2023版大一輪數(shù)學(xué)人教A版 第七章向量法求空間角

§7.7向量法求空間角

【考試要求】能用向量法解決異面直線、直線與平面、平面與平面的夾角問(wèn)題，并能描述解決

這一類(lèi)問(wèn)題的程序，體會(huì)向量法在研究空間角問(wèn)題中的作用.

■落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理】

1.異面直線所成的角

若異面直線/”/2所成的角為仇其方向向量分別是“，V,則cos9=|cos(u,V)產(chǎn)鼎

2.直線與平面所成的角

如圖，直線AB與平面a相交于點(diǎn)8,設(shè)直線48與平面a所成的角為仇直線A8的方向向

量為“，平面a的法向量為小則sin9=|cos<u,公尸］裾裾卜

3.平面與平面的夾角

如圖，平面a與平面夕相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90。的二面角

稱為平面a與平面P的夾角.

若平面a,4的法向量分別是小和”2,則平面a與平面夕的夾角即為向量和〃2的夾角或

其補(bǔ)角.設(shè)平面a與平面尸的夾角為仇則cos0=|cos〈小，”2〉|=月耨.

\ni\\n2\

【常用結(jié)論】

1.線面角e的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對(duì)值，

即sin0=|cos(a,n)|,不要誤記為cos0=|cos(a,n)

jr

2.二面角的范圍是［0,兀］,兩個(gè)平面夾角的范圍是|_0,2-

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“義”)

(1)兩條異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相等.(X)

(2)直線/的方向向量與平面a的法向量的夾角的余角就是直線/與平面a所成的角.(X)

(3)二面角的平面角為。，則兩個(gè)面的法向量的夾角也是X)

(4)兩異面直線夾角的范圍是(0,T,直線與平面所成角的范圍是0,芻.(J)

【教材改編題】

1.已知直線人的方向向量si=(l,0,l)與直線/2的方向向量S2=(—1,2,-2),則人和，2夾角

的余弦值為()

答案C

解析因?yàn)?1=(101),$2=(—1,2,—2),

S]-S2-1-2_啦

所以COS<51,S2)一卜則一讓X3一-2,

所以和/2夾角的余弦值為亭.

2.已知向量m,”分別是直線/的方向向量、平面a的法向量，若cos〈機(jī)，"〉~~2'貝U/

與a所成的角為.

答案30°

解析設(shè)直線/與a所成角為仇

sin9=|cos(m,n)|=|,

又：柒0,T，二。=30°.

3.已知兩平面的法向量分別為(0,一1,3),(2,2,4),則這兩個(gè)平面夾角的余弦值為

答案手

1(0,T,3>(2,2,4)|行

廨祈71+9X^4+4+16—6-

■探究核心題型

題型一異面直線所成的角

例1(1)(2022?大慶模擬)如圖，已知棱長(zhǎng)為2的正方體ABC￡>-48iGA，E,F,G分別為

AB,8,AQ的中點(diǎn)，則異面直線4G與EF所成角的余弦值為()

G

AEB

R迎

B-10

答案A

解析如圖，分別以D4,DC,。。所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則Ai(2,0,2),G(1,0,0),

￡(2,1,0),F(0,l,l),

所以AG=(-1,0,-2),￡F=(—2,0,1)，

設(shè)異面直線4G與EF所成的角為仇

皿]\AtG-EF]

貝ijcos3--

I病防

|(-r)X(-2)-2Xl|

-75^/5

(2)(2022?杭州模擬)如圖，已知圓錐CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圓O的直徑,

點(diǎn)。在彘上，且/AOO=2/2O。，則異面直線A。與BC所成角的余弦值為()

答案A

解析因?yàn)镹AOC=2NB。。,

且乙40。+/80￡>=W，

jr

所以

連接CO,則CO,平面A8O,以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OC所在直線分別為y軸、z軸建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)圓。的半徑為2,則A(0,-2,0),以0,2,0),C(0,0,2<3),0(^3,1,0),

AD=(y[3,3,0),BC=(0,-2,2^3),

設(shè)異面直線A￡>與BC所成的角為仇

則cos6=|cos(AD,BC)|=姓庭L=J浮匕=半，因此，異面直線與BC所成角的余

\AD\\BC\2小義44

弦值為坐

【教師備選】

如圖，在直三棱柱ABC-4B1G中，AB=AC=A4i=啦，BC=2,點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，則異

