與二次函數(shù)相關(guān)的壓軸題-2022年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（第2期）（解析版）-中考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點(diǎn)資料歸納

專題22與二次函數(shù)相關(guān)的壓軸題

解答題

1.（2022?湖北鄂州）某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫(huà)板》軟件探究），=如2（“>（））型拋物線

圖象.發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點(diǎn)M到定點(diǎn)F（0,，-）的距離MF,始

終等于它到定直線/：y=-1上的距離MN（該結(jié)論不需要證明），他們稱：定點(diǎn)尸為圖象

4a

的焦點(diǎn)，定直線/為圖象的準(zhǔn)線，y=-《叫做拋物線的準(zhǔn)線方程.其中原點(diǎn)。為尸”的中

4（7

點(diǎn)，F(xiàn)H=2OF=例如，拋物線其焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸（0,1）,準(zhǔn)線方程為/：y=

2/7NN

（1）【基礎(chǔ)訓(xùn)練】請(qǐng)分別直接寫(xiě)出拋物線y=2r2的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線/的方程:

⑵【技能訓(xùn)練】如圖2所示，己知拋物線上一點(diǎn)p到準(zhǔn)線/的距離為6,求點(diǎn)P的

O

坐標(biāo)；

（3）【能力提升】如圖3所示，已知過(guò)拋物線>=辦2（a>0）的焦點(diǎn)廠的直線依次交拋物線

及準(zhǔn)線/于點(diǎn)A、B、C.若BC=2BF,AF=4,求。的值；

（4）【拓展升華】古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”

問(wèn)題：點(diǎn)C將一條線段AB分為兩段AC和CB,使得其中較長(zhǎng)一段AC是全線段與另一

段CB的比例中項(xiàng)，即滿足：空=%=或二1.后人把叵口這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割”把

ABAC22

點(diǎn)C稱為線段AB的黃金分割點(diǎn).

如圖4所示，拋物線/的焦點(diǎn)尸（0,1）,準(zhǔn)線/與y軸交于點(diǎn)H（0,-1）,E為線段

“尸的黃金分割點(diǎn)，點(diǎn)M為y軸左側(cè)的拋物線上一點(diǎn).當(dāng)粵=夜時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出

MF

的面積值.

【答案】⑴（o,：）,y=~Q?

OO

（2）4應(yīng)，4）或（-4萬(wàn)，4）

⑶〃=J

4

（4）5/5-1或3-yf5

【分析】（1）根據(jù)交點(diǎn)和準(zhǔn)線方程的定義求解即可；

（2）先求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4,然后代入到拋物線解析式中求解即可；

（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BOLy軸于。，過(guò)點(diǎn)A作AE_L），軸于E,證明

推出ED=J-,則8=OF-D歹=3，點(diǎn)3的縱坐標(biāo)為』一，從而求出8。=正，證明

“EFSRBDF,即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-26,2+」），再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解

4a

析式中求解即可；

（4）如圖，當(dāng)E為靠近點(diǎn)尸的黃金分割點(diǎn)的時(shí)候，過(guò)點(diǎn)M作MN，/于M則

先證明△MN”是等腰直角三角形，得到NH=MN,設(shè)點(diǎn)例的坐標(biāo)為（"［，/）,則

MN=^-m2+l=-m=HN,求出m=一2,然后根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義求出〃￡=班-1,則

4

SgME=gHE-NH=書(shū)-1；同理可求當(dāng)點(diǎn)E是靠近”的黃金分割點(diǎn)時(shí)的面積?

（1）

解：由題意得拋物線y=2^的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線/的方程分別為（0,1）,丁=-：,

o8

故答案為：（0,：）,y-?

00

（2）

解：由題意得拋物線y=的準(zhǔn)線方程為）,=-，-=_2,

84a

?.?點(diǎn)P到準(zhǔn)線/的距離為6,

...點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為4,

.?.當(dāng)y=4時(shí)，-X2=4,

8

解得x=±4&，

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4及，4）或（-4a,4）；

（3）

解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)3作8。_Ly軸于。，過(guò)點(diǎn)A作AEJ_.y軸于七，

由題意得點(diǎn)F的坐標(biāo)為尸（0,3）直線/的解析式為：、'=-；，

4。4。

ABD//AE//CH,FH=—,

2a

，△尸。8s△尸

.BDFDFB

**WC-FW'FCr

?：BC=2BF,

：.CF=3BF,

.BDFDFB_\

：.FD=—,

6a

：.OD=OF-DF=—,

12a

.?.點(diǎn)8的縱坐標(biāo)為二一，

12a

■.?-1--=QX2,

12〃

解得》=且（負(fù)值舍去），

6a

BD=—,

6a

■:AE//BD.

