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專題22與二次函數(shù)相關(guān)的壓軸題
解答題
1.(2022?湖北鄂州)某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫(huà)板》軟件探究),=如2(“>())型拋物線
圖象.發(fā)現(xiàn):如圖1所示,該類型圖象上任意一點(diǎn)M到定點(diǎn)F(0,,-)的距離MF,始
終等于它到定直線/:y=-1上的距離MN(該結(jié)論不需要證明),他們稱:定點(diǎn)尸為圖象
4a
的焦點(diǎn),定直線/為圖象的準(zhǔn)線,y=-《叫做拋物線的準(zhǔn)線方程.其中原點(diǎn)。為尸”的中
4(7
點(diǎn),F(xiàn)H=2OF=例如,拋物線其焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸(0,1),準(zhǔn)線方程為/:y=
2/7NN
(1)【基礎(chǔ)訓(xùn)練】請(qǐng)分別直接寫(xiě)出拋物線y=2r2的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線/的方程:
⑵【技能訓(xùn)練】如圖2所示,己知拋物線上一點(diǎn)p到準(zhǔn)線/的距離為6,求點(diǎn)P的
O
坐標(biāo);
(3)【能力提升】如圖3所示,已知過(guò)拋物線>=辦2(a>0)的焦點(diǎn)廠的直線依次交拋物線
及準(zhǔn)線/于點(diǎn)A、B、C.若BC=2BF,AF=4,求。的值;
(4)【拓展升華】古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí),提出了分線段的“中末比”
問(wèn)題:點(diǎn)C將一條線段AB分為兩段AC和CB,使得其中較長(zhǎng)一段AC是全線段與另一
段CB的比例中項(xiàng),即滿足:空=%=或二1.后人把叵口這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割”把
ABAC22
點(diǎn)C稱為線段AB的黃金分割點(diǎn).
如圖4所示,拋物線/的焦點(diǎn)尸(0,1),準(zhǔn)線/與y軸交于點(diǎn)H(0,-1),E為線段
“尸的黃金分割點(diǎn),點(diǎn)M為y軸左側(cè)的拋物線上一點(diǎn).當(dāng)粵=夜時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出
MF
的面積值.
【答案】⑴(o,:),y=~Q?
OO
(2)4應(yīng),4)或(-4萬(wàn),4)
⑶〃=J
4
(4)5/5-1或3-yf5
【分析】(1)根據(jù)交點(diǎn)和準(zhǔn)線方程的定義求解即可;
(2)先求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4,然后代入到拋物線解析式中求解即可;
(3)如圖所示,過(guò)點(diǎn)B作BOLy軸于。,過(guò)點(diǎn)A作AE_L),軸于E,證明
推出ED=J-,則8=OF-D歹=3,點(diǎn)3的縱坐標(biāo)為』一,從而求出8。=正,證明
“EFSRBDF,即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-26,2+」),再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線解
4a
析式中求解即可;
(4)如圖,當(dāng)E為靠近點(diǎn)尸的黃金分割點(diǎn)的時(shí)候,過(guò)點(diǎn)M作MN,/于M則
先證明△MN”是等腰直角三角形,得到NH=MN,設(shè)點(diǎn)例的坐標(biāo)為("[,/),則
MN=^-m2+l=-m=HN,求出m=一2,然后根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義求出〃£=班-1,則
4
SgME=gHE-NH=書(shū)-1;同理可求當(dāng)點(diǎn)E是靠近”的黃金分割點(diǎn)時(shí)的面積?
(1)
解:由題意得拋物線y=2^的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線/的方程分別為(0,1),丁=-:,
o8
故答案為:(0,:),y-?
00
(2)
解:由題意得拋物線y=的準(zhǔn)線方程為),=-,-=_2,
84a
?.?點(diǎn)P到準(zhǔn)線/的距離為6,
...點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為4,
.?.當(dāng)y=4時(shí),-X2=4,
8
解得x=±4&,
???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4及,4)或(-4a,4);
(3)
解:如圖所示,過(guò)點(diǎn)3作8。_Ly軸于。,過(guò)點(diǎn)A作AEJ_.y軸于七,
由題意得點(diǎn)F的坐標(biāo)為尸(0,3)直線/的解析式為:、'=-;,
4。4。
ABD//AE//CH,FH=—,
2a
,△尸。8s△尸
.BDFDFB
**WC-FW'FCr
?:BC=2BF,
:.CF=3BF,
.BDFDFB_\
:.FD=—,
6a
:.OD=OF-DF=—,
12a
.?.點(diǎn)8的縱坐標(biāo)為二一,
12a
■.?-1--=QX2,
12〃
解得》=且(負(fù)值舍去),
6a
BD=—,
6a
■:AE//BD.
