高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提高第一輪專題復(fù)習(xí)專題02圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題(點(diǎn)差法+聯(lián)立法)(典型題型歸類訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

專題02圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題（點(diǎn)差法+聯(lián)立法）(典型題型歸類訓(xùn)練)一、必備秘籍1、相交弦中點(diǎn)（點(diǎn)差法）直線與曲線相交，涉及到交線中點(diǎn)的題型，多數(shù)用點(diǎn)差法。按下面方法整理出式子，然后根據(jù)實(shí)際情況處理該式子。主要有以下幾種問題：（1）求中點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求中點(diǎn)軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；中點(diǎn)，，2、點(diǎn)差法設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，，代入橢圓方程，得；；將兩式相減，可得；；最后整理得：同理，雙曲線用點(diǎn)差法，式子可以整理成：設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，，代入拋物線方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：二、典型題型題型一：求直線方程1．（2024上·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓，直線經(jīng)過點(diǎn)與交于兩點(diǎn).若是線段的中點(diǎn)，則的方程為（

）A． B．C． D．2．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，且右頂點(diǎn)到該條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求直線的斜率.3．（2024上·河北保定·高二統(tǒng)考期末）一動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切，設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線l的方程．4．（2024·全國·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)的直線l與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，且P為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程．題型二：求離心率1．（2024上·遼寧大連·高二校聯(lián)考期末）橢圓，，，為橢圓過點(diǎn)E的一條弦，且，直線的斜率與的斜率乘積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2024上·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）斜率為的直線分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，且與橢圓，在第一象限交于兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2024上·云南昭通·高二昭通市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）斜率為的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為．4．（2024上·河北石家莊·高二統(tǒng)考期末）已知過點(diǎn)的直線與雙曲線：交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率取值范圍是.題型三：求弦中點(diǎn)的軌跡方程1．（2023上·河南南陽·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓.(1)求過點(diǎn)且被點(diǎn)平分的弦所在直線的方程；(2)過點(diǎn)引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.2．（2023上·江西南昌·高三南昌市外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知拋物線，過其焦點(diǎn)作兩條相互垂直且不平行于軸的直線，分別交拋物線于點(diǎn)和點(diǎn)的中點(diǎn)分別為.(1)若直線的斜率為2，求直線的方程；(2)求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.題型四：求曲線方程1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知橢圓方程為，其右焦點(diǎn)為F（4，0），過點(diǎn)F的直線交橢圓與A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓G：，斜率為的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，試寫出橢圓G的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程.3．（2022上·陜西銅川·高二校考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線交拋物線C于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線的斜率為．(1)求拋物線C的方程；(2)求實(shí)數(shù)m的值．題型五：處理存在性問題1．（2024上·上?！じ叨虾Ｊ杏胖袑W(xué)校考期末）已知雙曲線中，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求雙曲線方程；(2)若直線與雙曲線左支有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍；(3)過點(diǎn)是否能作直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，且使得是的中點(diǎn)，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由．2．（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測）已知雙曲線()經(jīng)過點(diǎn)，其漸近線方程為．(1)求雙曲線C的方程；(2)過點(diǎn)的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，P能否是線段AB的中點(diǎn)？請說明理由．3．（2023上·四川遂寧·高二四川省蓬溪中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知，，動(dòng)圓與圓和圓都外切，圓心的軌跡為曲線．(1)求曲線C的方程；(2)若過點(diǎn)的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q能否為線段的中點(diǎn)？為什么？題型六：確定參數(shù)的取值范圍1．（2024上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·高二統(tǒng)考期末）設(shè)橢圓C：（）的兩個(gè)焦點(diǎn)是和（），且橢圓C與圓有公共點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最長距離為，求橢圓C的方程；(3)對（2）中的橢圓C，直線：（）與C交于不同的兩點(diǎn)M，N，若線段的垂直平分線恒過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：，A為橢圓的下頂點(diǎn)，設(shè)橢圓與直線相交于不同的兩點(diǎn)、，為弦的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.3．（2023上·河北邢臺(tái)·高三邢臺(tái)市第二中學(xué)校考期末）橢圓，，，，四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓上兩點(diǎn)、，若直線過點(diǎn)，且，線段的中點(diǎn)為，求直線的斜率的取值范圍.題型七：定值問題1．（2024上·河北邯鄲·高三磁縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的中點(diǎn)恰好為，點(diǎn)到直線的距離為．(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)在直線上，過作的垂線交橢圓于兩點(diǎn)．記與面積分別為，求的值．2．（2023上·山東青島·高二青島二中?？计谥校┮阎獮樽鴺?biāo)原點(diǎn)，，，直線，的斜率之積為4，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.(1)求的方程；(2)直線經(jīng)過點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)在第一象限，且縱坐標(biāo)為4，求.3．（2022上·陜西安康·高二?？计谀┮阎獧E圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，且離心率.(1)求橢圓E的方程；(2)過點(diǎn)的直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)且P為AB的中點(diǎn)求弦長.三、專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（2024上·山西太原·高二統(tǒng)考期末）在橢圓中，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為（

