專題04圓（考題猜想易錯必刷70題20種題型）（解析版）-2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考點(diǎn)大串講（浙教版）

專題04圓的基本性質(zhì)（考題猜想易錯必刷70題20種題型專項訓(xùn)練）圓的基本概念判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系確定圓的條件三角形的外接圓旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象與旋轉(zhuǎn)圖案旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的作圖旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的綜合題利用垂徑定理求值垂徑定理的應(yīng)用弦、弧、圓心角的關(guān)系同弧或等弧所對的圓周角相等圓周角定理直徑所對的圓周角是直角圓的內(nèi)接四邊形角度問題正多邊形角度問題正多邊形與圓綜合題求弧長求扇形與不規(guī)則圖形面積一．圓的基本概念（共4小題）1．（23-24九年級下·全國·單元測試）已知⊙O的半徑是8cm，則⊙O中最長弦長是（

A．6cm B．12cm C．16cm 【答案】C【分析】本題考查了圓的認(rèn)識：熟練掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．利用圓的直徑為圓中最長的弦求解．【詳解】解：∵⊙O的半徑是8cm∴⊙O中最長弦長是16cm故選：C．2．（24-25九年級上·江蘇南京·開學(xué)考試）下列說法：①同一圓上的點(diǎn)到圓心的距離相等；②如果某幾個點(diǎn)到一個定點(diǎn)的距離相等，則這幾個點(diǎn)共圓；③半徑確定了，圓就確定了，其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】本題考查了圓的定義，半徑的概念以及確定一個圓的基本要素，熟悉基本概念是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)圓的定義，半徑，確定一個圓的基本要素進(jìn)行判定即可．【詳解】解：同一圓上的點(diǎn)到圓心的距離相等，且都等于半徑，故①正確；如果某幾個點(diǎn)到一個定點(diǎn)的距離相等，則這幾個點(diǎn)共圓，故②正確；圓心和半徑共同確定一個圓，半徑確定了，圓心位置不確定，圓也不能確定，故③錯誤．故選：A．3．（2024九年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，在⊙O中，點(diǎn)A，O，

A．2條 B．3條 C．4條 D．5條【答案】B【分析】本題考查了圓的認(rèn)識，圓可以看作是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)的集合，根據(jù)弦的定義進(jìn)行判斷即可，掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）是解題關(guān)鍵【詳解】解：弦為AB、故選：B．4．（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）已知⊙O的半徑為3，且A，B是⊙O上不同的兩點(diǎn)，則弦AB的范圍是．【答案】0<AB≤6【分析】本題考查了圓的認(rèn)識，掌握弦、直徑的概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“連接圓上任意兩點(diǎn)之間的線段就是圓的弦，直徑是圓中最長的弦”，可以求出弦AB的范圍．【詳解】解：∵A、B是⊙O上不同的兩點(diǎn)，，∴AB>0，∵⊙O的半徑為3，，∴⊙O的直徑為6，直徑是圓中最長的弦，∴0<AB≤6，故答案為：0<AB≤6．二．判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（共3小題）5．（24-25九年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知⊙O的半徑是4，OP=3，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)P在圓上 B．點(diǎn)P在圓內(nèi) C．點(diǎn)P在圓外 D．不能確定【答案】B【分析】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若點(diǎn)與圓心的距離d，圓的半徑為，則當(dāng)d>r時，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d<r時，點(diǎn)在圓內(nèi)，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵4>3，∴點(diǎn)P到圓心的距離小于⊙O的半徑，∴點(diǎn)P在圓內(nèi)，故選：B．6．（23-24八年級上·山東濱州·開學(xué)考試）一個點(diǎn)到圓的最小距離為4cm，最大距離為9A．2.5cm或6.5cm B．2.5cm C．6.5cm 【答案】A【分析】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，注意到分兩種情況進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵．設(shè)此點(diǎn)為P點(diǎn)，圓為⊙O，最大距離為PB，最小距離為PA，有兩種情況：①當(dāng)此點(diǎn)在圓內(nèi)；②當(dāng)此點(diǎn)在圓外；分別求出半徑值即可．【詳解】解：設(shè)此點(diǎn)為P點(diǎn)，圓為⊙O，最大距離為PB，最小距離為PA，則：∵此點(diǎn)與圓心的連線所在的直線與圓的交點(diǎn)即為此點(diǎn)到圓心的最大、最小距離∴有兩種情況：當(dāng)此點(diǎn)在圓內(nèi)時，如圖所示，半徑OB=PA+PB當(dāng)此點(diǎn)在圓外時，如圖所示，半徑OB=PB?PA故圓的半徑為2.5cm或故選：A．7．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）在△ABC中，∠B=55°,∠C=65°．分別以B,C為圓心，BC長為半徑作圓B、圓C，關(guān)于A點(diǎn)位置，下列敘述中正確的是（

）A．在圓B外部，在圓C內(nèi)部 B．在圓B外部，在圓C外部C．在圓B內(nèi)部，在圓C內(nèi)部 D．在圓B內(nèi)部，在圓C外部【答案】A【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則點(diǎn)P在圓外?d>r；點(diǎn)P在圓上?d=r；點(diǎn)P在圓內(nèi)?d<r．也考查了三角形三邊的關(guān)系及三角形內(nèi)角和定理．先求出∠A=60°，根據(jù)大角對大邊畫出示意圖，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可解答．【詳解】解：∵△ABC中，∠B=55°,∠C=65°，∴∠A=180°?∠B?∠C=60°，∴AB>BC>AC，如圖，以B,C為圓心，BC長為半徑作圓B、圓C，∵AB>BC，AC<BC，∴點(diǎn)A在圓B外部，在圓C內(nèi)部，故選：A．三．確定圓的條件（共3小題）8．（2024·山西·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)A，B，C，D均在直線l上，點(diǎn)P在直線l外，從這五個點(diǎn)中隨機(jī)選擇三個點(diǎn)，則經(jīng)過這三個點(diǎn)能夠畫出圓的概率為（

）A．13 B．12 C．25【答案】D【分析】本題主要考查了用列舉法求概率以及圓確定的條件，根據(jù)題意可得出所有等可能的結(jié)果以及經(jīng)過這三個點(diǎn)能夠畫出圓的結(jié)果，再利用概率公式可得出答案．【詳解】解：從這五個點(diǎn)中隨機(jī)選擇三個點(diǎn)，所有等可能的結(jié)果有：(P,A,B)，(P,A,C)，(P,A,D)，(P,B,C)，(P,B,D)，(P,C,D)，(A,B,C)，(A,B,D)，(A,C,D)，(B,C,D)共10種，其中經(jīng)過這三個點(diǎn)能夠畫出圓的結(jié)果有：(P,A,B)，(P,A,C)，(P,A,D)，(P,B,C)，(P,B,D)，(P,C,D)，共6種，∴經(jīng)過這三個點(diǎn)能夠畫出圓的概率為610故選：D9．（21-22九年級上·全國·單元測試）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)A?1,?2，B0,?2，C3,?2【答案】不能【分析】本題考查確定圓的條件，不在同一直線上的三個點(diǎn)確定一個圓．判斷三個點(diǎn)在不在一條直線上即可．【詳解】解：∵A?1,?2，B0,?2，C3,?2∴三個點(diǎn)A?1,?2，B0,?2，故答案為：不能．10．（23-24九年級上·江蘇鹽城·期中）已知平面直角坐標(biāo)系中的三個點(diǎn)分別為A1,?1、B?2,5、C4【答案】可以【分析】本題考查了確定圓的條件：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓．用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，再根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷點(diǎn)C是否在直線AB上，然后根據(jù)確定圓的條件進(jìn)行判斷．【詳解】解：設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把A1k+b=解得，k=?2b=1所以直線AB的解析式為y=?2x+1，當(dāng)x=4時，y=?2x+1=?8+1=?7≠?6，所以點(diǎn)C4,?6不在直線AB即點(diǎn)A、B、C不在同一條直線上，所以過A、B、C這三個點(diǎn)能確定一個圓．故答案為：可以四．三角形的外接圓（共4小題）11．（24-25九年級上·廣西南寧·階段練習(xí)）校園內(nèi)有一塊三角形的花壇，現(xiàn)要在花壇內(nèi)建一景觀噴泉，要使噴泉到花壇三個頂點(diǎn)的距離相等，噴泉的位置應(yīng)選在這個三角形花壇的（

