高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提高第一輪專題復(fù)習(xí)專題07解三角形(面積問題(含定值最值范圍問題))(典型題型歸類訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)_第1頁
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專題07解三角形(面積問題(含定值,最值,范圍問題))(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一:求三角形面積(定值問題) 2題型二:求三角形面積(最值問題,優(yōu)先推薦基本不等式) 4題型三:求三角形面積(范圍問題,優(yōu)先推薦正弦定理化角) 6三、專項訓(xùn)練 8一、必備秘籍基本公式1、正弦定理及其變形基本公式2、余弦定理及其推論基本公式3、常用的三角形面積公式(1);(2)(兩邊夾一角);核心秘籍1、基本不等式①②核心秘籍2:利用正弦定理化角(如求三角形面積取值范圍,優(yōu)先考慮化角求范圍)利用正弦定理,,代入面積公式,化角,再結(jié)合輔助角公式,根據(jù)角的取值范圍,求面積的取值范圍.二、典型題型題型一:求三角形面積(定值問題)1.(2023·陜西渭南·統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知的內(nèi)角的對邊分別為,且.(1)求角B;(2)若,求的面積.2.(2023·湖南永州·統(tǒng)考一模)在中,設(shè)所對的邊分別為,且滿足.(1)求角;(2)若的內(nèi)切圓半徑,求的面積.3.(2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知.在中,.(1)求角的大??;(2)是邊上的一點,且,平分,且,求的面積.4.(2023·福建·校聯(lián)考模擬預(yù)測)設(shè)的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,已知,,且.(1)求;(2)求的面積.5.(2023·遼寧沈陽·沈陽鐵路實驗中學(xué)??级#┤鐖D,在四邊形中,與互補(bǔ),.

(1)求;(2)求四邊形的面積.6.(2023·江蘇揚(yáng)州·儀征中學(xué)校考模擬預(yù)測)設(shè)的內(nèi)角所對邊分別為,若.(1)求的值;(2)若且三個內(nèi)角中最大角是最小角的兩倍,當(dāng)周長取最小值時,求的面積.題型二:求三角形面積(最值問題,優(yōu)先推薦基本不等式)1.(2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)??寄M預(yù)測)在中,角的對邊分別是,且.(1)求角;(2)若的中線長為,求面積的最大值.2.(2023·四川成都·石室中學(xué)??寄M預(yù)測)在中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且,邊BC上有一動點D.(1)求角A的大?。?2)當(dāng)D為邊BC中點時,,求面積的最大值.3.(2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)??寄M預(yù)測)在中,角,,所對的邊分別是,,,若.(1)求角的大?。?2)若,求的面積的最大值.4.(2023·湖南衡陽·衡陽市八中校考模擬預(yù)測)在中,內(nèi)角的對邊分別為,從①,②,③,這三個條件中任選一個作為題目的補(bǔ)充條件,你的選擇是___________,并解答下面問題:(1)求角的大??;(2)若,求面積的最大值.5.(2023·貴州畢節(jié)·??寄M預(yù)測)已知的內(nèi)角的對邊分別是,.(1)求;(2)若,求面積的最大值.6.(2023·福建南平·統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且.(1)求A的大??;(2)設(shè)AD是BC邊上的高,且,求面積的最小值.題型三:求三角形面積(范圍問題,優(yōu)先推薦正弦定理化角)1.(2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模)已知向量,,函數(shù).(1)若,求的值;(2)已知為銳角三角形,,,為的內(nèi)角,,的對邊,,且,求面積的取值范圍.2.(2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測)在中,內(nèi)角,,的對邊分別為,,,且,.(1)若邊上的高等于1,求;(2)若為銳角三角形,求的面積的取值范圍.3.(2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)??既#┤鐖D,是邊長為2的正三角形所在平面上一點(點、、、逆時針排列),且滿足,記.

(1)若,求的長;(2)用表示的面積,并求的取值范圍.4.(2023·江蘇南京·南京師大附中??寄M預(yù)測)已知、、分別為的三個內(nèi)角、、的對邊長,,且.(1)求角的值;(2)求面積的取值范圍.5.(2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測)在銳角中,角A、B、C的對邊分別為a、b,c,其面積為S,且.(1)求角A的大?。?2)若,求S的取值范圍.三、專項訓(xùn)練1.(2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)??寄M預(yù)測)在中,角的對邊分別為,已知,則的面積為(

)A. B.5 C. D.2.(2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測)若三角形三邊長分別為a,b,c,則三角形的面積為,其中,這個公式被稱為海倫—秦九韶公式.已知中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,,a=6,則面積的最大值為(

)A.8 B.12 C.16 D.203.(2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模)在中,角A,B,C所對邊分別記為a,b,c,若,,則面積的最大值是(

)A. B.2 C. D.4.(2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模)在中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若,,,則的面積為(

)A. B. C.12 D.165.(2023·甘肅·統(tǒng)考一模)在如圖所示的平面四邊形ABCD中,,,記△ABD,△BCD的面積分別為,則的最大值為.