:.XAEFSABOF,
.AEBD6
EFDF
JAE=43EF,
■:AE2+EF2=AF2,
???4EF2=AF2=\6^
:.EF=2,
:.AE=2c,
.1點(diǎn)4的坐標(biāo)為(-26,2+,-),
4a
:.2+—=l2a
4af
*?*48〃~—8?!?=0,
???(12a+l)(4〃-l)=0,
解得(負(fù)值舍去);
4
圖3
(4)
解:如圖,當(dāng)E為靠近點(diǎn)尸的黃金分割點(diǎn)的時(shí)候,過(guò)點(diǎn)M作于N,則MN=MF,
??,在/C中,sinZMH^=—,
MHMH2
???ZMHN=45°,
.,?△MN”是等腰直角三角形,
:?NH=MN,
1.
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(例,~m~),
4
/.MN=-m2+\=-m=HN
4f
/.m=—2?
:?HN=2,
?..點(diǎn)E是靠近點(diǎn)尸的黃金分割點(diǎn),
HE=^^HF=亞-1,
2
???SAHME=gHENH=下7;
同理當(dāng)E時(shí)靠近,的黃金分割點(diǎn)點(diǎn),后尸=避二1〃/7=石-1,
2
”E=2-石+1=3-石,
;?SAHME=;HE.NH=3一小,
綜上所述,S*=26-2或.=3-6
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合,相似三角形的性質(zhì)與判定,解宜角三角形,等腰直
角三角形的性質(zhì)與判定,黃金分割等,正確理解題意是解題的關(guān)鍵.
2.(2022?江蘇無(wú)錫)已知二次函數(shù)y=-L/+〃x+c圖像的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)A(1,0),
4
圖像與y軸交于點(diǎn)8(0,3),C、。為該二次函數(shù)圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)。的左側(cè)),
HZCAD=90.
(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式:(2)若點(diǎn)C與點(diǎn)8重合,求lan/CD4的值;(3)點(diǎn)C是否存在其
他的位置,使得tan/CZM的值與(2)中所求的值相等?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo);若
不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(l)y=-;/+;x+3⑵1⑶(―2,1),(3-717,717-2),(-1-717,-2-717)
【分析】(1)二次函數(shù)與y軸交于點(diǎn)8(0,3),判斷c=3,根據(jù)A(1,O),即二次函數(shù)對(duì)稱軸
為x=l,求出方的值,即可得到二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)證明,ADESOBAO,得至1]也=空,即BODE=04越,設(shè)?!?,一!”+!/+3),
AEDEk427
點(diǎn)。在第一象限,根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)寫(xiě)出長(zhǎng)度,利用3O-DE=Q4?/場(chǎng)求出f的值,即可AE,DE
的值,進(jìn)一步得出tan/CDA的值;
(3)根據(jù)題目要求,找出符合條件的點(diǎn)C的位置,在利用集合圖形的性質(zhì),求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)C
的坐標(biāo)即可。
(I)解:;二次函數(shù)丫=-;/+區(qū)+(;與丫軸交于點(diǎn)8((),3),
1
:?c=3,即y=—x9+bx+3,
V4(1,0),即二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=l,
???二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-%2+?+3.
(2)解:如圖,過(guò)點(diǎn)。作工軸的垂線,垂足為E,連接3D,
VZC4D=90,
ZBAO+ZDAE=9Q,
ZADE+ZDAE=90,
:.ZADE=ZBAO,
???ZBOA=ZDE4=90°,
^ADE^BAO,
,BPBODE=OAAE
AEDEt
???W(),3),A(l,0),
???BO=3,OA=if
設(shè):。1,一;產(chǎn)+夕+3),點(diǎn)。在第一象限,
11
:.OE=t,DE=——/9+T+3,AE=OE-OA=t-l,
42
3x(一:/+;/+3)=lx(/_l),
解得:4=-與(舍),,2=4(舍),
當(dāng)4=4時(shí),y=-^-x42+^x4+3=l,
AE=4—1=3,DE=1,
AD=y]DE2+AE2=JF+32=Tfo,
AB=y]OA2+OB2=712+32=V10
,/在RtVBAD中,
tanNCZM=^=%=1
ADVio
(3)解:存在,
如圖,(2)圖中RtVBAD關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí),tanNCD4=l,
?.,點(diǎn)。的坐標(biāo)為(41),
,此時(shí),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,1),
如圖,當(dāng)點(diǎn)C、。關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí),此時(shí)AC與AO長(zhǎng)度相等,即tanNCft4=l,
過(guò)點(diǎn)C作CE垂直于x軸,垂足為E,
VZCAD=90,點(diǎn)C、。關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,
/.ZC4£=45,
...VC4E為等腰直角三角形,
CE=AE,
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m,-:"/+;機(jī)+3),
1。1
CE=-rn~H—m+3,A.E=1一機(jī),
42
.11…
??——m2+—m+3=1一根
42
解得:町=3-/,=3+717(舍),
此時(shí),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3-折,A/萬(wàn)-2),
過(guò)點(diǎn)C作C/垂直于x軸,垂足為F,
VZCAD=9Q,點(diǎn)C、。關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,
ZCAF=45,
NCAF為等腰宜角三角形,
/.CF^AF,
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為+
CF=-m2—m—3,AE=\—m,
42
1
m2
4-——"7-3=1—〃z
2
解得:叫=_"J萬(wàn)(舍),^=-1-717,
此時(shí),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1一如,-2—折),
綜上:點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3一折,如-2),(-1-717-2-717).
