天成大聯(lián)考2025屆高二數(shù)學第一學期期末經(jīng)典模擬試題含解析

天成大聯(lián)考2025屆高二數(shù)學第一學期期末經(jīng)典模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若命題“，”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)，要使函數(shù)有三個零點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.3．函數(shù)的值域為（）A. B.C. D.4．設，是兩個不同的平面，是直線且．“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5．設拋物線C:的焦點為，準線為．是拋物線C上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線（）A.經(jīng)過點 B.經(jīng)過點C.平行于直線 D.垂直于直線6．如圖，在棱長為的正方體中，為線段的中點，為線段的中點，則直線到直線的距離為（）A. B.C. D.7．公比為的等比數(shù)列，其前項和為，前項積為，滿足，.則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值為B.C.最大值為D.8．過點的直線與圓相切，則直線的方程為（）A.或 B.或C.或 D.或9．已知拋物線上的點到其準線的距離為，則（）A. B.C. D.10．函數(shù)，的最小值為（）A.2 B.3C. D.11．下列求導錯誤的是（）A. B.C. D.12．中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點生活或配合其他民俗活動的民間藝術.如圖所示的圓形剪紙中，正六邊形的所有頂點都在該圓上，若在該圓形剪紙的內(nèi)部投擲一點，則該點恰好落在正六邊形內(nèi)部的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．__________14．《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學和數(shù)學著作，書中提到：從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分的日影子長的和是37.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則立夏的日影子長為___________尺.15．寫出一個數(shù)列的通項公式____________，使它同時滿足下列條件：①，②，其中是數(shù)列的前項和.（寫出滿足條件的一個答案即可）16．關于曲線，則以下結(jié)論正確的個數(shù)有______個①曲線C關于原點對稱；②曲線C中，；③曲線C是不封閉圖形，且它與圓無公共點；④曲線C與曲線有4個交點，這4點構成正方形三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）保護生態(tài)環(huán)境，提倡環(huán)保出行，節(jié)約資源和保護環(huán)境，某地區(qū)從2016年開始大力提倡新能源汽車，每年抽樣1000汽車調(diào)查，得到新能源汽車y輛與年份代碼x年的數(shù)據(jù)如下表：年份20162017201820192020年份代碼第x年12345新能源汽車y輛305070100110（1）建立y關于x的線性回歸方程；（2）假設該地區(qū)2022年共有30萬輛汽車，用樣本估計總體來預測該地區(qū)2022年有多少新能源汽車參考公式：回歸方程斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，18．（12分）已知命題實數(shù)滿足不等式，命題實數(shù)滿足不等式.（1）當時，命題，均為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）設橢圓過，兩點，為坐標原點（1）求橢圓的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，，且？若存在，寫出該圓的方程，并求的取值范圍；若不存在，說明理由20．（12分）如圖，已知矩形ABCD所在平面外一點P，平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點求證：（1）共面；（2）求證：21．（12分）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列通項公式為，求數(shù)列的前n項和.22．（10分）已知等比數(shù)列的公比為，前項和為，，，（1）求（2）在平面直角坐標系中，設點，直線的斜率為，且，求數(shù)列的通項公式

