2024-2025學(xué)年蘇科版八年級(jí)初中數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬試卷（測(cè)試范圍：全等三角形、軸對(duì)稱圖形、勾股定理）（解析版）

2024-2025學(xué)年蘇科版八年級(jí)初中數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬試卷2測(cè)試范圍：全等三角形、軸對(duì)稱圖形、勾股定理（考試時(shí)間：90分鐘試卷滿分：100分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一．選擇題：（本大題共10題，每題3分，滿分30分）1．每年三月份最后一周的星期一是全國(guó)中小學(xué)生安全教育日，為了警示學(xué)生，學(xué)校的許多場(chǎng)地都張貼了安全標(biāo)志，下面是部分安全標(biāo)志的圖片，其文字上方的圖案是軸對(duì)稱圖形的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形的識(shí)別【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義解答即可．【詳解】選項(xiàng)B、C、D不能找到這樣的一條直線，使圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形.選項(xiàng)A能找到一條直線，使圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的定義，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵.如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形．2．已知等腰的周長(zhǎng)為16厘米，邊，則邊的長(zhǎng)是（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的定義【分析】本題主要考查了等腰三角形的定義，通過(guò)討論當(dāng)腰長(zhǎng)為時(shí)，當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為時(shí)，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)，求出對(duì)應(yīng)的腰長(zhǎng)，再根據(jù)構(gòu)成三角形的條件進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】當(dāng)為底時(shí)，；當(dāng)為腰時(shí)，則長(zhǎng)為，故選：D．3．如圖，已知直線，，，，，則的度數(shù)為（

）A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】等邊對(duì)等角、三角形的外角的定義及性質(zhì)【分析】由得到，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出，從而求出的度數(shù)．【詳解】∵∴∵∴∴∴故選：A【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠熟練運(yùn)用三角形外角的知識(shí)．4．下列語(yǔ)句不正確的是（

）A．三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B．兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C．有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D．斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】靈活選用判定方法證全等（全等三角形的判定綜合）【分析】直接利用三角形全等的判定條件進(jìn)行判定，即可求得答案；注意是不能判定三角形全等的．【詳解】解：A、三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；B、兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；C、有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；D、斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等，故本選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定．注意普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、，無(wú)法證明三角形全等．5．△ABC中，，AB=5，AC+BC=6，則△ABC的面積是（

）A． B． C．6 D．1【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形【分析】設(shè)AC=x，則BC=6-x，然后根據(jù)勾股定理AC2+BC2=AB2，求出x（6-x）的值，繼而根據(jù)三角形的面積公式求出答案.【詳解】解：設(shè)AC=x，則BC=6-x，根據(jù)勾股定理有AC2+BC2=AB2，得：，得：則三角形ABC的面積為：故答案為:A【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的知識(shí)，難度適中，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理公式求出AC.BC的值.6．如圖，在中，，，的面積為的垂直平分線分別交邊于點(diǎn)．若點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為(

)A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行求解、三線合一、最短路徑問(wèn)題【分析】本題考查的是軸對(duì)稱之最短路線問(wèn)題，連接，，由于是等腰三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長(zhǎng)，再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，故的長(zhǎng)為的最小值，即可求得．【詳解】解：連接，．是等腰三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，解得，是線段的垂直平分線，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，，，的長(zhǎng)即為的最小值，即的最小值為10，故選：D．7．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，點(diǎn)A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，連結(jié)AB、AC，則∠BAC的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．90° D．100°【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形【詳解】連接BC,由勾股定理知AC=BC=，AB=，因?yàn)?，所以三角形ABC是等腰直角三角形，∠ABC=45°.選B.點(diǎn)睛：(1)勾股定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方(2)勾股定理逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形就是直角三角形.(3)掌握常見(jiàn)勾股數(shù)：3,4,5；5,12,13,；6,8,10；8,15,17等.常見(jiàn)三邊比例：1:3:2；1:1：2；1:2：.注：勾股定理一定要在直角三角形內(nèi)使用，其他的三角形不能使用勾股定理.8．如圖，是等邊三角形，為中線，，若，則的長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形【分析】根據(jù)等邊三角形及為中線，可得：,,再根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)可得出，，即可得出答案．【詳解】解：在等邊三角形ABC中，為中線，∴,,∴∵,∴,∴∴,在中：,∴，在中,∴，∴．故答案為：C．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．9．如圖所示，已知A、B、C在同一直線上，且與都是等邊三角形．下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤是等邊三角形；⑥；⑦；⑧，其中正確的有（