：.XAEFSABOF,

.AEBD6

EFDF

JAE=43EF,

■:AE2+EF2=AF2，

???4EF2=AF2=\6^

：.EF=2,

：.AE=2c，

.1點(diǎn)4的坐標(biāo)為（-26，2+，-）,

4a

：.2+—=l2a

4af

*?*48〃~—8?！?=0,

???（12a+l）（4〃-l）=0,

解得（負(fù)值舍去）；

4

圖3

(4)

解：如圖，當(dāng)E為靠近點(diǎn)尸的黃金分割點(diǎn)的時(shí)候，過(guò)點(diǎn)M作于N,則MN=MF,

??,在/C中，sinZMH^=—,

MHMH2

???ZMHN=45°,

.,?△MN”是等腰直角三角形，

:?NH=MN,

1.

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(例，~m~),

4

/.MN=-m2+\=-m=HN

4f

/.m=—2?

:?HN=2,

?..點(diǎn)E是靠近點(diǎn)尸的黃金分割點(diǎn)，

HE=^^HF=亞-1,

2

???SAHME=gHENH=下7；

同理當(dāng)E時(shí)靠近，的黃金分割點(diǎn)點(diǎn)，后尸=避二1〃/7=石-1,

2

”E=2-石+1=3-石，

；?SAHME=；HE.NH=3一小,

綜上所述，S*=26-2或.=3-6

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，解宜角三角形，等腰直

角三角形的性質(zhì)與判定，黃金分割等，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

2.(2022?江蘇無(wú)錫)已知二次函數(shù)y=-L/+〃x+c圖像的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)A(1,0),

4

圖像與y軸交于點(diǎn)8(0,3),C、。為該二次函數(shù)圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)。的左側(cè))，

HZCAD=90.

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式：(2)若點(diǎn)C與點(diǎn)8重合，求lan/CD4的值；(3)點(diǎn)C是否存在其

他的位置，使得tan/CZM的值與(2)中所求的值相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(l)y=-；/+；x+3⑵1⑶(―2,1),(3-717,717-2),(-1-717,-2-717)

【分析】(1)二次函數(shù)與y軸交于點(diǎn)8(0,3),判斷c=3,根據(jù)A(1,O),即二次函數(shù)對(duì)稱軸

為x=l,求出方的值，即可得到二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)證明,ADESOBAO,得至1］也=空，即BODE=04越，設(shè)?！?，一!”+!/+3),

AEDEk427

點(diǎn)。在第一象限，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)寫(xiě)出長(zhǎng)度，利用3O-DE=Q4?/場(chǎng)求出f的值，即可AE,DE

的值，進(jìn)一步得出tan/CDA的值；

(3)根據(jù)題目要求，找出符合條件的點(diǎn)C的位置，在利用集合圖形的性質(zhì)，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)C

的坐標(biāo)即可。

(I)解：；二次函數(shù)丫=-；/+區(qū)+(;與丫軸交于點(diǎn)8((),3),

1

:?c=3,即y=—x9+bx+3,

V4(1,0),即二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=l,

???二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-%2+?+3.

(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作工軸的垂線，垂足為E,連接3D,

VZC4D=90，

ZBAO+ZDAE=9Q，

ZADE+ZDAE=90，

：.ZADE=ZBAO,

???ZBOA=ZDE4=90°,

^ADE^BAO,

,BPBODE=OAAE

AEDEt

???W（），3）,A（l,0）,

???BO=3,OA=if

設(shè)：。1,一；產(chǎn)+夕+3）,點(diǎn)。在第一象限,

11

：.OE=t,DE=——/9+T+3,AE=OE-OA=t-l,

42

3x（一：/+；/+3）=lx（/_l）,

解得：4=-與（舍），，2=4（舍），

當(dāng)4=4時(shí)，y=-^-x42+^x4+3=l,

AE=4—1=3,DE=1,

AD=y]DE2+AE2=JF+32=Tfo，

AB=y]OA2+OB2=712+32=V10

,/在RtVBAD中,

tanNCZM=^=%=1

ADVio

(3)解：存在,

如圖，(2)圖中RtVBAD關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，tanNCD4=l,

?.,點(diǎn)。的坐標(biāo)為(41),

，此時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,1),

如圖，當(dāng)點(diǎn)C、。關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，此時(shí)AC與AO長(zhǎng)度相等，即tanNCft4=l,