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵.
3.(2022?山西)綜合與探究
13
如圖,二次函數(shù)丫=-1/+5*+4的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y
軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)尸是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為現(xiàn).過(guò)點(diǎn)P
作直線軸于點(diǎn)。,作直線BC交于點(diǎn)E
(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo),并直接寫(xiě)出直線BC的函數(shù)表達(dá)式;
(2)當(dāng)ACEP是以PE為底邊的等腰三角形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)連接AC,過(guò)點(diǎn)P作直線/〃AC,交y軸于點(diǎn)F,連接OF.試探究:在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程
中,是否存在點(diǎn)P,使得C£=ED,若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出”的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】⑴人一2,0),B(8,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4);y=-;x+4
⑵(4,6)
(3)存在;〃?的值為4或2后-2
【解析】
【分析】
13
(1)令y=-[x2+]x+4中)'和X分別為0,即可求出A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系
數(shù)法求直線8c的函數(shù)表達(dá)式;
(2)過(guò)點(diǎn)C作CG,PO于點(diǎn)G,易證四邊形CODG是矩形,推出CG〃08,DG=OC=4,
CG=OD=m,再證明△CGES4BOC,推出EG=gm,由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可
以得出PG=EG=1m,則PD=PG+DG=2m+4,由尸點(diǎn)在拋物線上可得
22
13
尸。=-;療+力w+4,聯(lián)立解出代入二次函數(shù)解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)分點(diǎn)/在y軸的負(fù)半軸上和點(diǎn)F在y軸的正半軸上兩種情況,畫(huà)出大致圖形,當(dāng)CE=ED
時(shí),EG=OF,由(2)知EG=g機(jī),用含的代數(shù)式分別表示出OF,列等式計(jì)算即可.
(1)
1,3
解:由,=-^r+/*+4得,
當(dāng)》=0時(shí)-,y=4,
...點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4).
13
當(dāng)y=0時(shí),——X2+-X+4=0,
42
解得%=-2,X2=8.
:點(diǎn)4在點(diǎn)8的左側(cè),
...點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為A(—2,0),8(8,0).
設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為丫=辰+),
將8(8,0),。(0,4)代入得
k=--
解得2,
Z?=4
直線BC的函數(shù)表達(dá)式為曠=-;工+4.
(2)
解:;點(diǎn)?在第一象限拋物線上,橫坐標(biāo)為小,且PDLx軸于點(diǎn)£),
.,.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(嘰布+4),OD=m,
1°3
PD=——nr+—優(yōu)+4.
42
???點(diǎn)3的坐標(biāo)為(8,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4),
??.O5=8,OC=4.
過(guò)點(diǎn)。作CG,尸。于點(diǎn)G,則NCGD=90。.
■:ZPDO=匕COD=90°,
,四邊形CODG是矩形,
J.CG//OB,DG=OC=4,CG=OD=m.
:.Z1=Z2.
':/CGE=/BOC=90。,
:.ACGE^ABOC.
.EGCGp1nEGm
COBO48
EG=-in.
2
在△CPE中,
CP=CE,CGLPE,
:.PG=EG=-m.
2
PD=PG+DG=-m+4,
2
.1,3.1.
422
解得g=4,嗎=0(舍去),
..,機(jī)=4.
I3
當(dāng)帆=4時(shí),y=———加+4=6.
“42
;.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(4,6).
(3)
解:存在;〃?的值為4或2石-2.
分兩種情況,①當(dāng)點(diǎn)F在y軸的負(fù)半軸上時(shí),如下圖所示,過(guò)點(diǎn)P作直線尸”,》軸于點(diǎn)H,
:過(guò)點(diǎn)P作直線/〃AC,交y軸于點(diǎn)凡
??.PF//AC,
:.4CO=/PFH,
tanZACO-tan/PFH,
.AOHPniI2m
OCHF4HF
/.HF=2m,
i3
OH=PD=一一機(jī)2+—"?+4,
42
/.OF=HF-OH=2m-\--m2^-m-4,
I42)42
由(2)知,EG=-m.
