專題03橢圓的概念與幾何性質(zhì)（考點清單知識導圖+3考點清單+9題型解讀）（教師版） 2024-2025學年高二數(shù)學上學期期中考點大串講（蘇教版2019選擇性必修第一冊）

專題03橢圓的概念與幾何性質(zhì)【清單01】橢圓的概念與標準方程一．橢圓的定義(1)定義：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡．(2)焦點：兩個定點F1，F(xiàn)2.(3)焦距：兩焦點間的距離|F1F2|.(4)半焦距：焦距的一半．二.橢圓的標準方程對比焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)焦點F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系a2＝b2＋c2【清單02】橢圓的幾何性質(zhì)與離心率的求法一.橢圓的幾何性質(zhì)匯總焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范圍－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a頂點A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)軸長長軸長＝eq\a\vs4\al(2a)，短軸長＝eq\a\vs4\al(2b)焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝eq\a\vs4\al(2c)對稱性對稱軸x軸和y軸，對稱中心(0,0)離心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)二.橢圓的離心率1.定義：e＝eq\f(c,a).2.離心率的范圍為：(0,1).3.公式拓展：e＝eq\f(c,a)=1?b2a4.e越大，橢圓越扁平；e越小，橢圓越接近于圓.【清單03】直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓的三種位置關(guān)系類比直線與圓的位置關(guān)系，直線與橢圓有相離，相切，相交三種位置關(guān)系，如圖所示。利用方程討論直線與橢圓的位置關(guān)系：?>0?直線與橢圓相交?有兩個公共點；?=0?直線與橢圓相切?有且只有一個公共點；?<0?直線與橢圓相離?無公共點；?>0?直線與橢圓相交?有兩個公共點；二．弦長問題1.定義：直線與橢圓的交點間的線段叫作橢圓的弦。2.弦長公式：設(shè)直線l:y=kx+m交橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)與P三．中點弦問題(1)解決橢圓中點弦問題的兩種方法①根與系數(shù)的關(guān)系法:聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標公式解決.②點差法:利用端點在曲線上，坐標滿足方程，將端點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點坐標和斜率的關(guān)系.【考點題型一】橢圓的概念與標準方程方法總結(jié)：我們把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2,的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距【例1】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）點Px,y在橢圓xA．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【分析】先根據(jù)橢圓的標準方程，判斷出0,5和0,?5是橢圓的兩個焦點及a，b，c的值，再根據(jù)橢圓的定義，橢圓上一點到兩焦點的距離之和為定值【詳解】因為橢圓的標準方程為：x24+y29=1所以c2=a2?因為x2+y?52+根據(jù)橢圓的定義，所以x2故選：A.【變式1-1】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）如圖，橢圓C:x2a2+y