過(guò)點(diǎn)C作CE垂直于x軸，垂足為E,

VZCAD=90，點(diǎn)C、。關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,

/.ZC4￡=45，

...VC4E為等腰直角三角形，

CE=AE,

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m,-："/+；機(jī)+3）,

1。1

CE=-rn~H—m+3,A.E=1一機(jī),

42

.11…

??——m2+—m+3=1一根

42

解得：町=3-/，=3+717（舍）,

此時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3-折,A/萬(wàn)-2）,

過(guò)點(diǎn)C作C/垂直于x軸，垂足為F,

VZCAD=9Q，點(diǎn)C、。關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,

ZCAF=45,

NCAF為等腰宜角三角形，

/.CF^AF,

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為+

CF=-m2—m—3,AE=\—m,

42

1

m2

4-——"7-3=1—〃z

2

解得：叫=_"J萬(wàn)（舍），^=-1-717,

此時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1一如,-2—折），

綜上：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3一折,如-2）,（-1-717-2-717）.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?山西）綜合與探究

13

如圖，二次函數(shù)丫=-1/+5*+4的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y

軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)尸是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為現(xiàn).過(guò)點(diǎn)P

作直線軸于點(diǎn)。，作直線BC交于點(diǎn)E

（1）求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出直線BC的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)ACEP是以PE為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）連接AC,過(guò)點(diǎn)P作直線/〃AC,交y軸于點(diǎn)F,連接OF.試探究：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程

中，是否存在點(diǎn)P,使得C￡=ED,若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出”的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴人一2,0）,B（8,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,4）；y=-；x+4

⑵（4,6）

（3）存在；〃?的值為4或2后-2

【解析】

【分析】

13

（1）令y=-[x2+]x+4中）'和X分別為0,即可求出A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系

數(shù)法求直線8c的函數(shù)表達(dá)式；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CG，PO于點(diǎn)G,易證四邊形CODG是矩形，推出CG〃08,DG=OC=4,

CG=OD=m,再證明△CGES4BOC,推出EG=gm,由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可

以得出PG=EG=1m，則PD=PG+DG=2m+4,由尸點(diǎn)在拋物線上可得

22

13

尸。=-；療+力w+4,聯(lián)立解出代入二次函數(shù)解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）分點(diǎn)/在y軸的負(fù)半軸上和點(diǎn)F在y軸的正半軸上兩種情況,畫(huà)出大致圖形，當(dāng)CE=ED

時(shí)，EG=OF,由（2）知EG=g機(jī)，用含的代數(shù)式分別表示出OF,列等式計(jì)算即可.

（1）

1,3

解：由，=-^r+/*+4得，

當(dāng)》=0時(shí)-，y=4,

...點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,4）.

13

當(dāng)y=0時(shí)，——X2+-X+4=0,

42

解得％=-2,X2=8.

:點(diǎn)4在點(diǎn)8的左側(cè)，

...點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為A（—2,0）,8（8,0）.

設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為丫=辰+），

將8（8,0）,。（0,4）代入得

k=--

解得2,

Z?=4

直線BC的函數(shù)表達(dá)式為曠=-；工+4.

（2）

解：；點(diǎn)?在第一象限拋物線上，橫坐標(biāo)為小，且PDLx軸于點(diǎn)￡）,

.,.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（嘰布+4）,OD=m,

1°3

PD=——nr+—優(yōu)+4.

42

???點(diǎn)3的坐標(biāo)為（8,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,4）,

??.O5=8,OC=4.

過(guò)點(diǎn)。作CG,尸。于點(diǎn)G,則NCGD=90。.

■:ZPDO=匕COD=90°,

，四邊形CODG是矩形，

J.CG//OB,DG=OC=4,CG=OD=m.

：.Z1=Z2.

'：/CGE=/BOC=90。,

：.ACGE^ABOC.

.EGCGp1nEGm

COBO48

EG=-in.

2

在△CPE中，

CP=CE,CGLPE,

：.PG=EG=-m.

2

PD=PG+DG=-m+4,

2

.1,3.1.

422

解得g=4,嗎=0（舍去），

..,機(jī)=4.

I3

當(dāng)帆=4時(shí)，y=———加+4=6.

“42

；.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(4,6).

(3)

解：存在；〃?的值為4或2石-2.

分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)F在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，如下圖所示，過(guò)點(diǎn)P作直線尸”，》軸于點(diǎn)H,

:過(guò)點(diǎn)P作直線/〃AC,交y軸于點(diǎn)凡

??.PF//AC,

：.4CO=/PFH,

tanZACO-tan/PFH,

.AOHPniI2m

OCHF4HF

/.HF=2m,

i3

OH=PD=一一機(jī)2+—"?+4,

42

/.OF=HF-OH=2m-\--m2^-m-4,

I42)42

由(2)知，EG=-m.

