專題06指數(shù)與指數(shù)函數(shù)5題型分類-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測(原卷版+解析版)_第1頁
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專題06指數(shù)與指數(shù)函數(shù)5題型分類1、指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算(1)根式的定義:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,,記為,稱為根指數(shù),稱為根底數(shù).(2)根式的性質(zhì):當(dāng)為奇數(shù)時(shí),正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù),負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).當(dāng)為偶數(shù)時(shí),正數(shù)的次方根有兩個(gè),它們互為相反數(shù).(3)指數(shù)的概念:指數(shù)是冪運(yùn)算中的一個(gè)參數(shù),為底數(shù),為指數(shù),指數(shù)位于底數(shù)的右上角,冪運(yùn)算表示指數(shù)個(gè)底數(shù)相乘.(4)有理數(shù)指數(shù)冪的分類①正整數(shù)指數(shù)冪;②零指數(shù)冪;③負(fù)整數(shù)指數(shù)冪,;④的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于,的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.(5)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)①,,;②,,;③,,;④,,.2、指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)①定義域,值域②,即時(shí),,圖象都經(jīng)過點(diǎn)③,即時(shí),等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時(shí),;時(shí),時(shí),;時(shí),⑥既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)(一)指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)方程、指數(shù)不等式利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解題.對于形如,,的形式常用“化同底”轉(zhuǎn)化,再利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解決;或用“取對數(shù)”的方法求解.形如或的形式,可借助換元法轉(zhuǎn)化二次方程或二次不等式求解.題型1:指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)方程、指數(shù)不等式1-1.(2024高三下·湖南·階段練習(xí))(

)A. B. C. D.1-2.(2024高一·全國·單元測試)下列結(jié)論中,正確的是(

)A.設(shè)則 B.若,則C.若,則 D.1-3.(2024高一上·山西晉城·期中)(

)A. B. C. D.1-4.(2024·江西)已知函數(shù)f(x)=(a∈R),若,則a=(

)A. B. C.1 D.21-5.(2024·陜西榆林·一模)已知函數(shù),若,則實(shí)數(shù)(

)A. B. C. D.(二)指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)1.函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手:(1)從函數(shù)的定義域,判斷圖象的左右位置;從函數(shù)的值域,判斷圖象的上下位置.(2)從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢;(3)從函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對稱性;(4)從函數(shù)的特征點(diǎn),排除不合要求的圖象.2.解決指數(shù)函數(shù)有關(guān)問題,思路是從它們的圖像與性質(zhì)考慮,按照數(shù)形結(jié)合的思路分析,從圖像與性質(zhì)找到解題的突破口,但要注意底數(shù)對問題的影響.題型2:求指數(shù)函數(shù)的定義域、值域2-1.(2024高一上·河南平頂山·階段練習(xí))函數(shù)的定義域?yàn)椋?-2.(2024高一上·河南平頂山·階段練習(xí))函數(shù)的值域?yàn)椋?-3.(2024高一上·浙江杭州·期中)已知f(x)=的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.2-4.(2024·寧夏銀川·二模)已知函數(shù),,則其值域?yàn)椋?-5.(2024高一上·上海閔行·期末)已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是.題型3:指數(shù)函數(shù)圖象及其應(yīng)用3-1.(2024高一上·廣東梅州·期中)函數(shù)(,且)的圖象過定點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(

)A.(1,5) B.(1,4) C.(0,4) D.(4,0)3-2.(2024高一上·山東淄博·期末)函數(shù)(其中,)的圖象恒過的定點(diǎn)是(

)A. B. C. D.3-3.(2024高一·全國·專題練習(xí))如圖所示,函數(shù)的圖象是(

)A.

B.

C.

D.

3-4.(2024·山東)已知函數(shù)是偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,則該函數(shù)在上的圖像大致是(

)A. B.C. D.3-5.(2024高一上·福建福州·期中)指數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示,則二次函數(shù)的圖象可能是(

A.

B.

C.

D.

3-6.(2024·四川)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱的圖象大致是(

)A. B.C. D.3-7.(2024高一·廣東河源·期中)若直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),則a的取值范圍是.題型4:指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及應(yīng)用4-1.(2024·江蘇)不等式的解集為.4-2.(2024高一·上?!n}練習(xí))不等式的解集為.4-3.(2024高三·全國·專題練習(xí))函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為4-4.(2024高二下·寧夏銀川·期末)若函數(shù),則該函數(shù)在(-∞,+∞)上是A.單調(diào)遞減無最小值 B.單調(diào)遞減有最小值C.單調(diào)遞增無最大值 D.單調(diào)遞增有最大值4-5.(2024·全國)已知函數(shù).記,則(

)A. B. C. D.4-6.(2024·全國)設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是.4-7.(2024·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測)已知是定義在上的偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則滿足的x的取值范圍是.(三)指數(shù)函數(shù)中的恒成立問題已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法:(1)函數(shù)法:討論參數(shù)范圍,借助函數(shù)單調(diào)性求解;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.題型5:指數(shù)函數(shù)中的恒成立問題5-1.(2024高一上·浙江·期中)若,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.5-2.(2024高三·全國·專題練習(xí))已知函數(shù),若不等式在R上恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.5-3.(2024高三上·上海松江·期中)已知不等式,對于恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.5-4.(2024高一上·上海寶山·階段練習(xí))設(shè),當(dāng)時(shí),恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.一、單選題1.(2024高三上·陜西西安·期中)若是指數(shù)函數(shù),則有(

)A.或 B.C. D.且2.(2024高三·山東·學(xué)業(yè)考試)函數(shù)是指數(shù)函數(shù),則(

)A.或 B. C. D.且3.(2024高三·全國·專題練習(xí))當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)的值總大于1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.1<|a|<2 B.|a|<1 C.|a|> D.|a|<4.(2024高一上·福建福州·階段練習(xí))函數(shù)的定義域是

)A. B. C. D.5.(2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測)已知函數(shù)的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A. B. C. D.6.(2024高三上·湖北武漢·開學(xué)考試)設(shè)函數(shù),函數(shù)的圖像經(jīng)過第一?三?四象限,則的取值范圍為(

)A. B. C. D.7.(2024·江西)已知實(shí)數(shù),滿足等式,下列五個(gè)關(guān)系式:①;②;③;④;⑤.其中不可能成立的關(guān)系式有(

)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)8.(2024·北京)下列函數(shù)中,在區(qū)間上單調(diào)遞增的是(

)A. B.C. D.9.(2024·天津)設(shè),則的大小關(guān)系為(

)A. B.C. D.10.(2024·安徽)設(shè)a=,b=,c=,則a,b,c的大小關(guān)系是()A.a(chǎn)>c>b B.a(chǎn)>b>cC.c>a>b D.b>c>a11.(2024高二下·安徽宣城·階段練習(xí))定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,且當(dāng)時(shí),,有(

)A. B.C. D.12.(2024·海南·模擬預(yù)測)不等式的解集為(

)A. B.C. D.13.(2024·全國)設(shè)函數(shù),則滿足的x的取值范圍是A. B. C. D.14.(2024·全國)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則的取值范圍是(

)A. B.C. D.15.(2024·北京)已知函數(shù),則對任意實(shí)數(shù)x,有(

)A. B.C. D.16.(2024·北京西城·三模)在下列四個(gè)函數(shù)中,在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有(

)A. B. C. D.17.(2024高一·全國·課后作業(yè))函數(shù)對于任意的實(shí)數(shù)、都有(

)A. B.C. D.18.(2024高一上·浙江溫州·期中)函數(shù)的圖象如圖所示,其中a,b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是(

A. B.C. D.19.(2024高一上·北京西城·期中)若函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限,則一定有(

)A.且 B.且C.且 D.且20.(2024高一上·全國·課后作業(yè))若指數(shù)函數(shù)在上的最大值與最小值的和為,則(

)A.或 B.C. D.21.(2024·陜西西安·一模)已知實(shí)數(shù)a、b滿足,則a、b的大小關(guān)系為(

)A. B. C. D.不能確定22.(2024·陜西)下了函數(shù)中,滿足“”的單調(diào)遞增函數(shù)是(

)A. B.C. D.23.(2024·全國)已知,則A. B.C. D.24.(2024高一上·云南楚雄·階段練習(xí))若函數(shù)f(x)、g(x)分別為R上的奇函數(shù)、偶函數(shù),且滿足f(x)-g(x)=ex,則有(

)A.f(2)<f(3)<g(0) B.g(0)<f(3)<f(2)C.f(2)<g(0)<f(3) D.g(0)<f(2)<f(3)25.(2024高一上·吉林·)函數(shù)(,且)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A. B. C. D.26.(2024·河南平頂山·模擬預(yù)測)甲?乙兩人解關(guān)于x的方程,甲寫錯(cuò)了常數(shù)b,得到的根為或x=,乙寫錯(cuò)了常數(shù)c,得到的根為或,則原方程的根是(

)A.或 B.或C.或 D.或27.(2024高三上·黑龍江哈爾濱·期中)若關(guān)于的方程有解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A. B. C. D.28.(2024·上海長寧·一模)函數(shù)的大致圖像如圖,則實(shí)數(shù)a,b的取值只可能是()A. B.C. D.29.(2024高一上·湖北省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí))已知函數(shù)(且)的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足關(guān)于x,y的方程,則的最小值為(

)A.8 B.24 C.4 D.630.(2024·全國·模擬預(yù)測)已知函數(shù),則不等式的解集為(

)A. B.C. D.31.(2024·全國)已知,則(

)A. B. C. D.二、多選題32.(2024·海南海口·模擬預(yù)測)已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù),函數(shù)為偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,則(

)A. B. C. D.33.(2024高三上·廣東深圳·階段練習(xí))已知是定義在上的奇函數(shù)且滿足為偶函數(shù),當(dāng)時(shí),且.若,則(

)A. B.C. D.34.(2024高三·全國·專題練習(xí))(多選)已知函數(shù)(且)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是()

A. B. C. D.35.(2024高三·全國·專題練習(xí))對任意實(shí)數(shù),函數(shù)的圖象必過定點(diǎn),的定義域?yàn)閇0,2],,則下列結(jié)論正確的是()A., B.的定義域?yàn)閇0,1]C.的值域?yàn)閇2,6] D.的值域?yàn)閇2,20]36.(2024高一上·山東泰安·期末)函數(shù)的圖象可能為(

)A. B.C. D.37.(2024·浙江紹興·模擬預(yù)測)預(yù)測人口的變化趨勢有多種方法,“直接推算法”使用的公式是,其中為預(yù)測期人口數(shù),為初期人口數(shù),為預(yù)測期內(nèi)人口年增長率,為預(yù)測期間隔年數(shù),則(

)A.當(dāng),則這期間人口數(shù)呈下降趨勢B.當(dāng),則這期間人口數(shù)呈擺動(dòng)變化C.當(dāng)時(shí),的最小值為3D.當(dāng)時(shí),的最小值為338.(2024·山東聊城·二模)已知函數(shù),則(

)A.函數(shù)是增函數(shù)B.曲線關(guān)于對稱C.函數(shù)的值域?yàn)镈.曲線有且僅有兩條斜率為的切線39.(2024·黑龍江哈爾濱·二模)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上,當(dāng),則可能等于(

)A.-1 B. C. D.0三、填空題40.(2024高三上·黑龍江七臺(tái)河·期中)設(shè)函數(shù),且,,則的解析式為.41.(2024·上?!つM預(yù)測)已知,則的值域是;42.(2024·全國·模擬預(yù)測)使函數(shù)的值域?yàn)榈囊粋€(gè)a的值為.43.(2024·山東)已知函數(shù)的定義域和值域都是,則.44.(2024·海南·模擬預(yù)測)已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t.45.(2024高三·全國·對口高考)函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線上,其中,則的最小值為.46.(2024高三·全國·專題練習(xí))已知函數(shù)過定點(diǎn),如果點(diǎn)是函數(shù)的頂點(diǎn),那么的值分別為47.(2024高二下·河北石家莊·期中)若曲線|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點(diǎn),則b的取值范圍為.48.(2024高三上·上海徐匯·開學(xué)考試)已知函數(shù)滿足對于任意,都有成立,則的取值范圍為49.(2024高三·全國·專題練習(xí))函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為50.(2024·福建)若函數(shù)滿足,且在單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)的最小值等于.51.(2024·江蘇)若,則.52.(2024·山東)若函數(shù)在[-1,2]上的最大值為4,最小值為m,且函數(shù)在上是增函數(shù),則a=.53.(2024高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí))函數(shù)的定義域?yàn)?54.(2024·上海楊浦·模擬預(yù)測)若函數(shù)為偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則.55.(2024·上海金山·一模)若時(shí),指數(shù)函數(shù)的值總大于1,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.56.(2024高三上·山西運(yùn)城·階段練習(xí))已知函數(shù)是奇函數(shù),則.57.(2024高一上·重慶渝中·期中)已知函數(shù)的定義域?yàn)?,則函數(shù)的定義域?yàn)?(用區(qū)間或集合作答)58.(2024·福建廈門·一模)若函數(shù)的值域?yàn)?,且滿足,則的解析式可以是.59.(2024高三下·河北·階段練習(xí))在這4個(gè)數(shù)中,最小的是,最大的是.60.(2024·河北邯鄲·一模)不等式的解集為.61.(2024高三·全國·專題練習(xí))已知函數(shù)在內(nèi)的最大值是最小值的兩倍,且,則62.(2024·上海浦東新·模擬預(yù)測)設(shè).若函數(shù)的定義域?yàn)?,則關(guān)于的不等式的解集為.63.(2024高三·全國·專題練習(xí))已知函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,則.64.(2024·湖北武漢·模擬預(yù)測)已知實(shí)數(shù),滿足,,則.四、解答題65.(2024高一·全國·課后作業(yè))已知函數(shù)f(x)=(a2+a-5)ax是指數(shù)函數(shù).(1)求f(x)的表達(dá)式;(2)判斷F(x)=f(x)-f(-x)的奇偶性,并加以證明.66.(2004·北京)當(dāng)時(shí),解關(guān)于x的不等式:,67.(2024高一上·海南??凇るA段練習(xí))已知函數(shù).(1)若,求的值;(2)若對于恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.68.(2024高一上·河北保定·期中)已知函數(shù).(1)若,求的單調(diào)區(qū)間(2)若有最大值3,求的值(3)若的值域是,求的值69.(2024·上海虹口·二模)已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù).(1)求實(shí)數(shù)的值,并證明在上單調(diào)遞增;(2)已知且,若對于任意的、,都有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

