專題08數(shù)列的通項(xiàng)與求和（考點(diǎn)清單知識導(dǎo)圖+3考點(diǎn)清單+7題型解讀）（教師版） 2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考點(diǎn)大串講（蘇教版2019選擇性必修第一冊）

專題08數(shù)列的通項(xiàng)與求和【清單01】數(shù)列的遞推公式1、遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．2、通項(xiàng)公式和遞推公式的異同點(diǎn)不同點(diǎn)相同點(diǎn)通項(xiàng)公式可根據(jù)某項(xiàng)的序號n的值，直接代入求出an都可確定一個數(shù)列，也都可求出數(shù)列的任意一項(xiàng)遞推公式可根據(jù)第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))的值，通過一次(或多次)賦值，逐項(xiàng)求出數(shù)列的項(xiàng)，直至求出所需的an，也可通過變形轉(zhuǎn)化，直接求出an【清單02】數(shù)列通項(xiàng)公式的求法1、觀察法：已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時，一般對所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項(xiàng)．2、公式法（1）使用范圍：若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an（2）用此公式時要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即a1和an合為一個表達(dá)，（要先分和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一）．3、累加法：適用于an+1=a要點(diǎn)：利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解4、累乘法：適用于an＋1＝f(n)an，可變形為eq\f(an＋1,an)＝f(n)要點(diǎn)：利用恒等式an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解5、構(gòu)造法：形如an+1=pan+q（其中均為常數(shù)且【清單03】數(shù)列求和的方法1、公式法（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：乘公比，錯位相減法．（3）一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和：①；②；③；=4\*GB3④2、分組轉(zhuǎn)化法求和（1）適用范圍：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論．（2）常見類型：=1\*GB3①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列；=2\*GB3②通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列.3、并項(xiàng)求和法：一個數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．例如，．4、倒序相加法：如果一個數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的．5、裂項(xiàng)相消法求和：如果一個數(shù)列的通項(xiàng)為分式或根式的形式，且能拆成結(jié)構(gòu)相同的兩式之差，那么通過累加將一些正、負(fù)項(xiàng)相互抵消，只剩下有限的幾項(xiàng)，從而求出該數(shù)列的前n項(xiàng)和．6、錯位相減法求和：如果一個數(shù)列的各項(xiàng)是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯位相減法來求.【考點(diǎn)題型一】已知Sn與a方法總結(jié)：已知Sn求an的三個步驟（1）利用a1＝S1求出a1.（2）當(dāng)n≥2時，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表達(dá)式．（3）看a1是否符合n≥2時an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；否則應(yīng)寫成分段的形式，即an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向兩個不同的方向轉(zhuǎn)化．（1）利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．（2）利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．【例1】（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=A．23 B．24 C．25 D．26【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合a12【詳解】由數(shù)列an的前n項(xiàng)和S可得a12故選：C.【變式1-1】（23-24高二上·江蘇泰州·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=n【答案】a【分析】代入n=1，得出a1.根據(jù)an=S【詳解】當(dāng)n=1時，a當(dāng)n≥2時，an=Sn因?yàn)?