2

根據(jù)勾股定理，在一CGE中，CE2=CG2+GE2,

在4尸?！?中，F(xiàn)D2=OF2+OD\

當(dāng)CE=在。時(shí)，CG2+GE2=OF2+OD2，

?：CG=OD=m,

EG=OF,

.1121(

242

解得"2=4或6=-4,

???點(diǎn)P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

工"7=4;

113

同理可得，EG=OF,EG=—m,HF=2m,OH=PD=一一w2+-/n+4,

242

i3ii

OF=OH-HF=——trr+一加+4-2機(jī)=——nr——〃z+4

4242

.1114

..—m=——tn2——機(jī)+4,

242

解得m-2石-2或，"=-2后-2，

?..點(diǎn)P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

Am=2y[5-2;

綜上，〃?的值為4或26-2

【點(diǎn)睛】

本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、等腰三角形、矩形、勾股定理、相

似三角形等知識(shí)點(diǎn)，第三問(wèn)難度較大，需要分情況討論，畫(huà)出大致圖形，用含根的代數(shù)式

表示出OF是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?四川宜賓）如圖，拋物線），="+法+。與x軸交于4（3,0）、3（-1,0）兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)C（0,3）,其頂點(diǎn)為點(diǎn)D連結(jié)AC

（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上取一點(diǎn)E,點(diǎn)F為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，使得以點(diǎn)A、C、E、尸為頂點(diǎn)、

AC為邊的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，將點(diǎn)。向下平移5個(gè)單位得到點(diǎn)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，

3

求的最小值.

【答案】（l）y=-x2+2x+3,頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1,4）

⑵產(chǎn)（-2,-5）或尸（4,-5）

嗚

【解析】

【分析】

（1）用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式，再化成頂點(diǎn)式即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）先用待定系數(shù)法求宜線4c解析式為y=-x+3,再過(guò)點(diǎn)F作尸GLOE于點(diǎn)G,證

△CMC^AGFE,得0A=GF=3,設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為(，%-加2+2〃?+3),則G點(diǎn)的坐標(biāo)為

(1,一＞+2帆+3),所以FG=M-1|=3,即可求出加=—2或加=4,從而求得點(diǎn)尸坐標(biāo)；

(3),是平移得得點(diǎn)M的坐標(biāo)為。,一1),貝聯(lián)2)知點(diǎn)耳(4,-5)與點(diǎn)月(-2,-5)關(guān)于對(duì)稱軸x=l

對(duì)稱，連結(jié)￡8,對(duì)稱軸于點(diǎn)H,連結(jié)耳M、&M,過(guò)點(diǎn)外作用N,6M于點(diǎn)N,交對(duì)稱

軸于點(diǎn)P,則MW=4,"￡=3,MF,=5.在RfMHFt中，sinZHMFt==],則在向MPN

lYlr}J

PN333

中，sinZHMF1=——=-,所以PN=2PM,所以PF+—PM=/￥；+PN=6N為最小值,

PM555

|1?43

根據(jù)?鳥(niǎo)N，所以外N=y，即可求出P尸+：PM.

(1)

解：:拋物線廣哀+法+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0),B(-1,O),C(0,3),

9〃+3b+3=0a=-\

；.<〃-力+3=0,解得:<h=2,

c=3c=3

拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,

???頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,4)；

(2)

解：設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b,

把點(diǎn)A(3,0),C(0,3)代入得：k=-l,6=3,

直線4c解析式為：y=-x+3,

過(guò)點(diǎn)F作FG_LOE于點(diǎn)G,

?..以A、C、瓜尸四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為邊的平行四邊形,

AC//EF,AC=EF,

又?.?OAFG,

???ZOAC=ZGFE

:.△QACdGFE,

???OA=GF=3,

設(shè)F點(diǎn)、的坐標(biāo)為(m,-nr+2m+3),

則G點(diǎn)的坐標(biāo)為(L—利2+2加+3),

??.FG=|/n-l|=3,

.,.，〃=-2或帆=4,當(dāng)zn=-2時(shí)，-病+2"?+3=-5,

/.耳(_2,-5),

當(dāng)，〃=4時(shí)，+2m+3=-5

二^(4,-5),

...尸(-2,-5)或尸(4,一5)：

(3)

解：由題意，得點(diǎn)例的坐標(biāo)為

由題意知：點(diǎn)耳(4,-5)與點(diǎn)鳥(niǎo)(-2,-5)關(guān)于對(duì)稱軸x=1對(duì)稱，

連結(jié)”入，對(duì)稱軸于點(diǎn)“，連結(jié)耳M、F2M,過(guò)點(diǎn)心作居于點(diǎn)N,交對(duì)稱軸于點(diǎn)

在RfMHK中，sinZ.HMF}=,則在RrA/PN中，sinZHMFt==-

MF[5PM5

3

PN=qPM,

又?:PF[=PF、

3

/.PF+^PM=PF、+PN=F?N為最小值，

又；s△好=Jx6x4=gx5書(shū)N,

F[Nq,

324

求得+的最小值為

【點(diǎn)睛】

本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角

形，利用軸對(duì)稱求最小值，本題屬二次函數(shù)綜合題目，掌握二交次函數(shù)圖象性質(zhì)和靈活運(yùn)用

是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?湖北恩施）在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=-f+c與軸交于點(diǎn)

P（0,4）.

