本平均數(shù)為，所以，選到，則樣本平均數(shù)為，所以，選到，則樣本平均數(shù)為，所以，選到，則樣本平均數(shù)為，所以，選到，則樣本平均數(shù)為，所以，選到，則樣本平均數(shù)為，所以，選到，則樣本平均數(shù)為，所以，所以該樣本的平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過的概率為.故選：D.5.已知，則（）A.或7 B.或 C.7或-7 D.-7或〖答案〗B〖解析〗因為，故，故，故，故，故選：B.6.已知點在所在的平面內(nèi)，且.過點的直線與直線分別交于，設(shè)，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)的中點為，連接，則，故即，故為的中點，因為三點共線，故存在實數(shù)，使得，故，而，因為不共線，故即，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為，故選：C.7.一個三角形紙板的三個頂點為，以邊上的高所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將三角形紙板旋轉(zhuǎn)，則紙板掃過的空間所形成的幾何體的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，而為三角形內(nèi)角，故，故，故，故，故幾何體的體積為故選：A.8.若不等式恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，則恒成立，又，當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且時，不符合題意；當(dāng)時，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，令，，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即的取值范圍是.故選：B.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分，每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的最大值為C.函數(shù)的所有零點構(gòu)成的集合為D.函數(shù)在上是增函數(shù)〖答案〗BC〖解析〗對A：，所以.故A錯誤；對B：因為，當(dāng)即時，函數(shù)有最大值，故B正確；對C：由，故C正確；對D：，由，令得，函數(shù)在上遞增，在右側(cè)一定是先單調(diào)遞減，故D錯誤.故選：BC.10.已知定義域為的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.的圖象關(guān)于點成中心對稱C.D.〖答案〗ABD〖解析〗對A，滿足，令，則，即f1=0又為偶函數(shù)，，故A對；對B，，，故的周期，再根據(jù)，即，∴fx的圖象關(guān)于點成中心對稱，故B對；對C，由B知：的周期，故，，令，則f2又當(dāng)時，，即，即，，故，故C錯誤；對D，滿足，∴fx關(guān)于1,0又當(dāng)時，∴fx在0,2當(dāng)時，，當(dāng)時，為偶函數(shù)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，，故D對故選：ABD.11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點是曲線上任意一點，過點向圓引兩條切線，這兩條切線與的另一個交點分別為，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.直線與圓相切C.的周長的最小值為D.的面積的最小值為〖答案〗BD〖解析〗如圖，不妨設(shè)點位于第一象限，直線在圓的左邊，直線在圓的右邊.首先，若直線的斜率不存在，則，，設(shè)直線的方程為：即.因為直線與圓相切，所以，此時直線：與曲線只有1個交點，不合題意；其次，若直線的斜率不存在，則，，設(shè)直線的方程為：即.因為直線與圓相切，所以，此時直線：，所以.此時：，，，.所以，故A不成立；直線：，由得直線與圓相切，故B成立；因為，所以的周長為，滿足C選項；，滿足D選項.最后，直線，的斜率都存在時：設(shè)（且），，.所以，所以直線的方程為：，即.因為直線與圓相切，所以：.同理可得：.所以為方程的兩根.所以：，.又直線的方程為：，點到直線的距離為：.所以直線與圓相切，故B正確；又，又，點到直線的距離為：.所以.令，，.設(shè)當(dāng)時，恒成立.所以當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以.所以在和上單調(diào)遞增，在0,2上單調(diào)遞減.又因為，，所以.所以，符合D.綜上可知，的面積的最小值為，故D正確.又的內(nèi)切圓半徑為1，所以，所以.即周長的最小值為，故C錯誤.故選：BD.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.12.已知某種商品的廣告費（單位：萬元）與銷售額（單位：萬元）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：134571418304246根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，則當(dāng)廣告費為10萬元時，銷售額預(yù)測值為__________萬元.〖答案〗66〖解析〗由題意知：，，將樣本中心點代入，即，解得：，故，將代入，即.13.