）A． B． C． D．2．（2024上·遼寧大連·高二校聯(lián)考期末）橢圓，，，為橢圓過點(diǎn)E的一條弦，且，直線的斜率與的斜率乘積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2024上·湖南·高二校聯(lián)考期末）過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A．4 B．3 C．2 D．14．（2024上·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）斜率為的直線分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，且與橢圓，在第一象限交于兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．5．（2024上·重慶·高二重慶八中?？计谀┲本€經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，若為線段中點(diǎn)，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．6．（2024上·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）已知A，B為雙曲線上不同兩點(diǎn)，下列點(diǎn)中可為線段的中點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．7．（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知雙曲線C：，若雙曲線C的一條弦的中點(diǎn)為，則這條弦所在直線的斜率為（

）A． B． C．1 D．8．（2023上·山東棗莊·高二滕州市第一中學(xué)新校?？茧A段練習(xí)）直線與拋物線交于兩點(diǎn)，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則為（

）A． B．2 C．或2 D．以上都不是二、解答題9．（2023上·湖北襄陽·高二襄陽市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求：(1)的值；(2)弦長的值．13．（2022上·陜西咸陽·高二咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，虛軸長為．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，求直線的方程．14．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）已知橢圓，，為C的左右焦點(diǎn).點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且.過P作兩直線與橢圓C相交于相異的兩點(diǎn)A，B，直線PA、PB的傾斜角互補(bǔ)，直線AB與x，y軸正半軸相交.(1)求橢圓C的方程；(2)點(diǎn)M滿足，求M的軌跡方程.15．（2023下·福建·高二福建師大附中?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線.(1)試問過點(diǎn)能否作一條直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，使為線段的中點(diǎn)，如果存在，求出其方程；如果不存在，說明理由；(2)直線：與雙曲線有唯一的公共點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸、軸于，兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程.專題02圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題（點(diǎn)差法+聯(lián)立法）(典型題型歸類訓(xùn)練)一、必備秘籍1、相交弦中點(diǎn)（點(diǎn)差法）直線與曲線相交，涉及到交線中點(diǎn)的題型，多數(shù)用點(diǎn)差法。按下面方法整理出式子，然后根據(jù)實(shí)際情況處理該式子。主要有以下幾種問題：（1）求中點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求中點(diǎn)軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；中點(diǎn)，，2、點(diǎn)差法設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，，代入橢圓方程，得；；將兩式相減，可得；；最后整理得：同理，雙曲線用點(diǎn)差法，式子可以整理成：設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，，代入拋物線方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：二、典型題型題型一：求直線方程1．（2024上·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓，直線經(jīng)過點(diǎn)與交于兩點(diǎn).若是線段的中點(diǎn)，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)、，利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)、，則，因?yàn)椋瑑墒阶鞑畹?，即，即，所以，因此直線的方程為，即.故選：D.2．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，且右頂點(diǎn)到該條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求直線的斜率.【答案】(1)(2)6【分析】（1）根據(jù)題意求出即可；（2）利用點(diǎn)差法求解即可.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與直線垂直，且直線的斜率為，且雙曲線的漸近線為，則，可得，所以，雙曲線的漸近線方程為，即，因?yàn)橛翼旤c(diǎn)到該條漸近線的距離為，所以，解得，所以，所以雙曲線的方程為；（2）設(shè)、，則，則，所以，化簡得，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，，所以，所以，即直線的斜率為，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以直線的斜率為.3．（2024上·河北保定·高二統(tǒng)考期末）一動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切，設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線l的方程．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程可以確定曲線C的方程.（2）利用點(diǎn)差法結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率公式求解.【詳解】（1）依題意得該動(dòng)圓的圓心到點(diǎn)的距離到直線的距離相等．又點(diǎn)不在直線上，所以根據(jù)拋物線的定義可知該動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線C的方程為．（2）設(shè)，，則，兩式相減得，即．因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即，經(jīng)檢驗(yàn)，直線與曲線相交，滿足題意，所以直線l的方程為.4．（2024·全國·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)的直線l與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，且P為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程．【答案】【分析】由“點(diǎn)差法”求出直線的斜率，再由點(diǎn)斜式方程求解即可.【詳解】解：設(shè)，，則，，兩式相減得．∵P為線段AB的中點(diǎn)，∴，．∴，即所求直線l的斜率為1，∴直線l的方程為，即．經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．題型二：求離心率1．（2024上·遼寧大連·高二校聯(lián)考期末）橢圓，，，為橢圓過點(diǎn)E的一條弦，且，直線的斜率與的斜率乘積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取線段的中點(diǎn)為，可得，進(jìn)而借助點(diǎn)差法求解的值，從而得解.【詳解】如圖，取線段的中點(diǎn)為，連接，

