第四章動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

第四章動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析要點(diǎn):李雅譜諾夫穩(wěn)定性定義李雅譜諾夫間接法李雅譜諾夫直接法難點(diǎn):李雅譜諾夫直接法§4-1李雅普諾夫穩(wěn)定性定義定義4-1對n階自由系統(tǒng)x=f（x,t）,若存在某一狀態(tài)乙，對所有t都有/（兀,/）三0,則稱一為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)或平衡點(diǎn)。定義4-2（李雅普諾夫意義下穩(wěn)定）對任意￡>0，存在5（￡,ro）>0為|a0-胡有卜⑴-胡<5,（對t>r0）.則稱平衡狀態(tài)禮是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定，簡稱李氏穩(wěn)定。若8（e,r（））=6（e）,與f（）無關(guān)，則稱一?致李氏穩(wěn)定。定義4-3（漸近穩(wěn)定）若系統(tǒng)不僅是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定，且有l(wèi)imx（r）=xt,，則稱平衡狀態(tài)九是漸近穩(wěn)定。若&（禮，f（））=6（E），與G無關(guān)，則稱i致漸進(jìn)穩(wěn)定。定義4-4（大范圍漸近穩(wěn)定）若對任意?！?都有hmx（t）=xe，則稱平衡狀態(tài)兀/-KC是大范圍漸近穩(wěn)定。定義4-5（不穩(wěn)定）若對任意給定實(shí)數(shù)￡>0,不論6怎么小，至少有一個(gè)九°,當(dāng)x（）-?！籿〃，則有卜（/）-億>6,則稱平衡狀態(tài)札不穩(wěn)定?！??2李雅普諾夫間接法李雅普諾夫間接法是根據(jù)A的特征值卡判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。一、 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性定理4T（間接法穩(wěn)定判斷定理）門階線性定常系統(tǒng)x= 平衡點(diǎn)為九二0,有（1） 億是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，其充要條件是A的約半標(biāo)準(zhǔn)形J屮實(shí)部為零的特征值所對應(yīng)的約半塊是一維的，且其余特征值均有負(fù)實(shí)部。（2） 九是漸近穩(wěn)定的充要條件是A的特征值均有負(fù)實(shí)部。（3） 乙是不穩(wěn)定的充要條件是A有，某特征值具有實(shí)部。例4-1x-x判兀二0平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。00」e解A的特征值血2=0所對應(yīng)約半塊是二維的。x(t)=eAtx(t)=eAtxQ=°一州0+X2Q+處20當(dāng)f->8,有x（r）->oo,故乙二0是不平衡點(diǎn)。二、非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性對線性系統(tǒng)x=f（x,t）,設(shè)兀為其平衡點(diǎn)。首先將系統(tǒng)在乙附近線性化,在電鄰域內(nèi)展成泰勒級數(shù)，即OfdxTOfdxT(x—億)+/?(x)令x二兀-兀,A=Z|,則系統(tǒng)的線性方程為OX"x=Ax在一次近似的基礎(chǔ)丄，李雅譜諾夫給出以下結(jié)論:A的特征值均有負(fù)實(shí)部，則九漸近穩(wěn)定，與R(x)無關(guān)。A的特征值至少有一個(gè)有正實(shí)部，則乙不穩(wěn)定，與R(X)無關(guān)。A的特征值至少有一個(gè)實(shí)部為0,A的特征值至少有一個(gè)的穩(wěn)定性與R(x)有關(guān)，不能由A來決定?！?-3李雅譜諾夫直接法一、穩(wěn)定性的判別法定理4-2社n階系統(tǒng)為兀=/(x,r),平衡狀態(tài)為兀二0,如果存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)V(x)它滿足：V(x)對所有x都有聯(lián)系的一階偏導(dǎo)數(shù)；V(x)是正定的，即V(x)>0；V=空兇，若有dtV(jc)是半負(fù)定，即V(x)<0o則兀是李氏穩(wěn)定。V(兀)是負(fù)定的，即V(x)<0o則化是李氏穩(wěn)定。Co)V(x)<0o但V(x)不恒等于0,(使V(x)=0的解不是狀態(tài)方程的菲零解)如是間接穩(wěn)定。(d)對(b)和(c),當(dāng)||x||->oo有y(Q->oo,則是大范圍漸近穩(wěn)定。(e)VO)正定，即V(x)>0,則兀不穩(wěn)定。例4-57 7x{=x2-axl +兀2~)x2=-Xj-ax2(X)2+x22)其屮，8為常數(shù)，試確定平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。解兀=0是唯一的平衡點(diǎn)。試取顯然，V(X)>0,且有連續(xù)一階偏導(dǎo)。=2xl[x2_axx（x,2+卅）]+2x2[-x}-ax2（xf+x；）]二_2a(x；+卅)2當(dāng)a>0時(shí)，有V(x)<0,根據(jù)定理4-2?|'(b),卷是漸進(jìn)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。且當(dāng)制->oo,V(x)->co,故有大范用漸進(jìn)穩(wěn)定；當(dāng)滬0吋，有卩(兀)三0,根據(jù)定理4-2屮(a),九是李氏穩(wěn)定的平衡點(diǎn)；為M0,有V(x)>0,根據(jù)定理4-2?|'(e),九是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。所選V(x)可判穩(wěn)定性，故是李雅普諾夫函數(shù)。二、克拉索夫斯基方法對x=/(x,r),兀是平均點(diǎn),定理4-3取F(x)=~^dxA若F(兀)=FT(x)+F(x)<0,則兀是漸近穩(wěn)定的,V(x)=/r(x,r)/(x,r)>0是李氏函數(shù),即半制TOO,有V(X)00,則九大范圍是漸近穩(wěn)定。推論4-1對線性定常系統(tǒng)兀二Ar,若A非奇異。A7+A<0,則￡,=0是大范圍漸近穩(wěn)定。例4-10一12'無= x 判斷平衡點(diǎn)穩(wěn)定性。TOC\o"1-5"\h\z_2 -3_解顯然A非奇異，九二0是唯一平衡點(diǎn)。7. 「-2 31A1+4=3 -6其順序主子式為州］=-2,每2=3>0,故屮+A<0,由推論4T,有?！闶谴蠓秶鷿u進(jìn)穩(wěn)定。