專題06指數(shù)與指數(shù)函數(shù)5題型分類1、指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算(1)根式的定義:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,,記為,稱為根指數(shù),稱為根底數(shù).(2)根式的性質(zhì):當(dāng)為奇數(shù)時(shí),正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù),負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).當(dāng)為偶數(shù)時(shí),正數(shù)的次方根有兩個(gè),它們互為相反數(shù).(3)指數(shù)的概念:指數(shù)是冪運(yùn)算中的一個(gè)參數(shù),為底數(shù),為指數(shù),指數(shù)位于底數(shù)的右上角,冪運(yùn)算表示指數(shù)個(gè)底數(shù)相乘.(4)有理數(shù)指數(shù)冪的分類①正整數(shù)指數(shù)冪;②零指數(shù)冪;③負(fù)整數(shù)指數(shù)冪,;④的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于,的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.(5)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)①,,;②,,;③,,;④,,.2、指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)①定義域,值域②,即時(shí),,圖象都經(jīng)過點(diǎn)③,即時(shí),等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時(shí),;時(shí),時(shí),;時(shí),⑥既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)(一)指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)方程、指數(shù)不等式利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解題.對于形如,,的形式常用“化同底”轉(zhuǎn)化,再利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解決;或用“取對數(shù)”的方法求解.形如或的形式,可借助換元法轉(zhuǎn)化二次方程或二次不等式求解.題型1:指數(shù)運(yùn)算及指數(shù)方程、指數(shù)不等式1-1.(2024高三下·湖南·階段練習(xí))(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】.故選:B.1-2.(2024高一·全國·單元測試)下列結(jié)論中,正確的是(

)A.設(shè)則 B.若,則C.若,則 D.【答案】B【分析】根據(jù)分式指數(shù)冪及根式的運(yùn)算法則,正確運(yùn)算,即可判斷出正誤.【詳解】對于A,根據(jù)分式指數(shù)冪的運(yùn)算法則,可得,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對于B,,故,選項(xiàng)B正確;對于C,,,因?yàn)?,所以,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對于D,,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:B.1-3.(2024高一上·山西晉城·期中)(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】直接利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】.故選:B1-4.(2024·江西)已知函數(shù)f(x)=(a∈R),若,則a=(

)A. B. C.1 D.2【答案】A【分析】先求出的值,再求的值,然后列方程可求得答案【詳解】解:由題意得,所以,解得a=.故選:A【點(diǎn)睛】此題考查分段函數(shù)求值問題,屬于基礎(chǔ)題1-5.(2024·陜西榆林·一模)已知函數(shù),若,則實(shí)數(shù)(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】先求出,從而,對,討論,分別代入分段函數(shù)即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】∵函數(shù),,,,當(dāng)時(shí),,方程無解,即滿足條件的不存在,當(dāng)時(shí),,解得.∴.故選:A.(二)指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)1.函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手:(1)從函數(shù)的定義域,判斷圖象的左右位置;從函數(shù)的值域,判斷圖象的上下位置.(2)從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢;(3)從函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對稱性;(4)從函數(shù)的特征點(diǎn),排除不合要求的圖象.2.解決指數(shù)函數(shù)有關(guān)問題,思路是從它們的圖像與性質(zhì)考慮,按照數(shù)形結(jié)合的思路分析,從圖像與性質(zhì)找到解題的突破口,但要注意底數(shù)對問題的影響.題型2:求指數(shù)函數(shù)的定義域、值域2-1.(2024高一上·河南平頂山·階段練習(xí))函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)已知條件可得出關(guān)于的不等式組,由此可解得函數(shù)的定義域.【詳解】對于函數(shù),有,解得且.因此,函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為:.2-2.(2024高一上·河南平頂山·階段練習(xí))函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮浚痉治觥坷脫Q元法結(jié)合二次函數(shù)求值域即可.【詳解】設(shè),則,換元得,顯然當(dāng)時(shí),函數(shù)取到最小值,所以函數(shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?2-3.(2024高一上·浙江杭州·期中)已知f(x)=的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】[-1,0]【分析】把f(x)的定義域?yàn)镽轉(zhuǎn)化為0對任意x∈R恒成立,即x2+2ax﹣a≥0對任意x∈R恒成立,再由判別式小于等于0求解.【詳解】∵f(x)的定義域?yàn)镽,∴0對任意x∈R恒成立,即恒成立,即x2+2ax﹣a≥0對任意x∈R恒成立,∴△=4a2+4a≤0,則﹣1≤a≤0.故答案為[﹣1,0].【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域及其求法,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,是中檔題.2-4.(2024·寧夏銀川·二模)已知函數(shù),,則其值域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥苛?,將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在區(qū)間上的值域問題,結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性,即可求解.【詳解】令,∵,∴,∴,又關(guān)于對稱,開口向上,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且,時(shí),函數(shù)取得最小值,即,時(shí),函數(shù)取得最大值,即,.故答案為:.2-5.(2024高一上·上海閔行·期末)已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】分別討論當(dāng)時(shí),的值域和當(dāng)時(shí),的值域,根據(jù)分段函數(shù)的值域取二者的并集,結(jié)合集合的并集運(yùn)算即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,所以時(shí),;當(dāng)時(shí),,①若,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則時(shí),,即時(shí),,又時(shí),,此時(shí),函數(shù)的值域?yàn)?,不滿足題意,舍去;②當(dāng)時(shí),函數(shù)此時(shí)值域?yàn)?,不滿足題意,舍去;③當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,則時(shí),,即時(shí),,因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?,又時(shí),;則時(shí),且,不等式解得:,不等式等價(jià)于時(shí),,設(shè)(),因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,在上是增函數(shù),所以在上單調(diào)遞增,又,所以時(shí),等價(jià)于,即,則不等式解得:,所以時(shí),的解集為,綜上:實(shí)數(shù)的取值范圍是,故答案為:.題型3:指數(shù)函數(shù)圖象及其應(yīng)用3-1.(2024高一上·廣東梅州·期中)函數(shù)(,且)的圖象過定點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(

)A.(1,5) B.(1,4) C.(0,4) D.(4,0)【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)的知識(shí)即得.【詳解】當(dāng)時(shí),,所以.故選:A.3-2.(2024高一上·山東淄博·期末)函數(shù)(其中,)的圖象恒過的定點(diǎn)是(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】令可得定點(diǎn).【詳解】令,即,得,函數(shù)(其中,)的圖象恒過的定點(diǎn)是.故選:B.3-3.(2024高一·全國·專題練習(xí))如圖所示,函數(shù)的圖象是(

)A.

