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文檔簡介

13.3等腰三角形第1課時

等腰三角形的性質(zhì)第13章

全等三角形1、理解并掌握等腰三角形的性質(zhì);2、經(jīng)歷等腰三角形的探究過程,能初步運用等腰三角形的性質(zhì)解決有關(guān)問題;溫故知新

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.1.具備什么條件的三角形是等腰三角形?2.等腰三角形的有關(guān)概念A(yù)BC相等的兩條邊叫做腰,另一條邊叫做底邊,底邊與腰的夾角叫做底角.兩腰所夾的角叫做頂角,腰腰底邊頂角底角邊:角:

法國巴黎的盧浮宮城市大橋建筑圖片欣賞知識點一

等腰三角形的性質(zhì)

剪一張等腰三角形的半透明紙片,每人所剪的等腰三角形的大小和形狀可以不一樣,如圖,把紙片對折,讓兩腰AB、AC重疊在一起,折痕為AD.你能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象嗎?做一做DABC1.等腰三角形是軸對稱圖形.我們可以得出結(jié)論:ACBD折痕AD所在直線是等腰三角形的對稱軸.你還有新的發(fā)現(xiàn)嗎?∠B,∠C

是等腰三角形的

.底角∠B=∠C所以我們可以描述為:等腰三角形的兩個底角相等.2.探究歸納ABCD等腰三角形的性質(zhì):等腰三角形的兩底角相等.(簡寫成“等邊對等角”)你還有什么方法可以證明“等邊對等角”呢?ABC已知:如圖,在△ABC中,AB=AC.求證:∠B=∠C證明:畫∠BAC的平分線AD.D12在△ABD和△ACD中,∵AB=AC(已知)∠1=∠2(角平分線的定義)AD=AD(公共邊)∴△ABD≌△ACD(S.A.S)∴∠B=∠C(全等三角形的對應(yīng)角相等)從這里你還可以得到什么結(jié)論?ABCD12AD既是底邊上的中線,又是頂角的平分線和底邊上的高。ABCD12等腰三角形底邊上的高、中線及頂角的平分線相互重合。等腰三角形的性質(zhì):(簡稱“三線合一”)文字語言圖形語言符號語言等邊對等角

底邊上的高、中線及頂角平分線重合ABCABCD在△ABC中,∵AC=AB

(已知),∴∠B=∠C(等邊對等角).在△ABC中,AB=AC.(1)∵∠BAD=∠CAD,∴BD=CD,AD⊥BC;(2)∵AD⊥BC,∴BD=CD,∠BAD=∠CAD;(3)∵BD=CD,∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC.知識歸納典例精析例1

已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,點D在BC上,且AD=BD,求證:∠ADB=∠BAC.ABCD12??證明:∵AB=AC,AD=BD,∴∠B=∠C,∠B=∠1(等邊對等角)∴∠C=∠1.∵∠ADB是△ADC的外角,∴∠ADB=∠C+∠2.∴∠ADB=∠1+∠2=∠BAC.例2

已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中點,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E、F.求證:DE=DF.

DABCFE證明:

∵AB=AC,∴∠B=∠C(等邊對等角).

∵D是BC的中點,∴DB=DC

.

∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°.

∴△DBE

≌△DCF(AAS).∴DE=DF

.練一練1.如圖,在△ABC中,AB=AC,(1)如果∠B=70°,那么∠C=____,∠A=____.ABCD70°40°(2)如果∠A=70°,那么∠B=____,∠C=___.(3)如果有一個角等于120°,那么∠A=____,∠B=___,∠C

=___.(4)如果有一個角等于50°,那么另兩個角等于多少度?55°55°120°30°30°解:若∠A=50°,則∠B=∠C=65°;若∠B=∠C=50°,則∠A=80°.已知一個內(nèi)角,則這個角可能是底角也可能是頂角,要分兩種情況討論.2.如圖,在△ABC中,點D在BC上,AD=BD,AB=AC=CD.