6.(2023·四川眉山·仁壽一中??寄M預(yù)測)在中,已知,,,當(dāng)取得最小值時,的面積為7.(2023·四川·校聯(lián)考一模)在中,,,當(dāng)取最大值時,的面積為.8.(2023·江西南昌·南昌縣蓮塘第一中學(xué)校聯(lián)考二模)在△ABC中,若,且,則的面積是.9.(2023·廣西南寧·南寧二中??寄M預(yù)測)在中,,點D在線段AC上,且,,則面積的最大值為.10.(2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測)的內(nèi)角所對的邊分別為,且滿足.(1)求;(2)若平分,且,,求的面積.11.(2023·江蘇無錫·校考模擬預(yù)測)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在中,內(nèi)角所對的邊分別是,且,若,求的面積.12.(2023·貴州黔東南·凱里一中校考模擬預(yù)測)在中,角的對邊分別為,滿足,且.(1)求的大小;(2)若,求的面積.13.(2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校??寄M預(yù)測)已知函數(shù)(1)求的單調(diào)增區(qū)間;(2)設(shè)是銳角三角形,角的對邊分別為,若,求的面積.14.(2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖,平面四邊形中,的三內(nèi)角對應(yīng)的三邊為.給出以下三個條件:①②③的面積為(1)從以上三個條件中任選一個,求角;(2)設(shè),在(1)的條件下,求四邊形的面積的最大值.18.(2023·河南·模擬預(yù)測)的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為,,,.(1)求;(2)若在線段上且和都不重合,,求面積的取值范圍.19.(2023·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測)在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且.(1)求角A的大小;(2)若D是BC上一點,且,求面積的最大值.

專題07解三角形(面積問題(含定值,最值,范圍問題))(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一:求三角形面積(定值問題) 2題型二:求三角形面積(最值問題,優(yōu)先推薦基本不等式) 6題型三:求三角形面積(范圍問題,優(yōu)先推薦正弦定理化角) 11三、專項訓(xùn)練 15一、必備秘籍基本公式1、正弦定理及其變形基本公式2、余弦定理及其推論基本公式3、常用的三角形面積公式(1);(2)(兩邊夾一角);核心秘籍1、基本不等式①②核心秘籍2:利用正弦定理化角(如求三角形面積取值范圍,優(yōu)先考慮化角求范圍)利用正弦定理,,代入面積公式,化角,再結(jié)合輔助角公式,根據(jù)角的取值范圍,求面積的取值范圍.二、典型題型題型一:求三角形面積(定值問題)1.(2023·陜西渭南·統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知的內(nèi)角的對邊分別為,且.(1)求角B;(2)若,求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】(1)根據(jù),由正弦定理可得,又,所以可得,即;因為,所以即.(2)由結(jié)合(1)中的結(jié)論,由余弦定理可得,即,解得,即,所以.即的面積為.2.(2023·湖南永州·統(tǒng)考一模)在中,設(shè)所對的邊分別為,且滿足.(1)求角;(2)若的內(nèi)切圓半徑,求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】(1)在中,由得,即,故,由于,故,而,故.(2)由可得,而,故,則,由的內(nèi)切圓半徑,可得,即,即,故,解得,故的面積.3.(2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知.在中,.(1)求角的大?。?2)是邊上的一點,且,平分,且,求的面積.【答案】(1);(2).【詳解】(1)依題意,,由,得,而,即,因此,所以.(2)在中,由及正弦定理,得,由(1)及平分,得,又,由,得,即,解得,,所以的面積.4.(2023·福建·校聯(lián)考模擬預(yù)測)設(shè)的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,已知,,且.(1)求;(2)求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】(1)由及,得,由正弦定理得所以,,所以,又因為,所以.(2)由結(jié)合正弦定理得,即所以或.又因為,所以.所以,因為,所以,所以,即的面積為.5.(2023·遼寧沈陽·沈陽鐵路實驗中學(xué)??级#┤鐖D,在四邊形中,與互補(bǔ),.