面直線AQ與4c所成的角為()

口3<4=6

答案B

解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AC,AAi所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),4(0,0,0),B(巾,0,0),

C(0,V2,0),

;.俞=惇,坐,0),

猶=(0,6，一啦)，

.?.cos(AD,沈〉=-^^=1

而河

；.即異面直線AO,AC所成角為爭(zhēng)

思維升華用向量法求異面直線所成的角的一般步驟

(1)建立空間直南坐標(biāo)系；

(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；

(4)注意兩異面直線所成角的范圍是(0,與，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的

余弦值的絕對(duì)值.

跟蹤訓(xùn)練1⑴如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-AiBiQDi中，E是棱CG的中點(diǎn)，AF

=疝)，若異面直線。E和4F所成角的余弦值為喑，則力的值為.

答案3

解析以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,。力?所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系(圖略)，正方體的棱長(zhǎng)為2,

則4(2,0,2),Di(0,0,2),￡(0,2,1),4(2,0,0),

.?.用=(0,2,-1),

MF=7^A+AF=MA+).AD

=(-22,0,-2).

Acos〈乖,藁〉=/野

\A^F\\D^E\

2_3^2

-zp+ix小―10，

解得2=象=一（舍）

（2）（2022?武漢模擬）若在三棱柱ABC-ABiG中，/4p4C=NBAC=60。，平面Ap4CG_L平面

ABC,AAX=AC=AB,則異面直線AG與4B所成角的余弦值為.

答案平

解析令M為AC的中點(diǎn)，連接MB,MA\,

由題意知△48C是等邊三角形，

所以8M_LAC,同理，AiMlAC,

因?yàn)槠矫鍭?ACC_L平面ABC,

平面4ACGn平面ABC=AC,

BMU平面ABC,

所以平面AiACG,

因?yàn)?MU平面4ACG,

所以BMLA\M,

所以AC,BM,AiM兩兩垂直，以Af為坐標(biāo)原點(diǎn)，MA,MB,前的方向分別為x軸、y軸、

z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AAi=AC=AB=2,

則A（l,0,0）,8（0,小,0）,4（0,0,5），

G（-2,0,審），

所以記=（一3,0,?。珹7B=（0,小，一?。?/p>

所以cos〈后，誦〉=2小蒜=一,

故異面直線AC,與MB所成角的余弦值為坐.

題型二直線與平面所成的角

例2（2022?廣州模擬）在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCQ中，/A4C=60。，點(diǎn)E是邊4B的中點(diǎn)（如

圖1）,將△AOE沿。E折起到△AQE的位置，連接A],A\C,得到四棱錐4-BCDE（如

圖2）.

(1)證明：平面AiBE_L平面BCOE：

(2)若A|E_LBE,連接CE,求直線CE與平面4CD所成角的正弦值.

⑴證明連接圖1中的8。，如圖所示.

因?yàn)樗倪呅蜛BCO為菱形，且N8AO=60。，

所以△AB。為等邊三角形，所以。

所以在圖2中有DEA.A\E,

因?yàn)锽ECAiE=E,BE,AiEU平面A山E,

所以力EJ_平面A\BE,

因?yàn)镼EU平面BCDE,

所以平面4BE_L平面BCDE.

(2)解因?yàn)槠矫?BE_L平面BCDE,平面AiBEA平面BCDE=BE,AtELBE,4EU平面

AyBE,所以A|EJ_平面8cDE,

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

所以4（0,0,D，C（2,小，0）,D（0,小,0）,

￡（0,0,0）,

所以碇=（0,小，-1）,沈=（2,小，-1）,EC=（2,小，0）,

設(shè)平面AiC￡＞的法向量為"=（x,y,z）,

叫\(zhòng)n-_AiD=-\[3y—z=0,

[n-AiC—2x+y[3y—z—0,

令y=l,則n=（0,l,?。?，

所以cos〈〃，EC)=~^=興=唔，

InllEQ2市14

所以直線CE與平面MCD所成角的正弦值為唔.

【教師備選】

(2020?新高考全國(guó)I)如圖，四棱錐尸一A8C。的底面為正方形，PC底面ABCD設(shè)平面必。

與平面尸8c的交線為/.