2
根據(jù)勾股定理,在一CGE中,CE2=CG2+GE2,
在4尸?!?中,F(xiàn)D2=OF2+OD\
當(dāng)CE=在。時(shí),CG2+GE2=OF2+OD2,
?:CG=OD=m,
EG=OF,
.1121(
242
解得"2=4或6=-4,
???點(diǎn)P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),
工"7=4;
113
同理可得,EG=OF,EG=—m,HF=2m,OH=PD=一一w2+-/n+4,
242
i3ii
OF=OH-HF=——trr+一加+4-2機(jī)=——nr——〃z+4
4242
.1114
..—m=——tn2——機(jī)+4,
242
解得m-2石-2或,"=-2后-2,
?..點(diǎn)P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),
Am=2y[5-2;
綜上,〃?的值為4或26-2
【點(diǎn)睛】
本題屬于二次函數(shù)綜合題,考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、等腰三角形、矩形、勾股定理、相
似三角形等知識(shí)點(diǎn),第三問(wèn)難度較大,需要分情況討論,畫(huà)出大致圖形,用含根的代數(shù)式
表示出OF是解題的關(guān)鍵.
4.(2022?四川宜賓)如圖,拋物線),="+法+。與x軸交于4(3,0)、3(-1,0)兩點(diǎn),與y
軸交于點(diǎn)C(0,3),其頂點(diǎn)為點(diǎn)D連結(jié)AC
(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上取一點(diǎn)E,點(diǎn)F為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),使得以點(diǎn)A、C、E、尸為頂點(diǎn)、
AC為邊的四邊形為平行四邊形,求點(diǎn)尸的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,將點(diǎn)。向下平移5個(gè)單位得到點(diǎn)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),
3
求的最小值.
【答案】(l)y=-x2+2x+3,頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,4)
⑵產(chǎn)(-2,-5)或尸(4,-5)
嗚
【解析】
【分析】
(1)用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式,再化成頂點(diǎn)式即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)先用待定系數(shù)法求宜線4c解析式為y=-x+3,再過(guò)點(diǎn)F作尸GLOE于點(diǎn)G,證
△CMC^AGFE,得0A=GF=3,設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為(,%-加2+2〃?+3),則G點(diǎn)的坐標(biāo)為
(1,一>+2帆+3),所以FG=M-1|=3,即可求出加=—2或加=4,從而求得點(diǎn)尸坐標(biāo);
(3),是平移得得點(diǎn)M的坐標(biāo)為。,一1),貝聯(lián)2)知點(diǎn)耳(4,-5)與點(diǎn)月(-2,-5)關(guān)于對(duì)稱軸x=l
對(duì)稱,連結(jié)£8,對(duì)稱軸于點(diǎn)H,連結(jié)耳M、&M,過(guò)點(diǎn)外作用N,6M于點(diǎn)N,交對(duì)稱
軸于點(diǎn)P,則MW=4,"£=3,MF,=5.在RfMHFt中,sinZHMFt==],則在向MPN
lYlr}J
PN333
中,sinZHMF1=——=-,所以PN=2PM,所以PF+—PM=/¥;+PN=6N為最小值,
PM555
|1?43
根據(jù)?鳥(niǎo)N,所以外N=y,即可求出P尸+:PM.
(1)
解::拋物線廣哀+法+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0),B(-1,O),C(0,3),
9〃+3b+3=0a=-\
;.<〃-力+3=0,解得:<h=2,
c=3c=3
拋物線的解析式為:y=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,
???頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,4);
(2)
解:設(shè)直線AC的解析式為:y=kx+b,
把點(diǎn)A(3,0),C(0,3)代入得:k=-l,6=3,
直線4c解析式為:y=-x+3,
過(guò)點(diǎn)F作FG_LOE于點(diǎn)G,
?..以A、C、瓜尸四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為邊的平行四邊形,
AC//EF,AC=EF,
又?.?OAFG,
???ZOAC=ZGFE
:.△QACdGFE,
???OA=GF=3,
設(shè)F點(diǎn)、的坐標(biāo)為(m,-nr+2m+3),
則G點(diǎn)的坐標(biāo)為(L—利2+2加+3),
??.FG=|/n-l|=3,
.,.,〃=-2或帆=4,當(dāng)zn=-2時(shí),-病+2"?+3=-5,
/.耳(_2,-5),
當(dāng),〃=4時(shí),+2m+3=-5
二^(4,-5),
...尸(-2,-5)或尸(4,一5):
(3)
解:由題意,得點(diǎn)例的坐標(biāo)為
由題意知:點(diǎn)耳(4,-5)與點(diǎn)鳥(niǎo)(-2,-5)關(guān)于對(duì)稱軸x=1對(duì)稱,
連結(jié)”入,對(duì)稱軸于點(diǎn)“,連結(jié)耳M、F2M,過(guò)點(diǎn)心作居于點(diǎn)N,交對(duì)稱軸于點(diǎn)
在RfMHK中,sinZ.HMF}=,則在RrA/PN中,sinZHMFt==-
MF[5PM5
3
PN=qPM,
又?:PF[=PF、
3
/.PF+^PM=PF、+PN=F?N為最小值,
又;s△好=Jx6x4=gx5書(shū)N,
F[Nq,
324
求得+的最小值為
【點(diǎn)睛】
本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,二次函數(shù)圖象性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),解直角三角
形,利用軸對(duì)稱求最小值,本題屬二次函數(shù)綜合題目,掌握二交次函數(shù)圖象性質(zhì)和靈活運(yùn)用
是解題的關(guān)鍵.
