杭州初中數(shù)學(xué)八年級下冊期中典型試卷2

2021-2022學(xué)年下學(xué)期杭州初中數(shù)學(xué)八年級期中典型試卷2

一.選擇題（共10小題）

1.（2014?孝感）下列二次根式中，不能與我合并的是（）

A.需B.V8C.V12D.我

2.（2015秋?南岸區(qū)期末）已知x=-2是方程/-4x+c=0的一個根，則c的值是（）

A.-12B.-4C.4D.12

3.（2020春?麗水期末）甲、乙、丙、丁四個小組參加體育測試，他們成績的平均分均為26

分，方差分別為：Sq，2=2.5,S乙2=67,S丙2=9,ST2=H.2,則這四個小組體育測試

成績最穩(wěn)定的是（）

A.甲組B.乙組C.丙組D.丁組

4.（2015春?婺城區(qū)期末）下列運(yùn)算正確的是（）

A.｛（-13）2=73B.3我-2后=1

C.-3泥+注=-2遙D.V36=±6

5.（2021春?余杭區(qū)期中）把方程/-4x-1=0轉(zhuǎn)化成（x+〃?）2=〃的形式，則機(jī)，〃的值

是（）

A.2,3B.2,5C.-2,3D.-2,5

6.（2021春?海淀區(qū)校級期末）在nABCD中，ZA：NB=3：1,則（）

A.22.5°B.45°C.135°D.157.5°

7.（2021春?拱墅區(qū)期中）若3＜。＜4,則Ja2-6a+9等于（）

A.2a-7B.-1C.7-2aD.1

8.（2020春?遷西縣期末）如圖，菱形ABC。的頂點C在直線MN上，若Nl=50°,Z2

=20°,則N2OC的度數(shù)為（）

9.（2021秋?東興區(qū)校級期中）實數(shù)a,b,c滿足4a-2b+c=0,則（）

A.b1-4ac>0B.廿-4ac》0C.b2-4ac<0D.b2-4?c<0

10.（2021春?拱塞區(qū)校級期中）如圖，在平行四邊形ABCC中，對角線AC、8。相交于點

O,AC=A8,E是AB邊的中點，G、F為BC上的點，連接OG和EF,若AB=26,BC

=20,GF^10,則圖中陰影部分的面積為（）

A.60aB.20娓C.120D.130

二.填空題（共6小題）

11.（2019春?順義區(qū)期末）如果一個多邊形的內(nèi)角和為540°,那么這個多邊形是.

12.（2019?海寧市一模）用反證法證明命題“三角形中至少有兩個銳角”，第一步應(yīng)假

設(shè).

13.（2021春?拱墅區(qū)校級期中）方程（3x+2）（2x-3）=5化為一般形式是；其中

二次項系數(shù)是.

14.（2017春?南陵縣期末）某班共有50名學(xué)生，平均身高為168cm,其中30名男生的平

均身高為nOcm,則20名女生的平均身高為cm.

15.（2021春?余杭區(qū)期中）已知三角形兩邊的長分別是4和3,第三邊的長是一元二次方程

x2-8x+15=0的一個實數(shù)根，則該三角形的面積是.

16.（2021春?余杭區(qū)期中）如圖，在QA8CZ）中，AD=2AB,F是的中點，作CE_LA8,

垂足E在線段AB上（不與A、B重合），連接ERCF,則以下結(jié)論：

①NDCF”NBCD；

2

?EF=CF；

③SCBEC<2SACEF；

④/

一定成立的是.

B

三.解答題(共7小題)

17.(2021春?拱墅區(qū)期中)為了響應(yīng)教育部關(guān)于學(xué)生使用手機(jī)的規(guī)定，鼓勵師生課外閱讀,

某校開展“放下手機(jī)，手捧書香”的活動.為了解學(xué)生課外閱讀情況，抽樣調(diào)查了八年

級部分學(xué)生每周用于課外閱讀的時間：

【數(shù)據(jù)收集】隨機(jī)抽取20名學(xué)生，進(jìn)行了每周用于課外閱讀時間的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下(單

位：min)：

60,81,120,140,70,81,10,20,100,81,30,60,81,50,40,110,130,146,

90,100.

【整理數(shù)據(jù)】

課外閱讀時間x(min)0?4040?8080^x<120120^x<160

等級DCBA

人數(shù)35a4

【分析數(shù)據(jù)】

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

80bc

(1)直接寫出a、b、C的值；

(2)如果八年級現(xiàn)有學(xué)生280人，估計該年級等級為“B”的學(xué)生有多少名？

18.(2021春?拱墅區(qū)期中)計算：

(1)(V2+V3)2;

(2)我昭.