B.

C.

D.

【答案】B【分析】將原函數(shù)變形為分段函數(shù),根據(jù)及時(shí)的函數(shù)值即可得解.【詳解】∵,∴時(shí),,當(dāng)時(shí),函數(shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù),且,當(dāng)時(shí),函數(shù)為上的單調(diào)遞減函數(shù),且,故選:B3-4.(2024·山東)已知函數(shù)是偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,則該函數(shù)在上的圖像大致是(

)A. B.C. D.【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù),指數(shù)函數(shù)的知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí),,所以在上遞減,是偶函數(shù),所以在上遞增.注意到,所以B選項(xiàng)符合.故選:B3-5.(2024高一上·福建福州·期中)指數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示,則二次函數(shù)的圖象可能是(

A.

B.

C.

D.

【答案】B【分析】先由指數(shù)函數(shù)的圖象判斷出,進(jìn)而分析出二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn),即可解出.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的圖象可知:.令,解得,則,對應(yīng)只有B選項(xiàng)符合題意.故選:B3-6.(2024·四川)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱的圖象大致是(

)A. B.C. D.【答案】A【分析】作出函數(shù)的圖象,再結(jié)合對稱性可得合適的選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的圖象可視為將函數(shù)的圖象向上平移個(gè)單位,所以,函數(shù)的圖象如下圖所示:所以,函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱的函數(shù)的圖象如A選項(xiàng)中的圖象.故選:A.3-7.(2024高一·廣東河源·期中)若直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),則a的取值范圍是.【答案】【分析】就的取值分類討論后可得a的取值范圍.【詳解】直線與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),故有兩個(gè)不同的解,故和共有兩個(gè)不同的解,因?yàn)椋视星抑挥幸粋€(gè)實(shí)數(shù)解.若,則,故無解,而只有一個(gè)解,故有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,與題設(shè)矛盾,舍;若,因?yàn)橹挥幸粋€(gè)解,故需有一解,故,故.故答案為:.題型4:指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及應(yīng)用4-1.(2024·江蘇)不等式的解集為.【答案】【詳解】試題分析:本題是一個(gè)指數(shù)型函數(shù)式的大小比較,這種題目需要先把底數(shù)化為相同的形式,即底數(shù)化為2,根據(jù)函數(shù)是一個(gè)遞增函數(shù),寫出指數(shù)之間的關(guān)系得到未知數(shù)的范圍.,是一個(gè)遞增函數(shù);故答案為.考點(diǎn):指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊性4-2.(2024高一·上?!n}練習(xí))不等式的解集為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件,利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解不等式作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增,則,即,解得,所以原不等式的解集為.故答案為:4-3.(2024高三·全國·專題練習(xí))函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】【解析】函數(shù)定義域是,求出的減區(qū)間即得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,所以原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,掌握復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”法則是解題關(guān)鍵.4-4.(2024高二下·寧夏銀川·期末)若函數(shù),則該函數(shù)在(-∞,+∞)上是A.單調(diào)遞減無最小值 B.單調(diào)遞減有最小值C.單調(diào)遞增無最大值 D.單調(diào)遞增有最大值【答案】A【詳解】本題考查函數(shù)的單調(diào)性及最值.設(shè),則當(dāng)時(shí)為增函數(shù),且;于是為減函數(shù),其圖象如圖所示:則故為減函數(shù)且;圖象在軸上方,,所以原函數(shù)既無最小值,也無最大值.故正確答案為A.4-5.(2024·全國)已知函數(shù).記,則(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】利用作差法比較自變量的大小,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】令,則開口向下,對稱軸為,因?yàn)椋?,所以,即由二次函?shù)性質(zhì)知,因?yàn)椋?,即,所以,綜上,,又為增函數(shù),故,即.故選:A.4-6.(2024·全國)設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是.【答案】【詳解】由題意得:當(dāng)時(shí),恒成立,即;當(dāng)時(shí),恒成立,即;當(dāng)時(shí),,即.綜上,x的取值范圍是.【名師點(diǎn)睛】分段函數(shù)的考查方向注重對應(yīng)性,即必須明確不同的自變量所對應(yīng)的函數(shù)解析式是什么,然后代入該段的解析式求值.解決此類問題時(shí),要注意區(qū)間端點(diǎn)是否取到及其所對應(yīng)的函數(shù)值,尤其是分段函數(shù)結(jié)合點(diǎn)處的函數(shù)值.4-7.(2024·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測)已知是定義在上的偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則滿足的x的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為,利用函數(shù)的單調(diào)性建立條件關(guān)系即可【詳解】由函數(shù)性質(zhì)知,,∴,即,解得,∴,故答案為:.(三)指數(shù)函數(shù)中的恒成立問題已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法:(1)函數(shù)法:討論參數(shù)范圍,借助函數(shù)單調(diào)性求解;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.題型5:指數(shù)函數(shù)中的恒成立問題5-1.(2024高一上·浙江·期中)若,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè),將原不等式轉(zhuǎn)化成恒成立,從而求出的范圍.【詳解】令,∵,∴,∵恒成立,∴恒成立,∵,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí),表達(dá)式取得最小值,∴,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查與指數(shù)函數(shù)有關(guān)不等式的恒成立問題,可換元后轉(zhuǎn)為含參數(shù)的一元二次不等式的恒成立問題,再利用參變分離可求參數(shù)的取值范圍,此題需要學(xué)生有較好的邏輯分析能力,難度不大,屬于基礎(chǔ)題.5-2.(2024高三·全國·專題練習(xí))已知函數(shù),若不等式在R上恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【答案】.【分析】利用換元法把目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題,結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性和最值情況可得答案.【詳解】令因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù),所以因此要使在區(qū)間上恒成立,應(yīng)有,即所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故答案為:.5-3.(2024高三上·上海松江·期中)已知不等式,對于恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】,,【分析】設(shè),,則,對于,恒成立,問題轉(zhuǎn)化為,于,恒成立,即,即可解得答案.【詳解】設(shè),,則,對于,恒成立,即,對于,恒成立,∴,即,解得或,即或,解得或,綜上,的取值范圍為,,.故答案為:,,﹒5-4.(2024高一上·上海寶山·階段練習(xí))設(shè),當(dāng)時(shí),恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意把不等式轉(zhuǎn)化為即,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,得到在上恒成立,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),列出不等式,即可求解.【詳解】由函數(shù),均為在上的增函數(shù),故函數(shù)是在上的單調(diào)遞增函數(shù),且滿足,所以函數(shù)為奇函數(shù),因?yàn)?,即,可得恒成立,即在上恒成立,則滿足,即,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:.一、單選題1.(2024高三上·陜西西安·期中)若是指數(shù)函數(shù),則有(