因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以，直線的斜率與的斜率乘積為，所以．設(shè)，則，兩式相減可得，整理得，即，所以，所以，則．故選：B．2．（2024上·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）斜率為的直線分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，且與橢圓，在第一象限交于兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，根據(jù)題意得到，即，設(shè)直線的方程為，得，得，進(jìn)而得，再根據(jù)求解即得.【詳解】設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)為E，由，，兩式相減可得，即，又由，，則，設(shè)直線的方程為，（），可得，，又，所以線段AB的中點(diǎn)為E也就是線段MN的中點(diǎn)，得，所以，所以，即，得，故選：A3．（2024上·云南昭通·高二昭通市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）斜率為的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為．【答案】/【分析】令，應(yīng)用點(diǎn)差法及直線斜率、中點(diǎn)坐標(biāo)得，即可求離心率.【詳解】令，則，可得，所以，又為線段的中點(diǎn)，且直線斜率為，所以，則.故答案為：4．（2024上·河北石家莊·高二統(tǒng)考期末）已知過點(diǎn)的直線與雙曲線：交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率取值范圍是.【答案】【分析】利用點(diǎn)差法得到，根據(jù)題意和漸近線方程得到，故，從而求出離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)，則，兩式相減得，若，則的中點(diǎn)在軸上，不合要求，若，則的中點(diǎn)在軸上，不合要求，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，故，因?yàn)榈臐u近線方程為，要想直線與雙曲線：交于A、B兩點(diǎn)，則，即，解得，所以離心率.故答案為：【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線相交涉及中點(diǎn)弦問題，常用點(diǎn)差法，該法計(jì)算量小，模式化強(qiáng)，易于掌握，若相交弦涉及的定比分點(diǎn)問題時(shí)，也可以用點(diǎn)差法的升級版—定比點(diǎn)差法，解法快捷.題型三：求弦中點(diǎn)的軌跡方程1．（2023上·河南南陽·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓.(1)求過點(diǎn)且被點(diǎn)平分的弦所在直線的方程；(2)過點(diǎn)引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）用“點(diǎn)差法”求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出直線方程，從而可得結(jié)論；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓截得的弦的中點(diǎn)，交點(diǎn)為，利用點(diǎn)差法分析求解.【詳解】（1）因?yàn)椋栽跈E圓的內(nèi)部，則所求弦必然存在，設(shè)這條弦與橢圓交于點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知，把代入，則，作差整理得，可得，所以這條弦所在的直線方程為，即.（2）由題意可知：過點(diǎn)引橢圓的割線的斜率存在且不為0，設(shè)割線方程為，聯(lián)立方程，消去得，則，解得，設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓截得的弦的中點(diǎn)，交點(diǎn)為，根據(jù)橢圓性質(zhì)可知，則，令，則，可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，可知，則，所以，則，可得，把代入，則，兩式相減得，整理得，即，整理得.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：弦中點(diǎn)問題的解決方法（1）用“點(diǎn)差法”求解弦中點(diǎn)問題的解題步驟；（2）對于弦中點(diǎn)問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解，在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，要注意使用條件，在用“點(diǎn)差法”時(shí)，要檢驗(yàn)直線與圓錐曲線是否相交．2．（2023上·江西南昌·高三南昌市外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知拋物線，過其焦點(diǎn)作兩條相互垂直且不平行于軸的直線，分別交拋物線于點(diǎn)和點(diǎn)的中點(diǎn)分別為.(1)若直線的斜率為2，求直線的方程；(2)求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）聯(lián)立直線和拋物線方程，求得中點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解直線的方程；（2）首先設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，并利用直線與直線的關(guān)系，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解點(diǎn)，再通過消參求得點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，，直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，得，，所以中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即，直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，得，，所以中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即，所以，直線的方程為，化簡為直線的方程為；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立，得，得，所以中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即，將換成得，得的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，得，題型四：求曲線方程1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知橢圓方程為，其右焦點(diǎn)為F（4，0），過點(diǎn)F的直線交橢圓與A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，利用點(diǎn)差法求解即可．【詳解】設(shè)，代入橢圓的方程可得，．兩式相減可得：．由，，代入上式可得：＝0，化為．又，，聯(lián)立解得．∴橢圓的方程為：．故選：D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓G：，斜率為的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，試寫出橢圓G的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（答案不唯一）【分析】設(shè)點(diǎn)，，利用點(diǎn)差法可得答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)，，則，兩個(gè)等式作差得，整理可得，因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為，可得，又，所以，所以，故可設(shè)，此時(shí)橢圓G的方程為.故答案為：.（答案不唯一）

