上海市松江區(qū)統(tǒng)考2025屆高二上數(shù)學期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

上海市松江區(qū)統(tǒng)考2025屆高二上數(shù)學期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設是等差數(shù)列的前項和，已知，，則等于（）A. B.C. D.2．為了了解某地區(qū)的名學生的數(shù)學成績，打算從中抽取一個容量為的樣本，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法，需從總體中剔除個個體，在整個過程中，每個個體被剔除的概率和每個個體被抽取的概率分別為（）A. B.C. D.3．定義在R上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則滿足的x的取值范圍是（）A. B.C. D.4．在等比數(shù)列中，，，則（）A. B.或C. D.或5．雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.6．對于兩個平面、，“內(nèi)有無數(shù)多個點到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．已知命題p：，總有，則為（）A.，使得 B.，使得C.，總有 D.，總有8．數(shù)學美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術美那樣直觀，它蘊藏于特有的抽象概念，公式符號，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學的真實美．平面直角坐標系中，曲線：就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對于此曲線，給出如下結(jié)論：①曲線圍成的圖形的面積是；②曲線上的任意兩點間的距離不超過；③若是曲線上任意一點，則的最小值是其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A. B.C. D.9．下列說法錯誤的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.若“”是“或”的充分不必要條件，則實數(shù)m的最大值為2021C.“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點”的必要不充分條件D.已知，且，則的最小值為910．與的等差中項是（）A. B.C. D.11．甲、乙、丙、丁共4名同學進行黨史知識比賽，決出第1名到第4名的名次（名次無重復），其中前2名將獲得參加市級比賽的資格，甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你沒有獲得參加市級比賽的資格.”對乙說：“你當然不會是最差的.”從這兩個回答分析，4人的排名有（）種不同情況.A.6 B.8C.10 D.1212．已知點、為橢圓的左、右焦點，若點為橢圓上一動點，則使得的點的個數(shù)為（）A. B.C. D.不能確定二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知對任意正實數(shù)m，n，p，q，有如下結(jié)論成立：若，則有成立，現(xiàn)已知橢圓上存在一點P，，為其焦點，在中，，，則橢圓的離心率為______14．直線與直線垂直，則______15．命題“，”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是______16．底面半徑為1，母線長為2的圓錐的體積為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓上的點到焦點的最大距離為3，離心率為.（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線與橢圓交于不同兩點，與軸交于點，且滿足,若，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）記是等差數(shù)列的前項和，若.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求使成立的的最小值.19．（12分）如圖，三棱錐中，，，，，，點是PA的中點，點D是AC的中點，點N在PB上，且.（1）證明：平面CMN；（2）求平面MNC與平面ABC所成角的余弦值.20．（12分）設正項數(shù)列的前項和為，已知，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍21．（12分）已知，2，4，6中的三個數(shù)為等差數(shù)列的前三項，且100不在數(shù)列中，102在數(shù)列中.（1）求數(shù)列的通項；（2）設，求數(shù)列的前項和.22．（10分）在平面直角坐標系xOy中，已知點、，點M滿足，記點M的軌跡為C（1）求C的方程；（2）若直線l過圓圓心D且與圓交于A，B兩點，點P為C上一個動點，求的最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】依題意有，解得，所以.考點：等差數(shù)列的基本概念.【易錯點晴】本題主要考查等差數(shù)列的基本概念.在解有關等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為和等基本量，通過建立方程(組)獲得解．即等差數(shù)列的通項公式及前項和公式，共涉及五個量，知其中三個就能求另外兩個,即知三求二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題,注意要弄準它們的值.運用方程的思想解等差數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量、，掌握好設未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設而不求，整體代入”來簡化運算2、D【解析】根據(jù)每個個體被抽取的概率都是相等的、被剔除的概率也都是相等的，分別由剔除的個數(shù)和抽取的樣本容量除以總體個數(shù)即可求解.【詳解】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法可知：每個個體被抽取的概率都是相等的，每個個體被剔除的概率也都是相等的，所以每個個體被剔除的概率為，每個個體被抽取的概率為，故選：D.3、B【解析】，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得或，解之即可得解.【詳解】解：，由題意可得或即或，解得或故選：B.4、C【解析】計算出等比數(shù)列的公比，即可求得的值.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，.