）A．外心 B．垂心 C．重心 D．內(nèi)心【答案】A【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，三角形外心的性質(zhì)，根據(jù)三角形外心的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵噴泉到花壇三個頂點(diǎn)的距離相等，∴噴泉為三角形的花壇三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，即外心，故選：A．12．（22-23九年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A0,3，點(diǎn)B2,1，點(diǎn)C2,?3．則經(jīng)畫圖操作可知：△ABC【答案】?2,?1【分析】此題考查了三角形外心的知識，注意三角形的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．首先由△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，所以在平面直角坐標(biāo)系中作AB與BC的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為△ABC的外心.【詳解】解：∵△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴作圖得：∴EF與MN的交點(diǎn)O′即為所求的△ABC∴△ABC的外心坐標(biāo)是?2,?1，故答案為：?2,?1．13．（22-23九年級上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）在一個直角三角形中，兩邊長分別是5，12，那么這個三角形的外接圓的半徑是．【答案】6或13【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心、勾股定理．熟練掌握直角三角形的外接圓半徑為斜邊邊長的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意分兩種情況討論，然后由“直角三角形的外接圓是以斜邊中點(diǎn)為圓心，斜邊長的一半為半徑的圓”來求該直角三角形外接圓半徑即可．【詳解】解：∵在一個直角三角形中，兩邊長分別是5，12，當(dāng)5，12是直角三角形的兩條直角邊時，∴根據(jù)勾股定理知，該直角三角的斜邊長為52∴此三角形的外接圓的半徑是132當(dāng)12是直角三角形的斜邊時，∴此三角形的外接圓的半徑是6；綜上所述，這個三角形的外接圓的半徑是6或132故答案是：6或13214．（23-24九年級上·甘肅定西·期末）已知等腰△DEF中，DE=DF，求作△DEF的外接圓．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】此題主要考查的是三角形外接圓的作法，關(guān)鍵是作出任意兩邊的垂直平分線，找出三角形的外接圓的圓心．由于三角形的外心是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，可作△DEF的任意兩邊的垂直平分線，它們的交點(diǎn)即為△DEF的外接圓的圓心（設(shè)圓心為O）；以O(shè)為圓心、OD長為半徑作圓，即可得出△DEF的外接圓．【詳解】解：如圖，⊙O即為所求，五．旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象與旋轉(zhuǎn)圖案（共4小題）15．（22-23七年級上·遼寧本溪·開學(xué)考試）隊列比賽，老師喊得口令是“向右轉(zhuǎn)”，你的身體應(yīng)該（

）A．順時針旋轉(zhuǎn)90° B．逆時針旋轉(zhuǎn)90°C．順時針旋轉(zhuǎn)180° D．逆時針旋轉(zhuǎn)180°【答案】A【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的知識，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的定義是解題關(guān)鍵．結(jié)合生活實(shí)際以及旋轉(zhuǎn)的定義，即可獲得答案．【詳解】解：隊列比賽，老師喊得口令是“向右轉(zhuǎn)”，身體應(yīng)該順時針旋轉(zhuǎn)90°．故選：A．16．（23-24八年級下·全國·假期作業(yè)）下列現(xiàn)象屬于旋轉(zhuǎn)的是（