3．（2022上·陜西銅川·高二?？计谀┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，直線交拋物線C于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線的斜率為．(1)求拋物線C的方程；(2)求實(shí)數(shù)m的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)即可求解，進(jìn)而可得拋物線方程，（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，得韋達(dá)定理，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和斜率公式即可求解.【詳解】（1）拋物線C的焦點(diǎn)為，，即．∴拋物線C的方程為．（2）由消去得，此時(shí)，．．點(diǎn)M坐標(biāo)為．，解得或．

題型五：處理存在性問題1．（2024上·上?！じ叨虾Ｊ杏胖袑W(xué)校考期末）已知雙曲線中，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求雙曲線方程；(2)若直線與雙曲線左支有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍；(3)過點(diǎn)是否能作直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，且使得是的中點(diǎn)，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的值，即可得出雙曲線的方程；（2）將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)已知條件結(jié)合韋達(dá)定理、判別式可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）利用點(diǎn)差法求出直線的方程，再將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，計(jì)算，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：因?yàn)殡p曲線中，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)，則，解得，所以，雙曲線的方程為.（2）解：設(shè)直線交雙曲線于點(diǎn)、，聯(lián)立可得，因?yàn)橹本€與雙曲線左支有兩個(gè)交點(diǎn)，則，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）解：若直線軸，則直線與雙曲線相切，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)點(diǎn)、，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，則，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，作差可得，即，即，所以，直線的斜率為，所以，直線的方程為，即，聯(lián)立可得，則，因此，不存在滿足題設(shè)條件的直線.2．（2023·廣西南寧·南寧三中校考模擬預(yù)測）已知雙曲線()經(jīng)過點(diǎn)，其漸近線方程為．(1)求雙曲線C的方程；(2)過點(diǎn)的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，P能否是線段AB的中點(diǎn)？請說明理由．【答案】(1)；(2)不能，證明見解析；【分析】（1）由漸近線方程求得一個(gè)關(guān)系，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)，可解得得雙曲線方程；（2）設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，若是線段的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法求出直線l方程，再聯(lián)直線與雙曲線查看是否有解，即可判斷.【詳解】（1）由題雙曲線()經(jīng)過點(diǎn)，其漸近線方程為，所以，，解得，所以雙曲線C的方程為：.（2）當(dāng)直線l垂直x軸時(shí)，直線l的方程為，此時(shí)直線l與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足；當(dāng)直線l不垂直x軸時(shí)，斜率存在，設(shè)，所以，兩式作差得，即，若是線段的中點(diǎn)，則，則，所以直線l的斜率，則直線l的方程為，將直線l與雙曲線聯(lián)立，得，，方程無解，所以這樣的直線不存在，即點(diǎn)P不能是線段的中點(diǎn).3．（2023上·四川遂寧·高二四川省蓬溪中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知，，動(dòng)圓與圓和圓都外切，圓心的軌跡為曲線．(1)求曲線C的方程；(2)若過點(diǎn)的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q能否為線段的中點(diǎn)？為什么？【答案】(1)(2)能，理由見解析【分析】（1）畫出圖形，由圓的外切、圓心坐標(biāo)、圓的半徑以及雙曲線的定義即可得解.（2）畫出圖形，中點(diǎn)弦問題用到中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及點(diǎn)差法來做稍微方便一些.【詳解】（1）如圖所示：

