2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第13章全等三角形13.3等腰三角形1等腰三角形的性質(zhì)上課課件新版華東師大版

13.3等腰三角形第1課時(shí)

等腰三角形的性質(zhì)第13章

全等三角形1、理解并掌握等腰三角形的性質(zhì)；2、經(jīng)歷等腰三角形的探究過程，能初步運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)解決有關(guān)問題；溫故知新

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.1.具備什么條件的三角形是等腰三角形？2.等腰三角形的有關(guān)概念A(yù)BC相等的兩條邊叫做腰,另一條邊叫做底邊,底邊與腰的夾角叫做底角.兩腰所夾的角叫做頂角,腰腰底邊頂角底角邊：角：

法國(guó)巴黎的盧浮宮城市大橋建筑圖片欣賞知識(shí)點(diǎn)一

等腰三角形的性質(zhì)

剪一張等腰三角形的半透明紙片，每人所剪的等腰三角形的大小和形狀可以不一樣，如圖，把紙片對(duì)折，讓兩腰AB、AC重疊在一起，折痕為AD.你能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象嗎？做一做DABC1.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形.我們可以得出結(jié)論：ACBD折痕AD所在直線是等腰三角形的對(duì)稱軸.你還有新的發(fā)現(xiàn)嗎？∠B，∠C

是等腰三角形的

.底角∠B＝∠C所以我們可以描述為:等腰三角形的兩個(gè)底角相等.2.探究歸納ABCD等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩底角相等.（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）你還有什么方法可以證明“等邊對(duì)等角”呢？ABC已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC.求證：∠B＝∠C證明：畫∠BAC的平分線AD.D12在△ABD和△ACD中，∵AB＝AC（已知）∠1＝∠2（角平分線的定義）AD＝AD（公共邊）∴△ABD≌△ACD（S.A.S）∴∠B=∠C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）從這里你還可以得到什么結(jié)論？ABCD12AD既是底邊上的中線，又是頂角的平分線和底邊上的高。ABCD12等腰三角形底邊上的高、中線及頂角的平分線相互重合。等腰三角形的性質(zhì)：（簡(jiǎn)稱“三線合一”）文字語言圖形語言符號(hào)語言等邊對(duì)等角

底邊上的高、中線及頂角平分線重合ABCABCD在△ABC中，∵AC=AB

(已知)，∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角）.在△ABC中，AB=AC.(1)∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，AD⊥BC；(2)∵AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD；(3)∵BD=CD，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC.知識(shí)歸納典例精析例1

已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上，且AD＝BD，求證:∠ADB＝∠BAC．ABCD12？？證明：∵AB＝AC，AD＝BD，∴∠B＝∠C，∠B＝∠1（等邊對(duì)等角）∴∠C＝∠1.∵∠ADB是△ADC的外角，∴∠ADB＝∠C+∠2.∴∠ADB＝∠1+∠2=∠BAC.例2

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F.求證：DE=DF.

DABCFE證明：

∵AB=AC，∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角).

∵D是BC的中點(diǎn)，∴DB=DC

.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°.

∴△DBE

≌△DCF(AAS).∴DE=DF

.練一練1.如圖，在△ABC中，AB=AC，(1)如果∠B＝70°，那么∠C＝____，∠A＝____．ABCD70°40°(2)如果∠A＝70°，那么∠B＝____，∠C＝___．(3)如果有一個(gè)角等于120°,那么∠A＝____，∠B＝___，∠C

＝___．(4)如果有一個(gè)角等于50°，那么另兩個(gè)角等于多少度？55°55°120°30°30°解：若∠A=50°,則∠B=∠C=65°；若∠B=∠C=50°,則∠A=80°.已知一個(gè)內(nèi)角，則這個(gè)角可能是底角也可能是頂角，要分兩種情況討論．2.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，AD=BD，AB=AC=CD.