×1+2=4≠a所以，an故答案為：an【變式1-2】（22-23高二下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，若Sn=【答案】?1,【分析】根據(jù)an【詳解】解：當(dāng)n≥2時，有a但當(dāng)n=1時，a故an故答案為:?1,n【變式1-3】（23-24高二上·江蘇鹽城·期中）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Tn為數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和，若(1)證明：數(shù)列Sn(2)若Tn>120?n【答案】(1)證明見解析(2)5【分析】（1）利用an=S（2）由分組求和法求得Tn【詳解】（1）由an+1=2Sn即Sn+1+1=3所以Sn（2）由（1）知Sn+1=3×Tn由Tn>120?n可得3n+1因?yàn)閚∈N?【變式1-4】（23-24高二上·江蘇·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式a(2)若數(shù)列bn滿足：bn=【答案】(1)a(2)9【分析】（1）根據(jù)an（2）求出b1=15，當(dāng)n≥2時，計算出bn+1bn【詳解】（1）Sn=2n+3當(dāng)n≥2時，a其中21?1故a（2）當(dāng)n=1時，b當(dāng)n≥2時，b則bn當(dāng)n=2時，b當(dāng)n≥3時，1n+1≤43故n≥2時，bn的最大項(xiàng)為又b3>b1，故數(shù)列【考點(diǎn)題型二】累加法求通項(xiàng)方法總結(jié)：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：【例2】（22-23高二下·江蘇鹽城·期中）南宋數(shù)學(xué)家楊輝的重要著作《詳解九章算法》中的“垛積術(shù)”問題介紹了高階等差數(shù)列.以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點(diǎn)是從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列.若某個二階等差數(shù)列的前4項(xiàng)為：1、4、9、16，則該數(shù)列的第20項(xiàng)為（

）A．399 B．400 C．401 D．402【答案】B【分析】由從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列，列出后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差，再由累加法即可求得通項(xiàng)公式，即可求得該數(shù)列的第20項(xiàng).【詳解】若某個二階等差數(shù)列的前4項(xiàng)為：1,4,9,16，即a1可知a2?a1=3,累加即可得到an則an=故選：B.【變式2-1】（22-23高二上·江蘇南通·期中）等比數(shù)列an滿足a1+a3=10，a2+a4=5A．2n?3 B．2n?2 C．【答案】A【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)與累加法求解，【詳解】根據(jù)題意得，a1+a1qn≥2時，b故b=1故選：A【變式2-2】（22-23高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙粒或小石子所排列的形狀，把數(shù)分成許多類，如圖，第一行圖形中黑色小點(diǎn)個數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點(diǎn)個數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列an，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列bn，則a10=；【答案】5520【分析】依題意可得an?an?1=nn≥2，利用累計法求出a【詳解】根據(jù)三角形數(shù)可知，an?an?1=n累加得an所以an=1+2+3+?+n故an=n根據(jù)正方形數(shù)可知bn當(dāng)n≥2時，1則i=2=21?故答案為：55；20【變式2-3】（21-22高二上·江蘇蘇州·期中）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=1，an【答案】46【分析】利用累加法求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，將n【詳解】由an+1?an=n，則a以上各式相加，得an?a∴a10故答案為：46.【變式2-4】（20-21高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=n2，n∈N（1）求證：數(shù)列bn（2）求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式.【答案】（1）證明見解析；（2）an=2n【解析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明；（2）利用an=Sn?【詳解】（1）因?yàn)?bn+2?4b所以bn+2?bn（2）n≥2時，a又a1所以an由（1）bn所以，n≥2時，bn=b1+(b【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：本題考查等比數(shù)列的證明，考查由Sn求an，累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式．在由Sn求an時要注意公式an=Sn?【考點(diǎn)題型三】累乘法求通項(xiàng)方法總結(jié)：形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：【例3】（20-21高二上·江蘇蘇州·期中）已知在數(shù)列{an}中，aA．12020 B．12019 C．11010【答案】C【解析】由累乘法可求得an【詳解】∵an+1∴an=∴a故選：C.【變式3-1】（23-24高二下·海南?？