A．x210+C．x215+【答案】A【分析】根據(jù)平行關(guān)系得到相似關(guān)系，得到b=c，a=【詳解】由題意得F1當x=?c時，?c2a所以PF因為AB//OP，所以PF1O故a=所以2c+c所以a=橢圓C的標準方程為x2故選：A【變式1-2】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）阿基米德是古希臘著名的數(shù)學家、物理學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知橢圓C：x2a2A．x224+C．x232+【答案】A【分析】由橢圓面積公式求得關(guān)于a,b的關(guān)系式，結(jié)合等邊三角形性質(zhì)可得a,b的基本關(guān)系，聯(lián)立方程即可求解.【詳解】由橢圓面積公式可得Sπ=ab,依題意有又長軸的一個端點與短軸的兩個端點構(gòu)成等邊三角形，得a2+聯(lián)立①②得：b2故橢圓的方程為x2故選：A【變式1-3】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）設(shè)m為實數(shù)，若方程x22?m+yA．32<mC．1<m<2 【答案】D【分析】利用已知條件，分析橢圓的簡單性質(zhì)，列出不等式，求解即可.【詳解】x22?m+y2m故選：D【變式1-4】（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知橢圓C：x2a2+y(1)求橢圓C的方程；(2)過右焦點F的直線l與橢圓C交于A，B兩點，若AF=3FB，求【答案】(1)x(2)4【分析】（1）由離心率的值及橢圓過的點的坐標，可得a2，b（2）設(shè)直線AB的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，由AF=3FB，可得參數(shù)的值，求出點P到直線AB的距離及弦長|AB【詳解】（1）由題意可得e=ca=1?所以橢圓的方程為：x2（2）由（1）可得右焦點F(3,0)當直線AB的斜率為0時，則直線AB的方程為y=0因為AF=3FB，可得A?2所以AF=2+23,0，F(xiàn)B=所以直線AB的斜率不為0，由于kPF=22?1=2，故設(shè)直線設(shè)A(x1,y1聯(lián)立x=my+3可得y1+y2因為AF=3FB，即(?3?x1,可得?y1=3y將③代入①，可得y2=3再代入②可得：?27m2點P(2,2)到直線AB弦長|AB所以S由于m2=12，且S△

【考點題型二】橢圓的離心率方法總結(jié)：1.定義：e＝eq\f(c,a).2.離心率的范圍為：(0,1).3.公式拓展：e＝eq\f(c,a)=1?b2a4.e越大，橢圓越扁平；e越小，橢圓越接近于圓.【例2】（23-24高二下·江蘇南京·期中）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>【答案】1【分析】求出Pc,b2a【詳解】由題意得，C:x2a2由于直線PF1的斜率為43，故Pc又a2=b2+c2②解得e=13故答案為：13【變式2-1】（23-24高二下·浙江·期中）已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1a>bA．39 B．C．239 【答案】C【分析】設(shè)切線為x=my+c,Ax1,y1,B【詳解】如圖，設(shè)切線方程為x=x=my+cx則y1+y2=?2代入①，得?y1=?2mcb又圓心C2(?c,0)到直線則d=?c?c1+m所以e2=c2a故選：C【變式2-2】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，點P是橢圓CA．2111 B．C．77 D．【答案】D【分析】由題意求出|PF2|=b2a【詳解】由題意知點P是橢圓C上位于第一象限的點，且PF2與故PF2⊥x軸，將x=則y=±b2a，即作QE⊥x軸，垂足為E，設(shè)

則PF2∥QE，故由PF1=4故|EF1y0=?|QE將Q點坐標代入x2a2結(jié)合b2=a故選：D【變式2-3】（23-24高二下·江蘇南通·期中）設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1【答案】3【分析】根據(jù)給定的條件，結(jié)合橢圓定義用a表示|PF1【詳解】依題意，|AF1得：|PF2于是得|P令橢圓半焦距為c，有cos∠A在△PF1即(32a因此e2=1所以橢圓的離心率為33故答案為：3【變式2-4】（22-23高二上·江蘇南通·階段練習）已知橢圓C:A．55 B．12C．12或32 D．5【答案】B【分析】對焦點所在位置進行分類討論，利用a2=b【詳解】因為橢圓C:x2當橢圓焦點在x軸上，m=4+1=5，所以e當橢圓焦點在y軸上，4=m+1，所以故選：B.