V12

19.(2021春?拱墅區(qū)校級期中)已知：如圖，在aABC。中，點E、F分別在A。、BC上,

EF與BO相交于點O,AE=CF.求證：BD、EF互相平分.

20.(2021春?拱嬖區(qū)校級期中)某學(xué)校計劃利用一片空地建一個學(xué)生自行車車棚，其中一

面靠墻，這堵墻的長度為12米.計劃建造車棚的面積為80平方米，已知現(xiàn)有的木板材

料可使新建板墻的總長為28米.

(1)這個車棚的長和寬分別應(yīng)為多少米？

(2)如圖，為了方便學(xué)生取車，施工單位決定在車棚內(nèi)修建幾條等寬的小路，使得停放

自行車的面積為54平方米，那么小路的寬度是多少米？

21.(2021春?蕭山區(qū)期中)如圖，在平行四邊形ABC力中，ZABC,的平分線分別

交A￡)于點E,F,BE,CF相交于點G.

(1)求證：BE1CF；

22.(2021?安州區(qū)校級模擬)某童裝專賣店在銷售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件進(jìn)價為80元，銷

售價為120元時，每天可售出20件，為了迎接“五一”國際勞動節(jié)，商店決定采取適當(dāng)

的降價措施，以擴(kuò)大銷售量，盡快減少庫存，增加利潤.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件童

裝降價1元，那么平均可多售出2件.

(1)設(shè)每件童裝降價x元時，每天可銷售件，每件盈利元；(用x的代

數(shù)式表示)

(2)為了擴(kuò)大銷售量，盡快減少庫存，每件童裝降價多少元時，平均每天盈利1200元;

(3)平均每天盈利1200元是最大日盈利嗎？如果是，請說明理由：如果不是，請求出

平均日盈利的最大值.

23.(2020春?嘉興期末)如圖，將矩形ABC。繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形FECG,

使點B落在AO邊上的點E處，連接BG交CE于點連接BE.

(1)求證：BE平分/AEC；

(2)取BC中點P,連接P”，求證：PH//CG；

(3)若BC=2A8=2,求8G的長.

2021-2022學(xué)年下學(xué)期杭州初中數(shù)學(xué)八年級期中典型試卷2

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2014?孝感）下列二次根式中，不能與我合并的是（）

A.JlB.Vsc.A/12D.A/18

【考點】同類二次根式.

【專題】常規(guī)題型.

【分析】根據(jù)二次根式的乘除法，可化簡二次根式，根據(jù)最簡二次根式的被開方數(shù)相同，

可得答案.

【解答】解：A、衽半故A能與值并；

B、我=2亞，故2能與我合并；

C、A/12=2V3-故C不能與M合并；

D、Vl8=3V2-故。能與正合并；

故選：C.

【點評】本題考查了同類二次根式，被開方數(shù)相同的最簡二次根式是同類二次根式.

2.（2015秋?南岸區(qū)期末）已知x=-2是方程/-4x+c=0的一個根，則c的值是（）

A.-12B.-4C.4D.12

【考點】一元二次方程的解.

【分析】由x=-2為已知方程的解，將x=-2代入方程求出c的值.

【解答】解：把x=-2代入x2-4x+c=0,得

（-2）2-4X（-2）+c=0,

解得c--12.

故選：A.

【點評】此題考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就

是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立.

3.（2020春?麗水期末）甲、乙、丙、丁四個小組參加體育測試，他們成績的平均分均為26

分，方差分別為：S甲2=2.5,S乙2=[5.7,S丙2=%5丁2="2,則這四個小組體育測試

成績最穩(wěn)定的是（）

A.甲組B.乙組C.丙組D.丁組

【考點】方差；算術(shù)平均數(shù).

【專題】統(tǒng)計的應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【分析】根據(jù)方差的意義求解可得.

2

【解答】解：甲2=2.5,S/=15.7,S丙2=9,5T=H.2,

:.S甲2<S丙2Vs丁乙2,

...這四個小組體育測試成績最穩(wěn)定的是甲組，

故選：A.

【點評】本題主要考查方差，解題的關(guān)鍵是掌握方差的意義：方差是反映一組數(shù)據(jù)的波

動大小的一個量.方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越?。环粗?，則它與

其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好.

4.（2015春?婺城區(qū)期末）下列運(yùn)算正確的是（）

A.｛（-13）2=73B.3亞-2亞=1

C.-3泥+遙=-2遙D.736=±6

【考點】實數(shù)的運(yùn)算.