AB

⑴證明：此平面PDC;

(2)已知尸O=A￡>=1,。為/上的點(diǎn)，求尸B與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

⑴證明在正方形4BCD中，AD〃BC,

因?yàn)锳M平面PBC,BCU平面PBC,

所以4?！ㄆ矫鍼BC,

又因?yàn)锳OU平面辦￡),平面以。C平面PBC=/,

所以AO〃/,

因?yàn)樵谒睦忮FP—A8CQ中，底面ABCC是正方形，

所以A￡)_L￡>C,所以/_LOC,

因?yàn)镻Z)_L平面ABC。，所以AO_LPQ,

所以

因?yàn)?。CCPD=D,PD,OCU平面PDC,

所以此平面PDC.

(2)解以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，殖的方向?yàn)閤軸正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

L

[/D\/C3

/%

因?yàn)槭?gt;=AO=1,則有￡)(0,0,0),C(0,l,0),P(0,0,l),8(1,1,0),

因?yàn)槠矫姹?。n平面PBC=I,

所以/過(guò)點(diǎn)P,設(shè)。(〃2,0,1),

則有虎=(0』,0),DQ=(m,0,1),麗=(1,1,-1),

設(shè)平面QC￡)的一個(gè)法向量為"=(x,y,z),

5c-n=o,y=0,

則一即

[詼?”=（）,“tr+z=O,

令X=l,則2=-

所以平面。CO的一個(gè)法向量為“=(1,0,-m),

I，，工、n-PB1+0+機(jī)

則cos(n,PB)-=-7=~.

\n\\PB\加+1

記P8與平面QC￡＞所成的角為仇根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)

值即為直線與平面所成角的正弦值，

11+m\

則sin8=|cos<n,PB）|=

小々蘇+i

當(dāng)m=0時(shí)，sin。=為-,

|1+m\

當(dāng)mWO時(shí),sin0=

巾N"P+]

當(dāng)且僅當(dāng)m=\時(shí)取等號(hào),

所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為坐.

思維升華利用空間向量求線面角的解題步驟

跟蹤訓(xùn)練2(2022?全國(guó)百校聯(lián)考)如圖所示，在三棱錐S—BCQ中，平面S3。_L平面BCD,

A是線段S￡＞上的點(diǎn)，aSB。為等邊三角形，ZBCD=30°,CD=2DB=4.

s

(1)若SA=AE>,求證：SDLCA；

(2)若直線BA與平面SCO所成角的正弦值為史磐，求4。的長(zhǎng).

⑴證明依題意，BD=2,

在△BCD中，CD=4,ZBCD=30°,

由余弦定理求得8c=2小，

CD2=BD2+BC2,即BC_LBD.

又平面SBZ)_L平面BC￡),平面SBOC平面BC7)=B。，BCU平面BCD,

平面SBD從而B(niǎo)C.LSD,

在等邊ASB。中，SA^AD,則BAJ_SD

又BCCBA=B,BC,BAU平面BCA,

...SO_L平面8c4,又CAU平面8c4,

：.SDLCA.

(2)解以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC,8。所在直線分別為x軸、y軸，過(guò)點(diǎn)B作平面8C。的垂線為

z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則8(0,0,0),C(2<3,0,0),D(0,2,0),S(0,l,小),

故詼=（一2小，2,0）,⑦=（0,1,一?。?

設(shè)平面SCO的法向量為機(jī)=（尤，y,z）,

|wrCZ）=0,

則-

[m-Sb=0,

即「26+2尸0,

[y—y/3z=0t

取x=l,則丁=小，z=lf

W—（1,,\/3,1）,

設(shè)5X=/i兩OWHI）,

則函=（0,-X,小%）,

故A（0,2一九小/）,則函=（0,2—;I,小

設(shè)直線BA與平面SCO所成角為6,

故sin6?=，os（m,BA）|=即"

|m||BA|

|2小—小44yj195

一小N（2T）2+3#—65，

1313

解得2=］或2=不則40=2或AD=Z^

題型三平面與平面的夾角

例3（12分）（2021?新高考全國(guó)I）如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABQ_L平面BCD,AB

=A。，。為8。的中點(diǎn).