【考點題型三】焦點三角形方法總結(jié)：求橢圓中焦點三角形面積的方法：①根據(jù)橢圓的定義求出|PF1|+PF2|＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之間滿足的關(guān)系式；③利用公式＝eq\f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面積．利用公式＝eq\f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP為P點的縱坐標)求得面積④結(jié)論：S【例3】（23-24高二上·江蘇徐州·期中）已知橢圓C:x24+y23=1的左、右焦點分別為FA．3 B．4C．5 D．6【答案】D【分析】利用橢圓定義以及標準方程即可得出結(jié)果.【詳解】由題知，橢圓C:則長軸2a=4，焦距△PF1故選：D【變式3-1】（23-24高二上·江蘇南通·期中）已知點P為橢圓x24+y2=1上的一個動點，點F1A．1 B．2C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)題意，設(shè)PF【詳解】由題意可得a=2,b=1,則m+n=2解得mn=2，所以S故選：A【變式3-2】（21-22高二上·黑龍江大慶·期中）已知F1,F2分別是橢圓C:x2A．18 B．36C．363 D．與a【答案】B【分析】由橢圓定義得PF1+PF【詳解】解：由橢圓定義可知：PF∵∠F∴cos∠F即?∴P故選：B【變式3-3】（23-24高二上·江蘇無錫·期中）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），F(xiàn)1、F2為橢圓的左右焦點，【答案】217/【分析】由題意AF2=2AF1，BF2=3BF【詳解】如圖所示：由題意AF2=2AF所以不妨設(shè)AF而由橢圓定義有AF所以t=所以AF在△ABF2在△AF1交叉相乘得1409a2?28c故答案為：217【點睛】關(guān)鍵點睛：解決問題的關(guān)鍵在于表示出AF2=【變式3-4】（21-22高二上·江蘇揚州·期中）已知平面上兩點F4,0，F(xiàn)'?4,0(1)求動點P的軌跡C的標準方程；(2)當動點P滿足∠FP【答案】(1)x(2)±【分析】（1）根據(jù)動點P滿足的幾何性質(zhì)和橢圓的定義可得動點的軌跡方程；（2）設(shè)Px0,y0【詳解】（1）因為PF+由橢圓的定義可得P的軌跡為橢圓，其長軸長2a=10，故又因為F4,0，F(xiàn)'?4,0，所以橢圓焦點在x軸上，半焦距c故方程為：x2（2）由（1）知，F(xiàn)、F'是橢圓的兩個焦點，設(shè)P在△FPF'所以FF'2又PF+PF在△FPF'又S△PFF'=

【考點題型四】和差最值問題方法總結(jié)：總體理論依據(jù)：1.線段公理——兩點之間，線段最短。2.對稱的性質(zhì)——①關(guān)于一條直線對稱的兩個圖形全等。②對稱軸是兩個對稱圖形對應(yīng)點連線的垂直平分線3.三角形兩邊之和大于第三邊。4.三角形兩邊之差小于第三邊。5.垂直線段最短【例4】（23-24高二上·江蘇連云港·期中）設(shè)橢圓C：x2+yA．1 B．bC．3 D．3b【答案】C【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合兩點間線段最短進行求解即可.【詳解】設(shè)該橢圓的右焦點為Q，因為點P在C上，所以PF+所以PF+當P,B,Q三點共線時，所以PF+PB的最大值為故選：C

【變式4-1】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）已知F為橢圓C：x29+y2A．?26 B．C．?5+26 D．【答案】D【分析】要求的PQ?PF最小值，根據(jù)橢圓的定義可以轉(zhuǎn)化為PQ+PE?6【詳解】如圖，由題可知，圓M的圓心坐標為0,4，半徑為1，設(shè)橢圓C的左焦點為E，即E?2則PQ?故要求PQ?PF的最小值，即求所以PQ+PE的最小值等于即PQ?PF的最小值為故選：D．【變式4-2】（多選）（23-24高二上·江蘇無錫·期中）已知橢圓M：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F1?A．存在點P，使得∠B．若∠F1C．滿足△F1PD．