【分析】A、根據(jù)二次根式的性質(zhì)計算即可判定；

8、根據(jù)合并同類二次根式的法則計算即可判定；

C、根據(jù)合并同類二次根式的法則計算即可判定；

。、根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可判定.

【解答】解：人.（-13）2=13,故選項錯誤；

B、3y-2&=料，故選項錯誤；

C、-3粕+&=-275-故選項正確；

。、/玩=6，故選項錯誤.

故選：C.

【點評】此題主要考查了實數(shù)的運(yùn)算.無理數(shù)的運(yùn)算法則與有理數(shù)的運(yùn)算法則是一樣

的.注意：F表示。的算術(shù)平方根.在進(jìn)行根式的運(yùn)算時要先化簡再計算可使計算簡便.

5.（2021春?余杭區(qū)期中）把方程7-4x-1=0轉(zhuǎn)化成（x+而2=〃的形式，則加，〃的值

是（）

A.2,3B.2,5C.-2,3D.-2,5

【考點】解一元二次方程-配方法.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念.

【分析】將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式

后即可得出答案.

【解答】解：1=0,

.'?A2-4x=l,

貝！Ix2-4x+4=1+4,即(x-2)2=5,

??m=~2,〃=5,

故選：D.

【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方

法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的

方法是解題的關(guān)鍵.

6.(2021春?海淀區(qū)校級期末)在nABCO中，ZA：NB=3：1,則NQ=()

A.22.5°B.45°C.135°D.157.5°

【考點】平行四邊形的性質(zhì).

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【分析】利用NA和NB互補(bǔ)，加上已知的角度之比可得NA度數(shù)，那么

【解答】解：???四邊形ABC。是平行四邊形，

AZA+ZB=180°,ND=NB,

VZA：ZB=3：1,

：.NB=45°,

:.ND=NB=45°.

故選：B.

【點評】考查了平行四邊形的性質(zhì)，用到的知識點為：平行四邊形的對角相等，鄰角互

補(bǔ).

7.(2021春?拱墅區(qū)期中)若3＜。＜4,則｛22-62+9一型一封等于()

A.2a-7B.-1C.7-2aD.1

【考點】二次根式的性質(zhì)與化簡.

【專題】二次根式；符號意識.

【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)分別化簡得出答案.

【解答】解：；3Va<4,

=Y（a-3）2-…

—a-3-（4-a）

=a-3-4+a

=2a-7.

故選：A.

【點評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確化簡各式是解題關(guān)鍵.

8.（2020春?遷西縣期末）如圖，菱形A8C。的頂點C在直線MN上，若Nl=50°,Z2

=20°,則NBDC的度數(shù)為（）

A.20°B.30°C.35°D.40°

【考點】菱形的性質(zhì).

【專題】矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求出答案.

【解答】解：；Nl=50°,N2=20°,

：.ZBCD=\\0°,

在菱形ABCD中，

BC=CD,

；.2BDC=35°,

故選：C.

【點評】本題考查菱形，解題的關(guān)鍵熟練運(yùn)用菱形的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型.

9.（2021秋?東興區(qū)校級期中）實數(shù)a,b,c滿足4a-28+c=0,則（）

A./>2-4?c>0B.b2-4ac^0C.M-4ac<0D."-4acW0

【考點】配方法的應(yīng)用.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運(yùn)算能力.

【分析】用a,c表示出力，再利用配方法求解即可.

【解答］解：?"=2"+工，

2

.,.b2-4ac—（4a2+2ac+Ac2）-4ac—（2a-工）2>0,

42

故選：B.

另解：

?實數(shù)a,b,c滿足4a-2〃+c=0,

二可以看作-2是方程0+云+c=0的一個根，

.".h2-4ac20,

故選：B.

【點評】本題考查了代數(shù)式，配方法等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中

考常考題型.

10.（2021春?拱里區(qū)校級期中）如圖，在平行四邊形ABCZ）中，對角線AC、8。相交于點

O,AC=AB,E是AB邊的中點，G、F為BC上的點，連接OG和EF若A8=26,BC

=20,GF=10,則圖中陰影部分的面積為（）

A.60aB.20A/5C.120D.130

【考點】平行四邊形的性質(zhì).