）A．摩托車在急剎車時向前滑動 B．電梯上下運(yùn)動的過程C．幸運(yùn)大轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的過程 D．筆直的鐵軌上飛馳而過的火車【答案】C【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)，平移的識別，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小不變，平移的概念等知識是解題的關(guān)鍵．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平移的概念結(jié)合實(shí)際情況即可求解．【詳解】解：A、摩托車在急剎車時向前滑動是平移，故此選項錯誤；B、電梯上下運(yùn)動的過程是平移，故此選項錯誤；C、幸運(yùn)大轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的過程是旋轉(zhuǎn)，故此選項正確；D、筆直的鐵軌上飛馳而過的火車是平移，故此選項錯誤；故選：C．17．（23-24八年級下·河南平頂山·期中）通過翻折、旋轉(zhuǎn)和平移都能得到的圖形是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了翻折、旋轉(zhuǎn)和平移，根據(jù)翻折及旋轉(zhuǎn)的定義即可求解．【詳解】解：A、圖形只能通過旋轉(zhuǎn)變換得到，故不符合題意；B、圖形通過翻折、旋轉(zhuǎn)和平移都能得到，故符合題意；C、圖形只可以通過旋轉(zhuǎn)得到，不符合題意；D、圖形可以通過平移得到，故不符合題意；故選B．18．（2023·湖北荊州·一模）北京冬奧會將于2022年2月4日在北京和張家口聯(lián)合舉行，如圖是冬奧會的吉祥物“冰墩墩”，將圖片按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的圖片是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，正確掌握旋轉(zhuǎn)方向是解題關(guān)鍵．直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)圖形即可．【詳解】解：如圖所示：“冰墩墩”圖片按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的圖片是：．故選：D六．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共4小題）19．（23-24八年級下·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=23．將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，其中點(diǎn)A′與點(diǎn)A是對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B′與點(diǎn)A．1 B．3 C．2 D．2【答案】A【分析】如圖，過A作AQ⊥A′C于Q，求解AB=43，AC=233，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明∠B=∠A′B【詳解】解：如圖，過A作AQ⊥A′C由∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=∴AB=43，∵將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到△A∴∠B=∠A′B′∴△BB∴∠BCB′=60°∴∠∴∠CAQ=30°，∴CQ=1∴AQ=A∴A到A′故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定與性質(zhì)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．20．（24-25九年級上·廣東廣州·階段練習(xí)）一副三角板按圖1放置，O是邊BC(DF)的中點(diǎn)，BC=20cm．如圖2，將△ABC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)60°，AC與EF相交于點(diǎn)G，求FG【答案】5【分析】設(shè)BC與EF的交點(diǎn)是M，根據(jù)題意，得OM=12OF=5cm，繼而得到MC=OC?OM=5cm【詳解】解：設(shè)BC與EF的交點(diǎn)是M，如圖，∵O是邊BC的中點(diǎn)，BC=20cm，DF=BC∴OB=OC=OD=OF=1∵∠DFE=30°，∠FOC=60°，∴∠OMF=90°，∴OM=1∴MC=OC?OM=5cm，MF=∵∠OMF=90°，∠ACB=45°，∴∠MGC=45°，∴∠MGC=∠GCM，∴MG=MC=5cm∴FG=MF?MG=5【點(diǎn)睛】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及理解三角板中自帶的角度．21．（24-25八年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）【嘗試探究】如圖1，已知在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、DC上運(yùn)動．(1)當(dāng)點(diǎn)E、F分別為BC、DC中點(diǎn)時，求證：AE=AF；(2)當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊BC、DC上運(yùn)動，∠EAF=45°時，探究DF、BE和EF的數(shù)量關(guān)系，加以說明；(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在射線CB、DC上運(yùn)動，∠EAF=45°時，①試問(2)中的結(jié)論還成立嗎？請加以說明；②直接寫出S△ADF、S△AEF和【模型建立】如圖3，若將直角三角形ABC沿斜邊翻折得到△ADC，且∠B=∠D=90°，點(diǎn)E、F分別在邊DC、BC上運(yùn)動，且∠EAF=1【拓展應(yīng)用】如圖4，已知△ABC是邊長為5的等邊三角形(三邊相等，三個內(nèi)角均為60°)，BD=CD，∠BDC=120°，∠DBC=∠BCD=30°，以D為頂點(diǎn)作一個60°角，使其角的兩邊分別交邊AB、AC于點(diǎn)E、F，連接EF，求△AEF的周長．【答案】【嘗試探究】（1）見解析；（2）DF+BE=EF，見解析；（3）①結(jié)論不成立，見解析；②S△ADF=【分析】[嘗試探究]（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得BE=DF，利用SAS證明△ABE≌△ADF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）把△ADF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ABG，可使AB與AD重合，證出△AEG≌△AEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=EG，即可得出答案；（3）①把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFE≌△AFG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG，即可得出答案；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出S△ADF、S△AEF和[模型建立]同理作輔助線，將△ADF繞A順時針旋轉(zhuǎn)∠BAD的度數(shù)，此時，AD與AB重合，證明△GAE≌△FAE，同理可以得出EF=BG+BE=DF+BE；[拓展應(yīng)用]把△DBE繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)120°至△DCM，可使DB與DC重合，證出△DMF≌△DEF，進(jìn)而得到EF=CM+CF=BE+CF，即可得△AEF的周長．【詳解】[嘗試探究]（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=90°，∵點(diǎn)E、F分別為BC、DC中點(diǎn)，∴BE=12BC∴BE=DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴AE=AF；（2）解：DF+BE=EF．證明：如圖，把△ADF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ABG，可使AB與AD重合，∵∠ABC=∠D=90°，∴∠EBG=180°，點(diǎn)E、B、G共線，∴∠BAG=∠DAF，AF=AG，∴∠EAG=∠BAE+∠GAB=∠FAD+∠BAE=90°?45°=45°=∠EAF，即∠EAF=∠EAG．在△AEF和△AEG中，AG=AF∠GAE=∠FAH∴△AEF≌△AEG(SAS)，∴EF=EG=EB+BG=EB+DF，∴DF+BE=EF；（3）解：①（2）中的結(jié)論不成立．證明：如圖所示．∵AB=AD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，∵∠ADC=∠ABE=90°，∴點(diǎn)C、D、G在一條直線上．∴EB=DG，AE=AG，∠EAB=∠GAD．又∵∠BAG+∠GAD=90°，∴∠EAG=∠BAD=90°．∵∠EAF=45°，∴∠FAG=∠EAG?∠EAF=90°?45°=45°．∴∠EAF=∠GAF．在△EAF和△GAF中，EA=GA∠EAF=∠GAF∴△EAF≌△GAF(SAS)．∴EF=FG．∵FD=FG+DG，∴DF=EF+BE，∴（2）中的結(jié)論不成立，DF、BE和EF的數(shù)量關(guān)系為DF=EF+BE；②S△ADF證明：如圖所示．由①知△ADG≌△ABE，△EAF≌△GAF，∴S△ADG∴S△ADF∴S△ADF[模型建立]成立，如圖，DF+BE=EF．證明：將△ADF繞A順時針旋轉(zhuǎn)∠BAD的度數(shù)，此時，AD與AB重合，由旋轉(zhuǎn)得：BG=DF，∠1=∠2，AF=AG，∠ABG=∠D=90°，同理得：點(diǎn)G，B，E在同一條直線上，∵∠EAF=1∴∠BAE+∠FAD=1∴∠BAE+∠GAB=1∴∠EAG=∠EAF，∵AF=AG，AE=AE，∴△GAE≌△FAE(SAS)，∴EF=EG，∴EF=BG+BE=DF+BE，∴（2）中的結(jié)論還成立，DF+BE=EF；[拓展應(yīng)用]解：∵△ABC是邊長為5的等邊三角形，∴AB=AC=BC=5，∠ABC=∠ACB=60°，∵∠DBC=∠BCD=30°，∴∠DBE=∠DCA=60°+30°=90°，∵BD=CD，∠BDC=120°，把△DBE繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)120°至△DCM，可使DB與DC重合，由旋轉(zhuǎn)得：DM=DE，∠CDM=∠BDE，CM=BE，∠DCM=∠DBE=90°，同理得：點(diǎn)F，C，M在同一條直線上，∵∠EDF=60°=1∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠CDM+∠CDF=60°，∴∠MDF=∠EDF，∵DE=DM，DF=DF，∴△MDF≌△EDF(SAS)，∴EF=FM，∴EF=CM+CF=BE+CF，∴△AEF的周長=AE+AF+EF=AE+AF+BE+CF=AB+AC=5+5=10．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)正確作出輔助線得出全等三角形．22．（23-24八年級下·全國·單元測試）如圖，D為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接BD，CE．(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)連接DE，若∠ADB=115°，求∠CED的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)55°【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握其判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AB=AC，∠BAC=60°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AE，∠DAE=60°，利用SAS即可得出結(jié)論．（2）由（1）得△ABD≌△ACE，進(jìn)而可得∠AEC=∠ADB=115°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=AE，∠DAE=60°，進(jìn)而可得△ADE是等邊三角形，則可得∠AED=60°，進(jìn)而可求解．【詳解】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，∴AD=AE，∠DAE=60°，∴∠BAD+∠DAC=60°，∠EAC+∠DAC=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACESAS（2）解：由（1）得：△ABD≌△ACE，∴∠AEC=∠ADB=115°，∵線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，∴AD=AE，∠DAE=60°，∴△ADE是等邊三角形，∴∠AED=60°，∴∠CED=∠AEC?∠AED=115°?60°=55°．七．旋轉(zhuǎn)的作圖（共3小題）23．（24-25九年級上·北京·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(?2,5)，B(?3,0)，C(1,2)．將△ABC繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C′，點(diǎn)A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為(1)畫出旋轉(zhuǎn)后的△A(2)直接寫出點(diǎn)C′(3)求△ABC的面積．【答案】(1)作圖見解析(2)點(diǎn)C′的坐標(biāo)(2,?1)(3)9【分析】本題考查作圖?旋轉(zhuǎn)變換、坐標(biāo)與圖形、網(wǎng)格中求三角形面積等，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)．（1）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)A′，B′，（2）由（1）中的作圖，根據(jù)點(diǎn)的位置寫出坐標(biāo)即可；（3）利用網(wǎng)格求三角形面積即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖所示：∴△A′（2）解：由（1）可知，點(diǎn)C'的坐標(biāo)(2,?1)（3）解：如圖所示：∴S△ABC=4×5?24．（24-25九年級上·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，已知的△ABC三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A?1,5，B?4,3，(1)請畫出與△ABC關(guān)于原點(diǎn)對稱的△A1B(2)將△ABC繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A2B2C【答案】(1)圖形見解析，A(2)圖形見解析，B【分析】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換、畫關(guān)于原點(diǎn)對稱圖形、寫出直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，準(zhǔn)確作圖是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)作圖，即可得出答案；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖，即可得出答案．【詳解】（1）如圖，△A由圖可得，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為1,?5（2）如圖，△A由圖可得，點(diǎn)B2的坐標(biāo)為3,425．（24-25九年級上·北京·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A?3,5，B?2,1，(1)若△ABC和△A1B1C(2)將△ABC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2C【答案】(1)圖見解析(2)圖見解析；點(diǎn)C2的坐標(biāo)為3,1【分析】此題考查了中心對稱和旋轉(zhuǎn)的作圖，（1）找到A、B、C關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的對應(yīng)點(diǎn)A1（2）找到A、B、C繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的對應(yīng)點(diǎn)A2【詳解】（1）解：如圖，△A（2）如圖，△A2B2C八．旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的坐標(biāo)（共4小題）26．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，正方形OA、OC的兩邊OA、OC分別在x軸．y軸上，點(diǎn)D3,2在邊AB上，以C為中心，把△CDB旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)D′的坐標(biāo)是（A．1,6 B．?1,0 C．1,6或?1,0 D．6,1或?1,0【答案】C【分析】本題考查了正方形性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形變換——旋轉(zhuǎn)，求直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，做題時分兩種情況，順時針和逆時針旋轉(zhuǎn)，作出相應(yīng)圖形進(jìn)行計算即可．作出圖形分類討論是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：△CDB順時針旋轉(zhuǎn)90°時，如下圖：∵D3,2，∴正方形的邊長為3，∴AD=2，BD=3?2=1，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠AOC=90°，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：OD′=BD=BC=OC=1∴D∴D△CDB逆時針旋轉(zhuǎn)90°時，如下圖：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：B′C=BC=3，B′D′∴B′在y軸上，B∴OB∴D綜上，D′的坐標(biāo)為1,6或故選：C．27．（2023·山東青島·一模）如圖，已知△ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A0，4，B?1，1，C?2，2，將△ABC向右平移3個單位，得到△A′B′C′，點(diǎn)A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′，B′，C′，再將△A′B′CA．3，?2 B．5，0 C．【答案】B【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形變化：旋轉(zhuǎn)變化、平移變化，解題的關(guān)鍵是正確作出圖形．利用平移變換，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)正確作出圖形，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，A″故選：B．28．（2024·河南鄭州·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形OABC為平行四邊形，其中點(diǎn)A3,0，C1,4，M為對角線OB的中點(diǎn)．現(xiàn)將平行四邊形OABC繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，每次轉(zhuǎn)90°，則第71次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（A．2,?32 B．2,?2 C．?2,3【答案】D【分析】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定和性質(zhì)，求得點(diǎn)M開始的坐標(biāo)，作出旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)D，過點(diǎn)M,D作ME⊥EO,DF⊥OF，垂足為E,F，可證△MEO≌△OFDAAS，得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，再同理推出后續(xù)的點(diǎn)M【詳解】解：如圖，作出旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)D，過點(diǎn)M,D作ME⊥EO,DF⊥OF，垂足為E,F，∵四邊形OABC為平行四邊形，M為對角線OB的中點(diǎn)，∴M為對對角線AC的中點(diǎn)，∴M2,2∵將平行四邊形OABC繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，每次轉(zhuǎn)90°，∴∠MOD=90°，∵M(jìn)E⊥EO,DF⊥OF,∴∠MEO=∠OFD，∠MOE+∠EMO=∠MOE+∠FOD，∴∠EMO=∠FOD，∵OM=OD，∴△EMO≌△FODAAS∴OF=EM=2,FD=EO=2,∴D2,?2第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為?2,?2，第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為?2,2，第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為2,2，每旋轉(zhuǎn)4次為一個循環(huán)，71÷4=17??3，第71次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為?2,2，故選：D．29．（24-25九年級上·湖北省直轄縣級單位·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)P2,3繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P′，則P′【答案】?3,2【分析】本題主要考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)、全等三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，正確添加常用輔助線、構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．如圖，過點(diǎn)P作PA⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)P′A′【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作PA⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)P′A′∵P2,3∴OA=2∵∠P∴∠A∴∠P在△P′A∠PAO=∠P∴△PAO≌∴OA∴P′故答案為：?3,2．九．旋轉(zhuǎn)的綜合題（共3小題）30．（2023·天津紅橋·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A0,2，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，∠OBA=30°．將△OAB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，得△OA′B′，點(diǎn)A,B

