2024年北京市中考數(shù)學(xué)試題含答案

2024年北京市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷考生須知：1.本試卷共6頁(yè)，共兩部分.三道大題，28道小題。滿分100分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。2.在試卷和草稿紙上準(zhǔn)確填寫姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)。3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。4.在答題卡上.選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答。5.考試結(jié)束，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回。第一部分選擇題一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)1.下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.2.如圖，直線和相交于點(diǎn)，，若，則大小為（）A. B. C. D.3.實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.4.若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.4 D.165.不透明的袋子中裝有一個(gè)紅色小球和一個(gè)白色小球，除顏色外兩個(gè)小球無(wú)其他差別．從中隨機(jī)取出一個(gè)小球后，放回并搖勻，再?gòu)闹须S機(jī)取出一個(gè)小球，則兩次都取到白色小球的概率為（）A. B. C. D.6.為助力數(shù)字經(jīng)濟(jì)發(fā)展，北京積極推進(jìn)多個(gè)公共算力中心的建設(shè).北京數(shù)字經(jīng)濟(jì)算力中心日前已部署上架和調(diào)試的設(shè)備的算力為Flops（Flops是計(jì)算機(jī)系統(tǒng)算力的一種度量單位），整體投產(chǎn)后，累計(jì)實(shí)現(xiàn)的算力將是日前已部署上架和調(diào)試的設(shè)備的算力的5倍，達(dá)到Flops，則的值為（）A. B. C. D.7.下面是“作一個(gè)角使其等于”的尺規(guī)作圖方法.（1）如圖，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，；（2）作射線，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)；以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)；（3）過(guò)點(diǎn)作射線，則.

上述方法通過(guò)判定得到，其中判定的依據(jù)是（）A.三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等B.兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等C.兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等D.兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等8.如圖，在菱形中，，為對(duì)角線的交點(diǎn).將菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，兩個(gè)菱形的公共點(diǎn)為，，，.對(duì)八邊形給出下面四個(gè)結(jié)論：①該八邊形各邊長(zhǎng)都相等；②該八邊形各內(nèi)角都相等；③點(diǎn)到該八邊形各頂點(diǎn)的距離都相等；④點(diǎn)到該八邊形各邊所在直線的距離都相等。上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①③ B.①④ C.②③ D.②④第二部分非選擇題二、填空題（共16分，每題2分）9.若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．10.分解因式：___________.11.方程的解為_(kāi)__________.12.在平面直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，則的值是___________.13.某廠加工了200個(gè)工件，質(zhì)檢員從中隨機(jī)抽取10個(gè)工件檢測(cè)了它們的質(zhì)量（單位：g），得到的數(shù)據(jù)如下：50.0349.9850.0049.9950.0249.9950.0149.9750.0050.02當(dāng)一個(gè)工件的質(zhì)量（單位：g）滿足時(shí)，評(píng)定該工件為一等品.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)這200個(gè)工件中一等品的個(gè)數(shù)是___________.14.如圖，的直徑平分弦（不是直徑）.若，則___________15.如圖，在正方形中，點(diǎn)在上，于點(diǎn)，于點(diǎn)．若，，則的面積為_(kāi)__________．16.聯(lián)歡會(huì)有A，B，C，D四個(gè)節(jié)目需要彩排.所有演員到場(chǎng)后節(jié)目彩排開(kāi)始。一個(gè)節(jié)目彩排完畢，下一個(gè)節(jié)目彩排立即開(kāi)始.每個(gè)節(jié)目的演員人數(shù)和彩排時(shí)長(zhǎng)（單位：min）如下：節(jié)目ABCD演員人數(shù)102101彩排時(shí)長(zhǎng)30102010已知每位演員只參演一個(gè)節(jié)目.一位演員的候場(chǎng)時(shí)間是指從第一個(gè)彩排的節(jié)目彩排開(kāi)始到這位演員參演的節(jié)目彩排開(kāi)始的時(shí)間間隔（不考慮換場(chǎng)時(shí)間等其他因素）。若節(jié)目按“”的先后順序彩排，則節(jié)目D的演員的候場(chǎng)時(shí)間為_(kāi)___________min；若使這23位演員候場(chǎng)時(shí)間之和最小，則節(jié)目應(yīng)按___________的先后順序彩排三、解答題（共68分，第17-19題每題5分，第20-21題每題6分，第22-23題每題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題每題7分）解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.17.計(jì)算：18.解不等式組：19.已知，求代數(shù)式的值.20.如圖，在四邊形中，是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，，.（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）若，，，求的長(zhǎng).21.為防治污染，保護(hù)和改善生態(tài)環(huán)境，自2023年7月1日起，我國(guó)全面實(shí)施汽車國(guó)六排放標(biāo)準(zhǔn)6b階段（以下簡(jiǎn)稱“標(biāo)準(zhǔn)”）.對(duì)某型號(hào)汽車，“標(biāo)準(zhǔn)”要求類物質(zhì)排放量不超過(guò)，，兩類物質(zhì)排放量之和不超過(guò).已知該型號(hào)某汽車的，兩類物質(zhì)排放量之和原為.經(jīng)過(guò)一次技術(shù)改進(jìn)，該汽車的類物質(zhì)排放量降低了，類物質(zhì)排放量降低了，，兩類物質(zhì)排放量之和為，判斷這次技術(shù)改進(jìn)后該汽車的類物質(zhì)排放量是否符合“標(biāo)準(zhǔn)”，并說(shuō)明理由.22.在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象交于點(diǎn).（1）求，的值；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，函數(shù)的值既大于函數(shù)的值，也大于函數(shù)的值，直接寫出的取值范圍.23.某學(xué)校舉辦的“青春飛揚(yáng)”主題演講比賽分為初賽和決賽兩個(gè)階段.（1）初賽由名數(shù)師評(píng)委和名學(xué)生評(píng)委給每位選手打分（百分制）對(duì)評(píng)委給某位選手的打分進(jìn)行整理、描述和分析.下面給出了部分信息.教師評(píng)委打分：.學(xué)生評(píng)委打分的頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分6組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組）：.評(píng)委打分的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下：