（1）證明：0A_LCD?［切入點(diǎn)：線線垂直轉(zhuǎn)化到線面垂直］

（2）若△0C。是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA,且二面角E—BC一。

的大小為45。，求三棱錐4-BCO的體積.［關(guān)鍵點(diǎn)：建系寫(xiě)坐標(biāo)］

思路分析(1)由4B=AD~QA_LB￡)一利用面面垂直性質(zhì)一線_L面一結(jié)論

(2)方法1：幾何法

先求底面面積一作出二面角一根據(jù)二面角求長(zhǎng)度一利用錐體體積公式求解一結(jié)論

方法2：向量法

建系一設(shè)點(diǎn)寫(xiě)坐標(biāo)一求平面法向量一利用向量夾角求值一利用錐體體積公式求解一結(jié)論

答題得分模板

(1)證明因?yàn)锳B=AD,。為8。的中點(diǎn)，所以O(shè)A［1分］<-------①處確定線_L線

又平面4BD_L平面BCD」.②處面面垂直

且平面48。。平面BCC=B￡),AOU平面ABO.

所以40J.平面BCD.a［3分］?―一③處線面垂直

又CDU平面BC￡>,所以A。_LCD@.［4分卜----------------------------④處線線垂直

(2)解方法一因?yàn)椤鱋C。是邊長(zhǎng)為1的正三角形，且。為BD的中點(diǎn)，

所以。所以△。是直角三角形,?-《“⑤處確定直角三角形

J-——C=OB-=O.D..=.1.,.—B.C.....—....，■父

且乙BCD=90°.BC=。,所以［6分］

2%—?記

如圖,過(guò)點(diǎn)E作EF〃A。.交于F.過(guò)點(diǎn)F作FGJ.BC.GC

垂足為G,連接EG.因?yàn)??！榔矫鍮C。,所以EFJ.平面BC。，

又BCU平面BCD,所以EFJ.BC,又FG_LBC,且EFCFG=￡

EF.FGU平面EFG,

所以BC_L平面EFG,則4EGF為二面角E-BC-O的平面角」"［8分］*一一⑥處確定二面角的平面角

所以乙￡GF=45°.則GF=EF.因?yàn)镈E=2EA,

所以“=提。4。尸=2。居所以"=2.［9分］

3rD

因?yàn)槭珿_LBC,C?！?C,所以GF//CD.

則然=,，所以G尸=',［1()分］所以EF=GF=。，所以。4=1戶［11分卜⑦處求出三棱錐的高

CD?5?5o

所以匕”=3叱/AO=gx與xl=卷叫12分卜------------⑧處寫(xiě)出錐體的體積公式

方法二如圖所示，以。為坐標(biāo)原點(diǎn),O8,OA所在直線分別為x,z軸，在平

?⑨處建系

面8CD內(nèi),以過(guò)點(diǎn)。且與BD垂直的直線為3?軸建立空間直角坐標(biāo)系戶

因?yàn)椤鱋CO是邊長(zhǎng)為1的正三角形，且。為BD的中點(diǎn).

所以O(shè)C=O8=OD=1,

所以E(l,O,O),D(-l,O,O),C(-g,隼,0).

設(shè)A(0,(),“),“>()J?—⑩處設(shè)點(diǎn)寫(xiě)坐標(biāo)

因?yàn)椤?gt;E=2E4所以E(-",0,與).[6分]

由題意可知平面BC。的一個(gè)法向量為"=(0,0,1).[7分]

設(shè)平面8CE的法向量為m=(x,y,z),

因?yàn)榫痛?君卜扣與"以｛二:￡

3,點(diǎn)八

一婷+丁尸0,

即令x=l.則.y=3,z=2,所以：(1,73[9分卜一?處求出平面法向量

--4X+—2az=Ao.

因?yàn)槎娼荅-BC-D的大小為45。,

m-n

所以cos45°=y，得a=l.即0A=1,@[】。分k?處用向量夾角公式求值

巨=巨

因?yàn)镾APC/B。?CDsin60°=|x2x1x

22，

[12分卜?處用三角形面積公式及

.....1?IJ3.J3?錐體體積公式求值

所以匕-BCO=mSABC",0A=-X—x1=—.

【教師備選】

(2020?全國(guó)I改編)如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，0是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，4E=

人0.△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點(diǎn),P0=平DO.

