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2025屆江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A. B. C. D.2.集合,,則=()A. B.C. D.3.新聞出版業(yè)不斷推進(jìn)供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革,深入推動(dòng)優(yōu)化升級(jí)和融合發(fā)展,持續(xù)提高優(yōu)質(zhì)出口產(chǎn)品供給,實(shí)現(xiàn)了行業(yè)的良性發(fā)展.下面是2012年至2016年我國(guó)新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收增長(zhǎng)情況,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.2012年至2016年我國(guó)新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收均逐年增加B.2016年我國(guó)數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收超過(guò)2012年我國(guó)數(shù)字出版業(yè)營(yíng)收的2倍C.2016年我國(guó)新聞出版業(yè)營(yíng)收超過(guò)2012年我國(guó)新聞出版業(yè)營(yíng)收的1.5倍D.2016年我國(guó)數(shù)字出版營(yíng)收占新聞出版營(yíng)收的比例未超過(guò)三分之一4.已知,,那么是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知等比數(shù)列滿(mǎn)足,,則()A. B. C. D.6.公元前世紀(jì),古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論:他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面米處開(kāi)始與阿基里斯賽跑,并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)谋?當(dāng)比賽開(kāi)始后,若阿基里斯跑了米,此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他米,當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)米時(shí),烏龜先他米,當(dāng)阿基里斯跑完下-個(gè)米時(shí),烏龜先他米....所以,阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律,若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為米時(shí),烏龜爬行的總距離為()A.米 B.米C.米 D.米7.已知復(fù)數(shù),,則()A. B. C. D.8.已知曲線且過(guò)定點(diǎn),若且,則的最小值為().A. B.9 C.5 D.9.若函數(shù)f(x)=x3+x2-在區(qū)間(a,a+5)上存在最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.[-5,0) B.(-5,0) C.[-3,0) D.(-3,0)10.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是一個(gè)正三角形,則這個(gè)幾何體的體積為()A. B. C. D.11.已知函數(shù),若恒成立,則滿(mǎn)足條件的的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.312.已知全集,則集合的子集個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,導(dǎo)函數(shù)為,若,且,則滿(mǎn)足的x的取值范圍為_(kāi)_____.14.如圖,在中,,,,點(diǎn)在邊上,且,將射線繞著逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),并在所得射線上取一點(diǎn),使得,連接,則的面積為_(kāi)_________.15.在中,,是的角平分線,設(shè),則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.16.若非零向量,滿(mǎn)足,,,則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知,,,.(1)求的值;(2)求的值.18.(12分)已知橢圓過(guò)點(diǎn),設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為,右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為,,且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線交橢圓于,兩點(diǎn),設(shè)直線與直線的斜率分別為,,若,試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn),求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.19.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系;曲線C1的普通方程為(x-1)2+y2=1,曲線C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).(Ⅰ)求曲線C1和C2的極坐標(biāo)方程:(Ⅱ)設(shè)射線θ=(ρ>0)分別與曲線C1和C2相交于A,B兩點(diǎn),求|AB|的值.20.(12分)在銳角三角形中,角的對(duì)邊分別為.已知成等差數(shù)列,成等比數(shù)列.(1)求的值;(2)若的面積為求的值.21.(12分)已知,.(1)當(dāng)時(shí),證明:;(2)設(shè)直線是函數(shù)在點(diǎn)處的切線,若直線也與相切,求正整數(shù)的值.22.(10分)在中,,,.求邊上的高.①,②,③,這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,是基礎(chǔ)的計(jì)算題.2、C【解析】