⑴直接寫(xiě)出拋物線的解析式.

（2）如圖，將拋物線），=-d+c向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，記平移后的拋物線頂點(diǎn)為Q,平移后

的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.判斷以8、C、Q

三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是否為直角三角形，并說(shuō)明理由.

（3）直線8c與拋物線y=-x2+c交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在點(diǎn)M的右側(cè)），請(qǐng)?zhí)骄吭趚軸上是

否存在點(diǎn)T,使得以8、N、T三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與3ABe相似，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)T的坐

標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（4）若將拋物線丫=-產(chǎn)+。進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠揭?，?dāng)平移后的拋物線與直線BC最多只有一個(gè)公共

點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線y=-/+c平移的最短距離并求出此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】（l）y=-x?+4

（2）以8、C、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，理由見(jiàn)解析

哼九]或T

⑶存在，T

4''

7

(4)最短距離為述，平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為自?)

8188；

【分析】(1)待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；

(2)分別求得8、C、。的坐標(biāo)，勾股定理的逆定理驗(yàn)證即可求解；

(3)由NCB4=NNB7,故分兩種情況討論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定即可求解；

(4)如圖，作/〃BC且與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，交軸于點(diǎn)￡),過(guò)點(diǎn)C作CE，/于點(diǎn)E,

則.DEC是等腰直角三角形，作EFLOC于尸，進(jìn)而求得直線/與BC的距離，即為所求最

短距離，進(jìn)而求得平移方式，將頂點(diǎn)坐標(biāo)平移即可求解.

(1)

解：：拋物線y=-X?+c與y軸交于點(diǎn)P(0,4)

Ac=4

???拋物線解析式為y=-d+4

(2)

以8、C,。三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，理由如下：

y=-x2+4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為尸(0,4)

依題意得，＜2(-1,4)

平移后的拋物線解析式為y=-(x+爐+4

令y=0,解-(x+l『+4=0

得%=-3,X2=1

.-.A(l,0),8(-3,0)

令x=0,則y=3,即C(0,3)

BC2=32+32=18,CQ2=F+F=2,0B2=(-3+l)2+42=2O

BC2+CQ2=QB2

.,?以8、C、。三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形

(3)

存在，7伊|*或7｛主戈o],理由如下，

3(-3,0),C(0,3),

:.OB=OC=3

08C是等腰直角三角形

設(shè)直線3c的解析式為)，=代+人，

-3k+b=0

則

b=3

k=l

解得

h=3

?,?直線8c的解析式為y=x+3,

y=x+3

聯(lián)立

y=-x2+4

-1+A/5

x

i=2

解得，

5+x/5

K=2

'-1+非5+非'

:.N

-2-'2

A（l,0）,5（—3,0）,C（0,3）,O8C是等腰直角三角形

AB=4,BC=y/2OB=3y/2

設(shè)直線AC的解析式為y=w+〃，

[〃2+〃=0

[n=3

[m=-3

,,1九=3

???直線AC的解析式為y=-3x+3

設(shè)NT的解析式為y=-3x+t,由NT過(guò)點(diǎn)N

行5+石+痂

則——=-3———+t

22

解得f=2石+1

?1.W的解析式為y=-3x+2石+1,

令y=0

解得工=西土1

3

，*3+組=1^

33

jBNTsdBCA,

.BTBN

10+2石

—JN

43>/2

□z5V2tVio

22

②當(dāng)一切VTs_54c時(shí)，則空=型

BCBA

5V2Vio

即BT.一十〒

30-4

^Wsr=—+—

44

OB=3

綜上所述，7｛竺±Lo］或7｛三正,0

I3JI4J

(4)

如圖，作/〃8C,交V軸于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)C作CE，/于點(diǎn)E,則;DEC是等腰直角三角形,

作EF±DCT-F

直線8c的解析式為y=X+3

設(shè)與BC平行的且與y=-丁+4只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線/解析式為y=x+b

…y=-x2+4

y=x+b

整理得：x2+x+b-4=0

則△=f_4（b-4）=0

17

解得b

4

，直線/的解析式為y=x+=17

4

.-.C￡）=--3=-,EF=FC=-CD=-

4428

…，V255&

1.CE=——CD=——x—=-----

2248

即拋物線y=-V+c平移的最短距離為竿，方向?yàn)镋C方向

P（0,4）

，把點(diǎn)P先向右平移EF的長(zhǎng)度，再向下平移FC的長(zhǎng)度即得到平移后的坐標(biāo)

???平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（|，4-1）,即（W

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合，考查了相似三角形的性質(zhì)，求：次函數(shù)與一次函數(shù)解析式，

二次函數(shù)圖象的平移，勾股定理的逆定理，正確的添加輔助線以及正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

6.（2022?廣西玉林）如圖，已知拋物線：y=-2f+灰+c與x軸交于點(diǎn)A,B（2,0）（A在8

的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸是直線x=g,P是第一象限內(nèi)拋物線上的任一點(diǎn).