⑴證明：孫，平面P8C；

(2)求平面BPC與平面EPC的夾角的余弦值.

(1)證明由題設(shè)，知△D4E為等邊三角形，

設(shè)AE=1,貝！1。0=坐，CO=BO=^AE=^9

O

所以-V,42

V6

乃4

同理A-

又△ABC為等邊三角形，

則益中=2。4,所以8A邛,

3

PA2+PB2=^=AB2,則NAPB=90°,

所以B4_LP2,同理fi4_LPC,

又PSPB=P,PC,P8U平面PBC,

所以以，平面PBC.

(2)解過(guò)。作ON〃BC交AB于點(diǎn)N,因?yàn)槭琌_L平面A8C,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直

線為x軸，ON所在直線為y軸，。。所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

當(dāng)

當(dāng)

1\Z1、

1-O

不^4

75

4，

1A

---4-V24

4?

r1坐314

-

-r-4-

中O,

2)

設(shè)平面PC8的一個(gè)法向量為〃=(為，yi,zi),

[n-PC=O,f-xi—y[2z\=0,

由1得1rr

[nPB=0,l-xi+V3yi-V2zi=0,

令xi=4^,得zi=-1,yi=0,

所以〃=(?0,—1),

設(shè)平面PCEt的一個(gè)法向量為小=(12,丁2,Z2),

mPC=0,一無(wú)2_小?一啦Z2=0,

由得

—2X2—爽2Z=0,

m-PE=0,

令X2=l,得Z2=—J2=g,

所以機(jī)=（1,坐，一啦），

、mn2/2y

故cos⑺，〃〉=麗=二遮=5'

所以平面BPC與平面EPC的夾角的余弦值為乎.

思維升華利用空間向量求平面與平面夾角的解題步驟

跟蹤訓(xùn)練3（2021?全國(guó)乙卷改編）如圖，四棱錐P-ABCZ）的底面是矩形，PDl^ABCD,

PD=DC^\,M為8C的中點(diǎn)，且PB_LAM.

⑴求BC；

（2）求平面APM與平面BPM夾角的正弦值.

解（1）因?yàn)镻O_L平面ABCO,所以PC_LA。，PDVDC.

在矩形A8CZ）中，AOJ_Z）C,故以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

設(shè)BC=t,貝()A(r,0,0),B(t,1,0),

%,1,0),P(0,0,l),

所以弱=(f,1,-1),俞=(一f1,o)

因?yàn)镻8_LAM,所以P8AM=-]+l=0,得胃?所以BC=巾.

(2)易知C(0,l,0),由(1)可得?>=(一也，0,1),贏=(一半，1,0),CB=(y/2,0,0),

PB=(y/2,1,-1).

設(shè)平面APM的法向量為〃]=(為，ji,zi),則

(—y[2xi+z\=0,

n\AP=0,

即正

[一rxi+yi=0,

、〃iAM=0,

令》=m，則zi=2,yi=l,所以平面APM的一個(gè)法向量為小=(、「，1,2).

設(shè)平面PMB的法向量為“2=(X2,>2,Z2),則

"2?在=0,啦X2=0,

即<

52?麗=0,、地也+力―Z2=0,

得12=0,令”=1,則Z2=l,所以平面PMB的一個(gè)法向量為〃2=(0』,1).

設(shè)平面4PM與平面BPM莢角為仇

cosOTcos〈〃”"2〉I一同加|=：7^=14'

sin3—\]1—cos20^^j^.

所以平面APM與平面BPM夾角的正弦值為[苧.

課時(shí)精練

區(qū)基礎(chǔ)保分練

1.如圖，在平行六面體ABCQ-AiBiCQ中，AAi_L平面ABCZ),且AB=AO=2,44|=小,

ZBAD=120°.

(1)求異面直線AB與AG所成角的余弦值；

(2)求平面A[BD與平面AyAD所成角的正弦值.

解在平面ABC。內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A作AE，A￡>,交BC于點(diǎn)、E.

因?yàn)?4_L平面ABCD,

所以AAt±AD.

如圖，以｛能，AD,而｝為一個(gè)正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)锳8=AO=2,A4=小，ZBAD=120°,

則A(0,0,0),B電,-1,0),0(0,2,0),

E電,0,0),4(0,0,小),G(，§,1,小).