故選：C.5、B【解析】把雙曲線的標準方程中的1換成0，可得其漸近線的方程【詳解】雙曲線的漸近線方程是，即，故選B【點睛】本題考查了雙曲線的標準方程與簡單的幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎題6、B【解析】根據(jù)平面的性質(zhì)分別判斷充分性和必要性.【詳解】充分性：若內(nèi)有無數(shù)多個點到的距離相等，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內(nèi)每個點到的距離相等，故必要性成立，所以“內(nèi)有無數(shù)多個點到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.7、B【解析】由含有一個量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因為命題p：，總有是全稱量詞命題，所以其否定為存在量詞命題，即，使得，故選：B8、C【解析】結(jié)合已知條件寫出曲線的解析式，進而作出圖像，對于①，通過圖像可知，所求面積為四個半圓和一個正方形面積之和，結(jié)合數(shù)據(jù)求解即可；對于②，根據(jù)圖像求出曲線上的任意兩點間的距離的最大值即可判斷；對于③，將問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離，然后利用圓上一點到直線的距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑即可求解.【詳解】當且時，曲線的方程可化為：；當且時，曲線的方程可化為：；當且時，曲線的方程可化為：；當且時，曲線的方程可化為：，曲線的圖像如下圖所示：由上圖可知，曲線所圍成的面積為四個半圓的面積與邊長為的正方形的面積之和，從而曲線所圍成的面積，故①正確；由曲線的圖像可知，曲線上的任意兩點間的距離的最大值為兩個半徑與正方形的邊長之和，即，故②錯誤；因為到直線的距離為，所以，當最小時，易知在曲線的第一象限內(nèi)的圖像上，因為曲線的第一象限內(nèi)的圖像是圓心為，半徑為的半圓，所以圓心到的距離，從而，即，故③正確，故選：C.9、C【解析】對于A：用存在量詞否定全稱命題，直接判斷；對于B：根據(jù)充分不必要條件直接判斷；對于C：判斷出“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點”的充分不必要條件，即可判斷；對于D：利用基本不等式求最值.【詳解】對于A：用存在量詞否定全稱命題，所以命題“，”的否定是“，”.故A正確；對于B：若“”是“或”的充分不必要條件，所以，即實數(shù)m的最大值為2021.故B正確；對于C：“函數(shù)在內(nèi)有零點”，則，解得：或，所以“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點”的充分不必要條件.故C錯誤；對于D：已知，且，所以（當且僅當，即時取等號）故D正確.故選：C10、A【解析】代入等差中項公式即可解決.【詳解】與的等差中項是故選：A11、C【解析】由題可知甲不在前2名，乙不在最后一名，然后分類討論可得答案.【詳解】若甲是最后一名，則其他三人沒有限制，4人排名即為，若甲是第三名，4人的排名為，所以4人的排名有種情況.故選：C12、B【解析】利用余弦定理結(jié)合橢圓的定義可求得、，即可得出結(jié)論.【詳解】在橢圓中，，，，則，，可得，所以，，解得，此時點位于橢圓短軸的頂點.因此，滿足條件的點的個數(shù)為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合題意，列出方程，代入數(shù)據(jù)，化簡即可得答案.詳解】由題意得：，所以，所以，解得.故答案為：14、##【解析】根據(jù)兩直線垂直得，即可求出答案.【詳解】由直線與直線垂直得，.故答案為：.15、【解析】寫出原命題的否定，再利用二次型不等式恒成立求解作答.【詳解】因命題“，”為假命題，則命題“，”為真命題，當時，恒成立，則，當時，必有，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：16、【解析】先由勾股定理求圓錐的高，再結(jié)合圓錐的體積公式運算即可得解.【詳解】解：設圓錐的高為，由勾股定理可得，由圓錐的體積可得，故答案為.【點睛】本題考查了圓錐的體積公式，重點考查了勾股定理，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)，或【解析】（1）由橢圓的性質(zhì)可知：，解得a和c的值，即可求得橢圓C的標準方程；（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理求得：，，λ，根據(jù)向量的坐標坐標，（x1+1，y1）＝λ（x2+1，y2），求得，由，代入即可求得實數(shù)m的取值范圍【詳解】(1)由已知，解得，所以，所以橢圓的標準方程為.（2）由已知,設，聯(lián)立方程組，消得，由韋達定理得①②因為，所以，所以③，將③代入①②，，消去得，所以.因為，所以，即，解得，所以，或.【點睛】本題考查橢圓的標準方程及簡單性質(zhì)，直線與橢圓的位置關系，韋達定理，向量的坐標表示，不等式的解法，考查計算能力，屬于中檔題18、（1）（2）4【解析】（1）根據(jù)題意得，解方程得，進而得通項公式；（2）由題知，進而解不等式得或，再根據(jù)即可得答案.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，由得=0,由題意知，，解得，所以d=2所以.小問2詳解】解：由（1）可得，由可得，即，解得或，因為，所以，正整數(shù)的最小值為.19、（1）證明見解析（2）【解析】建立如圖所示空間直角坐標系，得到相關點和相關向量的坐標,（1）求出平面的法向量，利用證明即可；（2）由（1）知平面的法向量，再求平面的法向量，利用向量的夾角公式即可求解.【小問1詳解】證明：三棱錐中，，，∴分別以，，，，軸建立如圖所示空間直角坐標系∵，，點M是PA的中點，點D是AC的中點，點N在PB上且∴，，，，，設平面的法向量，，，，由得令得∴∵∴又平面∴平面；【小問2詳解】，，∴平面∴為平面的法向量則與的夾角的補角是平面與平面所成二面角的平面角.∴平面與平面所成角的余弦值為.20、（1）；（2）.【解析】（1）利用的關系求的通項公式；（2）由（1）得，應用錯位相減法求，根據(jù)不等式，討論n的奇偶性求參數(shù)范圍即可.【小問1詳解】由題設，當時，則，整理得，，則，當時，，又得：，故，所以數(shù)列是首項、公差均為2的等差數(shù)列，故.【小問2詳解】由（1），，所以，，兩式相減得，故，所以令，易知：單調(diào)遞增，若為偶數(shù)，則，所以；若為奇數(shù)，則，所以，即綜上，21、（1）（2）【解析】（1）確定數(shù)列為遞增數(shù)列，然后由4個數(shù)確定等差數(shù)列，得通項公式，驗證100和102是否為數(shù)列中的項得結(jié)論；（2）由裂項相消法求和【小問1詳解】首先數(shù)列是遞增數(shù)列，當2，4，6為的