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)教師評(píng)委學(xué)生評(píng)委根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：①的值為_(kāi)__________，的值位于學(xué)生評(píng)委打分?jǐn)?shù)據(jù)分組的第__________組；②若去掉教師評(píng)委打分中的最高分和最低分，記其余8名教師評(píng)委打分的平均數(shù)為，則___________（填“”“”或“”）；（2）決賽由5名專業(yè)評(píng)委給每位選手打分（百分制）.對(duì)每位選手，計(jì)算5名專業(yè)評(píng)委給其打分的平均數(shù)和方差.平均數(shù)較大的選手排序靠前，若平均數(shù)相同，則方差較小的選手排序靠前，5名專業(yè)評(píng)委給進(jìn)入決賽的甲、乙、丙三位選手的打分如下：

評(píng)委1評(píng)委2評(píng)委3評(píng)委4評(píng)委5甲乙丙若丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，則這三位選手中排序最靠前的是____________，表中（為整數(shù)）的值為_(kāi)___________.24.如圖，是直徑，點(diǎn)，在上，平分.

（1）求證：；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).若，，求半徑的長(zhǎng).25.小云有一個(gè)圓柱形水杯（記為1號(hào)杯），在科技活動(dòng)中，小云用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和人工智能軟件設(shè)計(jì)了一個(gè)新水杯，并將其制作出來(lái)，新水杯（記為2號(hào)杯）示意圖如下，當(dāng)1號(hào)杯和2號(hào)杯中都有mL水時(shí)，小云分別記錄了1號(hào)杯的水面高度（單位：cm）和2號(hào)杯的水面高度（單位：cm），部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：/mL040100200300400500/cm0

2.55.07.510.012.5/cm02.84.87.28.910.511.8（1）補(bǔ)全表格（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；（2）通過(guò)分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫與，與之間的關(guān)系.在給出的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決下列問(wèn)題：①當(dāng)1號(hào)杯和2號(hào)杯中都有320mL水時(shí)，2號(hào)杯的水面高度與1號(hào)杯的水面高度的差約為_(kāi)__________cm（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；②在①的條件下，將2號(hào)杯中的一都分水倒入1號(hào)杯中，當(dāng)兩個(gè)水杯的水面高度相同時(shí)，其水面高度約為_(kāi)__________cm（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．26.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線.（1）當(dāng)時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）已知和是拋物線上的兩點(diǎn).若對(duì)于，，都有，求的取值范圍.27.已知，點(diǎn)，分別在射線，上，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，過(guò)點(diǎn)作的垂線交射線于點(diǎn).

