2020-2021學年寧夏銀川市興慶區(qū)長慶某中學高一（下）期末數(shù)學試卷（附答案詳解）

2020-2021學年寧夏銀川|市興慶區(qū)長慶高級中學高一（下）

期末數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.若數(shù)列的前4項分別是-%-i,p則此數(shù)列一個通項公式為（）

(-1嚴

A.a也C.D.3

n+lB.nn+ln

2.若mb,c為實數(shù)，則下列命題錯誤的是（)

A.若碇2>be2,則a>b

B.若a<&<0,則M<人2

C.若a>h>0,則工<1

ab

D.若a<bV0,c>d>0,則QC<bd

3.已知數(shù)列｛aj為等差數(shù)列，Sn為前n項和，若=4,。5=8,則Si。=()

A.125B.115C.105D.95

2

4.數(shù)列｛an｝的首項%=3,且Q九=2--—(n>2),則goal-=()

an-l

1

A.3B.-3cJ2D.-2

5.在△ABC中，若Z>2+?2—a2=be,則4=()

A.90°B.150°C.135°D.60°

6.在△力BC中，—=—,則△ABC一定是（

cosBcoszl)

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

7.等差數(shù)列｛an｝的前"項和為Sn,且4%,2a2,。3成等比數(shù)列?若%=3,則54=()

A.7B.8C.12D.16

%+y>4

8.變量x,y滿足約束條件y-%<2,則名=筌的最大值為()

.%<4

A.：B.1C.2D.5

9.已知等差數(shù)列a｝前〃項和為5,且尚=p則段等于（）

A.AB.1D?總

1c.3

10.已知三角形△ABC的三邊長構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，且最大角的正弦值為立，則

2

這個三角形的周長為()

A.15B.18C.21D.24

11.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛5｝滿足。7=&6+2。5,若存在兩項a?a”使得

再有=4a「則5+：的最小值為()

A.|B.|C,Df

12.已知數(shù)列｛/｝中,%=1,an=3a?_x+4(neN*,n>2),求數(shù)列｛an｝的前〃項和

Sn為1)

口?3n+1+2n-3

D.=-------------

n2

3n+1-4n-3D.S=*

c.sn=2n2

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

2x-y<0

13.若-y滿足約束條件％+y—3N0,則z=x—2y的最小值為.

%+2y—6<0

14.已知兩個等差數(shù)列&｝,也｝的前〃項和分別是土,〃，若言=猾，則%=.

15.如圖，為測量山高MN,選擇A和另一座的山頂C為測量觀測點，從4點測得M

點的仰角4NAM=60。，C點的仰角NC48=45。以及NM4C=75。；從C點測得

/.MCA=60°,已知山高BC=1000m,則山高MN=m.

16.記S.為數(shù)列｛a,J的前n項和，若S.=2an+1,則$6=.

三、解答題(本大題共6小題，共70.()分)

17.已知函數(shù)/1(x)=3m%2+小X-2(jneR).

(I)當m=1時，解不等式f(x)>0；

(D)若關(guān)于x的不等式f(x)<0的解集為R,求實數(shù)m的取值范圍.

第2頁，共15頁

已知等差數(shù)列｛｝滿足。

18.an3=2,as=3.

(1)求｛斯｝的通項公式；

設(shè)等比數(shù)列｛｝滿足瓦=%,求｛%｝的前"項和

(2)bh4=a15,

19.如圖，在AABC中，已知48=30。,。是BC邊上的一點，40=5,AC=7,DC=3.

⑴求A4DC的面積;

(2)求邊AB的長.

已知公差的等差數(shù)列｛即｝的前"項和為，。是由與(的等比中項.

20.d*0SnSs=25,2Z5

(1)求數(shù)列｛即｝的通項公式；

(2)設(shè)心二號=，求數(shù)列｛%｝的前"項和

21.△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且bcosC+ccosB=2acosA.

(1)求角A的大小；

(2)若a=2,求△ABC面積的最大值.