由題意，的圓心分別為，，且動(dòng)圓與兩定圓分別外切與兩點(diǎn)，所以，，解得，所以圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，為實(shí)軸頂點(diǎn)的雙曲線但不包括實(shí)軸頂點(diǎn)，所以曲線C的方程為，（且）.（2）如圖所示：

過點(diǎn)的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q能為線段的為中點(diǎn)，理由如下：由題意設(shè)點(diǎn)在雙曲線上，且點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)椋?，即，，存在過點(diǎn)且斜率為的直線：，即，且聯(lián)立，消去并整理得，,兩根均小于，滿足題意，綜上所述：存在過點(diǎn)且斜率為的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)Q為線段的中點(diǎn).題型六：確定參數(shù)的取值范圍1．（2024上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·高二統(tǒng)考期末）設(shè)橢圓C：（）的兩個(gè)焦點(diǎn)是和（），且橢圓C與圓有公共點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最長距離為，求橢圓C的方程；(3)對（2）中的橢圓C，直線：（）與C交于不同的兩點(diǎn)M，N，若線段的垂直平分線恒過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由橢圓及圓的性質(zhì)可得，則，結(jié)合即可求得結(jié)果；（2）由題可知，又，求解即可；（3）設(shè)線段的中點(diǎn)為，由結(jié)合點(diǎn)差法求得的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部得的范圍，又點(diǎn)P在直線上，代入得的關(guān)系式，從而得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）橢圓C的短半軸，圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，∵橢圓C與圓有公共點(diǎn)，∴，，則，又，從而解得，所以a的取值范圍為.