(1)如圖①，當(dāng)α=30°時，求OB′與AB的交點(diǎn)(2)如圖②，連接A′B，當(dāng)A′B′(3)設(shè)線段A′B的中點(diǎn)為M，連接B′【答案】(1)?(2)2(3)13【分析】（1）過點(diǎn)C作CD⊥x軸，利用∠OBA=30°，A0,2可得OB=AB2?OA2=23，利用α=30°（2）過點(diǎn)A′作A′E⊥x軸，垂足為E，推導(dǎo)∠A′OE=30°，從而得出（3）取線段OA′的中點(diǎn)N，連接MN、B′N，則ON=12O【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為D．

∵點(diǎn)A0,2∴OA=2．∵∠OBA=30°，∴AB=2OA=4．在Rt△OAB中，OB=∵∠BOB∴∠OBC=∠BOC．∴CB=CO．∴∠ACO=∠OBA+∠BOB′∴△ACO是等邊三角形，CO=AO∵CB=CO，CD⊥x軸∴OD=BD=3∴CD=1∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為?3（2）解：如圖，過點(diǎn)A′作A′E⊥x

由旋轉(zhuǎn)得，OA∴∠OAA∴∠AOA∴∠A∴A′∴BE=OB+OE=33在Rt△A′（3）13解：取線段OA′的中點(diǎn)N，連接MN、B

∵點(diǎn)M是線段A′B的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段∴MN=由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠A′∴B∴B即13【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，中位線定理，勾股定理等知識，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．31．（23-24八年級下·北京海淀·期末）已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)P在BC的延長線上，以P為旋轉(zhuǎn)中心，將線段PC逆時針旋轉(zhuǎn)n°0<n<180得線段PQ，連接AP，BQ

(1)如圖1，若PC=AC，畫出n=60時的圖形，直接寫出BQ和AP的數(shù)量及位置關(guān)系；(2)當(dāng)n=120時，若點(diǎn)M為線段BQ的中點(diǎn)，連接PM．直接寫出MP和AP的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)圖見解析，BQ=AP，BQ∥AP(2)AP=2MP【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)和含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義畫圖即可，再證出△CPQ是等邊三角形，然后證出四邊形ABQP是矩形，由此即可得出結(jié)論；（2）以CP為邊作等邊三角形CHP，連接BH，根據(jù)等邊三角形及全等三角形的判定和性質(zhì)得出△ACP≌△BCH(SAS)，【詳解】（1）解：畫圖如下：