)A.或 B.C. D.且【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的概念,由所給解析式,可直接求解.【詳解】因?yàn)槭侵笖?shù)函數(shù),所以,解得.故選:C.2.(2024高三·山東·學(xué)業(yè)考試)函數(shù)是指數(shù)函數(shù),則(

)A.或 B. C. D.且【答案】C【分析】由指數(shù)函數(shù)的定義可得,同時(shí),且,從而可求出的值【詳解】由指數(shù)函數(shù)定義知,同時(shí),且,所以解得.故選:C3.(2024高三·全國·專題練習(xí))當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)的值總大于1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.1<|a|<2 B.|a|<1 C.|a|> D.|a|<【答案】C【分析】根據(jù)x>0時(shí),函數(shù)的值總大于1,求解.【詳解】解:因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí),函數(shù)的值總大于1,所以,則,解得,故選:C.4.(2024高一上·福建福州·階段練習(xí))函數(shù)的定義域是

)A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)偶次根式下被開方數(shù)非負(fù)列不等式,再解指數(shù)不等式得結(jié)果.【詳解】,解得,函數(shù)的定義域,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域、解指數(shù)不等式,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.5.(2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測)已知函數(shù)的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】由于當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),求出的最小值,使其最小值小于等于1即可.【詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?,所以,得,所以?shí)數(shù)的取值范圍是,故選:D.6.(2024高三上·湖北武漢·開學(xué)考試)設(shè)函數(shù),函數(shù)的圖像經(jīng)過第一?三?四象限,則的取值范圍為(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)題意求得,化簡得到,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),即可求解.【詳解】由函數(shù)的的圖像經(jīng)過第一?三?四象限,可得,所以,又因?yàn)?,所以的取值范圍?故選:A.7.(2024·江西)已知實(shí)數(shù),滿足等式,下列五個(gè)關(guān)系式:①;②;③;④;⑤.其中不可能成立的關(guān)系式有(

)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【分析】先畫出函數(shù)與的圖象,再討論時(shí),的情況即可.【詳解】解:畫出函數(shù)與的圖象,當(dāng)時(shí),的圖象在的圖象下方,當(dāng)時(shí),的圖象在的圖象上方,當(dāng),時(shí),則,當(dāng)時(shí),成立,當(dāng),時(shí),則,故③,④不成立.故選:B.8.(2024·北京)下列函數(shù)中,在區(qū)間上單調(diào)遞增的是(

)A. B.C. D.【答案】C【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC,舉反例排除D即可.【詳解】對于A,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以在上單調(diào)遞減,故A錯(cuò)誤;對于B,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以在上單調(diào)遞減,故B錯(cuò)誤;對于C,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,在上單調(diào)遞減,所以在上單調(diào)遞增,故C正確;對于D,因?yàn)?,,顯然在上不單調(diào),D錯(cuò)誤.故選:C.9.(2024·天津)設(shè),則的大小關(guān)系為(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】根據(jù)對應(yīng)冪、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.【詳解】由在R上遞增,則,由在上遞增,則.所以.故選:D10.(2024·安徽)設(shè)a=,b=,c=,則a,b,c的大小關(guān)系是()A.a(chǎn)>c>b B.a(chǎn)>b>cC.c>a>b D.b>c>a【答案】A【詳解】試題分析:∵函數(shù)是減函數(shù),∴;又函數(shù)在上是增函數(shù),故.從而選A考點(diǎn):函數(shù)的單調(diào)性.11.(2024高二下·安徽宣城·階段練習(xí))定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,且當(dāng)時(shí),,有(

)A. B.C. D.【答案】B【分析】函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱可得,再根據(jù)當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減可得答案.【詳解】定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,所以,所以,因?yàn)楫?dāng)時(shí),為單調(diào)遞增函數(shù),定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,因?yàn)椋?,?故選:B.12.(2024·海南·模擬預(yù)測)不等式的解集為(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù),將不等式轉(zhuǎn)化為,利用單調(diào)性可解.【詳解】構(gòu)造函數(shù),易知函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù).因?yàn)椴坏仁降葍r(jià)于,又,所以,所以由函數(shù)的單調(diào)性知,即,解得或,所以原不等式的解集為.故選:D13.(2024·全國)設(shè)函數(shù),則滿足的x的取值范圍是A. B. C. D.【答案】D【分析】分析:首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式,將函數(shù)圖像畫出來,從圖中可以發(fā)現(xiàn)若有成立,一定會(huì)有,從而求得結(jié)果.詳解:將函數(shù)的圖像畫出來,觀察圖像可知會(huì)有,解得,所以滿足的x的取值范圍是,故選D.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)通過函數(shù)值的大小來推斷自變量的大小關(guān)系,從而求得相關(guān)的參數(shù)的值的問題,在求解的過程中,需要利用函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖像,從而得到要出現(xiàn)函數(shù)值的大小,絕對不是常函數(shù),從而確定出自變量的所處的位置,結(jié)合函數(shù)值的大小,確定出自變量的大小,從而得到其等價(jià)的不等式組,從而求得結(jié)果.14.(2024·全國)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則的取值范圍是(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性,判斷列式計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增,而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,因此,解得,所以的取值范圍是.故選:D15.(2024·北京)已知函數(shù),則對任意實(shí)數(shù)x,有(

)A. B.C. D.【答案】C【分析】直接代入計(jì)算,注意通分不要計(jì)算錯(cuò)誤.【詳解】,故A錯(cuò)誤,C正確;,不是常數(shù),故BD錯(cuò)誤;故選:C.16.(2024·北京西城·三模)在下列四個(gè)函數(shù)中,在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】A.利用正切函數(shù)的性質(zhì)判斷;B.利用絕對值函數(shù)的性質(zhì)判斷;C.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷;D.利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷.【詳解】解:A.的增區(qū)間為,在整個(gè)定義域上不單調(diào),故錯(cuò)誤;B.的增區(qū)間是,在整個(gè)定義域上不單調(diào),故錯(cuò)誤;C.在R上遞增,故正確;D.的增區(qū)間是,在整個(gè)定義域上不單調(diào),故錯(cuò)誤;故選:C17.(2024高一·全國·課后作業(yè))函數(shù)對于任意的實(shí)數(shù)、都有(