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)命題與它的否定命題一真一假，寫出該命題的否定命題，再求實數(shù)的取值范圍【詳解】解：命題“，”是假命題，則它的否定命題“，”是真命題，時，不等式為，顯然成立；時，應滿足，解得，所以實數(shù)的取值范圍是故選：A2、A【解析】要使函數(shù)有三個解，則與圖象有三個交點，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】要使函數(shù)有三個解，則與圖象有三個交點，因為當時，，所以，可得在上遞減，在遞增，所以，有最小值，且時，，當趨向于負無窮時，趨向于0，但始終小于0，當時，單調(diào)遞減，由圖像可知：所以要使函數(shù)有三個零點，則.故選：A3、C【解析】根據(jù)基本不等式即可求出【詳解】因為，當且僅當時取等號，所以函數(shù)的值域為故選：C4、B【解析】，得不到，因為可能相交，只要和的交線平行即可得到；，，∴和沒有公共點，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分條件．故選B考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【方法點晴】考查線面平行的定義，線面平行的判定定理，面面平行的定義，面面平行的判定定理，以及充分條件、必要條件，及必要不充分條件的概念，屬于基礎題；并得不到，根據(jù)面面平行的判定定理，只有內(nèi)的兩相交直線都平行于，而，并且，顯然能得到，這樣即可找出正確選項.5、A【解析】依據(jù)題意作出焦點在軸上的開口向右的拋物線，根據(jù)垂直平分線的定義和拋物線的定義可知，線段的垂直平分線經(jīng)過點，即可求解.【詳解】如圖所示：因為線段的垂直平分線上的點到的距離相等，又點在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過點.故選：A.6、C【解析】連接，，，，在平面中，作，為垂足，將兩平行線的距離轉(zhuǎn)化成點到直線的距離，結(jié)合余弦定理即同角三角函數(shù)基本關系，求得，因此可得，進而可得直線到直線的距離；【詳解】解：如圖，連接，，，，在平面中，作，為垂足，因為，分別為，的中點，因為，，所以，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以即為直線到直線的距離，在三角形中，由余弦定理得因為，所以是銳角，所以，在直角三角形中，，故直線到直線的距離為；故選：C7、A【解析】根據(jù)已知條件，判斷出，即可判斷選項D，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，判斷，，由此判斷出選項A,B,C.【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列滿足條件，，，若，則，則，，則，這與已知條件矛盾，所以不符合題意，故選項D錯誤；因為，，，所以，，，則，，數(shù)列前2021項都大于1，從第2022項開始都小于1，因此是數(shù)列中的最大值，故選項A正確由等比數(shù)列的性質(zhì)，，故選項B不正確；而，由以上分析可知其無最大值，故C錯誤；故選：A8、D【解析】根據(jù)斜率存在和不存在分類討論，斜率存在時設直線方程，由圓心到直線距離等于半徑求解【詳解】圓心為，半徑為2，斜率不存在時，直線滿足題意，斜率存在時，設直線方程為，即，由，得，直線方程為，即故選：D9、C【解析】首先根據(jù)拋物線的標準方程的形式，確定的值，再根據(jù)焦半徑公式求解.【詳解】，，因為點到的準線的距離為，所以，得故選：C10、B【解析】求導函數(shù)，分析單調(diào)性即可求解最小值【詳解】由，得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增∴當時，取得最小值，且最小值為故選：B.11、B【解析】根據(jù)導數(shù)運算求得正確答案.【詳解】、、運算正確.，B選項錯誤.故選：B12、D【解析】設圓的半徑，求出圓的面積與正六邊形的面積，再根據(jù)幾何概型的概率公式計算可得；【詳解】解：設圓的半徑，則，則，所以，所以在該圓形剪紙的內(nèi)部投擲一點，則該點恰好落在正六邊形內(nèi)部的概率;故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先由題得到，再整體代入化簡即得解.【詳解】因為，所以，則故答案為【點睛】本題主要考查差角的正切公式，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.14、【解析】利用等差數(shù)列的通項公式求出首項和公差，然后求出其中某一項.