）

A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形綜合問(wèn)題【分析】由題中條件可得，得出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而得出，再由邊角關(guān)系即可求解題中結(jié)論是否正確，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：∵與為等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，又，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴題中①②④⑤⑥⑦⑧正確，而③不正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)問(wèn)題，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論正確的是（

）

①若，則；②若，則；③若，則；④過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，若，，則．A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、靈活選用判定方法證全等（全等三角形的判定綜合）【分析】①過(guò)作交于，由角平分線的性質(zhì)定理得，由判定，由三角形全等的性質(zhì)得，再由等腰三角形的性質(zhì)即可判斷；②延長(zhǎng)至，使得，連接，由線段垂直平分線的性質(zhì)得，設(shè)，由等腰三角形的性質(zhì)得，，是等腰三角形，可判定延長(zhǎng)至?xí)r，、、，三點(diǎn)共線，由，即可判斷；③由三角形面積公式得，即可判斷；④如圖，過(guò)作交于，由可判定，由全等三角形的性質(zhì)得，即可判斷．【詳解】解：①如圖，過(guò)作交于，

，平分，，，，，在和中，（），，，，，，；故①正確；②延長(zhǎng)至，使得，連接，，，，，，設(shè)，平分，，，，，，，，是等腰三角形，過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線，連接、的線段只有一條，延長(zhǎng)至?xí)r，、、，三點(diǎn)共線，，，，故②錯(cuò)誤；③由①得：，，，，，故③正確；④如圖，過(guò)作交于，

，，，，，，，，，，，在和中，（），，，，，故④正確；綜上所述：①③④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形的特征等，掌握相關(guān)的判定及性質(zhì)，能根據(jù)題意作出適當(dāng)?shù)妮o助性，構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．二．填空題：（本大題共8題，每題2分，滿分16分）11．菱形有一個(gè)內(nèi)角為，較長(zhǎng)的對(duì)角線長(zhǎng)為，則它的面積為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用菱形的性質(zhì)求面積、利用菱形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形【分析】由題意畫(huà)出菱形，根據(jù)菱形的對(duì)角線性質(zhì)得，繼而解出，由含30°角的直角三角形性質(zhì)解得，在中，利用勾股定理解得，進(jìn)一步得到，最后由菱形的面積公式解題即可．【詳解】解：如圖，菱形中，，，，，，在中，設(shè)，則，，，解得，，，菱形的面積，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、菱形的面積、含30°角的直角三角形、勾股定理等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．12．如圖，在四邊形中，，，，分別是，的中點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為．

【答案】4【知識(shí)點(diǎn)】斜邊的中線等于斜邊的一半、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用．連接，由在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半可證明，進(jìn)而可證明是等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，連接，