⑴翁=（小，-1,一?。?，記=（小，1,?。?

則cos〈48,AG〉

I誦研

3-1-31

一幣X幣一〒

因此異面直線AxB與AG所成角的余弦值為;.

（2）可知平面A.\AD的一個(gè)法向量為

危=（小，0,0）,

設(shè)加=（x,yfz）為平面AiBO的一個(gè)法向量，

又誦=（小，-1,一小），冊(cè)=（一小，3,0）,

\mA^B=0,

則J_

[mBD=09

J小x—y—小z=0,

即1-小x+3y=0.

不妨取x=3,則丁=小，z=2.

所以m=（3,小，2）為平面A3。的一個(gè)法向量,

_^Em_3^3_3

從而cos<AE,m)

|A￡||m|小X44

設(shè)平面A\BD與平面A\AD所成的角為0,

3

則cos。=1.

所以sin0=yj1—cos20=^.

s

因此平面A山D與平面AiAD所成角的正弦值為苧.

2.(2021?浙江)如圖，在四棱錐尸一ABC。中，底面A3CQ是平行四邊形，ZABC=120°,AB

=1,8c=4,%=仃，M,N分別為BC,PC的中點(diǎn)，PO_L￡>C,PMA.MD,

(1)證明：ABLPM；

(2)求直線AN與平面PDM所成角的正弦值.

(1)證明因?yàn)榈酌鍭BC。是平行四邊形，

NABC=120°,BC=4,AB=\,

且加為BC的中點(diǎn)，

所以CM=2,CZ)=1,ZDCM=60°,

易得CDLDM.

又PDLDC,且P￡>n￡)M=。，PD,￡>MU平面PDM,

所以C￡)_L平面PDM.

因?yàn)锳B〃CD,所以AB_L平面PDW.

又PMU平面PDM,所以ABVPM.

(2)解方法一由(1)知AB,平面PDW,

所以NM45為直線AN與平面尸CM所成角的余角.

連接4M,因?yàn)镻MLDC,

所以PMJ_平面ABC。，所以

因?yàn)镹ABC=120。,AB=1,BM=2,

所以由余弦定理得AM=市，

又出=仃，所以PM=2啦，

所以PB=PC=2小,

連接BN,

結(jié)合余弦定理得BN=MT1.

連接AC,

則由余弦定理得AC=4云，

在△抬C中，結(jié)合余弦定理得

PA2+AC2=2AN2+2PN2,

所以4V=4E.

AB2+AN2-BN21+15-11_V15

所以在△ABN中，cosZBAN=

2AB-AN2VB—6-

設(shè)直線AN與平面POM所成的角為仇

則0=cos/BAN=

sin6-

方法二因?yàn)槭琍M1DC,

所以平面ABCD.

連接AM,則PM_LAM.

因?yàn)镹ABC=120。，AB=\,BM=2,

所以4M=市，

又布=仃，所以PM=2吸，

由(1)知CDLDM,

過(guò)點(diǎn)M作ME//CD交A￡)于點(diǎn)E,

則MELMD.

故可以以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MD,ME,MP所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，

則A（一小，2,0）,&0,0,2吸），C（小，-1,0）,

易知平面PQM的一個(gè)法向量為n=(0,l,0).

設(shè)直線AN與平面PQM所成的角為仇

貝i]sin6=|cos(AN,n)|—

曲|川71

V15

應(yīng)技能提升練

3.(2022?汕頭模擬)如圖，在圓柱0。1中，四邊形ABCO是其軸截面，EF為。。|的直徑，且

EFA.CD,AB=2,BC=a{a>\).

⑴求證：BE=BF；

(2)若直線AE與平面BE尸所成角的正弦值為坐，求平面ABE與平面BEF夾角的余弦值.

⑴證明如圖，連接801,在圓柱。01中，

BC_L平面CEDF,

,：EFu平面CEDF,：.EFA.BC,

,:EFLCD,BCHCD^C,BC,

CDu平面ABCD,

.,.EF_L平面ABCD,

又8。仁平面ABCD,

J.EFYBOy,

;在△BEP中，01為E尸的中點(diǎn)，：.BE=BF.

(2)解連接。。］，則0。|與該圓柱的底面垂直，

以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，。8,OOi所在直線分別為y,