（2）由題可知，又，聯(lián)立解得，，所以橢圓的方程為.（3）設(shè)線段的中點(diǎn)為,∵，∴①，設(shè)，，則，，兩式作差得，即，即，即②，聯(lián)立①②解得，即，因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓內(nèi)部，則，代入點(diǎn)P坐標(biāo)化簡得，又點(diǎn)P在直線上，代入得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：，A為橢圓的下頂點(diǎn)，設(shè)橢圓與直線相交于不同的兩點(diǎn)、，為弦的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.【答案】【分析】聯(lián)立直線和橢圓的方程，由判別式大于0可得，以及可得根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)，可得，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系化簡可得，解不等式即可求得答案.【詳解】由題設(shè)，聯(lián)立，得，由題設(shè)知，即①，設(shè)，則，因?yàn)闉橄业闹悬c(diǎn)，∴，從而，又由題意知,，∴，∵，則，即②，把②代入①得，解得，又，故的取值范圍是.3．（2023上·河北邢臺(tái)·高三邢臺(tái)市第二中學(xué)?？计谀E圓，，，，四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓上兩點(diǎn)、，若直線過點(diǎn)，且，線段的中點(diǎn)為，求直線的斜率的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合以及點(diǎn)差法求得直線的斜率的取值范圍.【詳解】（1）由于，，關(guān)于軸對稱，所以經(jīng)過，兩點(diǎn)，故不過，所以在上.由題意可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意知，直線的斜率存在且不為零，設(shè)其方程為，由，得，由，得，設(shè)，，則，，所以，因?yàn)椋?，得，所以，設(shè)直線的斜率為，因?yàn)?，所以，化簡得，所以，所以，解得或，所以直線的斜率的取值范圍為題型七：定值問題1．（2024上·河北邯鄲·高三磁縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的中點(diǎn)恰好為，點(diǎn)到直線的距離為．(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)在直線上，過作的垂線交橢圓于兩點(diǎn)．記與面積分別為，求的值．【答案】(1)(2)1【分析】（1）根據(jù)題意可得，又點(diǎn)到直線的距離為列式計(jì)算求得；（2）設(shè)線段的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法可得，三點(diǎn)共線，即直線過線段的中點(diǎn)，得解.【詳解】（1）設(shè)，則，由線段的中點(diǎn)恰好為，得，所以，整理得，由得直線方程為，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以，橢圓的方程為．（2）設(shè)，線段的中點(diǎn)，則．由（1）知，直線的斜率，當(dāng)時(shí)，直線的斜率．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，兩式相減，整理得，又，所以，直線的斜率為，因?yàn)橹本€的斜率為，所以三點(diǎn)共線，即直線過線段的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線也過線段的中點(diǎn)，所以到直線的距離相等，即與等底等高．所以．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：設(shè)，線段的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法可得，三點(diǎn)共線，即線段的中點(diǎn)在直線上，得解.2．（2023上·山東青島·高二青島二中校考期中）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，直線，的斜率之積為4，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.(1)求的方程；(2)直線經(jīng)過點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)在第一象限，且縱坐標(biāo)為4，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)斜率之積為4列出等式，化簡即可.（2）首先直線斜率存在且經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)出直線方程并將其與雙曲線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理結(jié)合已知條件算出斜率，進(jìn)而由弦長的計(jì)算公式直接計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，，所以，化簡得?所以的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意；設(shè)，，直線方程為，與聯(lián)立得：，由且，解得且，由韋達(dá)定理得，因?yàn)榫€段中點(diǎn)在第一象限，且縱坐標(biāo)為，所以，解得或（舍去），所以直線為，所以，所以.3．（2022上·陜西安康·高二?？计谀┮阎獧E圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，且離心率.(1)求橢圓E的方程；(2)過點(diǎn)的直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)且P為AB的中點(diǎn)求弦長.【答案】(1)(2)【分析】（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)求出c，再根據(jù)離心率求出a，可得，可得橢圓方程；（2）設(shè)出A，B坐標(biāo)，代入橢圓方程，兩式相減，利用平方差公式分解因式，轉(zhuǎn)化為斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，可求出弦所在直線斜率和直線的方程，將直線方程代入橢圓方程，求出,坐標(biāo)，求出弦長.【詳解】（1）由題意橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，又，，，所以橢圓的方程為.（2）由題知直線的斜率不為0，設(shè)，，代入橢圓方程得，作差得，即，可得，所以直線的斜率，故直線的方程為即.聯(lián)立，消去得，解得或，所以，,所以弦長.三、專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（2024上·山西太原·高二統(tǒng)考期末）在橢圓中，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先確定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，設(shè)交點(diǎn)為，代入橢圓方程做差，然后整理可得直線斜率，利用點(diǎn)斜式可得直線方程.【詳解】因?yàn)椋庶c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，過點(diǎn)的直線恒與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為，則，又，兩式相減得，整理得，所以以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為，即.故選：D.2．（2024上·遼寧大連·高二校聯(lián)考期末）橢圓，，，為橢圓過點(diǎn)E的一條弦，且，直線的斜率與的斜率乘積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取線段的中點(diǎn)為，可得，進(jìn)而借助點(diǎn)差法求解的值，從而得解.【詳解】如圖，取線段的中點(diǎn)為，連接，