過雙曲線的一個焦點作傾斜角為的直線，則該直線與雙曲線的兩條漸近線圍成的三角形的面積是__________.〖答案〗〖解析〗由雙曲線的對稱性不妨設(shè)傾斜角為的直線過右焦點，由雙曲線可得漸近線方程為，雙曲線的半焦距為，故右焦點坐標(biāo)為，過傾斜角為的直線方程為，由可得交點坐標(biāo)為，由可得交點坐標(biāo)為，傾斜角為的直線與雙曲線的兩條漸近線圍成的三角形的面積為.14.已知數(shù)列有30項，，且對任意，都存在，使得.（1）__________；（寫出所有可能的取值）（2）數(shù)列中，若滿足：存在使得，則稱具有性質(zhì).若中恰有4項具有性質(zhì)，且這4項的和為20，則__________.〖答案〗1047〖解析〗當(dāng)時，，當(dāng)時，，或，當(dāng)時，，或，或時有或，當(dāng)時，，或，或時有或，或時有或或，綜上所述：的所有可能取值為：.中恰有4項具有性質(zhì)，且這4項的和為20，故，，即具有性質(zhì)，則易知從開始是以為首項為公差的等差數(shù)列，.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.解：（1）由，則當(dāng)時兩式相減得，所以.將代入得，，所以對于，故an是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以.（2）.，因為當(dāng)時，當(dāng)時，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，.故.16.如圖，長方體中，點分別在上，且，.（1）求證：平面；（2）當(dāng)時，求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：因為平面平面，所以，又且，平面，所以平面，且平面，故，同理，，平面，所以平面.（2）解：以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，在平面中，設(shè)平面的一個法向量為n=x,y,z則，可取由（1）知，平面的一個法向量為設(shè)平面與平面的夾角為，則故所求的夾角的余弦值為.17.已知橢圓經(jīng)過點，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓右焦點的直線與橢圓交于兩點，且，求的方程.解：（1）聯(lián)立得，故所求橢圓的方程為.（2）如圖：易知.①當(dāng)斜率為0時，或，不符合題意.②當(dāng)斜率不為0時設(shè)，設(shè)Ax1,y1，聯(lián)立，消去得.所以，，由得，代入以上兩式消去得.故，化為一般方程為.18.如圖所示，在研究某種粒子的實驗裝置中，有三個腔室，粒子只能從室出發(fā)經(jīng)室到達(dá)室.粒子在室不旋轉(zhuǎn)，在室?室都旋轉(zhuǎn)，且只有上旋和下旋兩種狀態(tài)，粒子間的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)相互獨立.粒子從室經(jīng)過1號門進(jìn)入室后，等可能的變?yōu)樯闲蛳滦隣顟B(tài)，粒子從室經(jīng)過2號門進(jìn)入室后，粒子的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)發(fā)生改變的概率為.現(xiàn)有兩個粒子從室出發(fā)，先后經(jīng)過1號門，2號門進(jìn)入室，記室兩個粒子中，上旋狀態(tài)粒子的個數(shù)為.（1）已知兩個粒子通過1號門后，恰有1個上旋狀態(tài)1個下旋狀態(tài).若這兩個粒子通過2號門后仍然恰有1個上旋狀態(tài)1個下旋狀態(tài)的概率為，求；（2）求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）設(shè)，若兩個粒子經(jīng)過2號門后都為上旋狀態(tài)，求這兩個粒子通過1號門后都為上旋狀態(tài)的概率.解：（1）設(shè)“兩個粒子通過2號門后仍然恰有1個上旋狀態(tài)1個下旋狀態(tài)”.事件A發(fā)生即通過2號門時，兩個粒子都不改變或都改變旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，故，解得或.（2）由題知，時分3類情形，①兩個粒子通過1號門后均處上旋狀態(tài)，通過2號門后均不改變狀態(tài)；②兩個粒子通過1號門后一個上旋狀態(tài)一個下旋狀態(tài)，通過2號門后上旋狀態(tài)粒子不改變狀態(tài)，下旋狀態(tài)粒子改變狀態(tài)；③兩個粒子通過1號門后兩個均為下旋狀態(tài)，通過2號門后均改變狀態(tài)，所以，同理，，所以所求的分布列為X012P所以所求數(shù)學(xué)期望.（3）設(shè)“兩個粒子通過1號門后處于上旋狀態(tài)粒子個數(shù)為個”，，“兩個粒于通過2號門后處于上旋狀態(tài)的粒于個數(shù)為2個”，則，，則.故.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在1,+∞上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）帕德近似（Padeapproximation）是數(shù)學(xué)中常用的一種將三角函數(shù)?指數(shù)函數(shù)?對數(shù)函數(shù)等“超越函數(shù)”在一定范圍內(nèi)用“有理函數(shù)”近似表示的方法，比如在附近，可以用近似表示.（i）當(dāng)且時，試比較與的大小；（ii）當(dāng)時，求證：.解：（1）當(dāng)時，，則.所以的減區(qū)間為0,+∞，無增區(qū)間.（2）因在1,+∞上恒成立，所以，所以（）設(shè)，則再設(shè)，則，則在1,+∞上恒成立，所以在1,+∞單調(diào)遞增，所以，所以h'x>0在1,+∞上恒成立，所以所以.又在1,+∞上恒成立，所以.（3）（i）記，則，所以Fx在0,+∞上單調(diào)遞增，而于是，當(dāng)時，，當(dāng)時，.（ii）當(dāng)時，原不等式即.由于當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，也成立.所以對任意的恒成立.在中取，則有，也即，所以（a）記函數(shù)，由于，所以只需考慮的符號，易知在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，.所以（b）由（a）（b）得，故.湖北省“宜荊荊恩”2025屆高三上學(xué)期9月起點考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分，每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上，1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，故.故選：C.2.已知兩條直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時，，則，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的對應(yīng)點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，故，其對應(yīng)的點為，該點在第四象限，故選：D.4.將這個數(shù)據(jù)作為總體，從這個數(shù)據(jù)中隨機選取個數(shù)據(jù)作為一個樣本，則該樣本的平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意可知，總體平均數(shù)為，從這個數(shù)據(jù)中隨機選取個數(shù)據(jù)作為一個樣本，情況如下：選到，則樣本平均數(shù)為，所以，選到，則樣本平均數(shù)為，所以，選到，則樣本平均數(shù)為，所以，選到，則樣本平均數(shù)為，所以，選到，則樣本平均數(shù)為，所以，選到，則樣本平均數(shù)為，所以，選到，則樣本平均數(shù)為，所以，選到，則樣本平均數(shù)為，所以，選到，則樣本平均數(shù)為，所以，選到，則樣本平均數(shù)為，所以，所以該樣本的平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過的概率為.故選：D.5.已知，則（）A.或7 B.或 C.7或-7 D.-7或〖答案〗B〖解析〗因為，故，故，故，故，故選：B.6.已知點在所在的平面內(nèi)，且.過點的直線與直線分別交于，設(shè)，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)的中點為，連接，則，故即，故為的中點，因為三點共線，故存在實數(shù)，使得，故，而，因為不共線，故即，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為，故選：C.7.一個三角形紙板的三個頂點為，以邊上的高所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將三角形紙板旋轉(zhuǎn)，則紙板掃過的空間所形成的幾何體的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，而為三角形內(nèi)角，故，故，故，故，故幾何體的體積為故選：A.8.若不等式恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，則恒成立，又，當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且時，不符合題意；當(dāng)時，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，令，，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即的取值范圍是.故選：B.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分，每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的最大值為C.函數(shù)的所有零點構(gòu)成的集合為D.函數(shù)在上是增函數(shù)〖答案〗BC〖解析〗對A：，所以.故A錯誤；對B：因為，當(dāng)即時，函數(shù)有最大值，故B正確；對C：由，故C正確；對D：，由，令得，函數(shù)在上遞增，在右側(cè)一定是先單調(diào)遞減，故D錯誤.故選：BC.10.已知定義域為的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.的圖象關(guān)于點成中心對稱C.D.〖答案〗ABD〖解析〗對A，滿足，令，則，即f1=0又為偶函數(shù)，，故A對；對B，，，故的周期，再根據(jù)，即，∴fx的圖象關(guān)于點成中心對稱，故B對；對C，由B知：的周期，故，，令，則f2又當(dāng)時，，即，即，，故，故C錯誤；對D，滿足，∴fx關(guān)于1,0又當(dāng)時，∴fx在0,2當(dāng)時，，當(dāng)時，為偶函數(shù)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，，故D對故選：ABD.11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點是曲線上任意一點，過點向圓引兩條切線，這兩條切線與的另一個交點分別為，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.