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【分析】連接E。，EG,OF,依據(jù)EO是AABC的中位線，即可得出EO//BC,EO=lfiC

2

=10,進(jìn)而得到四邊形EOFG是平行四邊形，據(jù)此可得S陰影部5>=SAAOE+SAEOP+S"GP=S

MO￡+SAEOB=5AA?O,求得△ABO的面積即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖所示，連接EO,EG,OF,

???平行四邊形A8CZ）中，對角線相交于點。，

二0是AC的中點，

又是AB邊的中點，

...EO是△A8C的中位線，

J.EO//BC,EO=1-BC=10,

2

又：GF=10,

：.EO=GF,

四邊形EOFG是平行四邊形，

S&EOP+S^FGP=—SnHiKEOFG=S^EOG,

2

又，：EO//BG,

:.S&EOG=S&EOB,

，SAEOP+S"GP=S&EOB,

S陰影部分=S&AOE+S&EOP+SAFGP=SAAOE+S&EOB=S^ABO,

\'AC=AB=26f8C=20,

等腰AABC中BC邊上的高為,262_]O2=24,

SAABC=AX20X24=240,

2

是AC的中點，

S^ABO——SMBC——X240=120,

22

???陰影部分的面積為120,

故選：C.

【點評】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解題

時注意：平行四邊形的兩條對角線將平行四邊形分成面積相等的四部分.

二.填空題（共6小題）

11.（2019春?順義區(qū)期末）如果一個多邊形的內(nèi)角和為540。，那么這個多邊形是五邊

形.

【考點】多邊形內(nèi)角與外角.

【專題】多邊形與平行四邊形.

【分析】設(shè)多邊形的邊數(shù)為〃，根據(jù)題意得出（〃-2）X1800=540°,即可求出邊.

【解答】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為"，則（〃-2）X1800=540。，

解得：n=5.

故答案為：五邊形

【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，能根據(jù)題意得出關(guān)于n的方程是解此題的關(guān)

鍵，注意：邊數(shù)為〃的多邊形的內(nèi)角和=（?-2）X1800.

12.（2019?海寧市一模）用反證法證明命題''三角形中至少有兩個銳角”，第一步應(yīng)假設(shè)同

一三角形中展多有一個銳角.

【考點】反證法.

【專題】反證法.

【分析】熟記反證法的步驟，直接填空即可.

【解答】解：用反證法證明同一三角形中至少有兩個銳角時，第一步應(yīng)假設(shè)同一三角形

中最多有一個銳角.

故答案為：同一三角形中最多有一個銳角.

【點評】此題主要考查了反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟.在假設(shè)結(jié)論

不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以

了，如果有多種情況，則必須一一否定.

13.（2021春?拱堂區(qū)校級期中）方程（3x+2）（2x-3）=5化為一般形式是67-5x71

=0;其中二次項系數(shù)是6.

【考點】一元二次方程的一般形式.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【分析】一元二次方程的一般式：a^+bx+c—O（a￥0,a,b,c為常數(shù)）.叫二次項，

a叫二次項系數(shù)；以叫一次項，人叫一次項系數(shù)；c叫常數(shù)項.把方程（3x+2）（2x-3）

=5先去括號，再移項，最后合并即可.

【解答】解：（3x+2）（2x-3）=5,

去括號：6/-9x+4x-6=5,

移項：67-9x+4x-6-5=0,

合并同類項：6/-5x71=0.

故一般形式為：6/-5x-11=0,

二次項系數(shù)為：6.

故答案為：6?-5x-11=0；6.

【點評】本題考查的是一元二次方程的一般形式，通過去括號，移項，合并同類項，可

以得到一元二次方程的一般形式，寫出二次項系數(shù).

14.（2017春?南陵縣期末）某班共有50名學(xué)生，平均身高為168a”，其中30名男生的平

均身高為170a",則20名女生的平均身高為165cm.

【考點】算術(shù)平均數(shù).

【專題】計算題.

【分析】設(shè)20名女生的平均身高為XC”，根據(jù)平均數(shù)的定義，列出方程即可解決問題.

【解答】解：某班共有50名學(xué)生，其中30名男生，20名女生，平均身高為168cm；設(shè)

20名女生的平均身高為xcm,

則有：30X170+20Xx=i68,

50

解可得x=165（cm）.

故答案為165.

【點評】本題考查的是樣本平均數(shù)的求法及運(yùn)用，即平均數(shù)公式：7--2------n

n

15.（2021春?余杭區(qū)期中）已知三角形兩邊的長分別是4和3,第三邊的長是一元二次方程

x2-8x+15=0的一個實數(shù)根，則該三角形的面積是6或2\樂.

【考點】解一元二次方程-因式分解法；三角形的面積.

【分析】先解一元二次方程，再由三角形的面積公式求解.

【解答】解：解方程--8x+15=0,得xi=3,也=5.