因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，所以，直線的斜率與的斜率乘積為，所以．設(shè)，則，兩式相減可得，整理得，即，所以，所以，則．故選：B．3．（2024上·湖南·高二校聯(lián)考期末）過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】利用點(diǎn)差法及中點(diǎn)與焦點(diǎn)坐標(biāo)分別表示直線的斜率，可建立關(guān)于的方程，求解可得.【詳解】設(shè)，，則，兩式作差得，，當(dāng)時(shí)，則中點(diǎn)坐標(biāo)為焦點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，得．設(shè)線段中點(diǎn)，因?yàn)樽鴺?biāo)，且過焦點(diǎn)，所以，則的斜率，解得．故選：A.4．（2024上·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）斜率為的直線分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，且與橢圓，在第一象限交于兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，根據(jù)題意得到，即，設(shè)直線的方程為，得，得，進(jìn)而得，再根據(jù)求解即得.【詳解】設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)為E，由，，兩式相減可得，即，又由，，則，設(shè)直線的方程為，（），可得，，又，所以線段AB的中點(diǎn)為E也就是線段MN的中點(diǎn)，得，所以，所以，即，得，故選：A5．（2024上·重慶·高二重慶八中?？计谀┲本€經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，若為線段中點(diǎn)，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)得到，結(jié)合點(diǎn)差法相關(guān)知識計(jì)算求得，進(jìn)而求得離心率.【詳解】如圖所示，因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，則，兩式相減得，則，因?yàn)橹本€，為線段中點(diǎn)，，所以，，代入上式得，則，所以橢圓的離心率.故選：D.6．（2024上·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）已知A，B為雙曲線上不同兩點(diǎn)，下列點(diǎn)中可為線段的中點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用點(diǎn)差法結(jié)合選項(xiàng)得出方程，再與雙曲線方程聯(lián)立一一驗(yàn)證是否有兩個(gè)不同交點(diǎn)即可.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)，所以，易知，由點(diǎn)差法可得，若，此時(shí)，與雙曲線聯(lián)立，即與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；若，則此時(shí)，與雙曲線聯(lián)立，即與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故B正確；若，則此時(shí)，與雙曲線聯(lián)立，即與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；若，則此時(shí)，與雙曲線聯(lián)立，顯然無解，即與雙曲線沒有交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選：B7．（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知雙曲線C：，若雙曲線C的一條弦的中點(diǎn)為，則這條弦所在直線的斜率為（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】運(yùn)用點(diǎn)差法，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】設(shè)該弦為，設(shè)，則有，兩式相減，得，因?yàn)殡p曲線C的一條弦的中點(diǎn)為，所以，因此由，即這條弦所在直線的斜率為，方程為，代入雙曲線方程中，得，因?yàn)椋栽撓掖嬖?，故選：D8．（2023上·山東棗莊·高二滕州市第一中學(xué)新校校考階段練習(xí)）直線與拋物線交于兩點(diǎn)，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則為（

）A． B．2 C．或2 D．以上都不是【答案】B【分析】設(shè)，得到，求得，再由，兩式相減，得到，得出方程，即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)橹悬c(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，可得，又由，兩式相減得到，可得，可得，解得或，聯(lián)立方程組，整理得，由，解得，所以.故選：B.二、解答題9．（2023上·湖北襄陽·高二襄陽市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求：(1)的值；(2)弦長的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用點(diǎn)差法構(gòu)造關(guān)于的方程，即可求得的值；（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，得出和的值，利用弦長公式代入計(jì)算即可．【詳解】（1）設(shè)，中點(diǎn)為，因?yàn)樵谥本€上，所以，由，得：，所以，即，解得．（2）由（1）得，直線方程為，由，得，則，，所以．10．（2023上·江西南昌·高三南昌市外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知拋物線，過其焦點(diǎn)作兩條相互垂直且不平行于軸的直線，分別交拋物線于點(diǎn)和點(diǎn)的中點(diǎn)分別為.(1)若直線的斜率為2，求直線的方程；(2)求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）聯(lián)立直線和拋物線方程，求得中點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解直線的方程；（2）首先設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，并利用直線與直線的關(guān)系，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解點(diǎn)，再通過消參求得點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，，直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，得，，所