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，求證：是的中點(diǎn)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，作，交射線于點(diǎn)，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明。28.在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，對(duì)于的弦和不在直線上的點(diǎn)，給出如下定義：若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上或其內(nèi)部，且，則稱點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”．（1）如圖，點(diǎn)，．①在點(diǎn)，，中，點(diǎn)___________是弦的“可及點(diǎn)”，其中____________；②若點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為_(kāi)_________；（2）已知是直線上一點(diǎn)，且存在的弦，使得點(diǎn)是弦的“可及點(diǎn)”．記點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，直接寫出的取值范圍．

參考答案第一部分選擇題一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)1.【答案】B【解析】解：A、中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形，故不符合題意；B、既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，故符合題意；C、不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；D、是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故不符合題意；故選：B．2.【答案】B【解析】解：∵，∴，∵，，∴，故選：B．3.【答案】C【解析】解：A、由數(shù)軸可知，故本選項(xiàng)不符合題意；B、由數(shù)軸可知，由絕對(duì)值的意義知，故本選項(xiàng)不符合題意；C、由數(shù)軸可知，而，則，故，故本選項(xiàng)符合題意；D、由數(shù)軸可知，而，因此，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．4.【答案】C【解析】∵方程，，∴，∴，解得．故選C．5.【答案】D【解析】解：畫樹(shù)狀圖如下：共有4種等可能的結(jié)果，其中兩次都取到白色小球的結(jié)果有1種，兩次都取到白色小球的概率為．故選：D．6.【答案】D【解析】，故選D．7.【答案】A【解析】根據(jù)基本作圖中，同圓半徑相等，判定三角形全等的依據(jù)是邊邊邊原理，故選A.8.【答案】B【解析】向兩方分別延長(zhǎng)，連接，根據(jù)菱形，，則，，∵菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，∴點(diǎn)一定在對(duì)角線上，且，，∴，，∵，∴，∴，，同理可證，∵，∴，∴，∴，∴該八邊形各邊長(zhǎng)都相等，故①正確；根據(jù)角的平分線的性質(zhì)定理，得點(diǎn)到該八邊形各邊所在直線的距離都相等，∴④正確；根據(jù)題意，得，∵，，∴，∴該八邊形各內(nèi)角不相等；∴②錯(cuò)誤，根據(jù)，∴，∴，故，∴點(diǎn)到該八邊形各頂點(diǎn)的距離都相等錯(cuò)誤∴③錯(cuò)誤，故選B．第二部分非選擇題二、填空題（共16分，每題2分）9.【答案】【解析】解：根據(jù)題意得，解得：．故答案為：10.【答案】【解析】．故答案為：．11.【答案】【解析】解：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，所以，原方程的解為，故答案為：．12.【答案】0【解析】解：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，∴有，∴，故答案為：0．13.【答案】160【解析】解：10個(gè)工件中為一等品的有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02這8個(gè)，∴這200個(gè)工件中一等品的個(gè)數(shù)為個(gè)，故答案為：160．14.【答案】55【解析】解：∵直徑平分弦，∴，∵，∴，∴，故答案為：55．15.【答案】【解析】解：根據(jù)正方形的性質(zhì)，得，，∴，∵，∴,，，∴，∴，∴，∴的面積為；故答案為：．16.【答案】①.60②.【解析】解：①節(jié)目D的演員的候場(chǎng)時(shí)間為，故答案為：60；②由題意得節(jié)目A和C演員人數(shù)一樣，彩排時(shí)長(zhǎng)不一樣，那么時(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)的節(jié)目應(yīng)該放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排時(shí)長(zhǎng)一樣，人數(shù)不一樣，那么人數(shù)少的應(yīng)該往后排，這樣等待時(shí)長(zhǎng)會(huì)短一些，那么B在D前面，∴①按照順序，則候場(chǎng)時(shí)間為：分鐘；②按照順序，則候場(chǎng)時(shí)間為：分鐘；③按照順序，則候場(chǎng)時(shí)間為：分鐘；④按照順序，則候場(chǎng)時(shí)間為：分鐘；⑤按照順序，則候場(chǎng)時(shí)間為：分鐘；⑥按照順序，則候場(chǎng)時(shí)間為：分鐘．