找出圖中相等的角并說明理由.解:∠BAD=∠B=∠C;∠BAC=∠ADB;∠ADC=∠DAC.∵AD=BD,∴∠BAD=∠B.∵AB=AC,∴∠C=∠B.∴∠BAD=∠B=∠CABCD∵DC=AC,∴∠DAC=∠ADC.∵∠ADB=∠C+∠DAC,∠BAC=∠BAD+∠DAC,∴∠ADB=∠BAC.3.如圖的房屋人字梁架中,AB=AC

,BD=DC,∠BAC=110°,

(1)求∠B、∠C、∠1、∠2的度數(shù);(2)求證:AD⊥BC.(2)證明:∵AB=AC,BD=DC(已知)∴AD⊥BC(三線合一)12

知識點二

等邊三角形的性質(zhì)

因為等邊三角形是特殊的等腰三角形,由等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)得到,∠B=∠C,同理可得∠A=∠B所以∠A=∠B=∠C,又由∠A+∠B+∠C=180°,從而推出∠A=∠B=∠C=60°.

也就是說:等邊三角形的各個角都相等,并且每一個角都等于60°.

三條邊都相等的三角形是等邊三角形,它也是軸對稱圖形,那么等邊三角形的每個角的度數(shù)是多少呢?它有幾條對稱軸?ACB

等邊三角形的三條邊都相等,三個角都相等,也稱為正三角形.三條對稱軸ABC等邊三角形的各個角都相等,并且每一個角都等于60°.等邊三角形的性質(zhì):正三角形典例精析ABCD

例3

如圖,在△ABC中,AB=AC,點D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度數(shù).(1)找出圖中所有相等的角;(2)指出圖中有幾個等腰三角形?∠A=∠ABD,∠C=∠BDC=∠ABC;△ABC,△ABD,△BCD;ABCDx⌒2x⌒2x⌒⌒2x(3)觀察∠BDC與∠A,∠ABD的關(guān)系,∠ABC、∠C呢?∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A=2∠ABD,∠ABC=∠BDC=2∠A,∠C=∠BDC=2∠A;(4)設(shè)∠A=x,請把△ABC的內(nèi)角和用含x的式子表示出來.∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∴x+2x+2x=180°.ABCD解:∵AB=AC,BD=BC=AD,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD.設(shè)∠A=x,則∠BDC=∠A+∠ABD=2x,從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,解得x=36°.在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.x⌒2x⌒2x⌒⌒2xD1.等腰三角形的對稱軸是 (

)A.底邊上的中線

B.頂角的平分線C.底邊上的高

D.底邊的垂直平分線注:對稱軸要回答是直線,而ABC三個選項是線段或射線,不符合要求2.如圖,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中點,下列結(jié)論中不正確的是 (

)A.∠B=∠C B.AD⊥BC

C.AD平分∠BAC D.AB=2BDABCDD根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明ABC,D無法說明;3.(1)等腰三角形一個底角為75°,它的另外兩個角為____________;(2)等腰三角形一個角為36°,它的另外兩個角為____________________;(3)等腰三角形一個角為120°,它的另外兩個角為_____________.75°,30°72°,72°或36°,108°30°,30°4.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線與AC所在的直線相交得的銳角為50°,則底角的大小為___________.70°或20°ABCABC注意:當(dāng)題目未給定三角形的形狀時,一般需分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進行討論.5.如圖,點E在BC上,AE//DC,

AB=AE.求證:∠B=∠C.ADCEB證明:∵AE//DC,∴∠C=∠AEB.又∵AB=AE,∴∠B=∠AEB,∴∠B=∠C.6.如圖,在△ABC中,AB=AC,BD

⊥AC,CE

⊥AB,垂足分別為點D、E.求證:BD=CE.證明:∵AB=AC,∴∠EBC=∠DCB,∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠BEC=∠CDB=90°.在△BEC和△CDB中,∠BEC=∠CDB,∠EBC=∠DCB,BC=CB∴△BEC≌△CDB(A.A.S.),∴BD=CE.7.如圖,在△ABC中,點D在BC上,AD=BD,AB=AC=CD.求∠BAC的度數(shù).解:設(shè)∠B=x°.∵AD=BD,∴∠BAD=∠B=x°.∴∠ADC=∠BAD+∠B=(2x)°.∵DC=AC,∴∠DAC=∠ADC=(2x)°.∵AB=AC,∴∠C=∠B=x°.∵∠C+∠DAC+∠ADC=180°,∴x+2x+2x=180.∴x=36,即∠B=36°.∴∠BAC=180°-36°-36°=108°ABCD8.已知點D、E在△ABC的邊BC上,AB=AC.(1)如圖①,若AD=AE,求證:BD=CE;ACBED圖①G(1)證明:如圖①,過A作AG⊥BC于G.∵AB=AC,AD=AE,∴BG=CG,DG=EG,∴BG-DG=CG

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