2024-2025學(xué)年咸陽(yáng)市乾縣高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次檢測(cè)試卷及答案解析

-2025學(xué)年咸陽(yáng)市乾縣高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次檢測(cè)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列各式正確的是（）A.B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算求解.【詳解】對(duì)A：原式，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)B：原式，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)C：原式，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)D：顯然，所以原式，所以D選項(xiàng)正確.故選：D2.在平行六面體中，AC與BD的交點(diǎn)為M，設(shè)，，，則下列向量中與相等的向量是（）A.B.C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合圖形，由空間向量的線性運(yùn)算可得.【詳解】如圖，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以M為AC中點(diǎn)，所以，所以.故選：C3.雙曲線的兩條漸近線的夾角的大小等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得雙曲線的兩條漸近線方程，得到斜率和傾斜角，再求出漸近線夾角的大小.【詳解】雙曲線的兩條漸近線的方程為，由直線的斜率為，可得傾斜角為，的斜率為，可得傾斜角為，所以兩條漸近線的夾角的大小為，故選：B.4.已如向量，，且與互相垂直，則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】計(jì)算，根據(jù)向量垂直得到答案.【詳解】，，則，與互相垂直，則，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.5.若正三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為3，則該正三棱錐的體積為（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出三棱錐的高，求出對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)，通過(guò)體積公式得出三棱錐體積.【詳解】如圖，正三棱錐，，取中點(diǎn)，連接，取等邊三角形的中心，連接，由正四面體的性質(zhì)可知，頂點(diǎn)與底面中心連線垂直底面，∴平面即三棱錐的高為，∵，∴，∴，∴，∴.故選：C6.已知空間中三點(diǎn)，，，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】依題意求出，，，，即可求出，再由面積公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，則，，，所以，又因?yàn)椋裕瑒t以，為鄰邊的平行四邊形的面積.故選：D7.在中，，則的長(zhǎng)為（）A. B.4 C. D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可知，所以根據(jù)兩角和正弦公式可求得，再根據(jù)正弦定理可求得.【詳解】根據(jù)三角形內(nèi)角和為，所以可知，則，根據(jù)正弦定理可知，代入解之可得.故選：C8.已知點(diǎn)A，B，C，D，P，Q都在同一個(gè)球面上，為正方形，若直線PQ經(jīng)過(guò)球心，且平面.則異面直線所成的角的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由幾何關(guān)系確定球心，再建立如圖所示坐標(biāo)系，然后分別求出及其模長(zhǎng)，再代入向量的夾角公式，最后結(jié)合余弦函數(shù)的取值確定最小值即可.【詳解】設(shè)球的半徑為，記正方形中心為，因?yàn)闉檎叫?，直線PQ經(jīng)過(guò)球心，且平面．所以過(guò)點(diǎn)且的中點(diǎn)為球心，設(shè)球心為，以為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，所以，，所以，所以，，又，即．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，設(shè)直線所成的角為，則，又，所以．故選：A．二、多選題（本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)或者不選得0分．）9.設(shè)，為隨機(jī)事件，且，是，發(fā)生的概率.，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，互斥，則 B.若，則，相互獨(dú)立C.若，互斥，則，相互獨(dú)立 D.若，獨(dú)立，則【答案】ABD【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判斷A選項(xiàng)；由相互獨(dú)立事件的概念可判斷B選項(xiàng)；由互斥事件和相互獨(dú)立事件的概念可判斷C選項(xiàng)；由相互獨(dú)立事件的概念，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若互斥，根據(jù)互斥事件的概率公式，則，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，由相互獨(dú)立事件的概念知，若，則事件是相互獨(dú)立事件，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，若互斥，則不一定相互獨(dú)立，例：拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)中，事件：“正面朝上”，事件：“反面朝上”，事件與事件互斥，但，，不滿足相互獨(dú)立事件的定義，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，由相互獨(dú)立事件的定義知，若，獨(dú)立，則，所以選項(xiàng)D正確，故選：ABD.10.已知空間三點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由條件可得的坐標(biāo)，然后逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以所以，，所以不共線.故選：AC11.函數(shù)y=fx的定義域?yàn)?，區(qū)間，對(duì)于任意，，恒滿足，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”.下列函數(shù)在定義域上為凸函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】對(duì)A：，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)即可得；對(duì)B：，舉出反例即可得；對(duì)C：，化簡(jiǎn)即可得；對(duì)D：，化簡(jiǎn)即可得.【詳解】對(duì)A：，，，由在0,+∞上單調(diào)遞增，故其等價(jià)于，化簡(jiǎn)可得，故滿足題意，故A正確；對(duì)B：，，，取，，可得，，又，故此時(shí)不滿足題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，，，化簡(jiǎn)得恒成立，不滿足題意，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：，，，左右平方后化簡(jiǎn)可得，故滿足題意，故D正確.故選：AD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知直線過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距為在軸上的截距的兩倍，則直線的方程是___________.【答案】或【解析】【分析】當(dāng)縱截距為時(shí)，設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)求得的值，當(dāng)縱截距不為時(shí)，設(shè)直線的截距式方程，代入點(diǎn)求解.