《組合數(shù)及其性質》

北師大版同步教材精品課件《組合數(shù)及其性質》教學設計一、情境引入現(xiàn)場調(diào)查：對于體育運動項目，請問同學們是喜歡對抗型項目的同學多一些呢？還是喜歡耐力型項目的同學多一些呢？一個調(diào)查問題：對一次學校運動會中的兩個特定項目：趣味投羽毛球、3000米長跑，某班級32位同學必須參加其中一個項目且僅參加一個項目（每一位同學可以在兩個項目中任選一個，要求17人參加3000米跑，其余人參加趣味投羽毛球），假設你是班級體育委員，你能算出所有可能的報名情況嗎？請發(fā)表觀點：僅統(tǒng)計報名趣味投羽毛球的所有可能情況；僅統(tǒng)計報名3000米長跑的所有可能情況.提煉觀點：體育委員在統(tǒng)計報名的所有可能情況時，用到了什么數(shù)學知識？哪位同學能為大家來解讀下？設計意圖：通過貼近學生實際的問題激發(fā)學生的學習興趣，引導學生探究組合問題的求法，為引入組合數(shù)的概念以及研究組合數(shù)的性質奠定基礎.二、新知探究1.組合數(shù)問題1：大家前面學習過排列問題，我們知道求排列問題的個數(shù)稱為排列數(shù)，用類似地，對于一般的組合問題，如何計算所有組合的個數(shù)呢？表示，我們給出組合數(shù)的概念：從n個不同元素中取出m（m≤n，且m，n∈N+）個元素的所有組合的個數(shù)，叫作從n個不同元素中取出m（m≤n，且m，n∈N+）個元素的組合數(shù)，記作前面我們已經(jīng)研究過排列數(shù)的計算，下面我們通過分解排列數(shù)的計算步驟來得到計算組.合數(shù)的方法.問題2：大家回憶一下上節(jié)課我們學習的問題2的計算過程，用組合數(shù)怎樣解決？教學設計在上節(jié)課的問題2中，從a，b，c，d這4個不同元素中取出2個元素的排列問題可以分解成以下2個步驟：第1步，從a，b，c，d這4個不同元素中取出2個元素，共有第2步，將取出的2個元素進行排列，共有因此，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，，從而.種取法；種排法.【師生活動】以上內(nèi)容教師指定一名學生完成，教師引導.設計意圖：回顧排列數(shù)，由特殊到一般，為組合數(shù)的推導奠定基礎.問題3：類似排列數(shù)公式，你能推導出組合數(shù)公式嗎？結合上面的分析推導，推導過程如下：教學設計一般地，考慮A與C的關系：把“從n個不同元素中取出m（m≤n，且m，n∈N+）個元素進行排列”這件事，可以分解為以下2個步驟：第1步，從n個不同元素中取出m個元素，共有第2步，將取出的m個元素進行排列，共有因此，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，我們得到“從n個不同元素中取出m（m≤n，且m，n∈N+）個元素進行排列”共有種排法，即由此，我們得到從n個不同元素中取出m（m≤n，且m，n∈N+）個元素的組合數(shù)為上面的公式稱為組合數(shù)公式.種取法；種排法...規(guī)定：思考組合數(shù)公式的使用范圍是什么？.教學設計提示：乘積式適用于含具體數(shù)字的組合數(shù)的求值；階乘式適用于含字母的組合數(shù)的有關變形及證明.【師生活動】教師引導學生完成以上推導過程.設計意圖：從先組后排的角度認識排列數(shù)的由來，并由此推導出組合數(shù)公式，培養(yǎng)學生的邏輯推理核心素養(yǎng).2.組合數(shù)的性質問題4：分別計算“從10人中選出6人參加比賽”與“從10人中選出4人不參加比賽”的方法數(shù).分析：“從10人中選出6人參加比賽”相當于“從10人中選出4人不參加比賽”，因此，從10人中選出6人參加比賽的方法數(shù)與從10人中選出4人不參加比賽的方法數(shù)是相同的，即.