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文檔簡介
2025屆河南省濟(jì)源市高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若(),,則()A.0或2 B.0 C.1或2 D.12.若函數(shù)的圖象過點(diǎn),則它的一條對稱軸方程可能是()A. B. C. D.3.若實(shí)數(shù)、滿足,則的最小值是()A. B. C. D.4.已知定義在上的函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),,則方程的最小實(shí)根的值為()A. B. C. D.5.已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn),若點(diǎn)關(guān)于雙曲線漸近線的對稱點(diǎn)滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.6.過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn),且,拋物線的準(zhǔn)線與軸交于,的面積為,則()A. B. C. D.7.拋物線的準(zhǔn)線方程是,則實(shí)數(shù)()A. B. C. D.8.過橢圓的左焦點(diǎn)的直線過的上頂點(diǎn),且與橢圓相交于另一點(diǎn),點(diǎn)在軸上的射影為,若,是坐標(biāo)原點(diǎn),則橢圓的離心率為()A. B. C. D.9.方程在區(qū)間內(nèi)的所有解之和等于()A.4 B.6 C.8 D.1010.已知全集為,集合,則()A. B. C. D.11.已知下列命題:①“”的否定是“”;②已知為兩個(gè)命題,若“”為假命題,則“”為真命題;③“”是“”的充分不必要條件;④“若,則且”的逆否命題為真命題.其中真命題的序號為()A.③④ B.①② C.①③ D.②④12.如圖,雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點(diǎn).若則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)則______.14.若函數(shù)()的圖象與直線相切,則______.15.已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上,圓柱的高和球半徑均為2,則該圓柱的底面半徑為__________.16.已知,則展開式中的系數(shù)為__三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)為迎接2022年冬奧會(huì),北京市組織中學(xué)生開展冰雪運(yùn)動(dòng)的培訓(xùn)活動(dòng),并在培訓(xùn)結(jié)束后對學(xué)生進(jìn)行了考核.記表示學(xué)生的考核成績,并規(guī)定為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果,在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的考核成績,并作成如下莖葉圖:(Ⅰ)從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人,請根據(jù)圖中數(shù)據(jù),估計(jì)這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率;(Ⅱ)從圖中考核成績滿足的學(xué)生中任取2人,求至少有一人考核優(yōu)秀的概率;(Ⅲ)記表示學(xué)生的考核成績在區(qū)間的概率,根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù),規(guī)定當(dāng)時(shí)培訓(xùn)有效.請根據(jù)圖中數(shù)據(jù),判斷此次中學(xué)生冰雪培訓(xùn)活動(dòng)是否有效,并說明理由.18.(12分)如圖,在四棱柱中,平面平面,是邊長為2的等邊三角形,,,,點(diǎn)為的中點(diǎn).(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.(Ⅲ)在線段上是否存在一點(diǎn),使直線與平面所成的角正弦值為,若存在求出的長,若不存在說明理由.19.(12分)在中,為邊上一點(diǎn),,.(1)求;(2)若,,求.20.(12分)已知矩陣的逆矩陣.若曲線:在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到另一曲線,求曲線的方程.21.(12分)已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱.(為自然對數(shù)的底數(shù))(1)若的圖象在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn),求的值;(2)若不等式恒成立,求正整數(shù)的最小值.22.(10分)已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求和的普通方程;(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)作直線交曲線于點(diǎn)(異于),交曲線于點(diǎn),求的最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
利用復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算列方程,解方程求得的值.【詳解】由于(),,所以,解得或.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入求出,然后驗(yàn)證各選項(xiàng).【詳解】由題意,,或,,不妨取或,若,則函數(shù)為,四個(gè)選項(xiàng)都不合題意,若,則函數(shù)為,只有時(shí),,即是對稱軸.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型復(fù)合函數(shù)的對稱軸,掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.3、D【解析】
根據(jù)約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,求出最優(yōu)解的坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)得答案【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示:聯(lián)立,得,可得點(diǎn),由得,平移直線,當(dāng)該直線經(jīng)過可行域的頂點(diǎn)時(shí),該直線在軸上的截距最小,此時(shí)取最小值,即.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是基礎(chǔ)題.4、C【解析】