先化簡(jiǎn)集合A,B,結(jié)合并集計(jì)算方法,求解,即可.【詳解】解得集合,所以,故選C.【點(diǎn)睛】本道題考查了集合的運(yùn)算,考查了一元二次不等式解法,關(guān)鍵化簡(jiǎn)集合A,B,難度較?。?、C【解析】
通過(guò)圖表所給數(shù)據(jù),逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證.【詳解】根據(jù)圖示數(shù)據(jù)可知選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B:,正確;對(duì)于選項(xiàng)C:,故C不正確;對(duì)于選項(xiàng)D:,正確.選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查柱狀圖是識(shí)別和數(shù)據(jù)分析,題目較為簡(jiǎn)單.4、B【解析】
由,可得,解出即可判斷出結(jié)論.【詳解】解:因?yàn)?,且.,解得.是的必要不充分條件.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)求值、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=,選B.6、D【解析】
根據(jù)題意,是一個(gè)等比數(shù)列模型,設(shè),由,解得,再求和.【詳解】根據(jù)題意,這是一個(gè)等比數(shù)列模型,設(shè),所以,解得,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,還考查了建模解模的能力,屬于中檔題.7、B【解析】分析:利用的恒等式,將分子、分母同時(shí)乘以,化簡(jiǎn)整理得詳解:,故選B點(diǎn)睛:復(fù)數(shù)問(wèn)題是高考數(shù)學(xué)中的??紗?wèn)題,屬于得分題,主要考查的方面有:復(fù)數(shù)的分類(lèi)、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算,在運(yùn)算時(shí)注意符號(hào)的正、負(fù)問(wèn)題.8、A【解析】
根據(jù)指數(shù)型函數(shù)所過(guò)的定點(diǎn),確定,再根據(jù)條件,利用基本不等式求的最小值.【詳解】定點(diǎn)為,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,即時(shí)取得最小值.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì),以及基本不等式求最值,意在考查轉(zhuǎn)化與變形,基本計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題型.9、C【解析】
求函數(shù)導(dǎo)數(shù),分析函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的簡(jiǎn)圖,得到a滿(mǎn)足的不等式組,從而得解.【詳解】由題意,f′(x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函數(shù),在(-2,0)上是減函數(shù),作出其圖象如圖所示.令x3+x2-=-,得x=0或x=-3,則結(jié)合圖象可知,解得a∈[-3,0),故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而研究函數(shù)的最值,屬于常考題型.10、C【解析】
由已知中的三視圖,可知該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐,求出底面面積,代入錐體體積公式,可得答案.【詳解】由已知中的三視圖,可知該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐,其底面面積,高,故體積,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求幾何體的體積,解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀.11、C【解析】
由不等式恒成立問(wèn)題分類(lèi)討論:①當(dāng),②當(dāng),③當(dāng),考查方程的解的個(gè)數(shù),綜合①②③得解.【詳解】①當(dāng)時(shí),,滿(mǎn)足題意,②當(dāng)時(shí),,,,,故不恒成立,③當(dāng)時(shí),設(shè),,令,得,,得,下面考查方程的解的個(gè)數(shù),設(shè)(a),則(a)由導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用可得:(a)在為減函數(shù),在,為增函數(shù),則(a),即有一解,又,均為增函數(shù),所以存在1個(gè)使得成立,綜合①②③得:滿(mǎn)足條件的的個(gè)數(shù)是2個(gè),故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問(wèn)題及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的解得個(gè)數(shù),重點(diǎn)考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬難度較大的題型.12、C【解析】
先求B.再求,求得則子集個(gè)數(shù)可求【詳解】由題=,則集合,故其子集個(gè)數(shù)為故選C【點(diǎn)睛】此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算及子集個(gè)數(shù),熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
構(gòu)造函數(shù),再根據(jù)條件確定為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減,最后利用單調(diào)性以及奇偶性化簡(jiǎn)不等式,解得結(jié)果.【詳解】依題意,,令,則,故函數(shù)為奇函數(shù),故函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,即,故,則x的取值范圍為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及利用函數(shù)性質(zhì)解不等式,考查綜合分析求解能力,屬中檔題.14、【解析】
由余弦定理求得,再結(jié)合正弦定理得,進(jìn)而得,得,則面積可求【詳解】由,得,解得.因?yàn)?,所以,,所?又因?yàn)?,所?因?yàn)?,所?故答案為【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,是中檔題15、【解析】