5.(2022?湖北恩施)在平面直角坐標(biāo)系中,。為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線y=-f+c與軸交于點(diǎn)
P(0,4).
⑴直接寫(xiě)出拋物線的解析式.
(2)如圖,將拋物線),=-d+c向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,記平移后的拋物線頂點(diǎn)為Q,平移后
的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的右側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.判斷以8、C、Q
三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是否為直角三角形,并說(shuō)明理由.
(3)直線8c與拋物線y=-x2+c交于M、N兩點(diǎn)(點(diǎn)N在點(diǎn)M的右側(cè)),請(qǐng)?zhí)骄吭趚軸上是
否存在點(diǎn)T,使得以8、N、T三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與3ABe相似,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)T的坐
標(biāo):若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(4)若將拋物線丫=-產(chǎn)+。進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠揭?,?dāng)平移后的拋物線與直線BC最多只有一個(gè)公共
點(diǎn)時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線y=-/+c平移的最短距離并求出此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(l)y=-x?+4
(2)以8、C、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形,理由見(jiàn)解析
哼九]或T
⑶存在,T
4''
7
(4)最短距離為述,平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為自?)
8188;
【分析】(1)待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;
(2)分別求得8、C、。的坐標(biāo),勾股定理的逆定理驗(yàn)證即可求解;
(3)由NCB4=NNB7,故分兩種情況討論,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定即可求解;
(4)如圖,作/〃BC且與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn),交軸于點(diǎn)£),過(guò)點(diǎn)C作CE,/于點(diǎn)E,
則.DEC是等腰直角三角形,作EFLOC于尸,進(jìn)而求得直線/與BC的距離,即為所求最
短距離,進(jìn)而求得平移方式,將頂點(diǎn)坐標(biāo)平移即可求解.
(1)
解::拋物線y=-X?+c與y軸交于點(diǎn)P(0,4)
Ac=4
???拋物線解析式為y=-d+4
(2)
以8、C,。三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形,理由如下:
y=-x2+4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為尸(0,4)
依題意得,<2(-1,4)
平移后的拋物線解析式為y=-(x+爐+4
令y=0,解-(x+l『+4=0
得%=-3,X2=1
.-.A(l,0),8(-3,0)
令x=0,則y=3,即C(0,3)
BC2=32+32=18,CQ2=F+F=2,0B2=(-3+l)2+42=2O
BC2+CQ2=QB2
.,?以8、C、。三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形
(3)
存在,7伊|*或7{主戈o],理由如下,
3(-3,0),C(0,3),
:.OB=OC=3
08C是等腰直角三角形
設(shè)直線3c的解析式為),=代+人,
-3k+b=0
則
b=3
k=l
解得
h=3
?,?直線8c的解析式為y=x+3,
y=x+3
聯(lián)立
y=-x2+4
-1+A/5
x
i=2
解得,
5+x/5
K=2
'-1+非5+非'
:.N
-2-'2
A(l,0),5(—3,0),C(0,3),O8C是等腰直角三角形
AB=4,BC=y/2OB=3y/2
設(shè)直線AC的解析式為y=w+〃,
[〃2+〃=0
[n=3
[m=-3
,,1九=3
???直線AC的解析式為y=-3x+3
設(shè)NT的解析式為y=-3x+t,由NT過(guò)點(diǎn)N
行5+石+痂
則——=-3———+t
22
解得f=2石+1
?1.W的解析式為y=-3x+2石+1,
令y=0
解得工=西土1
3
,*3+組=1^
33
jBNTsdBCA,
.BTBN
10+2石
—JN
43>/2
□z5V2tVio
22
②當(dāng)一切VTs_54c時(shí),則空=型
BCBA
5V2Vio
即BT.一十〒
30-4
^Wsr=—+—
44
OB=3
綜上所述,7{竺±Lo]或7{三正,0
I3JI4J
(4)
如圖,作/〃8C,交V軸于點(diǎn)。,過(guò)點(diǎn)C作CE,/于點(diǎn)E,則;DEC是等腰直角三角形,
作EF±DCT-F
直線8c的解析式為y=X+3
設(shè)與BC平行的且與y=-丁+4只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線/解析式為y=x+b
…y=-x2+4
y=x+b
整理得:x2+x+b-4=0
則△=f_4(b-4)=0
17
解得b
4
,直線/的解析式為y=x+=17
4
.-.C£)=--3=-,EF=FC=-CD=-
4428
…,V255&
1.CE=——CD=——x—=-----
2248
即拋物線y=-V+c平移的最短距離為竿,方向?yàn)镋C方向
P(0,4)
,把點(diǎn)P先向右平移EF的長(zhǎng)度,再向下平移FC的長(zhǎng)度即得到平移后的坐標(biāo)
???平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(|,4-1),即(W
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合,考查了相似三角形的性質(zhì),求:次函數(shù)與一次函數(shù)解析式,
二次函數(shù)圖象的平移,勾股定理的逆定理,正確的添加輔助線以及正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.