)A. B.C. D.【答案】B【分析】由指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得到,逐一核對四個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)論.【詳解】解:由函數(shù),得,所以函數(shù)對于任意的實(shí)數(shù)、都有.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),是基礎(chǔ)題.18.(2024高一上·浙江溫州·期中)函數(shù)的圖象如圖所示,其中a,b為常數(shù),則下列結(jié)論正確的是(

A. B.C. D.【答案】D【分析】由函數(shù)單調(diào)性判斷與的大小,再由圖象與軸的交點(diǎn)位置判斷的正負(fù).【詳解】由圖象可知,函數(shù)為減函數(shù),從而有;法一:由圖象,函數(shù)與軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo),令,得,由,即,解得.法二:函數(shù)圖象可看作是由向左平移得到的,則,即.故選:D.19.(2024高一上·北京西城·期中)若函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限,則一定有(

)A.且 B.且C.且 D.且【答案】C【分析】觀察到函數(shù)是一個(gè)指數(shù)型的函數(shù),不妨作出其圖象,從圖象上看出其是一個(gè)減函數(shù),并且是由某個(gè)指數(shù)函數(shù)向下平移而得到的,故可得出結(jié)論.【詳解】解:如圖所示,圖象與軸的交點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上(縱截距小于零),即,且,,且.故選:.20.(2024高一上·全國·課后作業(yè))若指數(shù)函數(shù)在上的最大值與最小值的和為,則(

)A.或 B.C. D.【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義可得出,然后分、兩種情況討論,分析函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程,解出即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為指數(shù)函數(shù),所以.當(dāng)時(shí),在上的最大值為,最小值為,則,解得或(舍);當(dāng)時(shí),在上的最大值為,最小值為,則,解得(舍)或(舍).綜上可知,.故選:C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查利用指數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的最值求參數(shù),解題的關(guān)鍵在于對指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得出等式求解.21.(2024·陜西西安·一模)已知實(shí)數(shù)a、b滿足,則a、b的大小關(guān)系為(

)A. B. C. D.不能確定【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù),,結(jié)合指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】設(shè),,則,因?yàn)楹瘮?shù)和在上都為增函數(shù),所以函數(shù)在上為增函數(shù),所以.故選:C.22.(2024·陜西)下了函數(shù)中,滿足“”的單調(diào)遞增函數(shù)是(

)A. B.C. D.【答案】B【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義一一代入分析即可.【詳解】A選項(xiàng):由,,得,所以A錯(cuò)誤;B選項(xiàng):由,,得;又函數(shù)是定義在上增函數(shù),所以B正確;C選項(xiàng):由,,得,所以C錯(cuò)誤;D選項(xiàng):函數(shù)是定義在上減函數(shù),所以D錯(cuò)誤;故選:B.23.(2024·全國)已知,則A. B.C. D.【答案】A【詳解】因?yàn)?,且冪函?shù)在上單調(diào)遞增,所以b<a<c.故選A.點(diǎn)睛:本題主要考查冪函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問題,解答比較大小問題,常見思路有兩個(gè):一是判斷出各個(gè)數(shù)值所在區(qū)間(一般是看三個(gè)區(qū)間);二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答;數(shù)值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應(yīng)用;三是借助于中間變量比較大小.24.(2024高一上·云南楚雄·階段練習(xí))若函數(shù)f(x)、g(x)分別為R上的奇函數(shù)、偶函數(shù),且滿足f(x)-g(x)=ex,則有(

)A.f(2)<f(3)<g(0) B.g(0)<f(3)<f(2)C.f(2)<g(0)<f(3) D.g(0)<f(2)<f(3)【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性得,進(jìn)而得,從而利用函數(shù)的單調(diào)性及正負(fù)可比較大小.【詳解】函數(shù)分別是上的奇函數(shù)、偶函數(shù),,由,得,,,解方程組得,易知在上單調(diào)遞增,所以,又所以.故選:D25.(2024高一上·吉林·)函數(shù)(,且)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)給定條件令,再借助二次函數(shù)單調(diào)性結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性分類討論作答.【詳解】令,則原函數(shù)轉(zhuǎn)化為,其圖象的對稱軸為直線,若,則在上單調(diào)遞增,且,因?yàn)樵瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,于是得,解得,與矛盾,若,則在上單調(diào)遞減,且,因?yàn)樵瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,于是得,解得或,則,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選:B26.(2024·河南平頂山·模擬預(yù)測)甲?乙兩人解關(guān)于x的方程,甲寫錯(cuò)了常數(shù)b,得到的根為或x=,乙寫錯(cuò)了常數(shù)c,得到的根為或,則原方程的根是(

)A.或 B.或C.或 D.或【答案】D【分析】令,則方程可化為,根據(jù)甲計(jì)算出常數(shù),根據(jù)乙計(jì)算出常數(shù),再將代入關(guān)于x的方程解出即可【詳解】令,則方程可化為,甲寫錯(cuò)了常數(shù)b,所以和是方程的兩根,所以,乙寫錯(cuò)了常數(shù)c,所以1和2是方程的兩根,所以,則可得方程,解得,所以原方程的根是或故選:D27.(2024高三上·黑龍江哈爾濱·期中)若關(guān)于的方程有解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】方程有解轉(zhuǎn)化為有正根,即在有解,根據(jù)解出的范圍.【詳解】方程有解,有解,令,則可化為有正根,則在有解,又當(dāng)時(shí),所以,故選:.28.(2024·上海長寧·一模)函數(shù)的大致圖像如圖,則實(shí)數(shù)a,b的取值只可能是()A. B.C. D.【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和與軸的交點(diǎn)結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求解.【詳解】若,為增函數(shù),且,與圖象不符,若,為減函數(shù),且,與圖象相符,所以,當(dāng)時(shí),,結(jié)合圖象可知,此時(shí),所,則,所以,故選:C.29.(2024高一上·湖北省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí))已知函數(shù)(且)的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足關(guān)于x,y的方程,則的最小值為(

)A.8 B.24 C.4 D.6【答案】C【分析】根據(jù)類指數(shù)函數(shù)的定點(diǎn)確定,從而代入并利用均值不等式即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)圖象恒過定點(diǎn)又點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足關(guān)于,的方程,所以,即所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào);所以的最小值為4.故選:C.30.(2024·全國·模擬預(yù)測)已知函數(shù),則不等式的解集為(