備用圖

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)。為線段0C的中點(diǎn)，貝IJ_P8能否是等邊三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)過(guò)點(diǎn)P作無(wú)軸的垂線與線段BC交于點(diǎn)垂足為點(diǎn)H,若以P,M,C為頂點(diǎn)的三角形

與相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】⑴y=-2f+2x+4

(2)不能，理由過(guò)程見(jiàn)詳解

(3)(1,4)或者弓3三35)

48

【分析】(1)根據(jù)拋物線對(duì)稱軸即可求出b,再根據(jù)拋物線過(guò)8點(diǎn)即可求出C,則問(wèn)題得解；

(2)假設(shè)APO。是等邊三角形，過(guò)P點(diǎn)作PNLO力于N點(diǎn)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求

出尸點(diǎn)坐標(biāo)，再驗(yàn)證P點(diǎn)是否在拋物線上即可求證；

(3)先根據(jù)尸/7,8。，求得NMHB=90。，根據(jù)(2)中的結(jié)果求得0C=4,根據(jù)8點(diǎn)(2,0),

可得OB=2,則有tan/C8O=2,分類討論：第一種情況：ABMHSRMP,即可得PC〃OB,

即尸點(diǎn)縱坐標(biāo)等于C點(diǎn)縱坐標(biāo)則可求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(14)；第二種情況:ABMHsAPMC,

過(guò)P點(diǎn)作PGJ_y軸于點(diǎn)G,先證明NGC尸=N08C,即有tan/GCP=2,即有2GC=GP,設(shè)

GP=a,則GC=；a,即可得P//=OG=；a+4,則有尸點(diǎn)坐標(biāo)為3,；a+4),代入到拋物線即

可求出。值，則此時(shí)尸點(diǎn)坐標(biāo)可求.

(1)

Vy=-2x2+bx+c的對(duì)稱軸為x='，

2

b1

?--271=2)=2'即"

Vy=-2/+bx+c過(guò)8點(diǎn)(2,0),

—2x22+/?x2+c=0,

，結(jié)合b=2可得c-4,

2

即拋物線解析式為：y=-2x+2x+4:

(2)

△POD不可能是等邊三角形，

理由如下：

假設(shè)AP。。是等邊三角形，過(guò)P點(diǎn)作于N點(diǎn)，如圖,

?.,當(dāng)E)時(shí)，y=-2x2+2x+4=4,

，C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4),

OC=4,

?.?。點(diǎn)是OC的中點(diǎn)，

...00=2,

?.,在等邊△PO￡>中，PNLOD,

:.DN=NO=gDO=\,

?.?在等邊APO。中，NNOP=60°,

：.在RmNOP中，NP=NOxtanZNOP=1xtan60°=G,

點(diǎn)坐標(biāo)為

經(jīng)驗(yàn)證尸點(diǎn)不在拋物線上，

故假設(shè)不成立，

BPAPOD不可能是等邊三角形；

(3)

'：PHA.BO,

：./M”B=90°,

根據(jù)(2)中的結(jié)果可知C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4),

即OC=4,

???8點(diǎn)(2,0),

:.08=2,

tanZCBO=2,

分類討論

第一種情況：2BMHs4cMP,

：.ZMHB=ZMPC=90°,

：.PC//OB.

???即0點(diǎn)縱坐標(biāo)等于C點(diǎn)縱坐標(biāo)，也為4,

肖產(chǎn)4時(shí)，-2x2+2x+4=4,

解得：尸1或者0,

???P點(diǎn)在第一象限，

???此時(shí)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),

第二種情況：ABMHSMMC,

?:/XBMHs叢PMC,

JNMHB=NMCP=900,

???ZGCP+ZOCB=90°,

:ZOCB+ZOBC=90°,

:.ZGCP=ZOBCf

.'.tanZGCP=tanZOBC=2,

VPG1OG,

???在心"GC中，2GC=GP,

設(shè)GP=a,

：.GC=-a,

2

GO——ci+0C=—ci+4,

22

VPG10G,PHLOH,

???可知四邊形PG?！笔蔷匦?