6.(2022?廣西玉林)如圖,已知拋物線:y=-2f+灰+c與x軸交于點(diǎn)A,B(2,0)(A在8
的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸是直線x=g,P是第一象限內(nèi)拋物線上的任一點(diǎn).
備用圖
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)。為線段0C的中點(diǎn),貝IJ_P8能否是等邊三角形?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)過(guò)點(diǎn)P作無(wú)軸的垂線與線段BC交于點(diǎn)垂足為點(diǎn)H,若以P,M,C為頂點(diǎn)的三角形
與相似,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】⑴y=-2f+2x+4
(2)不能,理由過(guò)程見(jiàn)詳解
(3)(1,4)或者弓3三35)
48
【分析】(1)根據(jù)拋物線對(duì)稱軸即可求出b,再根據(jù)拋物線過(guò)8點(diǎn)即可求出C,則問(wèn)題得解;
(2)假設(shè)APO。是等邊三角形,過(guò)P點(diǎn)作PNLO力于N點(diǎn),根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求
出尸點(diǎn)坐標(biāo),再驗(yàn)證P點(diǎn)是否在拋物線上即可求證;
(3)先根據(jù)尸/7,8。,求得NMHB=90。,根據(jù)(2)中的結(jié)果求得0C=4,根據(jù)8點(diǎn)(2,0),
可得OB=2,則有tan/C8O=2,分類討論:第一種情況:ABMHSRMP,即可得PC〃OB,
即尸點(diǎn)縱坐標(biāo)等于C點(diǎn)縱坐標(biāo)則可求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(14);第二種情況:ABMHsAPMC,
過(guò)P點(diǎn)作PGJ_y軸于點(diǎn)G,先證明NGC尸=N08C,即有tan/GCP=2,即有2GC=GP,設(shè)
GP=a,則GC=;a,即可得P//=OG=;a+4,則有尸點(diǎn)坐標(biāo)為3,;a+4),代入到拋物線即
可求出。值,則此時(shí)尸點(diǎn)坐標(biāo)可求.
(1)
Vy=-2x2+bx+c的對(duì)稱軸為x=',
2
b1
?--271=2)=2'即"
Vy=-2/+bx+c過(guò)8點(diǎn)(2,0),
—2x22+/?x2+c=0,
,結(jié)合b=2可得c-4,
2
即拋物線解析式為:y=-2x+2x+4:
(2)
△POD不可能是等邊三角形,
理由如下:
假設(shè)AP。。是等邊三角形,過(guò)P點(diǎn)作于N點(diǎn),如圖,
?.,當(dāng)E)時(shí),y=-2x2+2x+4=4,
,C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4),
OC=4,
?.?。點(diǎn)是OC的中點(diǎn),
...00=2,
?.,在等邊△PO£>中,PNLOD,
:.DN=NO=gDO=\,
?.?在等邊APO。中,NNOP=60°,
:.在RmNOP中,NP=NOxtanZNOP=1xtan60°=G,
點(diǎn)坐標(biāo)為
經(jīng)驗(yàn)證尸點(diǎn)不在拋物線上,
故假設(shè)不成立,
BPAPOD不可能是等邊三角形;
(3)
':PHA.BO,
:./M”B=90°,
根據(jù)(2)中的結(jié)果可知C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4),
即OC=4,
???8點(diǎn)(2,0),
:.08=2,
tanZCBO=2,
分類討論
第一種情況:2BMHs4cMP,
:.ZMHB=ZMPC=90°,
:.PC//OB.
???即0點(diǎn)縱坐標(biāo)等于C點(diǎn)縱坐標(biāo),也為4,
肖產(chǎn)4時(shí),-2x2+2x+4=4,
解得:尸1或者0,
???P點(diǎn)在第一象限,
???此時(shí)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),
第二種情況:ABMHSMMC,
?:/XBMHs叢PMC,
JNMHB=NMCP=900,
???ZGCP+ZOCB=90°,
:ZOCB+ZOBC=90°,
:.ZGCP=ZOBCf
.'.tanZGCP=tanZOBC=2,
VPG1OG,
???在心"GC中,2GC=GP,
設(shè)GP=a,
:.GC=-a,
2
GO——ci+0C=—ci+4,
22
VPG10G,PHLOH,
???可知四邊形PG?!笔蔷匦?
PH-OG——a+4,
2
***P點(diǎn)坐標(biāo)為(4,]〃+4),
17
**.—Q+4=—2。'4~2a+4,
2
3
解得:4二:或者0,
4
???p點(diǎn)在第一象限,
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(33,邛35);
48
ABMH與&PCM中,有NBMH=/PMC恒相等,
.'.△PCM中,當(dāng)NCPM為直角時(shí),若NPCM=NBMH,則可證是等腰直角三角形,
通過(guò)相似可知48仞H也是等腰直角三角形,這與tan/C8(A2相矛盾,故不存在當(dāng)/CPM
為直角時(shí),相等的情況;
同理不存在當(dāng)NPCM為直角時(shí),NCPM=N8M”相等的情況,
綜上所述:P點(diǎn)坐標(biāo)為:(1,4)或者(三3,3=5).