BQ和AP的數(shù)量及位置關(guān)系為BQ=AP，BQ∥AP，理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC,∠ACB=60°，∴∠ACP=120°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，PQ=PC,∠CPQ=60°，∴△CPQ是等邊三角形，∴PC=PQ=CQ，∠PCQ=60°，∴∠ACP+∠PCQ=180°，∴點(diǎn)A,C,Q在同一條直線上，又∵AC=PC，∴BC=AC=PC=CQ，∴AQ=BP，∴四邊形ABQP是矩形（對角線互相平分且相等的四邊形是矩形），∴BQ=AP，BQ∥AP．（2）AP=2MP，理由如下：以CP為邊作等邊三角形CHP，連接BH，如圖所示：∵△CHP和△CBA都是等邊三角形，∴CB=CA,CP=CH，∠ACB=∠HCP=∠CPH=60∴∠BCH=∠ACP，∴△ACP≌△BCH(SAS∴AP=BH，∵將線段PC逆時針旋轉(zhuǎn)120°得線段PQ，∴CP=PQ,∠CPQ=120°，∵∠CPQ+∠CPH=180°，∴點(diǎn)H、P、Q三點(diǎn)共線，∵BM=MQ,PQ=CP=HP，∴BH=2MP，∴AP=2MP．32．（2024·浙江嘉興·三模）在△ABC中，∠ABC=α，以點(diǎn)B為中心，將△ABC順時針旋轉(zhuǎn)α，得到△A1BC1；再以點(diǎn)A1為中心，將△A

(1)如圖1，若AB=2，α=90°，求AB(2)如圖2，60°<α<90°，探究AB1與【答案】(1)A(2)平行，理由見詳解【分析】（1）通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ABC=∠ABA1=∠BA1（2）過點(diǎn)A作AE∥A1B1交BA1于點(diǎn)E，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得∠AEB=ABE=α，易證A1【詳解】（1）解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得當(dāng)α=90°時，∠ABC=∠ABA∴四邊形ABA∵旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=BA∴四邊形ABA∴AB=AB∴AB1的長為（2）AB1與理由：如圖，過點(diǎn)A作AE∥A1B1交

則∠AEB=B由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=BA1=∴∠AEB=ABE=α，∴AB=AE，∴A1又∵AE∥A∴四邊形AEA∴AB∴AB1與【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)的判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．十．利用垂徑定理求值（共4小題）33．（24-25九年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，O為圓心，OD⊥AB于點(diǎn)D，OE⊥AC于點(diǎn)E，若DE=5，則BC=．【答案】10【分析】本題考查了三角形中位線判定和性質(zhì)，圓的垂徑定理，熟記相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．由OD⊥AB于點(diǎn)D，OE⊥AC于點(diǎn)E，根據(jù)垂徑定理可得AD=DB，AE=EC，根據(jù)三角形中位線定理可得DE=1【詳解】解：∵△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，OD⊥AB于點(diǎn)D，OE⊥AC于點(diǎn)E，∴AD=DB，AE=EC，∴DE為△ABC的中位線，∴DE=1∴BC=2DE，∵DE=5，∴BC=2×5=10，故答案為：10．34．（2023·河南駐馬店·二模）如圖，在⊙O中，AB是直徑，弦EF∥(1)在圖1中，請僅用不帶刻度的直尺畫出劣弧EF的中點(diǎn)P；(保留作圖痕跡，不寫作法)(2)如圖2，在（1）的條件下連接OP、PF，若OP交弦EF于點(diǎn)Q，△PQF的面積6，且EF=12，求⊙O的半徑；【答案】(1)見解析(2)10【分析】（1）由圓的對稱性，連接AF、BE交于點(diǎn)M，連接OM并延長交⊙O于P點(diǎn)即可；（2）連接OF，如圖，根據(jù)垂徑定理得到OP⊥EF，EQ=FQ=12EF=6，再利用三角形面積公式計算出PQ=2，設(shè)⊙O的半徑，則OQ=r?2，OF=r【詳解】（1）解：連接AF、BE，它們相交于點(diǎn)M，連接OM并延長交⊙O于P點(diǎn)，如圖1，點(diǎn)P為所作；（2）連接OF，如圖2，∵點(diǎn)P為劣弧EF的中點(diǎn)，∴OP⊥EF，EQ=FQ=1∵△PQF的面積為6，∴12解得PQ=2，設(shè)⊙O的半徑r，則OQ=r?2，OF=r，在Rt△OQF中，6解得r=10，即⊙O的半徑為10．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖?復(fù)雜作圖，涉及垂徑定理和勾股定理，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．35．（2023九年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，在兩個同心圓⊙O中，大圓的弦AB與小圓相交于C，D兩點(diǎn)．

(1)求證：AC=BD；(2)若AC=3，BC=5，大圓的半徑R=5，求小圓的半徑r的值．【答案】(1)見解析(2)10【分析】本題考查垂徑定理和勾股定理，利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形從而利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．（1）過O作OE⊥AB于點(diǎn)E，由垂徑定理可得AE=BE，CE=DE，再用等式的性質(zhì)即可得證；（2）連接OC、OA，利用垂徑定理求出AE，在Rt△AOE中，由勾股定理求出OE2，然后在Rt△COE中，利用勾股定理即可求出【詳解】（1）證明：過O作OE⊥AB于點(diǎn)E，如圖，由垂徑定理可得AE=BE，CE=DE，∴AE?CE=BE?DE，∴AC=BD；（2）解：連接OC、OA，如圖，

∵AC=3，BC=5，∴AB=3+5=8，∴AE=4，∴CE=AE?AC=4?3=1，∴在Rt△AOE中，OE∴在Rt△COE中，OC∴OC=10，即小圓的半徑r為1036．（23-24九年級上·四川廣安·期中）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABDC，AB是⊙O的直徑，OD⊥BC交BC于點(diǎn)E．(1)求證：點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)；(2)若BE=4，AC=6，求【答案】(1)見解析(2)2【分析】本題考查的是垂徑定理；（1）由垂徑定理可得BD=（2）先根據(jù)垂徑定理求出BC=8，圓周角定理得∠ACB=90°，根據(jù)勾股定理得到AB，得到半徑OD=OB=5，由勾股定理求出OE=3，由DE=OD?OE求解即可．【詳解】（1）∵AB是⊙O的直徑，OD⊥BC，∴BD=即點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)；（2）∵AB是⊙O的直徑，OD⊥BC，∴BE=EC=4，∴BC=8，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵AC=6∴AB=A∴OD=OB=5，∴OE=O∴DE=OD?OE=5?3=2．十一．垂徑定理的應(yīng)用（共4小題）37．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》是人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”，書中記載了這樣一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問：徑幾何？”用現(xiàn)在的幾何語言表達(dá)即：如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，CE=1寸，AB=10寸，則CD的長為（