(1)求;(2)求四邊形的面積.【答案】(1)(2)【詳解】(1)連接,如圖,

與互補(bǔ),與互補(bǔ),在中,,即,得,在中,,即,得,又與互補(bǔ),,故;(2)由(1)得,,由(1)得,,.6.(2023·江蘇揚(yáng)州·儀征中學(xué)??寄M預(yù)測)設(shè)的內(nèi)角所對邊分別為,若.(1)求的值;(2)若且三個內(nèi)角中最大角是最小角的兩倍,當(dāng)周長取最小值時,求的面積.【答案】(1)2(2)【詳解】(1)因為,所以,因為,所以,所以,由正弦定理,得,即.(2)由可得:,故,于是,由正弦定理及余弦定理可得:,解得:(舍)或者,故,因為,所以當(dāng)時,周長最小,此時,所以,所以的面積為.題型二:求三角形面積(最值問題,優(yōu)先推薦基本不等式)1.(2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)??寄M預(yù)測)在中,角的對邊分別是,且.(1)求角;(2)若的中線長為,求面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】(1)在中,由正弦定理得:,而,所以,化簡得,因為,所以,,即,所以,又因為,所以,即.(2)由是的中線,,所以,即,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,所以三角形面積,即的面積的最大值為.2.(2023·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測)在中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且,邊BC上有一動點D.(1)求角A的大小;(2)當(dāng)D為邊BC中點時,,求面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】(1)因為,所以,即.由正弦定理,得.因為,所以.因為,所以.又因為,所以,則.(2)因為D為邊BC中點,所以,則.又,,所以,即,僅當(dāng)時取等號,所以,故面積的最大值為.3.(2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測)在中,角,,所對的邊分別是,,,若.(1)求角的大?。?2)若,求的面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】(1)因為,,所以可化為,所以,又因為解得,又因為,所以.(2)由余弦定理得,所以,又,所以,所以,又因為,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,所以三角形的面積,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,所以三角形面積的最大值為.4.(2023·湖南衡陽·衡陽市八中??寄M預(yù)測)在中,內(nèi)角的對邊分別為,從①,②,③,這三個條件中任選一個作為題目的補(bǔ)充條件,你的選擇是___________,并解答下面問題:(1)求角的大?。?2)若,求面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】(1)選擇①,且由正弦定理得:,,即:由余弦定理得:,在中,,即:.選擇②,且由正弦定理得:,,整理得:,在中,,即:,又,即:.選擇③,且在中:,即:,又,則.(2)由(1)得:,且,且,,即:當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.又面積為:面積的最大值為:.5.(2023·貴州畢節(jié)·校考模擬預(yù)測)已知的內(nèi)角的對邊分別是,.(1)求;(2)若,求面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】(1)由,知,則.(2)由(1)知,由基本不等式可得,即,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,故的面積,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,即時,面積的最大值取最大值,最大值為.6.(2023·福建南平·統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且.(1)求A的大小;(2)設(shè)AD是BC邊上的高,且,求面積的最小值.【答案】(1);(2).【詳解】(1)在中,由及二倍角公式,得,即,整理得,因此,即,而,所以.(2)由(1)及已知,得,即有,由余弦定理得,即,因此,即,于是,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,而,所以面積的最小值為.題型三:求三角形面積(范圍問題,優(yōu)先推薦正弦定理化角)1.(2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模)已知向量,,函數(shù).(1)若,求的值;(2)已知為銳角三角形,,,為的內(nèi)角,,的對邊,,且,求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】(1),,則;;(2),又,所以,,得,即,因為,所以,所以,所以,解得,則故,即面積的取值范圍為.2.(2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測)在中,內(nèi)角,,的對邊分別為,,,且,.(1)若邊上的高等于1,求;(2)若為銳角三角形,求的面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】(1)由正弦定理,,所以,則,又,所以,因為,所以,解得,又由余弦定理,,解得,所以.(2)由正弦定理有,且由(1)可知,所以,又因為銳角,所以,解得,所以,所以,所以,所以面積的取值范圍是.3.(2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)校考三模)如圖,是邊長為2的正三角形所在平面上一點(點、、、逆時針排列),且滿足,記.

(1)若,求的長;(2)用表示的面積,并求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】(1)由,且是邊長為2的正三角形,則,且,所以在中,由余弦定理得,所以;(2)由,則,則,在中,由正弦定理有,得,所以,又,且,則,所以,所以,則,故的取值范圍為.4.(2023·江蘇南京·南京師大附中校考模擬預(yù)測)已知、、分別為的三個內(nèi)角、、的對邊長,,且.(1)求角的值;(2)求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】(1)由條件,可得,由正弦定理,得,所以,所以,因為,所以.(2)由正弦定理,可知,,∵,∴,∴.5.(2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測)在銳角中,角A、B、C的對邊分別為a、b,c,其面積為S,且.(1)求角A的大小;(2)若,求S的取值范圍.【答案】(1);(2).【詳解】(1)在銳角中,,由余弦定理,得,即,又,,因此,有,而,解得,所以.(2)由(1)知,,,由正弦定理得:,即,則,又是銳角三角形,則有,即,亦即,于是,,所以S的取值范圍是.三、專項訓(xùn)練1.(2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)??寄M預(yù)測)在中,角的對邊分別為,已知,則的面積為(