PH-OG——a+4,

2

***P點(diǎn)坐標(biāo)為(4,]〃+4),

17

**.—Q+4=—2。'4~2a+4,

2

3

解得：4二:或者0,

4

???p點(diǎn)在第一象限，

此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（33,邛35）；

48

ABMH與&PCM中，有NBMH=/PMC恒相等，

.'.△PCM中，當(dāng)NCPM為直角時(shí)，若NPCM=NBMH,則可證是等腰直角三角形，

通過(guò)相似可知48仞H也是等腰直角三角形，這與tan/C8（A2相矛盾，故不存在當(dāng)/CPM

為直角時(shí)，相等的情況；

同理不存在當(dāng)NPCM為直角時(shí)，NCPM=N8M”相等的情況，

綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為：（1,4）或者（三3,3=5）.

48

【點(diǎn)睛】本題考查了求解拋物線解析式、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、等邊三角形的判定、相似

三角形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

7.（2022?廣西）已知拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）.

y

(1)求點(diǎn)A,點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)A的直線/：y=-x-l與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為C,點(diǎn)尸為拋物線對(duì)稱軸上的

一點(diǎn)，連接上4、PC,設(shè)點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為機(jī)，當(dāng)E4=PC時(shí)，求，〃的值；

(3)將線段AB先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段若拋物

線>=。(--+2》+3)3#0)與線段皿只有一個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)喜談寫(xiě)出a的取值范圍.

【答案】(1)A(-1,0),B(3,0)

⑵-3

(3)a=-s￡x<-ls!cx>-

43

【分析】(1)令》=0,由拋物線解析式可得Mx-3)(x+l)=O,解方程即可確定點(diǎn)A,點(diǎn)8

的坐標(biāo)；

(2)由拋物線解析式確定其對(duì)稱軸為x=l,可知點(diǎn)P(l,〃?)，再將直線/與拋物線解析式

聯(lián)立，解方程組可確定點(diǎn)C坐標(biāo)，由%=尸8列方程求解即可；

(3)根據(jù)題意先確定點(diǎn)M(0,5)、N(4,5),令>=4(-/+2》+3)=5,整理可得

590

X2-2X+(--3)=0,根據(jù)一元二次方程的根的判別式為可知△=16-3,然后分情況討論

aa

△=0時(shí)以及A>0結(jié)合圖像分析a的取值范圍.

(1)

解：拋物線解析式/=-/+2》+3=-。-3)(》+1),令y=0,

可得一(x-3)(x+l)=0,

解得為=-1,々=3,

故點(diǎn)A、3的坐標(biāo)分別為A(-1,0),B(3,0)；

(2)

2

對(duì)于拋物線y=-y+2x+3,其對(duì)稱軸為x=-丁丁不'=1,

2x(-1)

???點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m,

：.P(Lm),

將直線/與拋物線解析式聯(lián)立，可得

[y--x2+2x+3=Tfx=4

V,,可解得〈A或〈

[y=-x-l[y=0[y=_

故點(diǎn)C坐標(biāo)為(4,-5),

PA=7ll-(-l)]2+w2=，加2+4,

PB="(4—I))+(—5—㈤2=,病+10帆+34,

當(dāng)小=P8時(shí)，BlW/M2+4=w2+10m+34.

解得m=-3；

(3)

將線段A8先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到線段MN,

結(jié)合(]),可知M(0,5)、N(4,5),

令y=a(-x2+2x+3)=5,整理可得f-2x+(*-3)=0,

a

570

其判別式為△=(-2)2—4X1X(——3)=16--,

aa

205

①當(dāng)A=16--=0時(shí)，解得。=:，此時(shí)拋物線丁=〃(—工2+2%+3)("0)與線段MN只有一

a4

個(gè)交點(diǎn)；

20S

②當(dāng)A=16——>0即時(shí)，解方程/一2工+(一—3)=0,

若。>0時(shí)，如圖1,

205

由A=16--->0,可解得〃〉;，

a4

此時(shí)有1+」4-』44,JE1-J4--<0,

vaVa

解得北|；

②當(dāng)"0時(shí)，如圖2,

由△=16-201>0,可解得。<0,

此時(shí)有1+小4-：44,且1一

解得X4—1；

綜上所述，當(dāng)拋物線y=a(-/+2x+3)(aw0)與線段MN只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍為

a=?或x4-1或x2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括求二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)、利用二次函

數(shù)解決圖形問(wèn)題等知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想分析問(wèn)題.

8.(2022?福建)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=a?+法經(jīng)過(guò)A(4,0),B(1,

4)兩點(diǎn).P是拋物線上一點(diǎn)，且在直線A8的上方.

(1)求拋物線的解析式；(2)若△OAB面積是△物8面積的2倍，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)如圖，0P交AB于點(diǎn)、C,PD〃B0交AB于點(diǎn)D.記△CDP,&CPB,△C80的面積分別

為，，S”S?判斷苓+苓是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

口2%

由.

