2025屆云南省昆明市官渡區(qū)數(shù)學(xué)高二上期末檢測試題含解析

2025屆云南省昆明市官渡區(qū)數(shù)學(xué)高二上期末檢測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線的傾斜角是A. B.C. D.2．下列說法：①將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變；②從統(tǒng)計量中得知有的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有的可能性使得推斷出現(xiàn)錯誤；③回歸直線就是散點圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點最多的那條直線；④如果兩個變量的線性相關(guān)程度越高，則線性相關(guān)系數(shù)就越接近于；其中錯誤說法的個數(shù)是（）A. B.C. D.3．已知拋物線的焦點恰為雙曲線的一個頂點，的另一頂點為，與在第一象限內(nèi)的交點為，若，則直線的斜率為（）A. B.C. D.4．已知雙曲線的左右焦點分別是和，點關(guān)于漸近線的對稱點恰好落在圓上，則雙曲線的離心率為（）A. B.2C. D.35．第屆全運會于年月在陜西西安順利舉辦，其中水上項目在西安奧體中心游泳跳水館進行，為了應(yīng)對比賽，大會組委會將對泳池進行檢修，已知泳池深度為，其容積為，如果池底每平方米的維修費用為元，設(shè)入水處的較短池壁長度為，且據(jù)估計較短的池壁維修費用與池壁長度成正比，且比例系數(shù)為，較長的池壁維修費用滿足代數(shù)式，則當(dāng)泳池的維修費用最低時值為（）A. B.C. D.6．若數(shù)列滿足，則的值為（）A.2 B.C. D.7．在空間中，“直線與沒有公共點”是“直線與異面”的（）A.必要不充分條件 B.充要條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件8．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A.54 B.45C.27 D.819．已知點在拋物線的準(zhǔn)線上，則該拋物線的焦點坐標(biāo)是（）A. B.C. D.10．已知向量，，則等于（）A. B.C. D.11．圓與圓的位置關(guān)系是（）A.外離 B.外切C.相交 D.內(nèi)切12．函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線與直線交于D，E兩點，若（點O為坐標(biāo)原點）的面積為16，則拋物線的方程為______；過焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，則______14．一個高為2的圓柱，底面周長為2，該圓柱的表面積為.15．已知雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則雙曲線的離心率為___________.16．如圖直線過點，且與直線和分別相交于，兩點.（1）求過與交點，且與直線垂直的直線方程；（2）若線段恰被點平分，求直線的方程.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個零點，，求的取值范圍，并證明：18．（12分）一杯100℃的開水放在室溫25℃的房間里，1分鐘后水溫降到85℃，假設(shè)每分鐘水溫變化量和水溫與室溫之差成正比（1）分別求2分鐘，3分鐘后的水溫；（2）記n分鐘后的水溫為，證明：是等比數(shù)列，并求出的通項公式；（3）當(dāng)水溫在40℃到55℃之間時（包括40℃和55℃），為最適合飲用的溫度，則在水燒開后哪個時間段飲用最佳．（參考數(shù)據(jù)：）19．（12分）已知橢圓的離心率為，短軸端點到焦點的距離為2（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓上任意兩點，為坐標(biāo)原點，且以為直徑的圓經(jīng)過原點，求證：原點到直線的距離為定值，并求出該定值20．（12分）已知拋物線的焦點F，C上一點到焦點的距離為5（1）求C方程；（2）過F作直線l，交C于A，B兩點，若線段AB中點的縱坐標(biāo)為-1，求直線l的方程21．（12分）設(shè)函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍22．（10分）已知數(shù)列的前項和是，且，等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）定義：記，求數(shù)列的前20項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由方程得到斜率，然后可得其傾斜角.【詳解】因為直線的斜率為所以其傾斜角為故選：D2、C【解析】根據(jù)統(tǒng)計的概念逐一判斷即可.【詳解】對于①，方差反映一組數(shù)據(jù)的波動大小，將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變，①正確；對于②從統(tǒng)計量中得知有的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有的可能性使得推斷出現(xiàn)錯誤；故②正確；對于③，線性回歸方程必過樣本中心點，回歸直線不一定就是散點圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點最多的那條直線，也可能不過任何一個點；③不正確；對于④，如果兩個變量的線性相關(guān)程度越高，則線性相關(guān)系數(shù)就越接近于，不正確，應(yīng)為相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于；綜上，其中錯誤的個數(shù)是；故選：C.3、D【解析】根據(jù)題意，列出的方程組，解得，再利用斜率公式即可求得結(jié)果.【詳解】因為拋物線的焦點，由題可知；又點在拋物線上，故可得；又，聯(lián)立方程組可得，整理得，解得（舍）或，此時，又，故直線的斜率為.故選：D.4、B【解析】首先求出F1到漸近線的距離,利用F1關(guān)于漸近線的對稱點恰落在圓上,可得直角三角形,利用勾股定理得到關(guān)于ac的齊次式，即可求出雙曲線的離心率【詳解】由題意可設(shè),則到漸近線的距離為.設(shè)關(guān)于漸近線的對稱點為M,F1M與漸近線交于A,∴MF1=2b,A為F1M的中點.又O是F1P的中點,∴OA∥F2M,∴為直角,所以△為直角三角形，由勾股定理得：，所以，所以，所以離心率故選:B.5、A【解析】根據(jù)題意得到泳池維修費用的的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可【詳解】解：設(shè)泳池維修的總費用為元，則由題意得，則，令，解得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故當(dāng)時，有最小值因此，當(dāng)較短池壁為時，泳池的總維修費用最低故選A6、C【解析】通過列舉得到數(shù)列具有周期性，，所以.詳解】，同理可得：，可得，則.故選:C.7、A【解析】由于在空間中，若直線與沒有公共點，則直線與平行或異面，再根據(jù)充分、必要條件的概念判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】在空間中，若直線與沒有公共點，則直線與平行或異面.故“直線與沒有公共點”是“直線與異面”的必要不充分條件.故選：A.8、B【解析】由三視圖可得該幾何體是由平行六面體切割掉一個三棱錐而成，直觀圖如圖所示，所以該幾何體的體積為故選B點睛：本題考查了組合體的體積，由三視圖還原出幾何體，由四棱柱的體積減去三棱錐的體積.9、C【解析】首先表示出拋物線的準(zhǔn)線，根據(jù)點在拋物線的準(zhǔn)線上，即可求出參數(shù)，即可求出拋物線的焦點.【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線為因為在拋物線的準(zhǔn)線上故其焦點為故選：【點睛】本題考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算，即可求解.【詳解】由，，得，因此.故選：C.11、C【解析】利用圓心距與半徑的關(guān)系確定正確選項.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，圓心距為，，所以兩圓相交.故選：C12、D【解析】原函數(shù)先減再增，再減再增，且位于增區(qū)間內(nèi)，因此選D【名師點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：若導(dǎo)函數(shù)圖象與軸的交點為，且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點，運用導(dǎo)數(shù)知識來討論函數(shù)單調(diào)性時，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.1【解析】利用的面積列方程，化簡求得的值，從而求得拋物線方程.將的斜率分成存在和不存在兩種情況進行分類討論，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求得.【詳解】依題意可知，，所以，解得.所以拋物線方程為.焦點，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，，即，此時.當(dāng)直線的斜率存在且不為時，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，，設(shè)，則，結(jié)合拋物線的定義可知.故答案為：；14、6【解析】2r=2，r=1，S表=2rh+2r2=4+2=6.15、或2【解析】由圓的方程有圓心，半徑為，討論雙曲線的焦點分別在x或y軸上對應(yīng)的漸近線方程，根據(jù)已知及弦長與半徑、弦心距的幾何關(guān)系得到雙曲線參數(shù)的齊次方程，即可求離心率.【詳解】由題設(shè)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即圓心，半徑為，若雙曲線為時，漸近線為且，所以圓心到雙曲線漸近線的距離為，由弦長、弦心距、半徑的關(guān)系知：，故，得：，又，所以，故.若雙曲線為時，漸近線為且，所以圓心到雙曲線漸近線的距離為，由弦長、弦心距、半徑的關(guān)系知：，故，得：，又，所以，故.綜上，雙曲線的離心率為或2.故答案為：或2.16、（1）；（2）.【解析】本題考查直線方程的基本求法：垂直直線的求法、點關(guān)于點對稱、點在直線上的待定系數(shù)法【詳解】（1）由題可得交點，所以所求直線方程為，即；（2）設(shè)直線與直線相交于點，因為線段恰被點平分，所以直線與直線的交點的坐標(biāo)為將點，的坐標(biāo)分別代入，的方程，得方程組解得由點和點及兩點式，得直線的方程為，即【點睛】直線的考法主要以點的對稱和直線的平行與垂直為主．點關(guān)于點的對稱，點關(guān)于直線的對稱，直線關(guān)于直線的對稱，是重點考察內(nèi)容三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見詳解（2），證明見解析【解析】（1）求導(dǎo)得，，分類討論參數(shù)a的范圍即可判斷單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，，聯(lián)立整理得，構(gòu)造得，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進而得證.小問1詳解】由，，可得，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得，令，得所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；【小問2詳解】證明：因為函數(shù)有兩個零點，由（1）得，此時的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，有極小值.所以，可得,所以.由（1）可得的極小值點為，則不妨設(shè).設(shè)，，則則，即，整理得，所以，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即.18、（1）2分鐘的水溫為℃，3分鐘后的水溫℃；（2）證明見解析，，；（3）在水燒開后4到7分鐘飲用最佳.【解析】(1)根據(jù)給定條件設(shè)第n分鐘后的水溫為，探求出與的關(guān)系即可計算作答.(2)利用(1)的信息，列式變形、推導(dǎo)即可得證，進而求出的通項公式.(3)由(2)的結(jié)論列不等式，借助對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即得.【小問1詳解】設(shè)第n分鐘后的水溫為，正比例系數(shù)為k，記，依題意，，當(dāng)時，，則有，解得，因此，，即有，，所以2分鐘的水溫為℃，3分鐘后的水溫℃.小問2詳解】由(1)知，，時，，，則有，即，而，于是得是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則有，即，所以是等比數(shù)列，的通項公式是，.【小問3詳解】由(2)及已知得：，即，整理得，兩邊取常用對數(shù)得：，而，解得，即，所以在水燒開后4到7分鐘飲用最佳.【點睛】思路點睛：涉及實際意義給出的數(shù)列問題，正確理解實際意義，列出關(guān)系式，再借助數(shù)列思想探求相鄰兩項間關(guān)系即可推理作答.19、（1）（2）證明見解析，定值為【解析】（1）根據(jù)題意得到，，得到橢圓方程.（2）考慮直線斜率存在和不存在兩種情況，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，將題目轉(zhuǎn)化為，化簡得到，代入計算得到答案.【小問1詳解】橢圓的離心率為，短軸端點到焦點的距離為，故，，故橢圓方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，，，則，即，，以為直徑的圓經(jīng)過原點，故，即，即，化簡整理得到：，原點到直線的距離為.當(dāng)直線斜率不存在時，為等腰直角三角形，設(shè)，則，解得，即直線方程為，到原點的距離為.綜上所述：原點到直線的距離為定值.【點睛】本題考查了橢圓方程，橢圓中的定值問題，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中將圓過原點轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵.20、（1）；（2）.【解析】（1）由拋物線的定義，結(jié)合已知有求p，寫出拋物線方程.（2）由題意設(shè)直線l為，聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達定理可得，由中點公式有，進而求k值，寫出直線方程.【詳解】（1）由題意知：拋物線的準(zhǔn)線為，則，可得，∴C的方程為.（2）由（1）知：，由題意知：直線l的斜率存在，令其方程為，∴聯(lián)立拋物線方程，得：，，若，則，而線段AB中點的縱坐標(biāo)為-1，∴，即，得，∴直線l的方程為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）利用拋物線定義求參數(shù)，寫出拋物線方程；（2）由直線與拋物線相交，以及相交弦的中點坐標(biāo)值，應(yīng)用韋達定理、中點公式求直線斜率，并寫出直線方程.21、（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解析】（1）求出，進而判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后討論符號后可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）令，則有兩個不同的零點，利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性并結(jié)合零點存在定理可得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時，，，記，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】令，得，記，則，令得，列表得．x0↘極小值↗要使在上有兩個零點，則，所以且函數(shù)在和上各有一個零點當(dāng)時，，，，則，故上無零點，與函數(shù)在上有一個零點矛盾，故不滿足條件所以，又因為，所以考慮，設(shè)，，則，則在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，所以，且，因為，所以，由零點存在定理知在和上各有一個零點綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究零點問題：（1）確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