PF1【答案】AD【分析】求出橢圓方程，利用動點P的位置變化，研究∠F【詳解】由橢圓M:x2a2+y將x=3代入x2a2+y2b由AB=1，則2b2a=1，即b化簡得2a+3a?2=0，由a對于A，當點P為橢圓的上（或下）頂點時，∠F由橢圓M:x24+y2=1，則由對稱性得∠F1PF2對于B，如圖：設(shè)PF1=m，PF在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠因此S△對于C，設(shè)PF1=m，PF當m=n=2時，△F1PF當m=F1F2時，△則x24+y2由Δ=8對于D，顯然||PF1因此?23故選：AD【變式4-3】（23-24高二上·江蘇揚州·期中）動點M分別與兩定點A(?5,0)，B(5,0)連線的斜率的乘積為?1625，設(shè)點M的軌跡為曲線C，已知N(2,3)【答案】8,12【分析】根據(jù)已知可求得點M的軌跡方程為x225+y2【詳解】設(shè)Mx,y，x≠±5，則由已知可得，kMA?k整理可得，x2所以，點M的軌跡方程為x225+所以，a2=25，b2=16，則F(?3,0)為橢圓的左焦點，設(shè)右焦點為F根據(jù)橢圓的定義有MF+所以MF=10?所以，MF+①當MN>MF當且僅當M,即M位于圖中點M1時，MF1所以，MF+②當MN<MF所以MN?MF即M位于圖中點M2時，MN?M所以，MF+綜上所述，8≤MF故答案為：8,12.【變式4-4】（22-23高二上·浙江臺州·期中）已知橢圓C:x23+y22=1的左、右焦點分別為F1,F【答案】4?2【分析】根據(jù)三角形三邊之間的不等關(guān)系可得|MN|≥|ME|?1，再結(jié)合橢圓定義將MN?【詳解】由題意知M為橢圓C:x23+y2故F2

故|MF1所以MN=|MN當且僅當M,而|E故MN?MF故答案為：4?2【考點題型五】點與橢圓直線與橢圓的位置關(guān)系方法總結(jié)：1.點P(x0，y0)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系：點P在橢圓上?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；點P在橢圓內(nèi)部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)<1；點P在橢圓外部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)>1.2.直線y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系，判斷方法：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．當Δ>0時，方程有兩解，直線與橢圓相交；當Δ＝0時，方程有一解，直線與橢圓相切；當Δ<0時，方程無解，直線與橢圓相離．【例5】（21-22高二上·浙江·期中）若直線mx+ny=9和圓x2+A．0 B．1C．2 D．不確定【答案】C【分析】通過直線與圓、圓與橢圓的位置關(guān)系可得點(m【詳解】因為直線mx+ny=9所以圓心0,0到直線mx+ny?9=0可得：m2即點(m,n又因為圓x2+y所以點(m,n即過點m,n的直線與橢圓故選：C.【變式5-1】（22-23高二下·上海浦東新·期中）已知橢圓C:x2A．相交 B．相切C．相離 D．不確定【答案】A【分析】根據(jù)直線方程可得直線l過定點A3,2，判斷點A【詳解】對于直線l:m+2令x?y?1=0故直線l過定點A3,2∵3225+所以直線l與橢圓C相交.故選：A.【變式5-2】（21-22高二上·安徽·期中）19世紀法國著名數(shù)學家加斯帕爾·蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學，推動了空間幾何學的獨立發(fā)展.提出了著名的蒙日圓定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，且該圓的半徑等于橢圓長半軸長與短半軸長的平方和的算術(shù)平方根.若圓x?22+y?A．±1 B．±5C．±21 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得橢圓x23+【詳解】解：根據(jù)題意，橢圓x23+因為圓x?22+所以該圓與已知圓相切，又兩圓圓心間距離為4+b所以4+b2=5或故選：C.【變式5-3】（22-23高二上·安徽宿州·期中）已知直線2kx?y+2=0與橢圓x2【答案】4,9【分析】首先求出直線過定點坐標，依題意定點在橢圓上或橢圓內(nèi)，即可求出參數(shù)的取值范圍，再由橢圓方程得到m≠9【詳解】解：∵直線2kx?y+2=0，令2x=0?∴直線2kx?y即點P0,2在橢圓內(nèi)或橢圓上，∴09又m≠9，否則x∴4≤m<9或m>9，即實數(shù)m故答案為：4,9【變式5-4】（22-23高二上·安徽·期中）已知橢圓C：x22+A．?1,13 C．?33,【答案】C【分析】設(shè)C上關(guān)于直線y=x+m對稱的兩點分別為Mx1,【詳解】設(shè)C上關(guān)于直線y=x+m對稱的兩點分別為Mx則x122得x1由MN⊥l，得又x1+x所以x0?2y0=0所以x0=?2m，y又點E在C的內(nèi)部，所以2m2+故選：C．