先確定解析式求出的函數(shù)值,然后判斷出方程的最小實(shí)根的范圍結(jié)合此時(shí)的,通過計(jì)算即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,所以,故當(dāng)時(shí),,所以,而,所以,又當(dāng)時(shí),的極大值為1,所以當(dāng)時(shí),的極大值為,設(shè)方程的最小實(shí)根為,,則,即,此時(shí)令,得,所以最小實(shí)根為411.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的根的最小值問題,涉及函數(shù)極大值、函數(shù)解析式的求法等知識,本題有一定的難度及高度,是一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.5、B【解析】
先利用對稱得,根據(jù)可得,由幾何性質(zhì)可得,即,從而解得漸近線方程.【詳解】如圖所示:由對稱性可得:為的中點(diǎn),且,所以,因?yàn)椋?,故而由幾何性質(zhì)可得,即,故漸近線方程為,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)的知識,考查了雙曲線漸近線方程,由題意得出是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.6、B【解析】
設(shè)點(diǎn)、,并設(shè)直線的方程為,由得,將直線的方程代入韋達(dá)定理,求得,結(jié)合的面積求得的值,結(jié)合焦點(diǎn)弦長公式可求得.【詳解】設(shè)點(diǎn)、,并設(shè)直線的方程為,將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立,消去得,由韋達(dá)定理得,,,,,,,,可得,,拋物線的準(zhǔn)線與軸交于,的面積為,解得,則拋物線的方程為,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線焦點(diǎn)弦長的計(jì)算,計(jì)算出拋物線的方程是解答的關(guān)鍵,考查計(jì)算能力,屬于中等題.7、C【解析】
根據(jù)準(zhǔn)線的方程寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,再對照系數(shù)求解即可.【詳解】因?yàn)闇?zhǔn)線方程為,所以拋物線方程為,所以,即.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與準(zhǔn)線的方程.屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
求得點(diǎn)的坐標(biāo),由,得出,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的坐標(biāo),代入橢圓的方程,可得出關(guān)于、、的齊次等式,進(jìn)而可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意可得、.由,得,則,即.而,所以,所以點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,則,整理可得,所以,所以.即橢圓的離心率為故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解,解答的關(guān)鍵就是要得出、、的齊次等式,充分利用點(diǎn)在橢圓上這一條件,圍繞求點(diǎn)的坐標(biāo)來求解,考查計(jì)算能力,屬于中等題.9、C【解析】
畫出函數(shù)和的圖像,和均關(guān)于點(diǎn)中心對稱,計(jì)算得到答案.【詳解】,驗(yàn)證知不成立,故,畫出函數(shù)和的圖像,易知:和均關(guān)于點(diǎn)中心對稱,圖像共有8個(gè)交點(diǎn),故所有解之和等于.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了方程解的問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力,確定函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對稱是解題的關(guān)鍵.10、D【解析】
對于集合,求得函數(shù)的定義域,再求得補(bǔ)集;對于集合,解得一元二次不等式,再由交集的定義求解即可.【詳解】,,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算,考查具體函數(shù)的定義域,考查解一元二次不等式.11、B【解析】
由命題的否定,復(fù)合命題的真假,充分必要條件,四種命題的關(guān)系對每個(gè)命題進(jìn)行判斷.【詳解】“”的否定是“”,正確;已知為兩個(gè)命題,若“”為假命題,則“”為真命題,正確;“”是“”的必要不充分條件,錯(cuò)誤;“若,則且”是假命題,則它的逆否命題為假命題,錯(cuò)誤.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假判斷,掌握四種命題的關(guān)系,復(fù)合命題的真假判斷,充分必要條件等概念是解題基礎(chǔ).12、A【解析】
易得,過B作x軸的垂線,垂足為T,在中,利用即可得到的方程.【詳解】由已知,得,過B作x軸的垂線,垂足為T,故,又所以,即,所以雙曲線的離心率.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率問題,在作雙曲線離心率問題時(shí),最關(guān)鍵的是找到的方程或不等式,本題屬于容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先由解析式求得(2),再求(2).【詳解】(2),,所以(2),故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)、指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),分段函數(shù)求值關(guān)鍵是“對號入座”,屬于容易題.14、2【解析】
設(shè)切點(diǎn)由已知可得,即可解得所求.【詳解】設(shè),因?yàn)?,所以,即,又?所以,即,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,難度較易.15、【解析】
由圓柱外接球的性質(zhì),即可求得結(jié)果.【詳解】解:由于圓柱的高和球半徑均為2,,則球心到圓柱底面的距離為1,設(shè)圓柱底面半徑為,由已知有,∴,即圓柱的底面半徑為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查由圓柱的外接球的性質(zhì)求圓柱底面半徑,屬于基礎(chǔ)題.16、1.【解析】
由題意求定積分得到的值,再根據(jù)乘方的意義,排列組合數(shù)的計(jì)算公式,求出展開式中的系數(shù).【詳解】∵已知,則,
它表示4個(gè)因式的乘積.
故其中有2個(gè)因式取,一個(gè)因式取,剩下的一個(gè)因式取1,可得的項(xiàng).
故展開式中的系數(shù).