當(dāng)制=3時，與另兩邊組成等腰三角形，可求得底邊4上的高為泥，所以該三角形的面

積是

當(dāng)X2=5時，與另兩邊組成直角三角形，該三角形的面積=3X4+2=6.

【點評】此題綜合性是比較強(qiáng)的，涉及到一元二次方程的解法、等腰三角形、直角三角

形的判定以及三角形面積的求法.

16.（2021春?余杭區(qū)期中）如圖，在aABCD中，AD=2AB,F是AQ的中點，作CE_LA8,

垂足E在線段4B上（不與A、B重合），連接EF、CF,則以下結(jié)論：

①NDCF=LNBCD；

2

?EF=CF；

③S&BEC〈2S&CEF;

④/OFE=4NAEF.

一定成立的是①②③

【考點】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線.

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【分析】延長EF,交C￡＞延長線于M,分別利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判

定與性質(zhì)得出△AEF絲/XOM凡得出對應(yīng)線段之間關(guān)系進(jìn)而得出答案.

【解答】解：?.?尸是AO的中點，

：.AF=FD,

?.?在儲88中，AD=2AB,

：.AF=FD=CD,

:.NDFC=NDCF,

".'AD//BC,

:"DFC=NFCB,

：.NDCF=NBCF,

：.ZDCF=1ZBCD,故①正確；

2

如圖，延長EF,交cr＞延長線于用，

?.?四邊形A8C。是平行四邊形，

：.AB//CD,

：.NA=NMDF,

?.?尸為A￡）中點,

：.AF=FD,

在△AEF和△DWF中,

<ZA=ZFDM

<AF=DF，

ZAFE=ZDFM

A(ASA),

:?FE=MF,NAEF=NM,

VCE±AB,

AZAEC=90°,

AZAEC=ZECD=90°,

■:FM=EF,

???FC=」EM=FE,故②正確；

2

,:EF=FM,

:*S4EFC=S&CFM,BPS&ECM=2SACEF,

VAAEF^ADMF,

:?S〉A(chǔ)EF=SADMF,

S〉ECM=S四邊形AEC￡),

VS^ABC<S四邊形AECQ,

故S^ABC<2S^CEF；，

,:SABEC<SAABC,

/.S&BEC<2SACEF；

故③成立；

設(shè)NFEC=x,則NFCE=無，

：.ZDCF=ZDFC=9^°-x,

AZEFC=180°-2x,

:?NEFD=900-x+180°-2x=270°-3x,

VZAEF=90°-x,

：.ZDFE=3ZAEF,故④不正確.

正確的有①②③，

故答案為：①②③.

【點評】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出

△AEF空△QMF是解題關(guān)鍵.

三.解答題（共7小題）

17.（2021春?拱墅區(qū)期中）為了響應(yīng)教育部關(guān)于學(xué)生使用手機(jī)的規(guī)定，鼓勵師生課外閱讀,

某校開展“放下手機(jī)，手捧書香”的活動.為了解學(xué)生課外閱讀情況，抽樣調(diào)查了八年

級部分學(xué)生每周用于課外閱讀的時間：

【數(shù)據(jù)收集】隨機(jī)抽取20名學(xué)生，進(jìn)行了每周用于課外閱讀時間的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下（單

位：min）：

60,81,120,140,70,81,10,20,100,81,30,60,81,50,40,110,130,146,

90,100.

【整理數(shù)據(jù)】

課外閱讀時間x（min）0?40404V8080^x<120120<x<160

等級DCB4

人數(shù)35a4

【分析數(shù)據(jù)】

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

80bc

（1）直接寫出a、b、c的值;

（2）如果八年級現(xiàn)有學(xué)生280人，估計該年級等級為“8”的學(xué)生有多少名？

【考點】眾數(shù)；用樣本估計總體；頻數(shù)（率）分布表；中位數(shù).

【專題】統(tǒng)計的應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【分析】（1）用調(diào)查的總?cè)藬?shù)減去其他人數(shù)求出再根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義即可求出

b和c；

（2）用總?cè)藬?shù)乘以等級為“8”的學(xué)生所占的百分比即可.

【解答】解：（1）a=20-3-5-4=8（人），

把這些數(shù)從小大排列為：10,20,30,40,50,60,60,70,81,81,81,81,90,100,

100,110,120,130,140,146,

則中位數(shù)6=°1+°L=81(m/n)；

2

；81出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，

工眾數(shù)c=81(min).

（2）280義且=112（名），

20

答：該年級等級為“8”的學(xué)生有112名.