22.已知數(shù)列｛收｝的前w項和刈=3"-1,其中nCN*.

(I)求數(shù)列｛a"的通項公式；

若數(shù)列｛%｝滿足瓦

(II)=1,bn=341T+an(n>2)；

(I)證明：數(shù)列｛含｝為等差數(shù)列；

(11)求數(shù)列｛九｝的前〃項和7；.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了數(shù)列的通項公式，考查歸納推理，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)數(shù)列的前四項是-J，j：，找規(guī)律，即可寫出通項公式.

【解答】

解：由數(shù)列的前四項是一;，;，-i,g

2345

奇數(shù)項為負數(shù)，偶數(shù)項為正數(shù)，分子都是1,分母是項數(shù)加1,

歸納推理得an=肝；

故選：A.

2.【答案】B

【解析】解：對于A：若ac2>bc2,則Q>b,故正確，

對于8：根據(jù)不等式的性質(zhì)，若aVbVO,則小>b2,故8錯誤,

對于C：若a>b>0,則三>=，即故正確，

ababba

對于。：若a<b<0,c>d>0,則ac<bd,故正確.

故選：B

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，判斷每個選項即可

本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題

3.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列｛即｝中，設(shè)其公差為4

若a?+=4,則1(a2+a4)=2,

又由as=8,則d==3,則有的=as—4d=—4,

則Sio=lO%+等d=95；

故選：D.

根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列似九｝的公差為優(yōu)由等差數(shù)列的性質(zhì)求出。3的值，進而求出“和的

的值，由等差數(shù)列的前"項和公式計算可得答案.

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的求和，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

2

【解析】解：因為的=3,且。?=2-^—(n>2),

an-l

所以。2=2一|=2,?3=2-f=1,a4=2-f=-2,a5=2-^=3,a6=2-|=i,

，332乙J3

…，

所以數(shù)列｛an｝是以4為周期的周期數(shù)列，所以(12021=0505x4+1=%=3.

故選：A.

首先根據(jù)遞推公式列出數(shù)列的前幾項，再找出數(shù)列的周期性，即可得解；

本題考查的知識要點：數(shù)列的遞推關(guān)系式，數(shù)列的周期的應(yīng)用，主要考查學生的運算能

力和數(shù)學思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：因為在AABC中，若/+c?-a?=be,結(jié)合余弦定理可知，cosA=I，

所以A=60°.

故選D.

直接利用余弦定理，求出cosA,求出A的值.

本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查三角形的形狀判斷，突出考查正弦定理與二倍角的正弦，考查轉(zhuǎn)化與運算能力,

屬于中檔題.

利用正弦定理-工=-2=2R與二倍角的正弦即可判斷三角形的形狀.

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【解答】

解：?.?在△48。中心=一二，

cosBcosA

=又由正弦定理號=—==2R得：?=當，

DcosAsinAsinBbsinB

.sinA_cosB

sinBcosA

???sin2A=sinZB,

2A—28或24=TI—2B,

：.A=B或4+B=/

故4力BC是等腰三角形或直角三角形.

故選。.

7.【答案】C

【解析】解：設(shè)等差數(shù)列｛%J的公差為止

4at,2a2，CI3成等比數(shù)列.

,*?4a力—4al*Q3，

化為(%+d)2=%(%+2d),

化為d=0.

若電—3,

則S4=4al=12.

故選：C.

設(shè)等差數(shù)列｛a"的公差為d,由4%,2a2,成等比數(shù)列.可得4諼=4al?a3>可得d=0.

即可得出.

本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算

能力，屬于中檔題.

8.【答案】C

X+y>4

【解析】解：畫出約束條件y-xW2所表示的平面區(qū)域,

.%<4

如圖所示，

由目標函數(shù)2=々，

X+1

表示平面區(qū)域的點與原點0(-L-1)連線的斜率，

結(jié)合圖象可知，當過點A時，此時直線的斜率最大，

又由解得％=1,y=3,

所以目標函數(shù)的最大值為z=^=2,

1+1

故選：C.

畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義，轉(zhuǎn)化求解即可.

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

9.【答案】D

【解析】解：等差數(shù)列4｝前八項和為又，且興=:=含怒，二%=汕

則生=」叱尹d=8x5+28d=巨

S1616匆+120d16X^+120d10

故選：D.

由題意利用等差數(shù)列的通項公式、前“項和公式，計算求得要求式子的值.

本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、前〃項和公式，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】A

【解析】

【分析】

此題考查了余弦定理，等差數(shù)列的性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握余弦定理

是解本題的關(guān)鍵.

根據(jù)三角形A8C三邊構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，設(shè)出三邊為a,a+2,a+4,根據(jù)最

大角的正弦值求出余弦值，利用余弦定理求出a的值，即可確定出三角形的周長.

【解答】

解：根據(jù)題意設(shè)△ABC的三邊長為a,a+2,a+4,且a+4所對的角為最大角a,

sina=cosa=;或一去

當cosa=gll寸，a=60°,不合題意，舍去；

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a2+(a+2)2-(a+4)2

當時,由余弦定理得:cosa=cosl20°=

cosa=a=120°,2a(a+2)2’

解得：a=3或a=-2(不合題意，舍去),

則這個三角形周長為a+a+2+a+4=3a+6=9+6=15.

故選：A.

11.【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

由a7=+2a$求得q=2,代入“皿5=4al求得m+n=6,利用基本不等式求出它

的最小值.

【解答】

解：由各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛an｝滿足+2a5，

4

可得a1q6=a1q5+2a1q,

q?_q_2=0,

顯然q>0,

q=2?

yjaman=4a1；

...qm+n-2=出

m+n24

...2-=2,Am4-n=6,

???3+：=Xm+n)e+》=X5+3+M)N[x(5+4)=m

當且僅當巴=如時，即巾=2m=4時等號成立.

mn

故三+2的最小值等于5，

mn2

故選：A.

12.【答案】C

【解析】解：數(shù)列｛an｝中，%=1，即=3即_i+4,

整理得：61n+2=3(0n-+2),

故2*=3(常數(shù))，

an—1十/

所以數(shù)列｛an+2｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列;

所以an+2=3x3n-1=3n,

故0n=3,-2（首項符合通項）.

所以空_2n=史上產(chǎn)，

故選：C.

直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式和構(gòu)造法及分組法求數(shù)列的和，

本題考查的知識要點：數(shù)列的遞推關(guān)系式，構(gòu)造法，分組法求數(shù)列的和，主要考查學生

的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于中檔題.

13.【答案】-6

【解析】解：由約束條件作出可行域如圖,

2x5=0

由圖可知，4(0,3),

由z=x-2y,得y=；-由圖可知，當直線y=；一;過A時，

直線在y軸上的截距最大，z有最小值為-6.

故答案為：一6.

由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最

優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案.

本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

14.【答案】S

14

(ai+-9)x9

【解析】解：根據(jù)題意，合則匹=蕊=￡

又暄=猾，貝吟吟故有9a

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故答案為：9

14

（。1+。9）乂9

根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得算=獲標=K詈=詈，進而計算可得答案.

本題考查等差數(shù)列的求和，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】1500

【解析】

【分析】

本題主要考查正弦定理、直角三角形中的邊角關(guān)系，屬于中檔題.

△4BC中，由條件利用直角三角形中的邊角關(guān)系求得4G在AAMC中，利用正弦定理

求得4M;再在RtaAMN中，根據(jù)MN=4M-sin4MAN,計算求得結(jié)果.

【解答】

解：在△4BC中，??ZB4c=45。，

/.ABC=90°,BC=1000,

又因在AAMC中，Z.MAC=75°,ZMC4=60°,

^AMC=45°,

由正弦定理可得*-=%世，

sin60°sin450

解得AM=1000V3.

所以在RtA4MN中，

MX=AM-sinZMAN=10004xsiirfM)=1500，

故答案為1500.