）A．26寸 B．13寸 C．24寸 D．12寸【答案】A【分析】此題考查了學(xué)生對垂徑定理的運(yùn)用與掌握，注意利用圓的半徑，弦的一半及弦心距所構(gòu)成的直角三角形來解決實(shí)際問題，連接OA構(gòu)成直角三角形，先根據(jù)垂徑定理，由DE垂直AB得到點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，由AB=10可求出AE的長，再設(shè)出設(shè)圓O的半徑OA的長為x，表示出OE，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即為圓的半徑，把求出的半徑代入即可得到答案．【詳解】解：連接OA，∵AB⊥CD∴AE=BE=5，設(shè)圓O的半徑OA的長為x，則OC=OD=x，∵CE=1，∴OE=x?1，在直角三角形AOE中，根據(jù)勾股定理得：x2?x?1即2x=26，解得：x=13，∴CD=26（寸）．故選：A．38．（2022·遼寧撫順·模擬預(yù)測）在圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油以后，截面如圖所示，截面圓的直徑為200cm，若油面的寬AB=160A．40cm B．60cm C．80cm【答案】A【分析】本題考查垂徑定理、勾股定理，根據(jù)垂徑定理、勾股定理求出OD即可【詳解】解：如圖，過點(diǎn)O作OD⊥AB，垂足為D，OD的延長線交⊙O于點(diǎn)C，連接OA，則AD=BD=1在Rt△AOD中，OA=100∴OD=∴CD=OC?OD=100?60=40cm故選：A．39．（23-24九年級下·四川成都·開學(xué)考試）石拱橋的主橋拱是圓弧形．如圖，一石拱橋的跨度AB=16m，拱高CD=4m，那么橋拱所在圓的半徑OA=【答案】10【分析】本題主要考查了橋拱問題，熟練利用勾股定理和垂徑定理，是解答問題的關(guān)鍵．設(shè)圓弧形橋拱所在圓的半徑為r，則OD=r?4，根據(jù)OC⊥AB得到AD=8，Rt△AOD中根據(jù)OD2【詳解】設(shè)圓弧形橋拱所在圓的半徑為r，則OD=r?4，∵AC=BC，∴OC⊥AB，∴AD=1∵在Rt△AOD中，O∴r?42解得r=10．故圓弧形拱橋所在圓的半徑是10米．故答案為：10．40．（24-25九年級上·北京·階段練習(xí)）“圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的應(yīng)用，例如古典園林中的門洞，如圖，某地園林中的一個圓弧形門洞的高為2.7m，地面入口寬為1.8m，求該門洞的半徑．【答案】該門洞的半徑為1.5m【分析】本題主要考查垂徑定理的應(yīng)用．設(shè)半徑為xm【詳解】解：設(shè)圓的半徑為xm由題意可知，AF=12AB=0.9m，Rt△AFD中，OF2解得x=1.5．答：該門洞的半徑為1.5m十二．弦、弧、圓心角的關(guān)系（共4小題）41．（23-24九年級下·全國·單元測試）如圖，在⊙O中，AB=CD，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．AB=CD B．AC=BD C．【答案】D【分析】本題考查的是弧，弦，圓心角之間的關(guān)系，由AB=CD逐一分析各選項即可得到答案．【詳解】解：∵AB=CD，∴AB=∴AC+∴AC=∴AC=BD，故C不符合題意；∵D不一定為AB的中點(diǎn)，∴AD=BD不一定成立，故D符合題意；故選D42．（23-24九年級上·江蘇連云港·階段練習(xí)）直徑為20cm的⊙O中，弦AB=10cm，則弦AB所對的圓心角是【答案】60°/60度【分析】連接OA、OB，證明△OAB為等邊三角形得到∠AOB=60°即可．【詳解】解：如圖，連接OA、OB，

∵直徑為20cm∴OA=OB=10cm而AB=10cm∴OA=OB=AB，∴△OAB為等邊三角形，∴∠AOB=60°，即弦AB所對的圓心角是60°．故答案為：60°．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．43．（23-24九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，AB是⊙O的直徑，BC=CD=DE，∠COD=48°，則

【答案】144°/144度【分析】根據(jù)同弧所對的圓心角相等求出∠DOE=∠DOC=∠BOC=48°，進(jìn)而求解即可．【詳解】∵BC=CD=∴∠DOE=∠DOC=∠BOC=48°∴∠BOE=∠DOE+∠DOC+∠BOC=48°×3=144°．故答案為：144°．【點(diǎn)睛】此題考查了同弧所對的圓心角相等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．44．（22-23九年級上·全國·單元測試）如圖，已知AB,CD，是⊙O的兩條直徑，AP是⊙O的弦，且AP∥CD，∠A=68°，那么BD等于PD嗎．說明你的理由．如果∠A=α，該結(jié)論仍成立嗎．【答案】BD=【分析】本題考查了等邊對等角，平行線的性質(zhì)，圓心角與弧的關(guān)系，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．連接OP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠P=∠A=68°，∠AOP=44°，再由AP∥CD，可求出∠AOC=∠BOD=∠A=68°，然后求出∠DOP的度數(shù)，即可解答；如果∠A=α，同理可解答．【詳解】解：BD=如圖，連接OP，∵∠A=68°，OA=OP，∴∠P=∠A=68°，∴∠AOP=44°，又AP∥CD，∴∠AOC=∠BOD=∠A=68°，∴∠POD=180°?∠BOD?∠AOP=180°?68°?44°=68°，∴∠BOD=∠POD，∴BD=若∠A=α，如圖，連接OP，∵∠A=α，OA=OP，∴∠P=∠A=α，∴∠AOP=180°?2α，又AP∥CD，∴∠AOC=∠BOD=∠A=α，∴∠POD=180°?∠BOD?∠AOP=180°?α?180°?2α∴∠BOD=∠POD，∴BD=即∠A=α，該結(jié)論仍成立．十三．同弧或等弧所對的圓周角相等（共3小題）45．（24-25九年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，AB是半圓的直徑，O為圓心，C是半圓上的點(diǎn)，D是AC上的點(diǎn)．連接AC，若∠BAC=20°，則∠D的度數(shù)為（

）．A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理，連接BD，根據(jù)圓周角定理求出∠ADB及∠BDC的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出圓周角是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接BD，∵AB是半圓的直徑，∴∠ADB=90°，∵∠BAC=20°，∴∠BDC=∠BAC=20°，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°+20°=110°，故選：B．46．（2024·安徽合肥·三模）如圖，⊙O的兩條弦AB⊥CD，垂足為E，點(diǎn)F在⊙O上，DB平分∠CDF，連接AF，分別交BD于G,CD于H．(1)求證：DF=DH；(2)連接EG，若∠CDF=45°,⊙O的半徑為2，求EG的長．【答案】(1)見解析(2)EG=【分析】此題考查了圓周角定理、勾股定理、三角形中位線定理等知識，作出合理的輔助線并熟練運(yùn)用圓周角定理、三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圓周角定理求出∠BAG=∠BDE，結(jié)合對頂角相等及三角形內(nèi)角和定理求出∠DGH=∠AED=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠DHG=∠B=∠F，根據(jù)“等角對等邊”即可得證；（2）連接AC，OC，OF，CF，結(jié)合圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理求出AC=AH，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出E為CH的中點(diǎn)，G為FH的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線的判定與性質(zhì)求EG=12CF．根據(jù)圓周角定理求出∠COF=2∠CDF=90°【詳解】（1）證明：∵AB⊥CD，∴∠AED=90°，∵DB平分∠CDF，∴∠BDE=∠BDF，又∠BAG=∠BDF，∴∠BAG=∠BDE，又∵∠AHE=∠DHG，∴∠DGH=∠AED=90°，∴∠B+∠BDE=90°=∠BDE+∠DHG，∴∠DHG=∠B，∵AD=∴∠B=∠F，∴∠DHG=∠F，∴DF=DH；（2）解：如圖，連接AC，OC，OF，CF，∵∠ACD=∠AFD=∠DHG，∠DHG=∠AHC，∴∠ACH=∠AHC，∴AC=AH，又∵AB⊥CD，∴E為CH的中點(diǎn)．由（1）知DF=DH，∠DGH=90°，∴G為FH的中點(diǎn)，∴EG是△CHF的中位線，∴EG=1∵∠CDF=45°，∴∠COF=2∠CDF=90°，∴△OCF是等腰直角三角形，∴CF=O∵OC=2，∴CF=22∴EG=247．（2024九年級上·貴州·專題練習(xí)）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，AD⊥BC于點(diǎn)E．(1)求證：∠BAD=∠CAD；(2)連接BO并延長，交⊙O于點(diǎn)G，連接GC，若OE=3，求GC的長．【答案】(1)見解析(2)6【分析】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，中位線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理．（1）根據(jù)垂徑定理和圓周角定理進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)垂徑定理得出點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)O是BG的中點(diǎn)，得出OE=1【詳解】（1）證明：∵AD是⊙O的直徑，AD⊥BC，∴BD=∴∠BAD=∠CAD；（2）解：根據(jù)題意，如圖所示：∵AD是⊙O的直徑，AD⊥BC，∴點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∵點(diǎn)O是BG的中點(diǎn)，∴OE是△BCG的中位線，即OE=1∵OE=3，∴CG=6．十四．圓周角定理（共3小題）48．（2024·安徽·模擬預(yù)測）⊙O為△ABC的外接圓，AB=AC，CD為⊙O的直徑，若∠ACD=25°，則∠BDC為（