【點評】此題考查眾數(shù)與中位數(shù)的意義，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。?/p>

重新排列后，最中間的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果

中位數(shù)的概念掌握得不好，不把數(shù)據(jù)按要求重新排列，就會錯誤地將這組數(shù)據(jù)最中間的

那個數(shù)當(dāng)作中位數(shù).

18.（2021春?拱墅區(qū)期中）計算：

（1）（V2+V3）2；

（2）我占

V12

【考點】二次根式的混合運(yùn)算；分母有理化.

【專題】二次根式；運(yùn)算能力.

【分析】（1）根據(jù)完全平方公式即可求出答案.

（2）根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則即可求出答案.

【解答】解：（1）J^^=2+2y[^+3=5+2yf^.

⑵原式嘯提唔需

=娓-近

【點評】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的運(yùn)算法則，本題屬于基

礎(chǔ)題型.

19.（2021春?拱墅區(qū)校級期中）已知：如圖，在。ABC。中，點、E、尸分別在A。、BC上，

E尸與BO相交于點O,AE=CF.求證：BD、E尸互相平分.

AE

O

【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì).

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【分析】連接BE、DF,由平行四邊形的性質(zhì)得出AQ=BC,AD//BC,再由AE=CF得

出則四邊形BEDF是平行四邊形，即可得出結(jié)論.

【解答】證明：連接BE、DF,如圖所示：

?.?四邊形4BCD為平行四邊形，

：.AD=BC,AD//BC,

又，1"仃，

:.DE=BF,

四邊形EBFD為平行四邊形，

:.BD、E尸互相平分.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

20.（2021春?拱墅區(qū)校級期中）某學(xué)校計劃利用一片空地建一個學(xué)生自行車車棚，其中一

面靠墻，這堵墻的長度為12米.計劃建造車棚的面積為80平方米，已知現(xiàn)有的木板材

料可使新建板墻的總長為28米.

（1）這個車棚的長和寬分別應(yīng)為多少米？

（2）如圖，為了方便學(xué)生取車，施工單位決定在車棚內(nèi)修建幾條等寬的小路，使得停放

自行車的面積為54平方米，那么小路的寬度是多少米？

【考點】一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【分析】(1)設(shè)平行于墻的邊長為X米，則垂直于墻的邊長為竺三米，根據(jù)建造車棚的

2

面積為80平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再結(jié)合墻的

長度即可確定結(jié)論；

(2)設(shè)小路的寬度是〃？米，則停放自行車的區(qū)域可合成長為(10-%)米，寬為(8-

2m)米的長方形，根據(jù)停放自行車的面積為54平方米，即可得出關(guān)于，"的一元二次方

程，解之取其合適的值即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)設(shè)平行于墻的邊長為x米，則垂直于墻的邊長為暨三米，

2

依題意得：x?28-x=80,

2

整理得：X2-28x4-160=0,

解得：xi=8,X2=2O.

又;這堵墻的長度為12米，

8,

A28-X^10

2

答：這個車棚的長為10米，寬為8米.

(2)設(shè)小路的寬度是〃？米，則停放自行車的區(qū)域可合成長為(10-%)米，寬為(8-

2m)米的長方形，

依題意得：(10-m)(8-2m)=54,

整理得：m2-14m+13=0,

解得：＞721=I,7/12=13.

當(dāng)》2=1時，10-機(jī)=9,8-2/n=6,符合題意；

當(dāng)機(jī)=13時，10-巾=-3,不合題意，舍去.

答：小路的寬度是1米.

【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解

題的關(guān)鍵.

21.(2021春?蕭山區(qū)期中)如圖，在平行四邊形4BCQ中，ZABC,NBO的平分線分別

交AO于點E,F,BE,CF相交于點G.

(1)求證：BEVCF-,

(2)求證：AF=DE.

【考點】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì).

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形兩組對邊分別平行可得/ABC+N8CZ)=180。，再根據(jù)角

平分線的性質(zhì)可得工/OCB=90°,進(jìn)而可得BE_LC/；

22

(2)根據(jù)等角對等邊證得A8=AE、DC=DF,從而得到AE=OF,從而證得結(jié)論.

【解答】證明：(I)；四邊形ABC。為平行四邊形，

：.AB//DC,

：.ZABC+ZDCB^\SO°,

■:BE、CF分別平分/ABC與NOCB,

ZEBC=1.ZABC,NFCB=LNDCB,

22

NEBC+NFCB=!(ZABC+ZDCB)=90°,

2

，/BGC=180°-(NEBC+NFCB)=90°,

：.BE±CF；

(2)證明：在平行四邊形ABC。中，

：.AD//BC,AB=DC,

：.NAEB=NEBC,

,:BE平分NABC,

NABE=NEBC,

：.NABE=NAEB,

：.AB=AE,

同理可得：DC=DF,

：.AE=DF,

：.AE-FE=DF-FE,

BPAF=DE.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是

掌握平行四邊形的性質(zhì).

