2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題練三核心熱點(diǎn)突破專題五解析幾何規(guī)范答題示范課-解析幾何解答題含解析

PAGE規(guī)范答題示范課——解析幾何解答題[破題之道]解析幾何試題學(xué)問點(diǎn)多，運(yùn)算量大，實(shí)力要求高，綜合性強(qiáng)，在高考試題中大都是以壓軸題的面貌出現(xiàn)，是考生“未考先怕”的題型，不是怕解題無思路，而是怕解題過程中繁雜的運(yùn)算.因此，在遵循“設(shè)——列——解”程序化解題的基礎(chǔ)上，應(yīng)突出解析幾何“設(shè)”的重要性，以克服平常重思路方法、輕運(yùn)算技巧的頑疾，突破如何避繁就簡(jiǎn)這一瓶頸.【典例示范】(12分)(2024·全國(guó)Ⅲ卷)已知橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(0<m<5)的離心率為eq\f(\r(15),4)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn).(1)求C的方程；(2)若點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q在直線x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面積.規(guī)范解答(1)由題設(shè)可得eq\f(\r(25－m2),5)＝eq\f(\r(15),4)，得m2＝eq\f(25,16)，2分所以C的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,\f(25,16))＝1.3分(2)設(shè)P(xP，yP)，Q(6，yQ)，依據(jù)對(duì)稱性可設(shè)yQ>0，由題意知yP>0.由已知可得B(5，0)，直線BP的方程為y＝－eq\f(1,yQ)(x－5)，所以|BP|＝y(tǒng)Peq\r(1＋yeq\o\al(2,Q))，|BQ|＝eq\r(1＋yeq\o\al(2,Q)).5分因?yàn)閨BP|＝|BQ|，所以yP＝1.將yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3.由直線BP的方程得yQ＝2或8，所以點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為P1(3，1)，Q1(6，2)；P2(－3，1)，Q2(6，8).7分所以|P1Q1|＝eq\r(10)，直線P1Q1的方程為y＝eq\f(1,3)x，點(diǎn)A(－5，0)到直線P1Q1的距離為eq\f(\r(10),2)，故△AP1Q1的面積為eq\f(1,2)×eq\f(\r(10),2)×eq\r(10)＝eq\f(5,2).9分|P2Q2|＝eq\r(130)，直線P2Q2的方程為y＝eq\f(7,9)x＋eq\f(10,3)，點(diǎn)A到直線P2Q2的距離為eq\f(\r(130),26)，故△AP2Q2的面積為eq\f(1,2)×eq\f(\r(130),26)×eq\r(130)＝eq\f(5,2).11分綜上，△APQ的面積為eq\f(5,2).12分[高考狀元滿分心得]?得步驟分：抓住得分點(diǎn)的步驟，“步步為贏”，求得滿分.如第(1)問，求橢圓C的方程；第(2)問表示出|BP|與|BQ|，分兩種狀況求△APQ的面積.?得關(guān)鍵分：解題過程不行忽視關(guān)鍵點(diǎn)，有則給分，無則沒分，如第(1)問中由離心率求m2；第(2)問中求直線BP的方程、直線P1Q1與直線P2Q2的方程等.?得計(jì)算分：解題過程中計(jì)算精確是得滿分的根本保證.如第(1)問求對(duì)m2及曲線C的方程，否則全盤皆輸；第(2)問中正確計(jì)算點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，否則將導(dǎo)致失分.[滿分體驗(yàn)](2024·東北三省三校聯(lián)考)直線與橢圓C：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，已知m＝(ax1，by1)，n＝(ax2，by2)，橢圓的離心率e＝eq\f(\r(3),2)，且經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓C的方程.(2)當(dāng)m⊥n時(shí)，△AOB的面積是否為定值？假如是，請(qǐng)賜予證明；假如不是，請(qǐng)說明理由.解(1)由題意得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(e＝\f(\r(a2－b2),a)＝\f(\r(3),2)，,\f(1,a2)＋\f(3,4b2)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1.))所以橢圓C的方程為eq\f(y2,4)＋x2＝1.(2)①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，x1＝x2，y1＝－y2，由m⊥n，即m·n＝0，得4xeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,1)＝0，所以yeq\o\al(2,1)＝4xeq\o\al(2,1).又A(x1，y1)在橢圓C上，所以eq\f(4xeq\o\al(2,1),4)＋xeq\o\al(2,1)＝1，解得|x1|＝eq\f(\r(2),2)，所以|y1|＝eq\r(2)，所以S△AOB＝eq\f(1,2)|x1||y1－y2|＝eq\f(1,2)|x1|·2|y1|＝1，此時(shí)△AOB的面積為定值.②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋t(t≠0)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋t，,\f(y2,4)＋x2＝1，))消去y并整理得(k2＋4)x2＋2ktx＋t2－4＝0.由題意知Δ＝4k2t2－4(k2＋4)(t2－4)＞0，(*)x1＋x2＝eq\f(－2kt,k2＋4)，x1x2＝eq\f(t2－4,k2＋4).由m⊥n，即m·n＝0，得4x1x2＋y1y2＝0，所以4x1x2＋(kx1＋t)(kx2＋t)＝0，即(k2＋4)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝0.所以(k2＋4)·eq\f(t2－4,k2＋4)＋kt·eq\f(－2kt,k2＋4)＋t2＝0，整理得2t2－k2＝4，滿意(*)式.從而S△AOB＝eq\f(1,2)·eq\f(|t|,\r(1＋k2))·|AB|＝eq\f(|t|,2)eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\f(|t|,2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f