)A. B.C. D.【答案】B【分析】確定函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱,在上單調(diào)遞減,且,不等式轉(zhuǎn)化為或或,解得答案.【詳解】依題意,,,故,故函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱,當(dāng)時(shí),,,單調(diào)遞減,故在上單調(diào)遞減,且,函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱,在上單調(diào)遞減,,而,故或或,解得或,故所求不等式的解集為,故選:B.31.(2024·全國)已知,則(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】法一:根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知,再利用基本不等式,換底公式可得,,然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出.【詳解】[方法一]:(指對數(shù)函數(shù)性質(zhì))由可得,而,所以,即,所以.又,所以,即,所以.綜上,.[方法二]:【最優(yōu)解】(構(gòu)造函數(shù))由,可得.根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù),則,令,解得,由知.在上單調(diào)遞增,所以,即,又因?yàn)?,所?故選:A.【點(diǎn)評】法一:通過基本不等式和換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較,方法直接常用,屬于通性通法;法二:利用的形式構(gòu)造函數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系,簡單明了,是該題的最優(yōu)解.二、多選題32.(2024·海南海口·模擬預(yù)測)已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù),函數(shù)為偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,則(

)A. B. C. D.【答案】ABC【分析】根據(jù)給定條件,結(jié)合函數(shù)奇偶性定義,探討出函數(shù)的周期,即可逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù),則,即,B正確;又函數(shù)是奇函數(shù),則,因此,即有,于是,即函數(shù)的周期為4,有,C正確;因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù),則,解得,A正確;當(dāng)時(shí),,所以,D錯(cuò)誤.故選:ABC33.(2024高三上·廣東深圳·階段練習(xí))已知是定義在上的奇函數(shù)且滿足為偶函數(shù),當(dāng)時(shí),且.若,則(

)A. B.C. D.【答案】ACD【分析】先判斷出的周期,然后結(jié)合奇偶性、周期性、解析式求得正確答案.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù),所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱,因?yàn)闉榕己瘮?shù),所以的圖象關(guān)于直線對稱.根據(jù)條件可知,則,即4為的一個(gè)周期,則,所以,所以C正確;又因?yàn)?,所以解得或(舍去),所以A正確,B錯(cuò)誤;所以當(dāng)時(shí),,所以,所以D正確.故選:ACD34.(2024高三·全國·專題練習(xí))(多選)已知函數(shù)(且)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是()

A. B. C. D.【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可得出、的取值范圍,利用指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷ACD選項(xiàng),利用不等式的基本性質(zhì)可判斷B選項(xiàng).【詳解】由圖象可知,函數(shù)(且)在上單調(diào)遞增,則,且當(dāng)時(shí),,可得.對于A選項(xiàng),,A對;對于B選項(xiàng),,B對;對于C選項(xiàng),,C錯(cuò);對于D選項(xiàng),由題意可知,,則,所以,,D對.故選:ABD.35.(2024高三·全國·專題練習(xí))對任意實(shí)數(shù),函數(shù)的圖象必過定點(diǎn),的定義域?yàn)閇0,2],,則下列結(jié)論正確的是()A., B.的定義域?yàn)閇0,1]C.的值域?yàn)閇2,6] D.的值域?yàn)閇2,20]【答案】ABC【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖像恒過定點(diǎn)求出m,n的值,根據(jù)的定義域求的定義域,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性,求出的值域.【詳解】令,得,此時(shí),所以函數(shù)的圖象過定點(diǎn),即,,故選項(xiàng)A正確;因?yàn)椋?,所以,,所以,由得,所以的定義域?yàn)閇0,1],故B正確;易知在[0,1]上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),取得最小值2,當(dāng)時(shí),取得最大值6,所以的值域?yàn)閇2,6],故選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:ABC.36.(2024高一上·山東泰安·期末)函數(shù)的圖象可能為(

)A. B.C. D.【答案】ABD【解析】根據(jù)函數(shù)解析式的形式,以及圖象的特征,合理給賦值,判斷選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí),,圖象A滿足;當(dāng)時(shí),,,且,此時(shí)函數(shù)是偶函數(shù),關(guān)于軸對稱,圖象B滿足;當(dāng)時(shí),,,且,此時(shí)函數(shù)是奇函數(shù),關(guān)于原點(diǎn)對稱,圖象D滿足;圖象C過點(diǎn),此時(shí),故C不成立.故選:ABD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手:(1)從函數(shù)的定義域,判斷圖象的左右位置;從函數(shù)的值域,判斷圖象的上下位置.(2)從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢;(3)從函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對稱性;(4)從函數(shù)的特征點(diǎn),排除不合要求的圖象.37.(2024·浙江紹興·模擬預(yù)測)預(yù)測人口的變化趨勢有多種方法,“直接推算法”使用的公式是,其中為預(yù)測期人口數(shù),為初期人口數(shù),為預(yù)測期內(nèi)人口年增長率,為預(yù)測期間隔年數(shù),則(

)A.當(dāng),則這期間人口數(shù)呈下降趨勢B.當(dāng),則這期間人口數(shù)呈擺動(dòng)變化C.當(dāng)時(shí),的最小值為3D.當(dāng)時(shí),的最小值為3【答案】AC【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的增減性可判斷A,B;分別代入和,解指數(shù)不等式可判斷C,D.【詳解】,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知:是關(guān)于n的單調(diào)遞減函數(shù),即人口數(shù)呈下降趨勢,故A正確,B不正確;,所以,所以,,所以的最小值為3,故C正確;,所以,所以,,所以的最小值為2,故D不正確;故選:AC.38.(2024·山東聊城·二模)已知函數(shù),則(

)A.函數(shù)是增函數(shù)B.曲線關(guān)于對稱C.函數(shù)的值域?yàn)镈.曲線有且僅有兩條斜率為的切線【答案】AB【分析】由可得是增函數(shù),且對于任意,滿足,所以關(guān)于對稱,可得AB正確;利用指數(shù)函數(shù)值域易得函數(shù)的值域?yàn)?,即C錯(cuò)誤;令,整理可得,易知,可得,即方程無解,因此曲線不存在斜率為的切線,即D錯(cuò)誤.【詳解】根據(jù)題意可得,易知是減函數(shù),所以是增函數(shù),即A正確;由題意可得,所以,即對于任意,滿足,所以關(guān)于對稱,即B正確;由指數(shù)函數(shù)值域可得,所以,即,所以函數(shù)的值域?yàn)?,所以C錯(cuò)誤;易知,令,整理可得,令,即,易知,又因?yàn)?,即,所以,即,因此;即關(guān)于的一元二次方程無實(shí)數(shù)根;所以無解,即曲線不存在斜率為的切線,即D錯(cuò)誤;故選:AB39.(2024·黑龍江哈爾濱·二模)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上,當(dāng),則可能等于(