思考：從問題4中你能得到關于組合數(shù)的什么結論？結論：一般地，組合數(shù)有如下性質：性質1：.教學設計【師生活動】教師指定一名學生完成問題4，然后引導學生小組討論得出性質1.設計意圖：通過分析具體問題，由特殊到一般，得出組合數(shù)的性質1.問題5：從10名普通戰(zhàn)士和1名班長中選出5名參加軍事比武大賽，共有多少種方案？分析：一方面，從11名中選出5名參加軍事比武大賽，共有另一方面，選出的5名可以分成以下2類：第1類，含有班長，共有第2類，不含班長，共有因此，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有由此，我們得到：.種方案.種方案；種方案.種方案.思考：從問題5中你能得到關于組合數(shù)的什么結論？結論：一般地，組合數(shù)還有下面的性質：教學設計性質2：我們通過構造下面的情境來說明性質2.性質2的左邊表示：從（n+1）個不同的小球中取出m個小球的組合數(shù).現(xiàn)將這（n+1）個小球看成n個紅球和1個黑球，從中取出m個球.所有取法可以分成以下2類：第1類，不取黑球，從n個紅球中，取出m個球，方法數(shù)為第2類，取出1個黑球和（m-1）個紅球，因此，取出的方法數(shù)相當于從n個紅球中，取出（m-1）個球，方法數(shù)為因此，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有由此，我們得到：..；.種取法.【師生活動】問題5可以教師引導學生一起完成，不過對于性質2和性質2的情境說明，學生可能悟不出來，需要以教師講解為主.設計意圖：通過實例分析得出組合數(shù)的性質2以及性質2的情境說明.教學設計思考1如何理解組合數(shù)的性質1？提示：性質1反映了組合數(shù)的對稱性，當時，通常不直接計算轉化，而是用性質思考2組合數(shù)的性質2的特點及作用是什么？提示：特點是左端下標為n+1，右端下標都為n，相差1；左端的上標與右端上標的一個一樣，右端的另一個上標比它們少1.要注意性質的順用、逆用、變形用.順用是將一個組合數(shù)拆成兩個；逆用則是的使用，為某些項相互抵消提供了方便，在解題中要減少計算量.“合二為一”；變形式注意靈活運用.設計意圖：通過思考，幫助學生理解組合數(shù)的性質，并學會靈活應用它們解決問題.教學設計三、典例分析例1計算：（1）；（2）【師生活動】學生在練習本上計算，教師找兩名學生板演，然后共同訂正.解（1）；..（2）設計意圖：利用組合數(shù)公式直接進行計算，培養(yǎng)學生數(shù)學運算能力.教學設計例2已知平面內(nèi)有12個點，任何3個點均不在同一直線上，以每3個點為頂點畫一個三角形，一共可以畫多少個三角形.【師生活動】教師引導學生完成以下分析，并找一名學生完成解答.分析已知“任何3個點均不在同一直線上”，所以在12個點中任取3個點都可以構成一個三角形，且這3個點不必考慮順序，如△ABC，△ACB，△BAC，△BCA，△CAB，△CBA都表示同一個三角形.因此，這是一個從12個不同元素中取出3個元素的組合問題.解依題意知以平面內(nèi)12個點中的每3個點為頂點畫三角形，可畫的三角形的個數(shù)，就是從12個不同元素中取出3個元素的組合數(shù)，即.因此，一共可以畫220個三角形.設計意圖：通過應用組合數(shù)公式解決實際問題，培養(yǎng)學生的知識運用能力.教學設計四、課堂小結教師引導學生回顧本節(jié)課所學知識，1.組合數(shù)的概念2.組合數(shù)公式3.組合數(shù)的性質五、布置作業(yè)教材第169頁習題5-3A組第1~4題.教學設計板書設計3.2組合數(shù)及其性質1.組合數(shù)（1）組