【考點題型六】直線與圓弦長問題方法總結(jié)：（1）定義：連接橢圓上兩個點的線段稱為橢圓的弦．（2）求弦長的方法①交點法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標，然后運用兩點間的距離公式來求．②根與系數(shù)的關(guān)系法：如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長公式為：|AB|＝eq\r(1＋k2)（x1+x2）2?4x1?x【例6】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）已知橢圓C：x23+y2=1，Ax1,【答案】3【分析】由x1?y1=x2【詳解】由x1?y故A,B兩點在直線聯(lián)立x=y+12Δ=1?4×4×?則y1所以AB=故答案為：310【點睛】關(guān)鍵點點睛：由x1?y1=【變式6-1】（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知橢圓x220+y2k=1(20>k【答案】455【分析】由題意可知2c=8，得c=4，然后可求出k，從而可求出橢圓方程，再將x=4代入橢圓方程中求出【詳解】由題意可知2c=8，得c=4所以橢圓方程為x2橢圓的右焦點為F(4,0)，當x=4時，1620所以AB=2故答案為：4【變式6-2】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1((1)求橢圓C的方程及弦AB的長；(2)橢圓上有一動點Q，求S△【答案】(1)x212(2)7【分析】（1）首先根據(jù)已知條件和平方關(guān)系求出橢圓方程，然后聯(lián)立直線方程和橢圓方程，結(jié)合韋達定理以及弦長公式運算即可求解.（2）由題意只需求出動點Q到直線AB的最大值即可，此時可利用三角換元結(jié)合輔助角公式、三角函數(shù)性質(zhì)即可，最終結(jié)合弦AB的長即可求解.【詳解】（1）由題意2c=42所以橢圓C的方程為x2設(shè)Ax而過點P?2,1且斜率為1的直線l的方程為y?1=x將其與橢圓方程聯(lián)立得x212+y2所以Δ=18所以弦AB的長為AB=2（2）由（1）橢圓C的方程及弦AB的長分別為x212+y24=1由題意動點Q在橢圓x212+所以點Q23cosd=而?4≤4cosθ所以?1≤4cosθ所以0≤4cos所以點Q23cosθ,2sinθ到直線所以S△即S△QAB的最大值為【變式6-3】（22-23高二上·山西太原·期中）已知平面上動點Mx,y與定點1,0的距離和M到定直線x=2的距離的比是常數(shù)22，動點M的軌跡為曲線C.直線l(1)若直線l的方程為y=2x+2(2)若△OPQ的面積為22，證明：x1【答案】(1)2(2)證明見解析.【分析】（1）由題知曲線C的方程為x22+y2=1，進而直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立結(jié)合弦長公式得（2）先考慮直線斜率存在時的情況，設(shè)其方程為y=kx+m，進而與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合弦長公式得m2【詳解】（1）解：動點Mx,y與定點FM到定直線x=2的距離為x所以x?12+所以，曲線C的方程為x2所以，聯(lián)立方程x22+Δ=40>0所以，x1所以，原點到直線y=2x+2PQ=所以，△OPQ的面積所以，△OPQ的面積為（2）解：由（1）曲線C的方程為x2因為直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=與橢圓方程聯(lián)立y=kx+Δ=4km2原點到直線y=kx+PQ=?4所以△OPQ的面積為1化簡得8k2mm2x=16所以x1所以，y=22所以，y1當斜率不存在時，設(shè)其方程為x=與橢圓方程聯(lián)立x=x0所以，P所以，PQ=2所以，△OPQ的面積為12×所以，x12綜上，x12+【變式6-4】（20-21高二上·浙江金華·期中）已知橢圓C：x2a2+y（1）求橢圓C的方程；（2）A、B分別是橢圓C的左頂點和上頂點，P是線段AB上的點，直線y=12x+【答案】（1）x24+y【分析】（1）根據(jù)離心率和橢圓上的點列關(guān)于a，（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，用m表示MN的長，再根據(jù)三角形的斜邊長列等式即可求解參數(shù)m的值.