）A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】B【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠DAC=90°，從而利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠ADC=65°，然后利用同弧所對的圓周角相等可得∠ADC=∠ABC=65°，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ACB=65°，從而利用三角形內(nèi)角和定理可得∠BAC=50°，最后利用同弧所對的圓周角相等可得∠BAC=∠BDC=50°，即可解答．【詳解】∵CD為⊙O的直徑，∴∠DAC=90°，∵∠ACD=25°，∴∠ADC=90°?∠ACD=65°，∴∠ADC=∠ABC=65°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°，∴∠BAC=180°?∠ABC?∠ACB=50°，∴∠BAC=∠BDC=50°，故選：B．49．（24-25九年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖，AD是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB，連接CD，交OB于點(diǎn)E，∠BOC=42°，則∠OED的度數(shù)是．【答案】63°【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理以及三角形的外角性質(zhì)．先根據(jù)垂徑定理，求得∠AOC=∠BOC=42°，利用圓周角定理求得∠D=1【詳解】解：∵半徑OC⊥AB，∴AC=∴∠AOC=∠BOC=42°，∠AOB=84°，∵AC=∴∠D=1∴∠OED=∠AOB?∠D=63°，故答案為：63°．50．（23-24九年級上·福建廈門·階段練習(xí)）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC=45°，AD⊥BC，垂足為D，BD=2，DC=6，則AD=【答案】27+4【分析】連接OA，OB，OC，作OE⊥BC于E，OF⊥AD于F，BE=CE=12BC，四邊形OEDF是矩形，證明△OBC，△BOE是等腰直角三角形，由勾股定理得OA=OB=【詳解】如圖，連接OA，OB，OC，作OE⊥BC于E，OF⊥AD于F，則BE=CE=12BC∴DF=OE，OF=DE，∵∠BAC=45°，∴∠BOC=2∠BAC=90°，∴△OBC，△BOE是等腰直角三角形，∴OE=BE，∴由勾股定理得：OA=OB=2∴BE=DF，∵BD=2，DC=6，∴BC=8，∴BE=CE=DF=4，OA=OB=42∴OF=DE=BE?BD=2，∴由勾股定理得：AF=O∴AD=AF+DF=27故答案為：27【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．十五．直徑所對圓周角是直角（共3小題）51．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測）如圖，在△ACB中，∠ACB=90°，BC=3，△ABC的外接圓⊙O的半徑為3，D是邊BC延長線上一點(diǎn)，連接AD，交⊙O于點(diǎn)E，連接CE．若△CED為等腰三角形，則線段BD的長度為【答案】6或63或【分析】本題考查了三角形外接圓與外心，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理得到AC=AB2?BC2=【詳解】解：∵∠ACB=90°，∴AB是⊙O的直徑，∴AB=2×3=6，∴AC=A①當(dāng)CE=DE時，∴∠D=∠DCE,∵∠DCE=∠BAD,∴∠BAD=∠D,∴BD=AB=6，②當(dāng)DC=DE時，∴∠DCE=∠DEC,∵∠DEC=∠ABC,∠DCE=∠DAB,∴∠DBA=∠DAB,∴AD=BD,∴AE=BC=∵∠ACD=∠ACB=90°,∴A∴B∴BD=6③當(dāng)CE=CD時，∴∠D=∠CED，∵∠CED=∠B,∴∠B=∠D,∴AB=AD,∵AC⊥BD,∴BD=2BC=2綜上所述，若△CED為等腰三角形，線段BD的長度為6或63或2故答案為：6或63或252．（2024·福建龍巖·模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD中，AD=2AB，點(diǎn)E是矩形內(nèi)部一動點(diǎn)，且∠BAE=∠CBE，已知DE的最小值等于2，則矩形ABCD的周長=【答案】4+42/【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，90°的圓周角所對的弦為直徑，勾股定理等知識．確定點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵．由∠BAE=∠CBE，∠ABE+∠CBE=90°，可得∠BAE+∠ABE=90°，則∠AEB=90°，即點(diǎn)E在以AB為直徑的半⊙O上運(yùn)動，如圖，當(dāng)點(diǎn)O，E，D三點(diǎn)共線時，DE取最小值2，設(shè)AB=2r，則AO=r，AD=22r，DO=r+2，由勾股定理得，AO2+AD2=DO2，即【詳解】解：∵∠BAE=∠CBE，∠ABE+∠CBE=90°，∴∠BAE+∠ABE=90°，∴∠AEB=90°，∴點(diǎn)E在以AB為直徑的半⊙O上運(yùn)動，如圖，∴當(dāng)點(diǎn)O，E，D三點(diǎn)共線時，DE取最小值2，設(shè)AB=2r，則AO=r，AD=22r，由勾股定理得，AO2+A解得，r=1．∴AB=2，AD=22∴矩形ABCD的周長=2AB+AD故答案為：4+4253．（24-25九年級上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，AB，AC分別是⊙O的直徑和弦，OD⊥AC于點(diǎn)D，連接BD、BC，AB=5，AC=4，求BD的長．【答案】13【分析】本題考查的是圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，能根據(jù)垂徑定理求出CD的長是解答此題的關(guān)鍵．先根據(jù)圓周角定理得到∠C=90°，由勾股定理即可求出BC的長，再根據(jù)OD⊥AC于點(diǎn)D可得出CD=12AC【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠C=90°，又∵AB=5，AC=4，∴BC=A∵OD⊥AC于點(diǎn)D，∴CD=1∴BD=B十六．圓的內(nèi)接四邊形角度問題（共3小題）54．（2024九年級下·云南·學(xué)業(yè)考試）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠AOC=140°，則∠ABC=（

）A．110° B．120° C．130° D．140°【答案】A【分析】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理，熟記圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)計算即可．【詳解】解：∵∠AOC=140°，∵∠ADC=1∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ABC=180°?70°=110°，故選：A55．（24-25九年級上·全國·單元測試）如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，E為AD延長線上一點(diǎn)，∠AOC=128°，則∠CDE等于．【答案】64°/64度【分析】本題主要考查圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等，靈活運(yùn)用以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓周角定理先求出∠ABC=64°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ADC的度數(shù)，最后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義即可求出答案．【詳解】解：∵∠AOC=128°，∴∠ABC=64°，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ADC=180°?64°=116°，∴∠CDE=180°?∠ADC=64°．故答案為：64°．56．（24-25九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)B作BE∥AD，交CD于點(diǎn)E．若∠BEC=50°，則∠ABC等于度．