48
【點(diǎn)睛】本題考查了求解拋物線解析式、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、等邊三角形的判定、相似
三角形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí),掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.
7.(2022?廣西)已知拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)).
y
(1)求點(diǎn)A,點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)如圖,過(guò)點(diǎn)A的直線/:y=-x-l與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為C,點(diǎn)尸為拋物線對(duì)稱軸上的
一點(diǎn),連接上4、PC,設(shè)點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為機(jī),當(dāng)E4=PC時(shí),求,〃的值;
(3)將線段AB先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度,得到線段若拋物
線>=。(--+2》+3)3#0)與線段皿只有一個(gè)交點(diǎn),請(qǐng)喜談寫(xiě)出a的取值范圍.
【答案】(1)A(-1,0),B(3,0)
⑵-3
(3)a=-s£x<-ls!cx>-
43
【分析】(1)令》=0,由拋物線解析式可得Mx-3)(x+l)=O,解方程即可確定點(diǎn)A,點(diǎn)8
的坐標(biāo);
(2)由拋物線解析式確定其對(duì)稱軸為x=l,可知點(diǎn)P(l,〃?),再將直線/與拋物線解析式
聯(lián)立,解方程組可確定點(diǎn)C坐標(biāo),由%=尸8列方程求解即可;
(3)根據(jù)題意先確定點(diǎn)M(0,5)、N(4,5),令>=4(-/+2》+3)=5,整理可得
590
X2-2X+(--3)=0,根據(jù)一元二次方程的根的判別式為可知△=16-3,然后分情況討論
aa
△=0時(shí)以及A>0結(jié)合圖像分析a的取值范圍.
(1)
解:拋物線解析式/=-/+2》+3=-。-3)(》+1),令y=0,
可得一(x-3)(x+l)=0,
解得為=-1,々=3,
故點(diǎn)A、3的坐標(biāo)分別為A(-1,0),B(3,0);
(2)
2
對(duì)于拋物線y=-y+2x+3,其對(duì)稱軸為x=-丁丁不'=1,
2x(-1)
???點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn),且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m,
:.P(Lm),
將直線/與拋物線解析式聯(lián)立,可得
[y--x2+2x+3=Tfx=4
V,,可解得〈A或〈
[y=-x-l[y=0[y=_
故點(diǎn)C坐標(biāo)為(4,-5),
PA=7ll-(-l)]2+w2=,加2+4,
PB="(4—I))+(—5—㈤2=,病+10帆+34,
當(dāng)小=P8時(shí),BlW/M2+4=w2+10m+34.
解得m=-3;
(3)
將線段A8先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度,得到線段MN,
結(jié)合(]),可知M(0,5)、N(4,5),
令y=a(-x2+2x+3)=5,整理可得f-2x+(*-3)=0,
a
570
其判別式為△=(-2)2—4X1X(——3)=16--,
aa
205
①當(dāng)A=16--=0時(shí),解得。=:,此時(shí)拋物線丁=〃(—工2+2%+3)("0)與線段MN只有一
a4
個(gè)交點(diǎn);
20S
②當(dāng)A=16——>0即時(shí),解方程/一2工+(一—3)=0,
若。>0時(shí),如圖1,
205
由A=16--->0,可解得〃〉;,
a4
此時(shí)有1+」4-』44,JE1-J4--<0,
vaVa
解得北|;
②當(dāng)"0時(shí),如圖2,
由△=16-201>0,可解得。<0,
此時(shí)有1+小4-:44,且1一
解得X4—1;
綜上所述,當(dāng)拋物線y=a(-/+2x+3)(aw0)與線段MN只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),a的取值范圍為
a=?或x4-1或x2.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,包括求二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)、利用二次函
數(shù)解決圖形問(wèn)題等知識(shí),解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想分析問(wèn)題.
8.(2022?福建)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y=a?+法經(jīng)過(guò)A(4,0),B(1,
4)兩點(diǎn).P是拋物線上一點(diǎn),且在直線A8的上方.
(1)求拋物線的解析式;(2)若△OAB面積是△物8面積的2倍,求點(diǎn)尸的坐標(biāo);
(3)如圖,0P交AB于點(diǎn)、C,PD〃B0交AB于點(diǎn)D.記△CDP,&CPB,△C80的面積分別
為,,S”S?判斷苓+苓是否存在最大值.若存在,求出最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理
口2%
由.