【詳解】①當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為時(shí)，設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，所以直線的方程為；②當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為時(shí)，設(shè)直線在軸上的截距為，則在軸上的截距為，則直線的方程為，又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，解得：，所以直線的方程為，即，綜上所述：直線的方程為或，故答案為：y=2x或．13.方程的兩根為，且，則____________.【答案】-3【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求得答案.【詳解】∵方程的兩根為，∴，，由題意得：；，∵，∴，，故，故答案為：-3.14.如圖，在正方體中，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則平面截正方體所得截面面積為_(kāi)_________，動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則當(dāng)取得最小值時(shí)二面角的余弦值為_(kāi)_________.【答案】①.②.##【解析】【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，第一空：只需證明即可得到平面截正方體所得截面為梯形，進(jìn)一步結(jié)合已知條件求解即可；第二空：結(jié)合已知將取得最小值轉(zhuǎn)換為，其中，進(jìn)一步求出兩平面的法向量即可求解.【詳解】由題意以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，第一空：因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)椋?，即四點(diǎn)共面，所以平面截正方體所得截面為梯形，由對(duì)稱性可知該梯形是等腰梯形，因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為4，所以梯形的上底，下底，梯形的腰長(zhǎng)為，所以梯形的高為，故所求截面面積為；第二空：由題意，且，所以，在中，當(dāng)時(shí)，，所以表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)且法向量為的平面，即點(diǎn)在平面上，由以上分析可知，，若要取得最小值，只需最小，此時(shí)，當(dāng)然也有，由題意設(shè)，而，設(shè)平面的法向量為n1=所以，令，解得，所以可取，顯然平面的一個(gè)法向量可以是，二面角的余弦值為.故答案為：18，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二空的關(guān)鍵在于將取得最小值轉(zhuǎn)換為，其中，由此即可順利得證.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.在中，角所對(duì)的邊分別為．（1）若，求的值；（2）求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理可得，從而可求的值；（2）利用基本不等式可得，再根據(jù)余弦定理可得的范圍，從而可得的范圍，結(jié)合三角形面積公式，即可得面積的最大值．【小問(wèn)1詳解】由正弦定理，可得，【小問(wèn)2詳解】，，由余弦定理可得，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)面積取得最大值16.已知空間三點(diǎn).（1）求（2）求的面積；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出向量坐標(biāo)，再根據(jù)模長(zhǎng)公式計(jì)算即可；（2）先求出向量，的夾角，再利用三角形的面積公式即可求解；小問(wèn)1詳解】，【小問(wèn)2詳解】設(shè)向量，的夾角為，由，，，，又三角形中，.17.我們可以用“配方法”和“主元法”等方法證明“二元不等式”：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．（1）證明“三元不等式”：．（2）已知函數(shù)．①解不等式；②對(duì)任意x∈0,+∞，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）①；②.【解析】分析】（1）先證明，，，再將三式相加結(jié)合基本不等式即可證明；（2）①移項(xiàng)通分化整式不等式，解高次不等式即可得出答案；②由三元不等式求出在0,+∞的最小值，可以將題意轉(zhuǎn)為在x∈0,+∞恒成立，即，解不等式即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），同理（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），三式相加可得：，又因?yàn)椋?，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等）.【小問(wèn)2詳解】①由可得：，所以，即，即，則，所以，解得：.②因?yàn)楫?dāng)x∈0,+∞時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，所以當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，對(duì)任意x∈0,+∞，則，所以，解得：.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為：.18.如圖，四邊形是直角梯形，為的中點(diǎn)，是平面外一點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，三棱錐的體積是.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，借助全等三角形的判定定理可得，從而可得，即可得，再利用線面垂直的判定定理可得平面，即可得，再利用勾股定理的逆定理及線面垂直的判定定理即可得證；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，再借助體積公式計(jì)算出的值，從而可計(jì)算出平面與平面的法向量，再利用空間向量夾角公式求解即可得.【小問(wèn)1詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，又因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以．又因?yàn)椋?，又平面，所以平面；【小?wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，平行于的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，即點(diǎn)，則三棱錐體積，解得，所以，則，設(shè)平面的法向量，由，令，則，即可得平面的一個(gè)法向量，由軸平面，故為平面的一個(gè)法向量，所以，由圖可知二面角是銳二面角，故二面角的余弦值是．【點(diǎn)睛】19.一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，常用符號(hào)表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，常用符號(hào)表示，，第個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)，常用符號(hào)表示.定義：一個(gè)正整數(shù)稱為“漂亮數(shù)”，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)數(shù)列，滿足①②③：①都是正整數(shù)；②；③.（1）寫(xiě)出最小的“漂亮數(shù)”；（2）當(dāng)時(shí)，求出所有的“漂亮數(shù)”.【答案】（1）6（2）【解析】【分析】（1）直接根據(jù)“漂亮數(shù)”的定義即可證明最小的“漂亮數(shù)”為6；（2）先證明或，利用分類討論的思想可得和，根據(jù)“漂亮數(shù)”的定義求出即可.【小問(wèn)1詳解】若是“漂亮數(shù)”，設(shè)，滿足，則，所以，即，故，得，則，所以，此時(shí)，假設(shè)，則，又，所以的全部可能取值為，經(jīng)驗(yàn)證，上述的取值都不等于1，不符合題意