直線與圓相切C.的周長的最小值為D.的面積的最小值為〖答案〗BD〖解析〗如圖，不妨設(shè)點位于第一象限，直線在圓的左邊，直線在圓的右邊.首先，若直線的斜率不存在，則，，設(shè)直線的方程為：即.因為直線與圓相切，所以，此時直線：與曲線只有1個交點，不合題意；其次，若直線的斜率不存在，則，，設(shè)直線的方程為：即.因為直線與圓相切，所以，此時直線：，所以.此時：，，，.所以，故A不成立；直線：，由得直線與圓相切，故B成立；因為，所以的周長為，滿足C選項；，滿足D選項.最后，直線，的斜率都存在時：設(shè)（且），，.所以，所以直線的方程為：，即.因為直線與圓相切，所以：.同理可得：.所以為方程的兩根.所以：，.又直線的方程為：，點到直線的距離為：.所以直線與圓相切，故B正確；又，又，點到直線的距離為：.所以.令，，.設(shè)當(dāng)時，恒成立.所以當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以.所以在和上單調(diào)遞增，在0,2上單調(diào)遞減.又因為，，所以.所以，符合D.綜上可知，的面積的最小值為，故D正確.又的內(nèi)切圓半徑為1，所以，所以.即周長的最小值為，故C錯誤.故選：BD.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.12.已知某種商品的廣告費（單位：萬元）與銷售額（單位：萬元）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：134571418304246根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，則當(dāng)廣告費為10萬元時，銷售額預(yù)測值為__________萬元.〖答案〗66〖解析〗由題意知：，，將樣本中心點代入，即，解得：，故，將代入，即.13.過雙曲線的一個焦點作傾斜角為的直線，則該直線與雙曲線的兩條漸近線圍成的三角形的面積是__________.〖答案〗〖解析〗由雙曲線的對稱性不妨設(shè)傾斜角為的直線過右焦點，由雙曲線可得漸近線方程為，雙曲線的半焦距為，故右焦點坐標(biāo)為，過傾斜角為的直線方程為，由可得交點坐標(biāo)為，由可得交點坐標(biāo)為，傾斜角為的直線與雙曲線的兩條漸近線圍成的三角形的面積為.14.已知數(shù)列有30項，，且對任意，都存在，使得.（1）__________；（寫出所有可能的取值）（2）數(shù)列中，若滿足：存在使得，則稱具有性質(zhì).若中恰有4項具有性質(zhì)，且這4項的和為20，則__________.〖答案〗1047〖解析〗當(dāng)時，，當(dāng)時，，或，當(dāng)時，，或，或時有或，當(dāng)時，，或，或時有或，或時有或或，綜上所述：的所有可能取值為：.中恰有4項具有性質(zhì)，且這4項的和為20，故，，即具有性質(zhì)，則易知從開始是以為首項為公差的等差數(shù)列，.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.解：（1）由，則當(dāng)時兩式相減得，所以.將代入得，，所以對于，故an是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以.（2）.，因為當(dāng)時，當(dāng)時，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，.故.16.如圖，長方體中，點分別在上，且，.（1）求證：平面；（2）當(dāng)時，求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：因為平面平面，所以，又且，平面，所以平面，且平面，故，同理，，平面，所以平面.（2）解：以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，在平面中，設(shè)平面的一個法向量為n=x,y,z則，可取由（1）知，平面的一個法向量為設(shè)平面與平面的夾角為，則故所求的夾角的余弦值為.17.已知橢圓經(jīng)過點，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓右焦點的直線與橢圓交于兩點，且，求的方程.解：（1）聯(lián)立得，故所求橢圓的方程為.（2）如圖：易知.①當(dāng)斜率為0時，或，不符合題意.②當(dāng)斜率不為0時設(shè)，設(shè)Ax1,y1，聯(lián)立，消去得.所以，，由得，代入以上兩式消去得.故，化為一般方程為.18.如圖所示，在研究某種粒子的實驗裝置中，有三個腔室，粒子只能從室出發(fā)經(jīng)室到達(dá)室.粒子在室不旋轉(zhuǎn)，在室?室都旋轉(zhuǎn)，且只有上旋和下旋兩種狀態(tài)，粒子間的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)相互獨立.粒子從室經(jīng)過1號門進(jìn)入室后，等可能的變?yōu)樯闲蛳滦隣顟B(tài)，粒子從室經(jīng)過2號門進(jìn)入室后，粒子的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)發(fā)生改變的概率為.現(xiàn)有兩個粒子從室出發(fā)，先后經(jīng)過1號門，2號門進(jìn)入室，記室兩個粒子中，