16.【答案】-63

【解析】

【分析】

本題考查了等比數(shù)列的求和公式，屬于基礎(chǔ)題.

可得｛。工是以-1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式計算即可.

【解答】

解：Sn為數(shù)列｛斯｝的前〃項和，Sn=2an+l,①

當71=1時，%=2。1+1,解得。1=—1,

當幾22時，Sn_i=2an_x+1,②，

由①一②可得：an=2an-2an_lf

??.數(shù)列｛Qn｝是以-1為首項，以2為公比的等比數(shù)歹九

-lx(l-26)g

???Sc=-----------=-63,

6b1-2

故答案為-63.

17.【答案】解：(/)當m=l時，/(%)=3%2+%—2.

由f(x)>0可得3/+%—2>0,

解可得，x>|或％<-1,

故不等式的解集為｛x|x>|或X<-1｝

(II)?.?不等式/(x)<0的解集為R,

???3mx2+mx—2<。恒成立，

①m=0時，一2<0恒成立，復合題意，

②時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，｛々：：2+24巾<0

解可得，-24<m<0,

綜上可得，實數(shù)m的取值范圍｛?n|-24<mW0｝.

【解析】(/)當m=1時，f(x)=3x2+x-2,根據(jù)二次不等式的求法即可求解；

(U)?.?不等式/Q)<0的解集為R可得3m/+mx-2<0恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性

質(zhì)可求.

本題主要考查了一元二次不等式的求解及二次函數(shù)的恒成立問題，解題中要注意分類討

論思想的應(yīng)用.

18.【答案】解：⑴設(shè)｛冊｝的公差為d,

則由『3=：,整理得I：%;

a=3(a=-

即％=等。

(2)由(1)得仇=1,b4=8.設(shè)｛即｝的公比為q,

則q3=,=8,

從而q=2,

第12頁，共15頁

故｛%｝的前八項和7；=當3=2n-l.

1—2

【解析】(1)直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出首項和公差，進一步確定數(shù)列的通項公式；

(2)利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出公比，進一步利用求和公式求出結(jié)果。

本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用，等比數(shù)列的求和，主要考查學生

的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎(chǔ)題。

19.【答案】解：(1)在A4DC中，由余弦定理得COSN/WC=Q^±=—三

、/oAn.n/'2ADDC

???Z,ADC=120°

那么：sm/-ADC=sinl20°=—2

則S-DC=^ADDC-sin^ADC=竽

(2)在△ABC中，/.B=30°,Z.ADB=60°

由正弦定理得：一%=嗯

s\nz.ADBstnB

:.AB=5v

【解析】本題考查了正余弦定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

(1)在△4DC中，根據(jù)余弦定理求解cos乙4CC,可得sin乙4DC,即可求解△ADC的面積;

(2)在△4BC中，/.B=30°,Z.ADB=60°由正弦定理得AB的長度：

20.【答案】解：⑴公差dH0的等差數(shù)列｛%｝的前“項和為S”,Ss=25,a?是由與as的

等比中項.

I"黑粒3d)，解叱匕

所以Qn=14-2(九—1)=2n+1.

anan+1(2n-l)(2n+l)2'2九一12n+l

【解析】(1)利用等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為Sn,55=25,是由與死的等比中項，列

出方程組，求解數(shù)列的首項與公差，然后求解通項公式.

(2)化簡％=丁白，利用裂項消項法求解數(shù)列的和即可.

^n'^n+1

本題主要考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列的通項公式的求法，考查裂項相消法

求和，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.

.【答案】解：(由正弦定理知，

21'1')sinAsinBsinC

bcosC+ccosB=2acosA,

:，sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA,

???sin(B+C)=sinA=2sinAcosA,

vsinAW0,?*-cosA=2

VAE(0,7T),???=P

(2)由余弦定理知，。。$4=吐薩之甯，

1、2bc-4

???->------，

2—2bc

???be<4,當且僅當b=c=2時,等號成立，

??.△A