22.（2021?安州區(qū)校級模擬）某童裝專賣店在銷售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件進(jìn)價為80元，銷

售價為120元時，每天可售出20件，為了迎接“五一”國際勞動節(jié)，商店決定采取適當(dāng)

的降價措施，以擴(kuò)大銷售量，盡快減少庫存，增加利潤.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件童

裝降價1元，那么平均可多售出2件.

（1）設(shè)每件童裝降價x元時，每天可銷售（20+2%）件,每件盈利（40-x）元:

（用x的代數(shù)式表示）

（2）為了擴(kuò)大銷售量，盡快減少庫存，每件童裝降價多少元時，平均每天盈利1200元;

（3）平均每天盈利1200元是最大日盈利嗎？如果是，請說明理由；如果不是，請求出

平均日盈利的最大值.

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用；一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【分析】（1）根據(jù)：銷售量=原銷售量+因價格下降而增加的數(shù)量，每件利潤=實際售價

-進(jìn)價，列式即可；

（2）設(shè)每件童裝降價x元，則銷售量為（20+2x）件，根據(jù)總利潤=每件利潤X銷售數(shù)

量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結(jié)論；

（3）設(shè)每件童裝降價x元，則銷售量為（20+2#件，根據(jù)總利潤=每件利潤X銷售數(shù)

量，列式表示出總利潤，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出平均日盈利的最大值.

【解答】解：（1）設(shè)每件童裝降價x元時，每天可銷售（20+2x）件，每件盈利（40-x）

元，

故答案為:（20+2x）,（40-x）；

（2）設(shè)每件童裝降價x元，則銷售量為（20+2x）件，

根據(jù)題意得：（120-80-%）（20+2%）=1200,

整理得：?-30x+200=0,

解得：xi=10,X2—20.

;為了擴(kuò)大銷售量，盡快減少庫存，

，x=20.

答：每件童裝降價20元時，平均每天盈利1200元；

（3）1200元不是最大日盈利.

設(shè)每件童裝降價X元，則銷售量為(20+2X)件，

根據(jù)題意得：(120-80-%)(20+2%)=(20+2%)(40-x)=-2?+60x+800=-2(%-

15)2+1250,

所以平均日盈利的最大值為1250元.

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的實際應(yīng)用，理解題意找到題目

蘊(yùn)含的等量關(guān)系是列方程求解的關(guān)鍵.

23.(2020春?嘉興期末)如圖，將矩形4BCO繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形FECG,

使點B落在4。邊上的點E處，連接BG交CE于點H,連接8E.

(1)求證：BE平分NAEC；

(2)取BC中點P,連接PH,求證：PH//CG-,

(3)若BC=248=2,求BG的長.

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；矩形的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【分析】S)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CB=CE,求得NEBC=NBEC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得

到于是得到結(jié)論；

(2)如圖1,過點8作CE的垂線BQ,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到求得CG=

BQ,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到8H=G”，根據(jù)三角形的中位線定理即可得到結(jié)論；

(3)如圖2,過點G作8c的垂線GM,解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1),??矩形A8CD繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到矩形FECG,

：.CB=CE,

:.NEBC=NBEC,

又YAD//BC,

：.ZEBC=4BEA,

:.NBEA=NBEC,

???3E平分NAEC；

(2)如圖1,過點3作CE的垂線BQ,

〈BE平分N4EC,BALAE,BQA.CE,

：.AB=BQf

：.CG=BQ,

?：ZBQH=ZGCH=90°,BQ=AB=CG,/BHQ=NGHC,

：./\BHQ^/\GHC(AAS),

：.BH=GH,

即點”是3G中點，

又??,點P是BC中點,

：.PH//CG；

(3)如圖2,過點G作8c的垂線GM,

■:BC=2AB=2,

：.BQ=\f

：.ZBCQ=30°,

VZ￡CG=90°,

???NGCM=60°,

,GM亭CM=|>

***BG=^/Y*

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形的中

位線定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

考點卡片

1.實數(shù)的運(yùn)算

（1）實數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、

乘方運(yùn)算，又可以進(jìn)行開方運(yùn)算，其中正實數(shù)可以開平方.

（2）在進(jìn)行實數(shù)運(yùn)算時，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行.