凇て谥校┮阎獢?shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=2且滿足【答案】a【分析】當(dāng)n≥2時，an=Sn?S【詳解】當(dāng)n≥2時，a化簡得(n?1)an=n顯然a1所以a故答案為：a【變式3-2】（22-23高二上·福建寧德·期中）已知a1=1,an+1=【答案】1【分析】由已知遞推式可得an【詳解】由an+1=所以an所以a2a1=12，a3所以a2所以ana1=1因?yàn)閍1所以an故答案為：1【變式3-3】（22-23高二上·黑龍江哈爾濱·期中）數(shù)列{an}滿足a1=1，【答案】2【分析】利用累乘法求得正確答案.【詳解】a=1?5a1所以an故答案為：2【變式3-4】（22-23高二上·福建莆田·期中）已知數(shù)列an滿足4Sn=(2【答案】2【分析】當(dāng)n≥2時，由4Sn=(2n+1)a【詳解】將n=1代入4Sn=(2n由4Sn=(2兩式相減得4an=(2所以ana1=1也滿足an=2n故答案為：2【考點(diǎn)題型四】構(gòu)造法求通項(xiàng)方法總結(jié)：形如（為常數(shù)，且）的遞推式，可構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．也可以與類比式作差，由，構(gòu)造為等比數(shù)列，然后利用疊加法求通項(xiàng)．【例4】（23-24高二下·廣東·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，且(n2?1+1)SA．49 B．50 C．51 D．52【答案】A【分析】根據(jù)給定的遞推關(guān)系，結(jié)合Sn?S【詳解】當(dāng)n≥2時，(n2于是n+1Sn因此數(shù)列{(n+1)nS由Sk=135，得2k故選：A【變式4-1】（多選）（23-24高二下·廣東·期中）已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和為SA．a(chǎn)2=7 B．C．a(chǎn)n+3n【答案】ABD【分析】分析可知數(shù)列an+3【詳解】因?yàn)閍n+1=4且a1+3=4≠0，可知數(shù)列則an+3對于選項(xiàng)A：a2對于選項(xiàng)B：因?yàn)閍n=4對于選項(xiàng)C：因?yàn)閿?shù)列an所以an對于選項(xiàng)D：a10故選：ABD.【變式4-2】（多選）（20-21高二上·江蘇泰州·期中）數(shù)列an是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，an+1=2an+3A．a(chǎn)3=13 B．?dāng)?shù)列C．a(chǎn)n=4n【答案】AB【解析】由已知構(gòu)造出數(shù)列an+3是等比數(shù)列，可求出數(shù)列an【詳解】an+1=2an又∵a1=1，∴an+3=a∴Sn故選：AB.【變式4-3】（多選）（20-21高二上·江蘇·期中）已知數(shù)列anA．若a1＝2，anB．若a1＝1，C．若Sn=3D．若a1＝1，an【答案】AB【解析】直接利用疊加法可判斷選項(xiàng)A，從而判斷，利用構(gòu)造新數(shù)列可求出B,D中數(shù)列的通項(xiàng)公式，可判斷，選項(xiàng)C求出數(shù)列的前3項(xiàng)從而可判斷.【詳解】選項(xiàng)A.

由an+1則a=20+19+18+?+2+2=211故A正確.選項(xiàng)B.由an+1所以數(shù)列an+1是以則an+1=2×3n?1選項(xiàng)C.由Sn=3n當(dāng)n=2時，得a當(dāng)n=3時，得a顯然a22≠選項(xiàng)D.

由an+1=所以數(shù)列1an是以1為首項(xiàng)，所以1an=1+12故選：AB【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，解答的關(guān)鍵是掌握求數(shù)列通項(xiàng)公式的常見方法，由疊加法可得a20=a20?【變式4-4】（23-24高二下·廣東珠海·期中）已知數(shù)列{an}，其中a1=1，滿足an+1=2a【答案】9【分析】利用遞推關(guān)系式得an+1+2n+1+1=2a【詳解】因?yàn)橛蒩n+1=2又a1+3=4，所以數(shù)列an+2n所以an+2n所以Sn所以Sn+4+n由211=2048知，滿足故答案為：9.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列的通項(xiàng)公式有以下方法：（1）觀察法，（2）等差、等比公式法，（3）由Sn與a【考點(diǎn)題型五】裂項(xiàng)相消法求和方法總結(jié)：1、用裂項(xiàng)法求和的裂項(xiàng)原則及規(guī)律（1）裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．（2）消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．2、裂項(xiàng)相消法中常見的裂項(xiàng)技巧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【例5】（23-24高二上·江蘇蘇州·期中）數(shù)列an中，an=1nA．77 B．78 C．79 D．80【答案】D【分析】利用裂項(xiàng)求和法求得正確答案.【詳解】依題意，an所以Sn由Sn=n故選：D【變式5-1】（23-24高二下·江蘇徐州·期中）12!【答案】1?【分析】由n?1【詳解】由n?1n!=1則原式=1?故答案為：1?1【變式5-2】（23-24高二上·安徽馬鞍山·期中）若an是公差不為0的等差數(shù)列，a2,a4,a8成等比數(shù)列，a1=1，【答案】20【分析】由等差數(shù)列中a2,a4,a8成等比數(shù)列，解出公差為d【詳解】設(shè)等差數(shù)列an公差為d，a2,則a1+3d由d≠0，得d=1，所以則有Sn=n所以1S故答案為：20【變式5-3】（22-23高二下·江蘇南京·期中）已知Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，3a(1)求數(shù)列an(2)若n+3bn2=【答案】(1)a(2)T【分析】（1）由題意列出方程組求出首項(xiàng)、公差即可；（2）化簡bn【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d．