∴按照順序彩排，候場(chǎng)時(shí)間之和最小，故答案為：．三、解答題（共68分，第17-19題每題5分，第20-21題每題6分，第22-23題每題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分，第27-28題每題7分）解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.17.【答案】【解析】解：原式．18.【答案】【解析】∵∴解不等式①，得，解不等式,②，得，∴不等式組的解集為．19.【答案】3【解析】解：原式，∵，∴，∴原式．20.【答案】（1）見(jiàn)詳解（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】證明：∵是的中點(diǎn)，，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形；【小問(wèn)2詳解】解：∵，∴，在中，，，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴在中，由勾股定理得．21.【答案】符合，理由見(jiàn)詳解【解析】解：設(shè)技術(shù)改進(jìn)后該汽車的A類物質(zhì)排放量為，則B類類物質(zhì)排放量為，由題意得：，解得：，∵，∴這次技術(shù)改進(jìn)后該汽車的類物質(zhì)排放量是符合“標(biāo)準(zhǔn)”．22.【答案】（1）（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】解：由題意得將代入得：，解得：，將，，代入函數(shù)中，得：，解得：，∴；【小問(wèn)2詳解】解：∵，∴兩個(gè)一次函數(shù)的解析式分別為，當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，函數(shù)的值既大于函數(shù)的值，也大于函數(shù)的值，即當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，直線的圖像在直線和直線的上方，則畫出圖象為：由圖象得：當(dāng)直線與直線平行時(shí)符合題意或者當(dāng)與x軸的夾角大于直線與直線平行時(shí)的夾角也符合題意，∴當(dāng)直線與直線平行時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，直線的圖像在直線和直線的上方時(shí)，，∴m的取值范圍為．23.【答案】（1）①，；②（2）甲，【解析】【小問(wèn)1詳解】①?gòu)慕處熢u(píng)委打分的情況看，分出現(xiàn)的次數(shù)最多，故教師評(píng)委打分的眾數(shù)為，所以，共有45名學(xué)生評(píng)委給每位選手打分，所以學(xué)生評(píng)委給每位選手打分的中位數(shù)應(yīng)當(dāng)是第個(gè)，從頻數(shù)分面直方圖上看，可得學(xué)生評(píng)委給每位選手打分的中位數(shù)在第4組，故答案為：，；②去掉教師評(píng)委打分中的最高分和最低分，其余8名教師評(píng)委打分分別為：，，，，，，，，，故答案為：；【小問(wèn)2詳解】，，，，丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，依題意，當(dāng)，則解得：當(dāng)時(shí)，此時(shí)∵，則乙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，不合題意，當(dāng)時(shí)，此時(shí)∵，則丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，這三位選手中排序最靠前的是甲故答案為：甲，．24.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，得，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴；【小問(wèn)2詳解】∵，，不妨設(shè)，則，∴，∵，∴，，∴，∴，解得，取的中點(diǎn)M，連接，則∵，∴，∴，∴，∵是的切線，∴，∴，解得，故半徑的長(zhǎng)為.

25.【答案】（1）1.0（2）見(jiàn)詳解（3）1.2，8.5【解析】【小問(wèn)1詳解】解：由題意得，設(shè)V與的函數(shù)關(guān)系式為：，由表格數(shù)據(jù)得：，解得：，∴，∴當(dāng)時(shí)，，∴；【小問(wèn)2詳解】解：如圖所示，即為所畫圖像，【小問(wèn)3詳解】解：①當(dāng)時(shí)，，由圖象可知高度差，故答案為：1.2；②由圖象可知當(dāng)兩個(gè)水杯的水面高度相同時(shí)，估算高度約為，故答案為：．26.【答案】（1）；（2）或．【解析】【小問(wèn)1詳解】解：把代入得，，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；【小問(wèn)2詳解】解：分兩種情況：當(dāng)時(shí)，如圖，此時(shí)，∴，又∵，∴；當(dāng)時(shí)，如圖，此時(shí)，解得，又∵，∴；綜上，當(dāng)或，都有．27.【答案】（1）見(jiàn)詳解（2），理由見(jiàn)詳解【解析】【小問(wèn)1詳解】證明：連接，

由題意得：，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)是