【詳解】（1）根據(jù)題意，c故橢圓C的方程為：x（2）由（1）知，A點坐標為（-2，0），B點坐標為（0，1）所以線段AB的方程為：y=1∴MN與AB間的距離為：直線y=12y=1∴且Δ=4m從而得，MN根據(jù)題意ΔPMN為斜邊長為10直角三角形PM⊥MN或PM=d=2或PN=d=2m?2計算得：(2m?25∵0≤m≤2PN⊥PM時，MN=10此時，MN的方程為y=所以直線MN的方程為y=1【考點題型七】中點弦方法總結(jié)：解決橢圓中點弦問題的兩種方法：（1）根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標公式解決；（2）點差法：利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點坐標和【例7】（23-24高二上·江蘇南通·期中）設(shè)a，b是實數(shù)，若橢圓ax2+by2=1與直線x+y=1交于點A，B，點M為AB的中點，直線【答案】(2【分析】將橢圓ax2+by2=1與直線x+y=1聯(lián)立，由韋達定理表示出AB中點M的坐標，由OM的斜率可得【詳解】由已知條件可知，a，聯(lián)立x+y=1a設(shè)Ax1，則Δ>0則y1由OA⊥OB，則又因為kOM所以kOM解得a所以橢圓方程為(2故答案為：(2

【變式7-1】（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）已知橢圓C:x2m2+y26=1的焦點分別為F10,2，F(xiàn)20,?2，設(shè)直線l與橢圓【答案】3【分析】先由題意求出m2，再由點差法可以求出直線l【詳解】根據(jù)題意，因為焦點在y軸上，所以6?m2=4即橢圓C:設(shè)Mx1,y1兩式相減得x1+x因為點P12,12所以直線l的斜率為k=所以直線l的方程為y?12故答案為：3x【變式7-2】（20-21高二上·江蘇·期中）已知橢圓C:x29+y24=1，點M與C的焦點不重合，若M關(guān)于CA．6 B．12C．18 D．24【答案】B【分析】根據(jù)已知條件,作出圖形,連接MN的中點與橢圓的兩個焦點,便會得到三角形的中位線,根據(jù)中位線的性質(zhì)及橢圓上的點到兩焦點的距離和為2a即可求出AN【詳解】解：如圖設(shè)MN的中點為Q，橢圓C的左右焦點分別為F1、F2,連接∵F1是MA的中點,Q是MN的中點,∴F1QQF同理:QF∵Q在橢圓C上,∴QF1+∴AN+BN=12.故選：B.【變式7-3】（23-24高二上·江蘇南通·期中）已知橢圓C：x2(1)若P1,?(2)若直線l經(jīng)過點Q4,0【答案】(1)3x(2)證明見解析.【分析】（1）利用點差法，利用Ax1,（2）根據(jù)橢圓的對稱性，欲證點A，D關(guān)于x軸對稱，只需證明kFA【詳解】（1）設(shè)Ax1,則x124即y2因為P1,?12是線段AB的中點，所以x所以直線l的斜率k=所以直線l的方程為y+12（2）根據(jù)橢圓的對稱性，欲證點A，D關(guān)于x軸對稱，只需證kFA=?k設(shè)直線AB的方程為x=由x=my+4,所以y1+y所以kFA因為y1所以kFA

【變式7-4】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）已知橢圓C:x28+y24=1，左右焦點分別為F1，(1)求直線l的一般式方程；(2)求F1【答案】(1)x(2)47【分析】（1）設(shè)A(（2）由韋達定理得x1+x【詳解】（1）因為弦AB被點2，1平分，所以設(shè)交點坐標Ax1則x1兩式相減得：x1所以直線l的斜率k=故直線l的一般式方程為x聯(lián)立橢圓與直線方程x28+y2所以直線方程為x+（2）由（1）知：F1?2，0由（1）得x1y1所以F1【考點題型八】軌跡方程問題方法總結(jié)：解決與橢圓有關(guān)的軌跡問題的三種方法：（1）定義法：用定義法求橢圓方程的思路是：先觀察、分析已知條件，看所求動點軌跡是否符合橢圓的定義．若符合橢圓的定義，則用待定系數(shù)法求解即可．（2）方程法：直接根據(jù)條件列方程化簡即可。（3）相關(guān)點法：有些問題中的動點軌跡是由另一動點按照某種規(guī)律運動而形成的，只要把所求動點的坐標“轉(zhuǎn)移”到另一個動點在運動中所遵循的條件中去，即可解決問題，這種方法稱為相關(guān)點法【例8】（23-24高二上·廣東深圳·期中）如圖，已知定圓A的半徑為4，B是圓A內(nèi)一個定點，且AB=2