【答案】(1)〉=-號(hào)*2+號(hào)x

⑵存在，(吟)或(3,4)

9

(3)存在,-

O

【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解；

⑵待定系數(shù)法求得直線A8的解析式為y=-；4x+916,過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為例，

PM交AB于點(diǎn)M過(guò)點(diǎn)B作BEUM,垂足為E.可得，》=%>岫+&哂=7N,設(shè)

尸刎之+號(hào)〃力(]<a<4),則+號(hào)).由吶:卜刎②+號(hào)利卜卜加+號(hào)卜號(hào)

解方程求得加的值，進(jìn)而即可求解；

(3)由已知條件可得AQ8CS_PDC,進(jìn)而可得自+[=珠+黑=粵，過(guò)點(diǎn)8,P分別

與萬(wàn)。C7COB

作X軸的垂線，垂足分別￡￡,PE交AB于點(diǎn)、2,過(guò)。作X的平行線，交PE于點(diǎn)G,可得

設(shè)尸(見(jiàn)一件〃?2+號(hào)可(1<m<

DPGSQBF,4),

,H,,,PDOGi俎”,”,,,,,,S,5,CDqPC、DGif5丫9,,,

根據(jù)7^7=777■可得4〃=?？—/?+4，Y-+'c-=_RF+TTF=—m—"("一，根

OBOFS2邑BCOCOF2(2)8

據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求的最大值.

(1)

解：(1)將A(4,0),B(1,4)代入y=aP+灰，

16。+4。=0

得

a+b=4

4

解得

所以拋物線的解析式為y=-#+等.

(2)

設(shè)直線AB的解析式為)，="+/(《#0),

將A(4,0),B(1,4)代入y=Ax+r,

解得“

1c

t=—

3

所以直線AB的解析式為y=-^4x+1y6.

過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為M,PM交AB于點(diǎn)、N.

過(guò)點(diǎn)8作BE_LPM,垂足為區(qū)

所以工.=S4PNB+S2PNA

=』PNXBE+!PNXAM

22

=3PNX(BE+AM)

=￥N.

因?yàn)锳(4,0),B(1,4),所以S&o"=gx4x4=8.

因?yàn)椤?48的面積是△附B面積的2倍，

所以2x?PN=8,PN=1.

設(shè)尸(見(jiàn)-刎2+號(hào)〃0?！礄C(jī)＜4),則M〃?,-刎+號(hào)).

所以取1-和。+學(xué)+卜刎+號(hào))/，

即一料+冬時(shí)號(hào)哈

解得町=2,m2=3.

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為0，果或(3,4).

(3)

PD//BO

OBCsPDC

.CDPDPC

,~BC~~OB~~dc

記△CDP,ACPB,ZkCBO的面積分別為S],S2,S3.則決+3二

d2d3oC(7COB

如圖，過(guò)點(diǎn)用P分別作X軸的垂線，垂足分別尸,E,PE交AB于點(diǎn)。，過(guò)。作X的平行線,

交.PET點(diǎn)、G

B（l,4）,

飛，0）

OF=i

PD〃OB,DG〃OF

:「DPGs一OBF

.PDPGDG

''OB~~BF~~OF'

設(shè)0（機(jī),一告〃?2+與〃"（1<根<4）

.直線AB的解析式為y=-^4x+1y6.

設(shè)0（%-盤(pán)2+號(hào)），則+g

16

3333

m2—4〃2—〃+4）

DG=m-n

—（irr—4m—71+4）

3______________m-n

4~1

整理得4〃=m2一機(jī)+4

.5?S?CDPCJPD

,S2S、-BCOC~OB

=2變

OF

5YYQ

時(shí)，u+售取得最大值，最大值為9

2%Ao

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求解析式，面積問(wèn)題，相似三角形的性質(zhì)與

判定，第三問(wèn)中轉(zhuǎn)化為線段的比是解題的關(guān)鍵.

9.(2022?貴州黔東南)如圖，拋物線丫=以2+2尤+,?的對(duì)稱軸是直線x=l,與x軸交于點(diǎn)A,

8(3,0),與y軸交于點(diǎn)C,連接AC.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)已知點(diǎn)。是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。軸，垂足為點(diǎn)M,DM交

直線8c于點(diǎn)N,是否存在這樣的點(diǎn)N,使得以A,C,N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.若

存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)已知點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F,使以點(diǎn)8、C、E、F為

頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(l)y=-y+2x+3

(2)存在這樣的點(diǎn)N(2,1)或(石，-6+3)或使得以A,C,N為頂點(diǎn)的三角形

是等腰三角形

(3)存在點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(4,1)或(-2,1)或黠

【分析】(1)根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸是直線X=l，可得”-1,再把點(diǎn)8(3,0)代入，即可求解；

(2)先求出4c②=10,設(shè)點(diǎn)N(即+3)，可得4V2=2m2-4w+10.CN2=2n^,

再分三種情況討論：當(dāng)4c=AN時(shí)，當(dāng)AC