故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查求定積分,乘方的意義,排列組合數(shù)的計(jì)算公式,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)見解析【解析】
(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖求出滿足條件的概率即可;(Ⅱ)結(jié)合圖表得到6人中有2個(gè)人考核為優(yōu),從而求出滿足條件的概率即可;(Ⅲ)求出滿足的成績有16個(gè),求出滿足條件的概率即可.【詳解】解:(Ⅰ)設(shè)這名學(xué)生考核優(yōu)秀為事件,由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以知道,30名同學(xué)中,有7名同學(xué)考核優(yōu)秀,所以所求概率約為(Ⅱ)設(shè)從圖中考核成績滿足的學(xué)生中任取2人,至少有一人考核成績優(yōu)秀為事件,因?yàn)楸碇谐煽冊诘?人中有2個(gè)人考核為優(yōu),所以基本事件空間包含15個(gè)基本事件,事件包含9個(gè)基本事件,所以(Ⅲ)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),滿足的成績有16個(gè),所以所以可以認(rèn)為此次冰雪培訓(xùn)活動(dòng)有效.【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖問題,考查概率求值以及轉(zhuǎn)化思想,是一道常規(guī)題.18、(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)線段上是存在一點(diǎn),,使直線與平面所成的角正弦值為.【解析】
(Ⅰ)取中點(diǎn),連結(jié)、,推導(dǎo)出四邊形是平行四邊形,從而,由此能證明平面;(Ⅱ)取中點(diǎn),連結(jié),,推導(dǎo)出平面,,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角的余弦值;(Ⅲ)假設(shè)在線段上是存在一點(diǎn),使直線與平面所成的角正弦值為,設(shè).利用向量法能求出結(jié)果.【詳解】(Ⅰ)證明:取中點(diǎn),連結(jié)、,是邊長為2的等邊三角形,,,,點(diǎn)為的中點(diǎn),,四邊形是平行四邊形,,平面,平面,平面.(Ⅱ)解:取中點(diǎn),連結(jié),,在四棱柱中,平面平面,是邊長為2的等邊三角形,,,,點(diǎn)為的中點(diǎn),平面,,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,,1,,,0,,,1,,,0,,,,,,0,,,,,設(shè)平面的法向量,,,則,取,得,,,設(shè)平面的法向量,,,則,取,得,設(shè)二面角的平面角為,則.二面角的余弦值為.(Ⅲ)解:假設(shè)在線段上是存在一點(diǎn),使直線與平面所成的角正弦值為,設(shè).則,,,,,,平面的法向量,,解得,線段上是存在一點(diǎn),,使直線與平面所成的角正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,考查滿足正弦值的點(diǎn)是否存在的判斷與求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.19、(1);(2)4【解析】
(1),利用兩角差的正弦公式計(jì)算即可;(2)設(shè),在中,用正弦定理將用x表示,在中用一次余弦定理即可解決.【詳解】(1)∵,∴,所以,.(2)∵,∴設(shè),,在中,由正弦定理得,,∴,∴,∵,∴∴.【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,是一道容易題.20、【解析】
根據(jù),可解得,設(shè)為曲線任一點(diǎn),在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn),則點(diǎn)在曲線上,根據(jù)變換的定義寫出相應(yīng)的矩陣等式,再用表示出,代入曲線的方程中,即得.【詳解】,,即.,解得,.設(shè)為曲線任一點(diǎn),則,又設(shè)在矩陣A變換作用得到點(diǎn),則,即,所以即代入,得,所以曲線的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查逆矩陣,矩陣與變換等,是基礎(chǔ)題.21、(1)e;(2)2.【解析】
(1)根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì),得出,再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出曲線在點(diǎn)處的切線為,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性,即可得出的值;(2)設(shè),求導(dǎo),求出的單調(diào)性,從而得出最大值為,結(jié)合恒成立的性質(zhì),得出正整數(shù)的最小值.【詳解】(1)根據(jù)題意,與的圖象關(guān)于直線對稱,所以函數(shù)的圖象與互為反函數(shù),則,,設(shè)點(diǎn),,又,當(dāng)時(shí),,曲線在點(diǎn)處的切線為,即,代入點(diǎn),得,即,構(gòu)造函數(shù),當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,且,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,而,故存在唯一的實(shí)數(shù)根.(2)由于不等式恒成立,可設(shè),所以,令,得.所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,因此函數(shù)在是增函數(shù),在是減函數(shù).故函數(shù)的最大值為.令,因?yàn)椋?,又因?yàn)樵谑菧p函數(shù).所以當(dāng)時(shí),.所以正整數(shù)的最小值為2.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題,涉及到單調(diào)性
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