A．圓 B．射線C．長軸為4的橢圓 D．長軸為2的橢圓【答案】C【分析】連接BQ，由線段垂直平分線的性質(zhì)結(jié)合圓的性質(zhì)可得AQ+【詳解】連接BQ，因為線段BP的垂直平分線l和半徑AP相交于點Q，所以BQ=因為AQ+PQ=所以點Q的軌跡是以A,故選：C【變式8-1】(多選)（23-24高二上·江蘇徐州·期中）下列說法正確的是（

）A．若動圓C與圓C1:(x+1)B．若動點P到F(1,0)的距離是到直線x=9的距離的13C．將橢圓x24+D．已知點A(?2,0)，B(2,0)，直線AM,BM相交于點M，且它們的斜率之積是【答案】BC【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合橢圓軌跡方程的求解方法一一求解即可判斷.【詳解】對A，如圖，

設(shè)動圓C的半徑為r，根據(jù)動圓C與圓C1外切，且與圓C可得，CC1=所以動圓的圓心C的軌跡是一個橢圓，方程為x但不包含點?2,0，因為此時動圓C變成了一個點，不滿足題意，A錯誤；對B，設(shè)P(x,整理得，x2對C，將橢圓x24+得到x2對D，設(shè)M(kAM?k但因為kAM,k故選:BC.【變式8-2】（21-22高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）泰戈爾說過一句話：世界上最遠的距離，不是樹枝無法相依，而是相互了望的星星，卻沒有交匯的軌跡；世界上最遠的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無處尋覓.已知點F1,0，直線l:x=4，動點P到點F的距離是點P到直線A．點P的軌跡方程是xB．直線l1：xC．平面上有一點A?1,1，則PAD．點P的軌跡與圓C：x2【答案】ABC【分析】對A，設(shè)Px,y，根據(jù)定義建立關(guān)系可求出；對B，聯(lián)立直線與橢圓方程，判斷方程組是否有解即可；對C，根據(jù)定義轉(zhuǎn)化為求PA【詳解】設(shè)Px,y，因為點P到點F的距離是點P到直線l的距離的一半，所以2聯(lián)立方程x+2y?4=0x24+y23=1過P作PB垂直直線l:x=4，垂足為B，則由題可得PB=2PF，則PA由x2+y2?2x=0可得x故選：ABC.【變式8-3】（23-24高二上·江蘇南通·期中）已知動點M(x,(1)指出動點M的軌跡C是何種曲線，并化簡其方程；(2)若過點P1,12的直線l和曲線C相交于A,B兩點，且P【答案】(1)橢圓，C的方程是：x(2)y【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義即可判斷點M的軌跡，并求解方程；（2）先利用點差法求得直線l的斜率，進而求得直線l的方程.【詳解】（1）設(shè)F1(?1,0)，F(xiàn)2(1,0)，所以MF2+所以點M的軌跡C是以F1(?1,0)，F(xiàn)2設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b所以a=2，c=1，所以b=a（2）設(shè)點Ax1,作差得x12?x2又由點P1,12是AB的中點，則有x變形可得kAB=y1?y2經(jīng)檢驗符合題意，故直線l的方程為y=?【變式8-4】（20-21高二上·廣西貴港·期中）已知平面內(nèi)兩定點M(?1,0),N(1,0)(1)求動點P的軌跡C的方程；(2)若直線y=x+1【答案】(1)x(2)8【分析】（1）由橢圓的定義即可得解.（2）聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合韋達定理、弦長公式即可得解.【詳解】（1）由橢圓的定義知，P點的軌跡為橢圓，其中c=1,所以所求動點P的軌跡C的方程為x2（2）設(shè)Ax聯(lián)立直線與橢圓的方程y=x+1所以Δ>0，x1+∴AB=【考點題型九】橢圓切線相關(guān)問題方法總結(jié)：橢圓x2a2+【例9】（22-23高二上·湖南郴州·期中）已知點P1,2和焦點在y軸上的橢圓：x24+yA．0<c<2 C．0<c<2【答案】C【分析】由已知可得，點P在橢圓的外部.進而可推得4<m<16【詳解】由題意可得，點P在橢圓的外部.所以，124+又橢圓焦點在y軸上，所以m>4，所以4<又c2=m?4，所以故選：C.【變式9-1】（23-24高二下·重慶·期中）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2，過F2的直線與E交于點A．19 B．C．913 D．【答案】D【分析】畫出圖形，由題意可得出AM=AB，利用橢圓的定義結(jié)合已知條件可求出AF【詳解】如下圖所示：因為點B關(guān)于l的對稱點為M，則AM=因為AF1+所以，AF所以，BF1M則AF所以，BF2=