因?yàn)?a2所以3a解得a1=4d（2）由（1）得n+3bn所以Tn=1所以T10【變式5-4】（22-23高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足(1)求數(shù)列an(2)記bn=anan?1an+1?1，T【答案】(1)a(2)2【分析】（1）由an=Sn?Sn（2）利用裂項(xiàng)相消法求得和Tn，不等式可變形為k>n+12n+1【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足當(dāng)n≥2時，2兩式相減得：2an=4當(dāng)n=1時，2S1可知數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以a（2）由（1）可知：bn所以T=121對任意的n∈N*，不等式T化簡得：k>設(shè)cn因?yàn)閏n所以cn單調(diào)遞減，則cn≥所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是23【考點(diǎn)題型六】錯位相減法求和方法總結(jié)：1、解題步驟2、注意解題“3關(guān)鍵”①要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形．②在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．③在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比q＝1和q≠1兩種情況求解．3、等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯位相減法．①②得：．整理得：．【例6】（23-24高二上·江蘇蘇州·期中）已知數(shù)列an為等差數(shù)列，a1=1，公差d>0，數(shù)列bn為等比數(shù)列，且a(1)求數(shù)列an、b(2)設(shè)cn=an?bn【答案】(1)an=n；(2)13【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的計算即可求解；（2）利用錯位相減法可得Tn【詳解】（1）∵a又a1∴b42=b2b∴a∴b∴q=±b∴bn=2×（2）由（1）知bn所以Tn4T錯位相減得：(1?4)∴由Tn=令dnd令dn?d故當(dāng)n>12且n∈N?時，dn>dn?1；當(dāng)0<又d1<0,故n≥13,n所以滿足Tn>4【變式6-1】（22-23高二下·江蘇南京·期中）已知數(shù)列{an}滿足a1=5，an(1)求證：{b(2)設(shè)cn=nbn【答案】(1)證明見解析(2)2+【分析】（1）由等比數(shù)列定義證明bn（2）使用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）由已知，∵an+1?2∵bn∴bn又∵a1=5，∴∴易知數(shù)列{bn}中任意一項(xiàng)不為0∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2（2）由第（1）問，bn=2×2∴設(shè)數(shù)列{cn}的前nSn①×2得，2S①?②得，?S∴?S∴Sn∴數(shù)列{cn}的前n【變式6-2】（22-23高二下·江蘇南京·期中）正項(xiàng)數(shù)列an的前n和為Sn，且2S(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=a13n+【答案】(1)a(2)T【分析】（1）由Sn+1?（2）由錯位相減法求bn的通項(xiàng)，再用分組求和求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和【詳解】（1）正項(xiàng)數(shù)列an，當(dāng)n=1時，由2S由2Sn=所以2Sn+1an數(shù)列an是正項(xiàng)數(shù)列，所以a所以數(shù)列an所以an（2）由bn所以bn3n3n上面兩式相減，得?2?3?2?3nb所以TnTn【變式6-3】（22-23高二下·湖北·期中）已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足a1=1(1)求an(2)設(shè)數(shù)列2nan的前n項(xiàng)和為S【答案】(1)a(2)存在，p【分析】（1）由已知條件可得an+1+an（2）利用錯位相減法求出Sn，根據(jù)題中條件得出p【詳解】（1）∵a∴a∵an為正項(xiàng)數(shù)列，∴a∴1an∴1（2）∵2∴S2S∴?Sn=1×2+1×22∴S∴p又pS∴2p=1∴存在p=【變式6-4】（22-23高二上·江蘇連云港·期中）已知數(shù)列an中，a1=2，且對任意n(1)求數(shù)列an(2)若bn=2n?a【答案】(1)a(2)S【分析】(1)構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)；(2)利用錯位相減法求和.【詳解】（1）由an+1=2an所以數(shù)列an所以an?1=1×2（2）由（1）得bn因?yàn)镾n所以Sn2S以上兩式相減得?S所以Sn【考點(diǎn)題型七】分組并項(xiàng)求和方法總結(jié)：并項(xiàng)求和法∶若一個數(shù)列的前n項(xiàng)中兩兩結(jié)合后可求和，則用并項(xiàng)求和法.【例7】（多選）（22-23高二上·江蘇蘇州·期中）數(shù)列an滿足a1=1，an+1anA．a(chǎn)2n?1=12n?1 【答案】ABC【分析】根據(jù)題意求得an+2an+1an+1an=an+2an=【詳解】由題意，數(shù)列an滿足a所以an可得an因?yàn)閍1=1，可得a2所以an的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公比為12的等比數(shù)列，且首項(xiàng)分別為a