【答案】(1)〉=-號(hào)*2+號(hào)x
⑵存在,(吟)或(3,4)
9
(3)存在,-
O
【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解;
⑵待定系數(shù)法求得直線A8的解析式為y=-;4x+916,過(guò)點(diǎn)P作軸,垂足為例,
PM交AB于點(diǎn)M過(guò)點(diǎn)B作BEUM,垂足為E.可得,》=%>岫+&哂=7N,設(shè)
尸刎之+號(hào)〃力(]<a<4),則+號(hào)).由吶:卜刎②+號(hào)利卜卜加+號(hào)卜號(hào)
解方程求得加的值,進(jìn)而即可求解;
(3)由已知條件可得AQ8CS_PDC,進(jìn)而可得自+[=珠+黑=粵,過(guò)點(diǎn)8,P分別
與萬(wàn)。C7COB
作X軸的垂線,垂足分別££,PE交AB于點(diǎn)、2,過(guò)。作X的平行線,交PE于點(diǎn)G,可得
設(shè)尸(見(jiàn)一件〃?2+號(hào)可(1<m<
DPGSQBF,4),
,H,,,PDOGi俎”,”,,,,,,S,5,CDqPC、DGif5丫9,,,
根據(jù)7^7=777■可得4〃=??—/?+4,Y-+'c-=_RF+TTF=—m—"("一,根
OBOFS2邑BCOCOF2(2)8
據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求的最大值.
(1)
解:(1)將A(4,0),B(1,4)代入y=aP+灰,
16。+4。=0
得
a+b=4
4
解得
所以拋物線的解析式為y=-#+等.
(2)
設(shè)直線AB的解析式為),="+/(《#0),
將A(4,0),B(1,4)代入y=Ax+r,
解得“
1c
t=—
3
所以直線AB的解析式為y=-^4x+1y6.
過(guò)點(diǎn)P作軸,垂足為M,PM交AB于點(diǎn)、N.
過(guò)點(diǎn)8作BE_LPM,垂足為區(qū)
所以工.=S4PNB+S2PNA
=』PNXBE+!PNXAM
22
=3PNX(BE+AM)
=¥N.
因?yàn)锳(4,0),B(1,4),所以S&o"=gx4x4=8.
因?yàn)椤?48的面積是△附B面積的2倍,
所以2x?PN=8,PN=1.
設(shè)尸(見(jiàn)-刎2+號(hào)〃0?!礄C(jī)<4),則M〃?,-刎+號(hào)).
所以取1-和。+學(xué)+卜刎+號(hào))/,
即一料+冬時(shí)號(hào)哈
解得町=2,m2=3.
所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為0,果或(3,4).
(3)
PD//BO
OBCsPDC
.CDPDPC
,~BC~~OB~~dc
記△CDP,ACPB,ZkCBO的面積分別為S],S2,S3.則決+3二
d2d3oC(7COB
如圖,過(guò)點(diǎn)用P分別作X軸的垂線,垂足分別尸,E,PE交AB于點(diǎn)。,過(guò)。作X的平行線,
交.PET點(diǎn)、G
B(l,4),
飛,0)
OF=i
PD〃OB,DG〃OF
:「DPGs一OBF
.PDPGDG
''OB~~BF~~OF'
設(shè)0(機(jī),一告〃?2+與〃"(1<根<4)
.直線AB的解析式為y=-^4x+1y6.
設(shè)0(%-盤(pán)2+號(hào)),則+g
16
3333
m2—4〃2—〃+4)
DG=m-n
—(irr—4m—71+4)
3______________m-n
4~1
整理得4〃=m2一機(jī)+4
.5?S?CDPCJPD
,S2S、-BCOC~OB
=2變
OF
5YYQ
時(shí),u+售取得最大值,最大值為9
2%Ao
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合,待定系數(shù)法求解析式,面積問(wèn)題,相似三角形的性質(zhì)與
判定,第三問(wèn)中轉(zhuǎn)化為線段的比是解題的關(guān)鍵.
9.(2022?貴州黔東南)如圖,拋物線丫=以2+2尤+,?的對(duì)稱軸是直線x=l,與x軸交于點(diǎn)A,
8(3,0),與y軸交于點(diǎn)C,連接AC.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)已知點(diǎn)。是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)。作。軸,垂足為點(diǎn)M,DM交
直線8c于點(diǎn)N,是否存在這樣的點(diǎn)N,使得以A,C,N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.若
存在,請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)已知點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn),在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F,使以點(diǎn)8、C、E、F為
頂點(diǎn)的四邊形為矩形,若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)尸的坐標(biāo):若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(l)y=-y+2x+3
(2)存在這樣的點(diǎn)N(2,1)或(石,-6+3)或使得以A,C,N為頂點(diǎn)的三角形
是等腰三角形
(3)存在點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(4,1)或(-2,1)或黠
【分析】(1)根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸是直線X=l,可得”-1,再把點(diǎn)8(3,0)代入,即可求解;
(2)先求出4c②=10,設(shè)點(diǎn)N(即+3),可得4V2=2m2-4w+10.CN2=2n^,
再分三種情況討論:當(dāng)4c=AN時(shí),當(dāng)AC
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