找出圖中相等的角并說明理由.解：∠BAD=∠B=∠C；∠BAC=∠ADB；∠ADC=∠DAC.∵AD=BD，∴∠BAD=∠B.∵AB=AC，∴∠C=∠B.∴∠BAD=∠B=∠CABCD∵DC=AC，∴∠DAC=∠ADC.∵∠ADB＝∠C+∠DAC，∠BAC＝∠BAD+∠DAC，∴∠ADB=∠BAC.3.如圖的房屋人字梁架中，AB＝AC

，BD=DC，∠BAC＝110°，

(1)求∠B、∠C、∠1、∠2的度數(shù)；(2)求證：AD⊥BC.(2)證明：∵AB=AC，BD=DC（已知）∴AD⊥BC（三線合一）12

知識(shí)點(diǎn)二

等邊三角形的性質(zhì)

因?yàn)榈冗吶切问翘厥獾牡妊切?，由等腰三角形等邊?duì)等角的性質(zhì)得到，∠B＝∠C，同理可得∠A＝∠B所以∠A＝∠B＝∠C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，從而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°.

也就是說：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.

三條邊都相等的三角形是等邊三角形，它也是軸對(duì)稱圖形，那么等邊三角形的每個(gè)角的度數(shù)是多少呢？它有幾條對(duì)稱軸？ACB

等邊三角形的三條邊都相等，三個(gè)角都相等，也稱為正三角形.三條對(duì)稱軸ABC等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.等邊三角形的性質(zhì)：正三角形典例精析ABCD

例3

如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù).（1）找出圖中所有相等的角；（2）指出圖中有幾個(gè)等腰三角形？∠A=∠ABD,∠C=∠BDC=∠ABC；△ABC,△ABD,△BCD；ABCDx⌒2x⌒2x⌒⌒2x（3）觀察∠BDC與∠A，∠ABD的關(guān)系，∠ABC、∠C呢？∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A=2∠ABD,∠ABC=∠BDC=2∠A,∠C=∠BDC=2∠A；（4）設(shè)∠A=x,請(qǐng)把△ABC的內(nèi)角和用含x的式子表示出來.∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°.ABCD解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD.設(shè)∠A=x,則∠BDC=∠A+∠ABD=2x,從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°.在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.x⌒2x⌒2x⌒⌒2xD1.等腰三角形的對(duì)稱軸是 (

)A.底邊上的中線

B.頂角的平分線C.底邊上的高

D.底邊的垂直平分線注：對(duì)稱軸要回答是直線，而ABC三個(gè)選項(xiàng)是線段或射線，不符合要求2.如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，下列結(jié)論中不正確的是 (

)A.∠B=∠C B.AD⊥BC

C.AD平分∠BAC D.AB=2BDABCDD根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明ABC，D無法說明；3.(1)等腰三角形一個(gè)底角為75°,它的另外兩個(gè)角為____________；(2)等腰三角形一個(gè)角為36°,它的另外兩個(gè)角為____________________；(3)等腰三角形一個(gè)角為120°,它的另外兩個(gè)角為_____________.75°,30°72°,72°或36°,108°30°，30°4.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交得的銳角為50°，則底角的大小為___________．70°或20°ABCABC注意：當(dāng)題目未給定三角形的形狀時(shí)，一般需分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進(jìn)行討論.5.如圖，點(diǎn)E在BC上，AE//DC，

AB=AE.求證：∠B=∠C.ADCEB證明：∵AE//DC，∴∠C=∠AEB.又∵AB=AE，∴∠B=∠AEB，∴∠B=∠C.6.如圖，在△ABC中，AB=AC，BD

⊥AC，CE

⊥AB，垂足分別為點(diǎn)D、E.求證：BD=CE.證明：∵AB＝AC，∴∠EBC＝∠DCB，∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.在△BEC和△CDB中，∠BEC＝∠CDB，∠EBC＝∠DCB，BC＝CB∴△BEC≌△CDB（A.A.S.），∴BD＝CE.7.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，AD=BD，AB=AC=CD.求∠BAC的度數(shù).解：設(shè)∠B=x°.∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=x°.∴∠ADC=∠BAD+∠B=(2x)°.∵DC=AC，∴∠DAC=∠ADC=(2x)°.∵AB=AC，∴∠C=∠B=x°.∵∠C+∠DAC+∠ADC=180°,∴x+2x+2x=180.∴x=36，即∠B=36°.∴∠BAC=180°-36°-36°=108°ABCD8.已知點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC.(1)如圖①，若AD＝AE，求證：BD＝CE；ACBED圖①G(1)證明：如圖①，過A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG