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文檔簡介
安徽省淮北市同仁中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高三上期末綜合測試試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.2.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:),則該幾何體的體積(單位:)為()A. B.6 C. D.3.已知函數(shù)的最小正周期為,且滿足,則要得到函數(shù)的圖像,可將函數(shù)的圖像()A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度4.四人并排坐在連號的四個座位上,其中與不相鄰的所有不同的坐法種數(shù)是()A.12 B.16 C.20 D.85.已知點是拋物線的對稱軸與準線的交點,點為拋物線的焦點,點在拋物線上且滿足,若取得最大值時,點恰好在以為焦點的橢圓上,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.6.已知水平放置的△ABC是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC的面積是()A. B.2C. D.7.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.若直線與圓相交所得弦長為,則()A.1 B.2 C. D.39.中國鐵路總公司相關(guān)負責(zé)人表示,到2018年底,全國鐵路營業(yè)里程達到13.1萬公里,其中高鐵營業(yè)里程2.9萬公里,超過世界高鐵總里程的三分之二,下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運營里程(單位:萬公里)的折線圖,以下結(jié)論不正確的是()A.每相鄰兩年相比較,2014年到2015年鐵路運營里程增加最顯著B.從2014年到2018年這5年,高鐵運營里程與年價正相關(guān)C.2018年高鐵運營里程比2014年高鐵運營里程增長80%以上D.從2014年到2018年這5年,高鐵運營里程數(shù)依次成等差數(shù)列10.祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”.意思是說:兩個同高的幾何體,如在等高處的截面積恒相等,則體積相等.設(shè)、為兩個同高的幾何體,、的體積不相等,、在等高處的截面積不恒相等.根據(jù)祖暅原理可知,是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.若不等式對恒成立,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知集合,,,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.一個四面體的頂點在空間直角坐標系中的坐標分別是,,,,則該四面體的外接球的體積為__________.14.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個零點,則實數(shù)的取值范圍是_____.15.在中,已知,,是邊的垂直平分線上的一點,則__________.16.已知正實數(shù)滿足,則的最小值為.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)以直角坐標系的原點為極點,軸的非負半軸為極軸,且兩坐標系取相同的長度單位.已知曲線的參數(shù)方程:(為參數(shù)),直線的極坐標方程:(1)求曲線的極坐標方程;(2)若直線與曲線交于、兩點,求的最大值.18.(12分)等差數(shù)列的前項和為,已知,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列{}的前項和為,求使成立的的最小值.19.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,PA⊥底面ABCD,∠BAD=60°,AB=PA=4,E是PA的中點,AC,BD交于點O.(1)求證:OE∥平面PBC;(2)求三棱錐E﹣PBD的體積.21.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù),試討論的單調(diào)性;(2)若,,求的取值范圍.22.(10分)已知四棱錐中,底面為等腰梯形,,,,丄底面.(1)證明:平面平面;(2)過的平面交于點,若平面把四棱錐分成體積相等的兩部分,求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間,由此判斷出的大小關(guān)系.【詳解】依題意,得,,.令,所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以,且,即,所以.故選:D.【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查對數(shù)式比較大小,屬于中檔題.2、D【解析】
根據(jù)幾何體的三視圖,該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到,根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.【詳解】如圖,該幾何體為正方體去掉三棱錐,所以該幾何體的體積為:,故選:D【點睛】本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法,考查了空間想象力,屬于中檔題.3、C【解析】
依題意可得,且是的一條對稱軸,即可求出的值,再根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則計算可得;【詳解】解:由已知得,是的一條對稱軸,且使取得最值,則,,,,故選:C.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角函數(shù)的變換規(guī)則,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
先將除A,B以外的兩人先排,再將A,B在3個空位置里進行插空,再相乘得答案.【詳解】先將除A,B以外的兩人先排,有種;再將A,B在3個空位置里進行插空,有種,所以共有種.故選:A【點睛】本題考查排列中不相鄰問題,常用插空法,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
設(shè),利用兩點間的距離公式求出的表達式,結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出的最大值時的點坐標,結(jié)合橢圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.【詳解】設(shè),因為是拋物線的對稱軸與準線的交點,點為拋物線的焦點,所以,則,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,此時,,點在以為焦點的橢圓上,,由橢圓的定義得,所以橢圓的離心率,故選B.【點睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率,屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點,一般求離心率有以下幾種情況:①直接求出,從而求出;②構(gòu)造的齊次式,求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解.6、A【解析】
先根據(jù)已知求出原△ABC的高為AO=,再求原△ABC的面積.【詳解】由題圖可知原△ABC的高為AO=,∴S△ABC=×BC×OA=×2×=,故答案為A【點睛】本題主要考查斜二測畫法的定義和三角形面積的計算,意在考察學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.7、C【解析】
化簡復(fù)數(shù)為、的形式,可以確定對應(yīng)的點位于的象限.【詳解】解:復(fù)數(shù)故復(fù)數(shù)對應(yīng)的坐標為位于第三象限故選:.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算,復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)點的對應(yīng)關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
將圓的方程化簡成標準方程,再根據(jù)垂徑定理求解即可.【詳解】圓的標準方程,圓心坐標為,半徑為,因為直線與圓相交所得弦長為,所以直線過圓心,得,即.故選:A【點睛】本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線中參數(shù)的方法,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】
由折線圖逐項分析即可求解【詳解】選項,顯然正確;對于,,選項正確;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列,故錯.故選:D【點睛】本題考查統(tǒng)計的知識,考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識,是基礎(chǔ)題10、A【解析】
由題意分別判斷命題的充分性與必要性,可得答案.【詳解】解:由題意,若、的體積不相等,則、在等高處的截面積不恒相等,充分性成立;反之,、在等高處的截面積不恒相等,但、的體積可能相等,例如是一個正放的正四面體,一個倒放的正四面體,必要性不成立,所以是的充分不必要條件,故選:A.【點睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判定,意在考查學(xué)生的邏輯推理能力.11、B【解析】
轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,求函數(shù)最值,即得解.【詳解】由,可知.設(shè),則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以.所以.故的取值范圍是.故選:B【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在恒成立問題中的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.12、D【解析】
根據(jù)集合的基本運算即可求解.【詳解】解:,,,則故選:D.【點睛】本題主要考查集合的基本運算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
將四面體補充為長寬高分別為的長方體,體對角線即為外接球的直徑,從而得解.【詳解】采用補體法,由空間點坐標可知,該四面體的四個頂點在一個長方體上,該長方體的長寬高分別為,長方體的外接球即為該四面體的外接球,外接球的直徑即為長方體的體對角線,所以球半徑為,體積為.【點睛】本題主要考查了四面體外接球的常用求法:補體法,通過補體得到長方體的外接球從而得解,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
對函數(shù)零點問題等價轉(zhuǎn)化,分離參數(shù)討論交點個數(shù),數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】由題:函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個零點,,等價于函數(shù)恰有兩個公共點,作出大致圖象:要有兩個交點,即,所以.故答案為:【點睛】此題考查函數(shù)零點問題,根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,關(guān)鍵在于對函數(shù)零點問題恰當(dāng)變形,等價轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合求解.15、【解析】