)A.-1 B. C. D.0【答案】BC【分析】根據(jù)目標(biāo)式的幾何意義為在部分圖象上的動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)所成直線的斜率,即可求范圍.【詳解】由表示與點(diǎn)所成直線的斜率,又是在部分圖象上的動(dòng)點(diǎn),圖象如下:如上圖,,則,只有B、C滿足.故選:BC三、填空題40.(2024高三上·黑龍江七臺(tái)河·期中)設(shè)函數(shù),且,,則的解析式為.【答案】【分析】根據(jù),求出,可得函數(shù)解析式.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)解析式為,則,則,由可得,,解得,所以.41.(2024·上?!つM預(yù)測)已知,則的值域是;【答案】【分析】分段討論的范圍即可.【詳解】當(dāng)時(shí),根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知,當(dāng)時(shí),.綜上:的值域?yàn)?故答案為:.42.(2024·全國·模擬預(yù)測)使函數(shù)的值域?yàn)榈囊粋€(gè)a的值為.【答案】1(答案不唯一)【分析】由指數(shù)函數(shù)值域性質(zhì)求解【詳解】令,由題意得的值域?yàn)?,又的值域?yàn)?,所以,解得,所以的取值范圍為.故答案為?(答案不唯一)43.(2024·山東)已知函數(shù)的定義域和值域都是,則.【答案】【詳解】若,則在上為增函數(shù),所以,此方程組無解;若,則在上為減函數(shù),所以,解得,所以.考點(diǎn):指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).44.(2024·海南·模擬預(yù)測)已知函數(shù)的定義域?yàn)?,則.【答案】【分析】由已知可得不等式的解集為,可知為方程的根,即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由題意可知,不等式的解集為,則,解得,當(dāng)時(shí),由,可得,解得,合乎題意.故答案為:.45.(2024高三·全國·對口高考)函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線上,其中,則的最小值為.【答案】/【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn),求出點(diǎn)頂點(diǎn),得到,再由,利用基本不等式即可求解.【詳解】令,可得,此時(shí),所以函數(shù)圖象恒過定點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)A在直線上,所以,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.綜上,的最小值為.故答案為:.46.(2024高三·全國·專題練習(xí))已知函數(shù)過定點(diǎn),如果點(diǎn)是函數(shù)的頂點(diǎn),那么的值分別為【答案】2,5【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)特點(diǎn),求出點(diǎn);再根據(jù)題意,列出方程,則參數(shù)可求.【詳解】(且)恒過點(diǎn),所以(且)恒過點(diǎn),又為的頂點(diǎn),滿足,解得故答案為:,.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)恒過定點(diǎn)的問題,涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.47.(2024高二下·河北石家莊·期中)若曲線|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點(diǎn),則b的取值范圍為.【答案】[-1,1]【詳解】畫出曲線|y|=2x+1與直線y=b的圖象如圖所示由圖象可得|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點(diǎn),則b應(yīng)滿足的條件是b∈[-1,1].48.(2024高三上·上海徐匯·開學(xué)考試)已知函數(shù)滿足對于任意,都有成立,則的取值范圍為【答案】【分析】根據(jù)為上的增函數(shù)可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)閷τ谌我猓加?,故對任意的,總有即,故為上的增函?shù),所以,故.令,,它們的圖象如圖所示:

故的解為,故的解為.故答案為:.【點(diǎn)睛】分段函數(shù)是單調(diào)函數(shù),不僅要求各范圍上的函數(shù)的單調(diào)性一致,而且要求分段處的點(diǎn)也具有相應(yīng)的高低分布.49.(2024高三·全國·專題練習(xí))函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為【答案】【解析】先把函數(shù)可看成和復(fù)合而成,根據(jù)其單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)“同增異減”法則即可得出的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解:函數(shù)可看成和復(fù)合而成.是減函數(shù),在是遞減,在上遞增,∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”法則知,的單調(diào)減區(qū)間為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,關(guān)鍵是利用復(fù)合函數(shù)“同增異減”法則,屬于基礎(chǔ)題.50.(2024·福建)若函數(shù)滿足,且在單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)的最小值等于.【答案】【詳解】試題分析:根據(jù)可知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,可知,從而可以確定函數(shù)在上是增函數(shù),從而有,所以,故的最小值等于.考點(diǎn):函數(shù)圖像的對稱性,函數(shù)的單調(diào)性.【方法點(diǎn)睛】該題根據(jù)題中的條件確定好函數(shù)本身的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)函數(shù)在函數(shù)增區(qū)間的所有子區(qū)間上是增函數(shù),從而求得參數(shù)的取值范圍,關(guān)鍵是根據(jù)條件,得出函數(shù)圖像的對稱性,確定出函數(shù)圖像的對稱軸,從而得到函數(shù)的增區(qū)間,從而根據(jù)集合間的包含關(guān)系,從而確定出參數(shù)的取值范圍.51.(2024·江蘇)若,則.【答案】-1【分析】先得到,即,結(jié)合的單調(diào)性得到,從而求出答案.【詳解】因?yàn)椋?,所以,因?yàn)閱握{(diào)遞增,故,因?yàn)?,所以故答案為?152.(2024·山東)若函數(shù)在[-1,2]上的最大值為4,最小值為m,且函數(shù)在上是增函數(shù),則a=.【答案】【詳解】當(dāng)時(shí),有,此時(shí),此時(shí)為減函數(shù),不合題意.若,則,故,檢驗(yàn)知符合題意53.(2024高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí))函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】由題意結(jié)合分母不為0、偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)可得,解指數(shù)不等式即可得解.【詳解】若要使函數(shù)有意義,則即,解得,所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)定義域的求解,考查了指數(shù)不等式的求解及運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.54.(2024·上海楊浦·模擬預(yù)測)若函數(shù)為偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則.【答案】/【分析】利用偶函數(shù)的定義即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí),,所以,又因?yàn)闉榕己瘮?shù),所以.故答案為:.55.(2024·上海金山·一模)若時(shí),指數(shù)函數(shù)的值總大于1,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】或【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)性,即可得到關(guān)于的不等式,求解不等式即可得到結(jié)果.【詳解】由已知可得,且.又時(shí),,即,所以有,即,解得或.故答案為:或.56.(2024高三上·山西運(yùn)城·階段練習(xí))已知函數(shù)是奇函數(shù),則.【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義得出,代入化簡得出,即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋?,因?yàn)闉槠婧瘮?shù),故,即,故.故答案為:.57.(2024高一上·重慶渝中·期中)已知函數(shù)的定義域?yàn)?,則函數(shù)的定義域?yàn)?(用區(qū)間或集合作答)【答案】/【分析】由已知及指數(shù)的性質(zhì)可得,即可求的定義域.【詳解】由題設(shè),,可得,

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