【詳解】解：由題意得從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，設其公差為，解得故立夏的日影子長為尺.故答案為：15、(答案合理即可)【解析】當時滿足，利用作差比較法即可證明.【詳解】解：當時滿足條件①②，證明如下：因為，所以；當時，；當時，；綜上，.故答案為：(答案合理即可).16、2【解析】根據(jù)曲線的方程，以及曲線的對稱性、范圍，結(jié)合每個選項進行逐一分析，即可判斷.【詳解】①將方程中的分別換為，方程不變，故該曲線關于原點對稱，故正確；②因為，解得或，故，同理可得：，故錯誤；③根據(jù)②可知，該曲線不是封閉圖形；聯(lián)立與，可得：，將其視作關于的一元二次方程，故，所以方程無根，故曲線與沒有交點；綜上所述，③正確；④假設曲線C與曲線有4個交點且交點構成正方形，根據(jù)對稱性，第一象限的交點必在上，聯(lián)立與可得：，故交點為，而此點坐標不滿足，所以這樣的正方形不存在，故錯誤；綜上所述，正確的是①③.故答案為：.【點睛】本題考察曲線與方程中利用曲線方程研究曲線性質(zhì)，處理問題的關鍵是把握由曲線方程如何研究對稱性以及范圍問題，屬困難題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）46800【解析】（1）第一步分別算第x，y的平均值，第二步利用，即可得到方程.（2）由第一問的結(jié)果，帶入方程即可算出預估的結(jié)果.【小問1詳解】，，，因為，所以，所以【小問2詳解】預測該地區(qū)2022年抽樣1000汽車調(diào)查中新能源汽車數(shù)，當時，，該地區(qū)2022年共有30萬輛汽車，所以新能源汽車.18、（1）；（2）.【解析】（1）分別求出命題，均為真命題時的取值范圍，再求交集即可.（2）利用集合間的關系求解即可.【詳解】實數(shù)滿足不等式，即命題實數(shù)滿足不等式，即（1）當時，命題，均為真命題，則且則實數(shù)的取值范圍為；（2）若是的充分不必要條件，則是的真子集則且解得故的取值范圍為.【點睛】判斷充分條件與必要條件應注意：首先弄清條件和結(jié)論分別是什么，然后直接依據(jù)定義、定理、性質(zhì)嘗試.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題；對于范圍問題也可以轉(zhuǎn)化為包含關系來處理.19、（1）（2）存在，，【解析】（1）根據(jù)橢圓E：（）過，兩點，直接代入方程解方程組，解方程組即可.（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，當切線斜率存在時，設該圓的切線方程為，聯(lián)立，根據(jù)，結(jié)合韋達定理運算，同時滿足，則存在，否則不存在；在該圓的方程存在時，利用弦長公式結(jié)合韋達定理得到，結(jié)合題意求解即可，當切線斜率不存在時，驗證即可.【小問1詳解】將，的坐標代入橢圓的方程得，解得，所以橢圓的方程為【小問2詳解】假設滿足題意的圓存在，其方程為，其中，設該圓的任意一條切線和橢圓交于，兩點，當直線的斜率存在時，令直線的方程為，①將其代入橢圓的方程并整理得，由韋達定理得，，②因為，所以，③將①代入③并整理得，聯(lián)立②得，④因為直線和圓相切，因此，由④得，所以存在圓滿足題意當切線的斜率不存在時，易得，由橢圓方程得，顯然，綜上所述，存在圓滿足題意當切線的斜率存在時，由①②④得，由，得，即當切線的斜率不存在時，易得，所以綜上所述，存在圓心在原點的圓滿足題意，且20、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】（1）以為原點,為軸,為軸，為軸,建立空間直角坐標系，設,,，求出，，，，0，，，，，從而，由此能證明共面（2）求出，0，，，，，由，能證明【詳解】證明：如圖，以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，設，，，則0，，0，，2b，，2b，，0，，為AB的中點，F(xiàn)為PC的中點，0，，b，，b，，，2b，，共面.（2），【點睛】本題考查三個向量共面的證明,考查兩直線垂直的證明,是基礎題21、（1）；（2）.【解析】（1）設的公比為，利用基本量運算求出公比，可得數(shù)列的通項公式；（2）利用錯位相減法計算出數(shù)列的前n項和【詳解】（1）設的公比為，由題意知：，.又，解得，，所以.（2）.令，則，因此，又，兩式相減得所以.【點睛】方法點睛：本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列的求和，數(shù)列求和的方法總結(jié)如下：

公式法，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式進行計算即可；

裂項相消法，通過把數(shù)列的通項公式拆成兩項之差，在求和時中間的