作出圖形,設(shè)點為線段的中點,可得出且,進而可計算出的值.【詳解】設(shè)點為線段的中點,則,,,.故答案為:.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計算,涉及平面向量數(shù)量積運算律的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是選擇合適的基底表示向量,考查計算能力,屬于中等題.16、4【解析】
由題意結(jié)合代數(shù)式的特點和均值不等式的結(jié)論整理計算即可求得最終結(jié)果.【詳解】.當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.據(jù)此可知:的最小值為4.【點睛】條件最值的求解通常有兩種方法:一是消元法,即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系,然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解;二是將條件靈活變形,利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子,然后利用基本不等式求解最值.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)10【解析】
(1)消去參數(shù),可得曲線C的普通方程,再根據(jù)極坐標與直角坐標的互化公式,代入即可求得曲線C的極坐標方程;(2)將代入曲線C的極坐標方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,求得,進而得到=,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),即可求解.【詳解】(1)由題意,曲線C的參數(shù)方程為,消去參數(shù),可得曲線C的普通方程為,即,又由,代入可得曲線C的極坐標方程為.(2)將代入,得,即,所以=,其中,當(dāng)時,取最大值,最大值為10.【點睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程,極坐標方程與直角坐標方程的互化,以及曲線的極坐標方程的應(yīng)用,著重考查了運算與求解能力,屬于中檔試題.18、(1);(2)的最小值為19.【解析】
(1)根據(jù)條件列方程組求出首項、公差,即可寫出等差數(shù)列的通項公式;(2)根據(jù)等差數(shù)列前n項和化簡,利用裂項相消法求和,解不等式即可求解.【詳解】(1)等差數(shù)列的公差設(shè)為,,,可得,,解得,,則;(2),,前n項和為,即,可得,即,則的最小值為19.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式,等差數(shù)列的前n項和,裂項相消法求和,屬于中檔題19、(1);(2)【解析】
(1)分類討論去絕對值號,即可求解;(2)原不等式可轉(zhuǎn)化為在R上恒成立,分別求函數(shù)與的最小值,根據(jù)能同時成立,可得的最小值,即可求解.【詳解】(1)①當(dāng)時,不等式可化為,得,無解;②當(dāng)-2≤x≤1時,不等式可化為得x>0,故0<x≤1;③當(dāng)x>1時,不等式可化為,得x<2,故1<x<2.綜上,不等式的解集為(2)由題意知在R上恒成立,所以令,則當(dāng)時,又當(dāng)時,取得最小值,且又所以當(dāng)時,與同時取得最小值.所以所以,即實數(shù)的取值范圍為【點睛】本題主要考查了含絕對值不等式的解法,分類討論,函數(shù)的最值,屬于中檔題.20、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)連接OE,利用三角形中位線定理得到OE∥PC,即可證出OE∥平面PBC;(2)由E是PA的中點,,求出S△ABD,即可求解.【詳解】(1)證明:如圖所示:∵點O,E分別是AC,PA的中點,∴OE是△PAC的中位線,∴OE∥PC,又∵OE平面PBC,PC平面PBC,∴OE∥平面PBC;(2)解:∵PA=AB=4,∴AE=2,∵底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,∴S△ABD,∴三棱錐E﹣PBD的體積.【點睛】本題考查空間線、面位置關(guān)系,證明直線與平面平行以及求三棱錐的體積,注意等體積法的應(yīng)用,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計算能力,屬于基礎(chǔ)題.21、(1)答案不唯一,具體見解析(2)【解析】
(1)由于函數(shù),得出,分類討論當(dāng)和時,的正負,進而得出的單調(diào)性;(2)求出,令,得,設(shè),通過導(dǎo)函數(shù),可得出在上的單調(diào)性和值域,再分類討論和時,的單調(diào)性,再結(jié)合,恒成立,即可求出的取值范圍.【詳解】解:(1)因為,所以,①當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減.②當(dāng)時,令,則;令,則,所以在單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上所述,當(dāng)時,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)因為,可知,,令,得.設(shè),則.當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,所以在上的值域是,即.當(dāng)時,沒有實根,且,在上單調(diào)遞減,,符合題意.當(dāng)時,,所以有唯一實根,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,,不符合題意.綜上,,即的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和根據(jù)恒成立問題求參數(shù)范圍,還運用了構(gòu)造函數(shù)法,還考查分類討論思想和計算能力,屬于難題.22、(1)見證明;(2)【解析】
(1)先證明等腰梯形中,然后證明,即可得到丄平面
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