)A. B.5 C. D.【答案】A【詳解】在中,因為,可得,由正弦定理,可得,又因為,可得,所以,所以,則.故選:A.2.(2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測)若三角形三邊長分別為a,b,c,則三角形的面積為,其中,這個公式被稱為海倫—秦九韶公式.已知中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,,a=6,則面積的最大值為(

)A.8 B.12 C.16 D.20【答案】B【詳解】在中,因為,所以,又a=6,所以,可得,且,故的面積,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,故面積的最大值為12.故選:B3.(2023·四川宜賓·統(tǒng)考三模)在中,角A,B,C所對邊分別記為a,b,c,若,,則面積的最大值是(

)A. B.2 C. D.【答案】C【詳解】由余弦定理可得,所以.因為,,所以,即,解得.所以,當(dāng)時,.故選:D.4.(2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模)在中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若,,,則的面積為(

)A. B. C.12 D.16【答案】B【詳解】由正弦定理及,得,所以,所以,即,所以.由正弦定理得.因為,所以,又,所以由余弦定理得,解得,所以的面積為.故選:B.5.(2023·甘肅·統(tǒng)考一模)在如圖所示的平面四邊形ABCD中,,,記△ABD,△BCD的面積分別為,則的最大值為.

【答案】【詳解】在中,由余弦定理得:,在中,由余弦定理得:,,整理可得:,,,,則當(dāng)時,.故答案為:.6.(2023·四川眉山·仁壽一中??寄M預(yù)測)在中,已知,,,當(dāng)取得最小值時,的面積為【答案】【詳解】

令,則,由,得,在中,,在中,,于是,令,則,而,則有,由余弦定理得,整理得,即,,則,當(dāng)時,取得最小值,在中,,所以.故答案為:7.(2023·四川·校聯(lián)考一模)在中,,,當(dāng)取最大值時,的面積為.【答案】【詳解】在中,利用正弦定理,所以,,有,即,其中,,取最大值,即時,有,,所以,,所以.故答案為:.8.(2023·江西南昌·南昌縣蓮塘第一中學(xué)校聯(lián)考二模)在△ABC中,若,且,則的面積是.【答案】【詳解】因為,所以,解得又,所以,所以.故答案為:9.(2023·廣西南寧·南寧二中??寄M預(yù)測)在中,,點D在線段AC上,且,,則面積的最大值為.【答案】【詳解】設(shè),則,在中,由余弦定理,得,在中,由余弦定理,得,由于,得,即,整理,得,在中,由余弦定理,得,即,代入式化簡整理,得,由,解得,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,所以面積的最大值為.故答案為:.10.(2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測)的內(nèi)角所對的邊分別為,且滿足.(1)求;(2)若平分,且,,求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】(1)解法一:因為,所以由正弦定理可得,即,,所以,又,所以,因為,所以.解法二:在中,由余弦定理得,,又因為,所以,即,所以,因為,所以.(2)解法一:因為,所以,兩邊平方得,即①,又因為平分,所以,即②,由①②,解得,,所以.

解法二:在中,,所以,又因為平分,所以,即①,在中,由余弦定理,得,即②,在中,由余弦定理,得,即③,由①②③解得,,所以.解法三:過點作交于點,

因為,且平分,所以,所以為等邊三角形,所以,又因為,所以,,所以.11.(2023·江蘇無錫·??寄M預(yù)測)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在中,內(nèi)角所對的邊分別是,且,若,求的面積.【答案】(1)最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)【詳解】(1),所以函數(shù)的最小正周期為.令,得,故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)由,得,由得,所以,得.由余弦定理得,即,因為,所以,從而有,得,則12.(2023·貴州黔東南·凱里一中??寄M預(yù)測)在中,角的對邊分別為,滿足,且.(1)求的大?。?2)若,求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】(1)解:因為,由正弦定理得,可得,又因為,所以,且,所以,因為,所以.(2)解:因為,在中,可得,即,又因為,可得,聯(lián)立方程組,解得,由正弦定理,可得,所以.13.(2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校??寄M預(yù)測)已知函數(shù)(1)求的單調(diào)增區(qū)間;(2)設(shè)是銳角三角形,角的對邊分別為,若,求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】(1),令,,解得,,取,則故函數(shù)在的單調(diào)遞增區(qū)間為(2)由,可得,因為,可得,可得,故,因為,,由余弦定理得,解得或,由于,故舍去,只取,當(dāng)時,14.(2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖,平面四邊形中,的三內(nèi)角對應(yīng)的三邊為.給出以下三個條件:①②③的面積為(1)從以上三個條件中任選一個,求角;(2)設(shè),在(1)的條件下,求四邊形的面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】(

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