另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實數(shù)運(yùn)算的“三個關(guān)鍵”

1.運(yùn)算法則：乘方和開方運(yùn)算、幕的運(yùn)算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運(yùn)算、根

式運(yùn)算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運(yùn)算中要從

左到右依次運(yùn)算，無論何種運(yùn)算，都要注意先定符號后運(yùn)算.

3.運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度.

2.二次根式的性質(zhì)與化簡

（1）二次根式的基本性質(zhì)：

①心0（雙重非負(fù)性）.

②（g）2=aQ20）（任何一個非負(fù)數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）.

'a（a>0）

③、口=同=10（a=0）（算術(shù)平方根的意義）

|-a（a<0）

（2）二次根式的化簡：

①利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡；

②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡.

Vab=Va,Vb（心0,后°）苧=干（心0,b>0）

（3）化簡二次根式的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被

開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一

個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2.

【規(guī)律方法】二次根式的化簡求值的常見題型及方法

1.常見題型：與分式的化簡求值相結(jié)合.

2.解題方法：

（1）化簡分式：按照分式的運(yùn)算法則，將所給的分式進(jìn)行化簡.

（2）代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結(jié)果.

（3）檢驗結(jié)果：所得結(jié)果為最簡二次根式或整式.

3.分母有理化

（1）分母有理化是指把分母中的根號化去.

分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式.

例如：①1=4=遍:②1=G瓜=遍瓜

VaVaaVaWb（VaWb）（Va-Vb）a-b

（2）兩個含二次根式的代數(shù)式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數(shù)式成互為

有理化因式.

一個二次根式的有理化因式不止一個.

例如：加-遂的有理化因式可以是加+如，也可以是a（加+“），這里的。可以是任意

有理數(shù).

4.同類二次根式

同類二次根式的定義：

一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個

二次根式叫做同類二次根式.

合并同類二次根式的方法：

只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變.

【知識拓展】同類二次根式

把幾個二次根式化為最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫做同類

二次根式.

（1）同類二次根式類似于整式中的同類項.

（2）幾個同類二次根式在沒有化簡之前，被開方數(shù)完全可以互不相同.

（3）判斷兩個二次根式是否是同類二次根式，首先要把它們化為最簡二次根式，然后再看

被開方數(shù)是否相同.

5.二次根式的混合運(yùn)算

(1)二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用.學(xué)習(xí)二次

根式的混合運(yùn)算應(yīng)注意以下幾點：

①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的.

②在運(yùn)算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多

項式

(2)二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡二次根式.

(3)在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)

的解題途徑，往往能事半功倍.

6.一元二次方程的一般形式

(1)一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式a^+bx+c^O

(a#0).這種形式叫一元二次方程的一般形式.

其中叫做二次項，。叫做二次項系數(shù)；以叫做一次項；c叫做常數(shù)項.一次項系數(shù)匕和

常數(shù)項c可取任意實數(shù)，二次項系數(shù)。是不等于0的實數(shù)，這是因為當(dāng)a=0時，方程中就

沒有二次項了，所以，此方程就不是一元二次方程了.

(2)要確定二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項，必須先把一元二次方程化成一般形式.

7.一元二次方程的解

(1)一元二次方程的解(根)的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因為只含有一個未知

數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解.這xi,也是一元二次方程o?+bx+c

=0(?^0)的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量.

axr+bxx+c—O(aWO),ax^+bxi+c—O(aWO).

8.解一元二次方程-配方法

(1)將一元二次方程配成(X+加)2=〃的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二

次方程的方法叫配方法.

(2)用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為這2+嬴+C=0(。#0)的形式；

②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1,并把常數(shù)項移到方程右邊；

③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；

⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負(fù)數(shù),

則判定此方程無實數(shù)解.

9.解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形

式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把

原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）.

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式

分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解.

10.一元二次方程的應(yīng)用

1、列方程解決實際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，檢驗和作答.

2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：

（1）數(shù)字問題：個位數(shù)為“，十位數(shù)是從則這個兩位數(shù)表示為10匕+”.

（2）增長率問題：增長率=增長數(shù)量/原數(shù)量X100%.如：若原數(shù)是①每次增長的百分率

為x,則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為“（1+尤）2,即原數(shù)X（1+增長百分率）

2=后來數(shù).

（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長.②利用三角形、

矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程.③利用相

似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，得到一元二次方程.

（4）運(yùn)動點問題：物體運(yùn)動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線與其他條件會

構(gòu)成直角三角形，可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解.

【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”

1.審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.

2.設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù).

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