三、李雅譜諾夫方程對線性定常系統(tǒng)，克拉索夫斯基并非都有效。下面給出判別線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件：X=Aa-取正定二次型做李氏函數(shù)；V(x)=xTpx,P為正定對稱鎮(zhèn)陣，則TV(x)=xPx+xrPx=(AxYPx+xTPAx=一xlQx式屮：Q=^AtP+At)若Q是正定對稱陣，則V(x)<Oo系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。從而有；定理4-4x=漸近穩(wěn)定的條件是，給定一個(gè)對稱陣Q,若存在一個(gè)對稱正定的P陣，滿足李氏方程：Q+A1P+PA=0李氏函數(shù)為V(x)=xTPx為了方便，常數(shù)Q二【>0,由(4-5)確定P,若P正定，則穩(wěn)定。例4?11'01_A- X分析平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。解取Q=IPnPn解取Q=IPnPnP21 P22.由李雅普諾夫方程有PnPi\一2〃］2ATp^PA=-1-1為對稱矩陣,即P[2=P2lP12ITPii P12J0 1“22」[_卩21P12. 1—1.P\\~P12~P\2Pll"Pl!"Pl!2p\2_2p22_10___01

則有即 P=1-213-21-23兀可解得"P12=|"22=12卩2=1刃1則有即 P=1-213-21-23?？山獾?P12=|"22=13 3IP的順序主子式為Pu=->0 P“=——>02 "24根據(jù)希爾維斯特判據(jù)，有P>0,即P是對稱正定矩陣，再根據(jù)定理4?4可判系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)為V(x)=xTPx=—X］2=x}x2+xf4.6基于MALAB的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析［例4.12］己知SIS0系統(tǒng)的A、B、和C陣分別如下，分析系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性。0100101001B=3-1-3-21C=[l0()] (4.13)%程序：ch4ex9.mA=[010;001;-1-3-2]; %給A陣賦值B二[0;3;l];C二[100];D=0;[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,1)%從A、B、C、D求系統(tǒng)的零點(diǎn)z、極點(diǎn)p和增益k；%其中ss2zp(A,B,C,D,1)中的1表示輸入u=l；程序運(yùn)行結(jié)果：z=-2.3333P=-0.4302-0.7849+1.30711-0.7849-1.307Hk=3從程序運(yùn)行結(jié)果可得：零點(diǎn)z二-2.333、極點(diǎn)pl二-0.4302、p2=-0.7849+j1.307k

p3=-0.7849-jl.307K增益k=3,因此系統(tǒng)穩(wěn)定。［例4.13］己知單輸入二輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為%)J+J+s+3252+3s+l1.6$?+s+1.2試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。%程序：chdexIO.mnum=[0 2.0000 3.0000 1.000001.60001.00001.2000]den=[1.0000 2. 0000 1. 0000 3. 0000];[z,p,k]=tf2zp(num,den)程序運(yùn)行結(jié)果:-1.0000一0.5000-0.-1.0000一0.5000-0.3125-0.80771p=-2.17460.0873+1.1713i0.0873-1.I7l3ik=2.00001.600從程序運(yùn)行結(jié)果看子系統(tǒng)的2個(gè)零點(diǎn)均有負(fù)實(shí)部，但3個(gè)極點(diǎn)小有2個(gè)極點(diǎn)的實(shí)部為正，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。小結(jié)本章介紹了李雅普諾夫穩(wěn)定性定義及判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的李雅普諾夫間接法和直接法。李雅普諾夫穩(wěn)定性理論不僅可以研究古典控制理論所能研究的線性定常系統(tǒng)，還可以研究古典控制理論所不能研究的線性吋變及非線性系統(tǒng)。用李雅普諾夫間接法研究線性定常系統(tǒng)是方便的，其方法是根據(jù)的特征值或者說是根據(jù)系統(tǒng)的極點(diǎn)來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，勞斯判據(jù)仍然是實(shí)用的。李雅普諾夫直接法主耍用于非線性系統(tǒng)的研究，它避免了解方程、求系統(tǒng)特征值的困難，而是采用李雅普諾夫函數(shù)來直接進(jìn)行判別。直接法的關(guān)鍵和難點(diǎn)是李雅普諾夫函數(shù)的選取，對于線性系統(tǒng)，介紹了李雅普諾夫方程方法，而對于菲線性系統(tǒng)書小只介紹了克拉索夫斯基方法，另外的方法如變量梯度法等請讀者參考有關(guān)書籍。習(xí)題4.1試確定下列二次型的正定性。2)4.2試確定下列非線性系統(tǒng)的原點(diǎn)穩(wěn)定性。=一召+心+召（彳+￡）=一召+心+召（彳+￡）考慮下列二次型函數(shù)是否可以作為一個(gè)可能的李雅普諾夫函數(shù):V=Xj2+x