設(shè),,,由,用面積公式表示面積可得到,利用,即得解.【詳解】設(shè),,,由得:,化簡(jiǎn)得,由于,故.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形綜合,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,綜合分析,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于中檔題.16、1【解析】
根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式以及數(shù)量積公式,得出,解方程即可得出答案.【詳解】,即解得或(舍)故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積公式以及模長(zhǎng)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)先利用同角的三角函數(shù)關(guān)系解得和,再由,利用正弦的差角公式求解即可;(2)由(1)可得和,利用余弦的二倍角公式求得,再由正切的和角公式求解即可.【詳解】解:(1)因?yàn)?所以又,故,所以,所以(2)由(1)得,,,所以,所以,因?yàn)榍?即,解得,因?yàn)?所以,所以,所以,所以【點(diǎn)睛】本題考查已知三角函數(shù)值求值,考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn),考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用,考查運(yùn)算能力.18、(1)(2)直線過(guò)定點(diǎn),該定點(diǎn)的坐標(biāo)為.【解析】
(1)因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn),所以①,設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),因?yàn)?,所以,又,所以②,將①②?lián)立解得(負(fù)值舍去),所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由(1)可知,設(shè),.將代入,消去可得,則,,,所以,所以,此時(shí),所以,此時(shí)直線的方程為,即,令,可得,所以直線過(guò)定點(diǎn),該定點(diǎn)的坐標(biāo)為.19、(Ⅰ),;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)根據(jù),可得曲線C1的極坐標(biāo)方程,然后先計(jì)算曲線C2的普通方程,最后根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式,可得結(jié)果.(Ⅱ)將射線θ=分別與曲線C1和C2極坐標(biāo)方程聯(lián)立,可得A,B的極坐標(biāo),然后簡(jiǎn)單計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】(Ⅰ)由所以曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的普通方程為則曲線的極坐標(biāo)方程為(Ⅱ)令,則,,則,即,所以,,故.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,以及極坐標(biāo)方程中的幾何意義,屬基礎(chǔ)題.20、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)成等差數(shù)列與三角形內(nèi)角和可知,再利用兩角和的正切公式,代入化簡(jiǎn)可得,同理根據(jù)三角形內(nèi)角和與余弦的兩角和公式與等比數(shù)列的性質(zhì)可求得,聯(lián)立即可求解求的值.(2)由(1)可知,再根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系與正弦定理可求得,再結(jié)合的面積為利用面積公式求解即可.【詳解】解:成等差數(shù)列,可得而,即,展開(kāi)化簡(jiǎn)得,因?yàn)?故①又成等比數(shù)列,可得,即,可得聯(lián)立解得(負(fù)的舍去),可得銳角;由可得,由為銳角,解得,因?yàn)闉殇J角,故可得,由正弦定理可得,又的面積為可得,解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差等比中項(xiàng)的運(yùn)用以及正切的和差角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系等.同時(shí)也考查了正弦定理與面積公式在解三角形中的運(yùn)用,屬于中檔題.21、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)令,求導(dǎo),可知單調(diào)遞增,且,,因而在上存在零點(diǎn),在此取得最小值,再證最小值大于零即可.(2)根據(jù)題意得到在點(diǎn)處的切線的方程①,再設(shè)直線與相切于點(diǎn),有,即,再求得在點(diǎn)處的切線直線的方程為②由①②可得,即,根據(jù),轉(zhuǎn)化為,,令,轉(zhuǎn)化為要使得在上存在零點(diǎn),則只需,求解.【詳解】(1)證明:設(shè),則,單調(diào)遞增,且,,因而在上存在零點(diǎn),且在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,從而的最小值為.所以,即.(2),故,故切線的方程為①設(shè)直線與相切于點(diǎn),注意到,從而切線斜率為,因此,而,從而直線的方程也為②由①②可知,故,由為正整數(shù)可知,,所以,,令,則,當(dāng)時(shí),為單調(diào)遞增函數(shù),且,從而在上無(wú)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),要使得在上存在零點(diǎn),則只需,,因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù),,所以;因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù),且,因此;因?yàn)闉檎麛?shù),且,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于
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