∵，，是的中點(diǎn)，∴，∴，∵是的中點(diǎn)，∴．∵，，∴．∴．故答案為：4．13．如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是1，于點(diǎn)，且，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸于點(diǎn)，則點(diǎn)表示的數(shù)為．【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理與無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)與數(shù)軸【分析】此題考查了勾股定理，以及數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是勾股定理求出的長(zhǎng)．根據(jù)題意得，，則是直角三角形，根據(jù)勾股定理得的長(zhǎng)，得，即可得．【詳解】解：由題意得，，∵，∴，∴是直角三角形，即，∴，∴，即點(diǎn)D表示的數(shù)為：，故答案為：．14．如圖，已知等邊△ABD，邊AB=8，射線AM垂直BD，交BD于點(diǎn)M，C為射線AM上一點(diǎn)，連接BC，BC=2，點(diǎn)E為AD邊上一點(diǎn)，若CE∥AB，則CE的長(zhǎng)為．【答案】6或2【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、含30度角的直角三角形【分析】根據(jù)點(diǎn)C在M下方和點(diǎn)C在M上方分類討論，分別畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半分別求解即可．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)C在M下方時(shí)，設(shè)CE與BD交于點(diǎn)F∵△ABD為等邊三角形，邊AB=8，∴AB=AD=BD=8，∠BAD=∠ABD=∠D=60°∵AM垂直BD∴∠BAM=∠DAM=30°，BM=DM==4在Rt△BCM中，CM=∵CE∥AB，∴∠ECA=∠BAM=30°，∠DEF=∠BAD=60°，∠EFD=∠ABD=60°∴△EFD為等邊三角形∴EF=FD在Rt△CMF中，CF=2MF，設(shè)MF=x，則CF=2x∴即解得：x=2或-2（不符合實(shí)際，舍去）∴MF=2，CF=4∴FD=DM－MF=2∴EF=2∴CE=CF＋EF=6；當(dāng)點(diǎn)C在M上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AM于G∵△ABD為等邊三角形，邊AB=8，∴AB=AD=BD=8，∠BAD=∠ABD=∠D=60°∵AM垂直BD∴∠BAM=∠DAM=30°，BM=DM==4在Rt△BCM中，CM=在Rt△ABM中，AM=∴AC=AM－CM=∵CE∥AB，∴∠ECA=∠BAM=30°，∴∠EAC=∠ECA=30°∴EA=EC，∵EG⊥AM∴CG==在Rt△CEG中，CE=2EG，設(shè)EG=y，則CE=2y∴即解得：y=1或-1（不符合實(shí)際，舍去）∴CE=2；綜上：CE=6或2故答案為：6或2．【點(diǎn)睛】此題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定及性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半是解題關(guān)鍵．15．如圖，在中，，，垂足為D，平分交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作，垂足為F，過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)G，若，則．【答案】4【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形綜合問(wèn)題【分析】在BC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)I，使EB=EI，將△EGF沿EF翻折得到△EHF，證CI＝2DF＝2，再證HI＝BG＝2CI即可．【詳解】在BC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)I，使EB=EI，將△EGF沿EF翻折得到△EHF，∵AB＝CA，，∴BD＝DC，∠ABC=∠ACB，∵BE＝IE，EF⊥BC，∴BF＝FI，∠EBI=∠I，∵DF＝DC﹣FC＝DC﹣（FI﹣CI）＝BC﹣BI+CI＝CI，∴CI＝2DF＝2，由翻折可知，EG=EH，∠EGH=∠EHG，∵，∴∠EGH+∠EBI=90°，∴∠EHG+∠I=90°，∴∠EGH+∠EBI=90°，∴∠BEG=∠IEH=90°，∵平分，∠ABC=∠ACB，∠EBI=∠I，∴∠I=∠ACB，∴∠CEI=∠I，CE＝CI，∵∠I+∠EHI=90°，∠CEI+∠CEH=90°，∴∠EHI=∠CEH，∴CE＝CH，∴IH=2CI=4，∵BE＝IE，EG=EH，∠BEG=∠IEH=90°，∴△BEG≌△IEH，∴BG=IH=4，【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作輔助線，構(gòu)建全等三角形和等腰三角形進(jìn)行推理計(jì)算．16．如圖，等邊三角形，在邊所在的直線上分別截取，，連接AD，，則的度數(shù)是．【答案】°/度【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】由是等邊三角形，，進(jìn)而可得，由此可得，，則．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∴，∵，，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，能夠熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵．17．如圖，已知等邊三角形△ABC，點(diǎn)D，E分別在CA，CB的延長(zhǎng)線上，且BE=CD，O為BC的中點(diǎn)，MO⊥AB交DE于點(diǎn)M，OM=，AD=2，則AB=．

【答案】4【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】先添加輔助線構(gòu)造等腰三角形CFD，再推到O是EF中點(diǎn)，之后根據(jù)等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)來(lái)判斷OM∥FD，之后判斷出OM是三角形EFD的中位線即可求解本題．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)EC到點(diǎn)F，使CF=BE，