【答案】130【分析】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，先由兩直線平行，同位角相等得到∠D=∠BEC=50°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵BE∥AD，∴∠D=∠BEC=50°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ABC+∠D=180°，∴∠ABC=130°，故答案為：130．十七、正多邊形角度問題（共3小題）57．（2024·廣東東莞·三模）如圖，點(diǎn)O是正五邊形ABCDE的中心，連接OC、OE、CE，則∠OCE【答案】18【分析】本題考查正多邊形和圓，掌握正五邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．連接OD，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)，可得∠COD=∠DOE=360°5=72°【詳解】解：如圖，連接OD，∵點(diǎn)O是正五邊形ABCDE的中心，∴∠COD=∠DOE=360°在△COE中，OC=OE，∠COE=2∠COD=144°，∴∠OCE=180°?144°故答案為：18．.58．（23-24九年級下·上海黃浦·階段練習(xí)）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)M在AB上，則∠CME的度數(shù)為．【答案】60°/60度【分析】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、圓周角定理；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，由圓周角定理求出∠COE=120°是解決問題的關(guān)鍵．連接OC,OD,OE，由正六邊形的性質(zhì)得出∠COE=120°，由圓周角定理即可求解．【詳解】解：如圖：連接OC,OD,OE，∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠COD=∠DOE=360°∴∠COE=2∠COD=120°，∴∠CME=1故答案為：60°．59．（2024·江蘇南京·一模）如圖，AE，DF是正八邊形ABCDEFGH的兩條對角線，則AE【答案】2【分析】此題考查了正八邊形與圓，正多邊形的性質(zhì)應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．設(shè)正八邊形ABCDEFGH中心為點(diǎn)O，連接OF,OD，求出中心角∠DOF=90°，設(shè)OD=OF=a，得到AE=2a,DF=2【詳解】解：設(shè)正八邊形ABCDEFGH中心為點(diǎn)O，連接OF,OD，如圖，∵多邊形為正八邊形，∴中心角∠DOF=360°×2設(shè)OD=OF=a，∴AE=2a,DF=∴AEDF故答案為：2十八．正多邊形與圓綜合題（共3小題）60．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，正四邊形ABCD和正五邊形CEFGH內(nèi)接于⊙O，AD和EF相交于點(diǎn)M，則∠AMF的度數(shù)為（

）A．26° B．27° C．28° D．30°【答案】B【分析】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，對頂角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，連接OC、OE、OD，設(shè)CD與EF相交于點(diǎn)N，由圓的內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可得∠COD=90°，∠COE=72°，即得∠DOE=∠COD?∠COE=18°，即可由圓周角定理得∠DCE=12∠DOE=9°，進(jìn)而由三角形內(nèi)角和定理得∠DNM=∠CNE=63°【詳解】解：連接OC、OE、OD，設(shè)CD與EF相交于點(diǎn)N，∵正四邊形ABCD和正五邊形CEFGH內(nèi)接于⊙O，∴∠COD=360°÷4=90°，∠COE=360°÷5=72°，∴∠DOE=∠COD?∠COE=90°?72°=18°，∴∠DCE=1∵∠CEF=5?2∴∠CNE=180°?108°?9°=63°，∴∠DNM=∠CNE=63°，∵∠ADC=90°，∴∠DMN=90°?63°=27°，∴∠AMF=∠DMN=27°，故選：B．61．（22-23九年級上·全國·單元測試）如圖，已知⊙O的內(nèi)接正十邊形ABCD?，AD交OB，OC于M，N，求證：(1)MN∥BC；(2)MN+BC=OB．【答案】(1)證明見詳解(2)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)圓心角的計算可得∠AOB=∠BOC=∠COD=36°，∠AOD=108°，∠OAD=∠ODA=36°，由此可得∠OMN=∠ONM=72°，根據(jù)同弧所對圓心角是圓周角的2倍可得∠BAD=36°，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠ABM=72°，根據(jù)正十邊形的性質(zhì)，內(nèi)角和定理可得∠ABC=144°，由此可得∠OBC=72°，根據(jù)平行線的判定即可求解；（2）根據(jù)（1）的計算，可得AM=AB=BC，∠AON=∠ANO=72°，再根據(jù)AN=AO=OB=AM+MN即可求解．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接OA，OD，則OA=OB=OC=OD，∵AB，BC，CD是內(nèi)接正十邊形的邊長，∴AB=BC=CD，∠AOB=∠BOC=∠COD=360°∴∠AOD=36°+36°+36°=108°，∴∠OAD=∠ODA=1∴∠MAO=∠MOA=36°=∠AMB=∠DNC，∵∠BOD=∠BOC+∠COD=36°+36°=72°，BD?∴∠BAD=1∴∠ABM=180°?∠BAD?∠AMB=180°?36°?72°=72°，∵內(nèi)接正十邊形，∴∠ABC=180°×∴∠OBC=∠ABC?∠ABM=144°?72°=72°，∴∠OMN=∠OBC=72°，∴MN∥BC；（2）證明：由（1）可知，∠AMB=∠ABM=72°，∴AM=AB，∵AB=BC，∴AM=BC，∵∠AON=∠AOB+∠BOC=36°+36°=72°=∠ANO，∴AO=AN=AM+MN=OB，∴MN+BC=OB．【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形與圓的綜合，掌握正多形的性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和定理，圓心角的計算，等腰三角形的性質(zhì)，同弧所對圓心角與圓周角的關(guān)系，平行線的判定等知識，圖形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．62．（22-23九年級上·全國·單元測試）如圖，M、N分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE的邊AB、BC上的點(diǎn)，且BM=CN，連接OM、ON．(1)圖①中∠MON的度數(shù)是_____；(2)圖②中∠MON的度數(shù)是_____，圖③中∠MON的度數(shù)是_____；(3)若M、N分別是正n邊形ABCDE…的邊AB、BC上的點(diǎn)，且BM=CN，連接OM、ON，則∠MON的度數(shù)是_____．【答案】(1)120°(2)90°，72°(3)360°【分析】此題考查的是圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓心角的計算，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．（1）連接OB，OC，由圓周角定理即可求出∠BOC=120°，由全等三角形的判定與性質(zhì)即可得到（2）連接OB，OC，分別求出圖②③中的∠BOC的度數(shù)，由全等三角形的判定與性質(zhì)即可得到（3）由前三個圖可得到規(guī)律在正n邊形中，∠MON的度數(shù)為360°n【詳解】（1）解：如圖1中，連接OB，∴∠BOC=360°3∵OB，OC分別為∠ABC，∠ACB的平分線，∴∠OBM=∠OCN，在△OBM和△OCN中，OB=OC∠OBM=∠OCN∴△OBM≌∴∠BOM=∠CON，∴∠BOM+∠BON=∠CON+∠BON，∴∠MON=∠BOC=120°，故答案為：120°；（2）如圖②，連接OB，OC，∵ABCD為正方形，∴∠BOC=90°，同（1）中的證明方法可得△OBM≌∴∠BOM=∠CON∴∠BOM+∠BON=∠CON+∠BON，∴∠MON=∠BOC=90°；如圖③，連接OB，OC，∵ABCDE為正五邊方形，∴∠BOC=360°同（1）中的證明方法可得△OBM≌∴∠BOM=∠CON∴∠BOM+∠BON=∠CON+∠BON，∴∠MON=∠BOC=72°，故答案為：90°，72°；（3）在圖①中，∠MON=360°在圖②中，∠MON=360°在圖③中，∠MON=360°故在正n邊形中，∠MON的度數(shù)為360°n故答案為：360°n十九．求弧長（共3小題）63．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，A在半徑為3的⊙O上，B為⊙O上一動點(diǎn)，將射線BA繞B逆時針旋轉(zhuǎn)120°交⊙O于C，取BC的中點(diǎn)D，求在B的運(yùn)動過程中D的路徑長為（

）A．2π B．32π C．π 【答案】C【