連接DF，∵BE=CD，∴CF=CD，作CH⊥FD于H，則H為FD的中點(diǎn)，即FD=2FH，∵ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠F=∠FDC=30°，設(shè)ABC的邊長(zhǎng)為4a，則CF=CD=2+4a，CE=4a+4a+2=8a+2，∵O是BC中點(diǎn)，∴OC=OB=2a，∴OF=OE=6a+2，故O為EF中點(diǎn)，∵M(jìn)O⊥AB交DE于點(diǎn)M，∴∠BOM=30°=∠F，∴OM∥FD，故M為ED中點(diǎn)，∴,故,在直角CHF中，∵CF=4a+2，∠F=30°，∴CH=2a+1，，∴，解得：，∴AB=4a=4；故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是等腰三角形和等邊三角形，根據(jù)題意正確添加輔助線構(gòu)造等腰三角形是解題的關(guān)鍵．18．如圖，點(diǎn)O是三角形內(nèi)的一點(diǎn)，，，已知，則，．【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、等邊對(duì)等角、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，先由等邊對(duì)等角得到，進(jìn)而求出，則由三角形內(nèi)角和定理可得；分別過(guò)點(diǎn)B、C作直線的垂線，垂足分別為E、F，證明，得到；根據(jù)，推出，勾股定理得，，解得或（舍去），則，再根據(jù)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；如圖所示，分別過(guò)點(diǎn)B、C作直線的垂線，垂足分別為E、F，∴，∴，∴，又∵，∴，∴；∵，∴，∴，即，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得或（舍去），∴，∴，故答案為：；．三．解答題：（本大題共8題，19-23題每題6分，24-26題每題8分，滿分54分）19．如圖1，一個(gè)梯子長(zhǎng)為5米，頂端靠在墻上，這時(shí)梯子下端與墻角之間的距離是4米，將梯子的底端向方向挪動(dòng)1米，如圖2，求梯子的頂端向上移動(dòng)了多少米（即求的長(zhǎng)）？【答案】梯子的頂端向上移動(dòng)了1米．【知識(shí)點(diǎn)】求梯子滑落高度(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．根據(jù)勾股定理可得米，在中由勾股定理可得的長(zhǎng)，即而可得答案．【詳解】解：由題意可得，米，米，米，在中，，，∴米，答：梯子的頂端向上移動(dòng)了1米．20．為深入學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，貫徹落實(shí)習(xí)近平總書(shū)記關(guān)于教育的重要論述和重要指示批示精神，迪慶州某中學(xué)計(jì)劃在如圖陰影區(qū)域展示學(xué)生的學(xué)習(xí)心得．現(xiàn)測(cè)得，，，，．試求陰影部分的面積．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用、用勾股定理解三角形【分析】本題考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面積等知識(shí)．先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再由勾股定理的逆定理判斷出是直角三角形，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接．在中，，，，，，，，，是直角三角形，且，陰影部分的面積．21．如圖，在中，，于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）9【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定、含30度角的直角三角形【分析】（1）根據(jù)已知條件得到，再根據(jù)角平分線的定義得到，即可得解；（2）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；【詳解】解：（1）∵，，∴，∴，∵平分，∴，∴，即，∴．（2）∵，，∴，，∴中，，∴中，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義、等腰三角形的判定和含30度角的直角三角形，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．22．如圖是一個(gè)長(zhǎng)、寬、高的倉(cāng)庫(kù)，在其內(nèi)壁的點(diǎn)A（長(zhǎng)的四等分點(diǎn)）處有一只壁虎、點(diǎn)B（寬的三等分點(diǎn)）處有一只蚊子．則壁虎爬到蚊子處的最短距離為多少？【答案】【知識(shí)點(diǎn)】求最短路徑(勾股定理的應(yīng)用)【分析】本題主要考查了勾股定理，先將點(diǎn)A和點(diǎn)B所在的面展開(kāi)，得到最符合條件的三種情況，連接，利用勾股定理分別求解，即可得到答案，利用分類討論的思想解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可知，倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)為、寬為、高為，點(diǎn)A是長(zhǎng)的四等分點(diǎn)，點(diǎn)B是寬的三等分點(diǎn)如圖1，此時(shí)，，，，；如圖2，此時(shí)，，，，；如圖3，此時(shí)，，，，，，壁虎爬到蚊子處的最短距離為多少．23．如圖，和是的兩個(gè)外角．(1)用直尺和圓規(guī)分別作和的平分線，設(shè)它們相交于點(diǎn)P；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）(2)求證：點(diǎn)P在的平分線上．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析．【知識(shí)點(diǎn)】作角平分線(尺規(guī)作圖)、角平分線的判定定理、角平分線的性質(zhì)定理【分析】（1）利用基本作圖（作已知角的角平分線）作和的平分線；（2）過(guò)點(diǎn)作于，于，于，如圖，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，，則，然后根據(jù)角平分線性質(zhì)的逆定理得到結(jié)論．【詳解】（1）解：如下圖：和即為所求，（2）證明：過(guò)點(diǎn)作于，于，于，如下圖：∵分別平分，，∴，，∴，∴點(diǎn)P在的平分線上．【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖－角平分線，涉及了角平分線的性質(zhì)定理和逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．24．小明想知道一堵墻上的點(diǎn)A的高度，但又沒(méi)有直接測(cè)量的工具，于是設(shè)計(jì)了下面的方案：第一步：找一根長(zhǎng)度大于的直桿，使直桿靠在墻上，且頂端與點(diǎn)A重合，記錄直桿與地面的夾角；第二步：使直桿頂端沿墻面豎直緩慢下滑，使得∠∠

，標(biāo)記此時(shí)直桿的底端點(diǎn)D：第三步：測(cè)量的長(zhǎng)度，即為點(diǎn)A的高度．

(1)請(qǐng)補(bǔ)全小明的設(shè)計(jì)方案；(2)請(qǐng)說(shuō)明小明這樣設(shè)計(jì)方案的理由．【答案】(1)，，(2)見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)圖形結(jié)合設(shè)計(jì)方案依次填寫(xiě)步驟即可；（2）證明即可得到理由．【詳解】（1）第一步：找一根長(zhǎng)度大于的直桿，使直桿靠在墻上，且頂端與點(diǎn)A重合，記錄直桿與地面的夾角；第二步：使直桿頂