2025屆高考數學統(tǒng)考二輪復習第一部分送分考點自練自檢第4講計數原理二項式定理定積分教師用書教案理

PAGE第4講計數原理、二項式定理、定積分計數原理授課提示：對應學生用書第11頁考情調研考向分析以理解和應用排列、組合的概念為主，經常以實際問題為載體，考查分類探討思想，考查分析、解決問題的實力，題型以選擇、填空題為主，難度為中檔.1.帶附加條件的排列、組合問題．2．分組、安排問題.[題組練透]1．(2024·湛江模擬)現有甲班A，B，C，D四名學生，乙班E，F，G三名學生，從這7名學生中選4名學生參與某項活動，則甲、乙兩班每班至少有1人，且A必需參與的方法有()A．10種 B．15種C．18種 D．19種解析：由題按甲、乙班參與人數分狀況探討如下：若甲班1人，乙班3人，共1種方法；若甲班2人，乙班2人，共Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,3)＝9種方法；若甲班3人，乙班1人，共Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3)＝9種方法；故甲、乙兩班每班至少有1人，且A必需參與的方法有1＋9＋9＝19種．故選D.答案：D2．(2024·桂林、崇左模擬)支配3名志愿者完成5項不同的工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的支配方式共有()A．240種 B．150種C．125種 D．120種解析：把5項工作分成三組，有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)×eq\f(1,2)＝10＋15＝25種方法，再把工作安排給三個志愿者有Aeq\o\al(3,3)＝6種方法，由乘法分步原理得共有25×6＝150種方法．故選B.答案：B3．(2024·南寧模擬)某技術學院支配5個班到3個工廠實習，每個班去一個工廠，每個工廠至少支配一個班，則不同的支配方法共有()A．60種 B．90種C．150種 D．240種解析：將5個班分成3組，有兩類方法：①3,1,1，有Ceq\o\al(3,5)種；②2,2,1，有eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),2！)種．所以不同的支配方法共有(Ceq\o\al(3,5)＋eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),2！))×Aeq\o\al(3,3)＝150種．故選C.答案：C4．(2024·北京西城區(qū)模擬)如圖所示，玩具計數算盤的三檔上各有7個算珠，現將每檔算珠分為左右兩部分，左側的每個算珠表示數2，右側的每個算珠表示數1(允許一側無珠)，記上、中、下三檔的數字和分別為a，b，c.例如，圖中上檔的數字和a＝9.若a，b，c成等差數列，則不同的分珠計數法有________種．解析：每檔可取7到14中的每個整數，若公差為0，共有8種；若公差為±1，則共有12種；若公差為±2，則共有8種；若公差為±3，則共有4種；所以，不同分珠方法有：8＋12＋8＋4＝32種．答案：32[題后悟通]快審題1.看到“在”與“不在”的排列問題，想到特別優(yōu)先原則．2．看到相鄰問題，想到捆綁法；看到不相鄰問題，想到插空法．3．看到分組安排問題，想到先分類，再在各類中先分組后安排妙解法求解有限制條件排列問題的主要方法(1)干脆法：①分類法：選定一個適當的分類標準，將要完成的事務分成幾個類型，分別計算每個類型中的排列數，再由分類加法計數原理得出總數．②分步法：選定一個適當的標準，將事務分成幾個步驟來完成，分別計算出各步驟的排列數，再由分步乘法計數原理得出總數．(2)捆綁法：相鄰問題捆綁處理，即可以把相鄰元素看作一個整體與其他元素進行排列，同時留意捆綁元素的內部排列．(3)插空法：不相鄰問題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列后的空中．(4)除法：對于定序問題，可先不考慮依次限制，排列后，再除以已定元素的全排列．(5)間接法：對于分類過多的問題，一般利用正難則反、等價轉化的方法避誤區(qū)排列、組合問題的易錯點(1)分類標準不明確，有重復或遺漏．(2)混淆排列問題與組合問題．(3)解決捆綁問題時，遺忘“松綁”后的全排列二項式定理授課提示：對應學生用書第12頁考情調研考向分析以理解和應用二項式定理為主，常考查二項綻開式，通項公式以及二項式系數的性質，賦值法求系數的和也是考查的熱點；本節(jié)內容在高考中以選擇題、填空題的形式進行考查，難度中檔.1.特定項問題．2.系數問題．3.賦值問題.[題組練透]1．(2024·云南質檢)在(x－eq\f(2,x))10的二項綻開式中，x6的系數等于()A．－180 B．－eq\f(5,3)C.eq\f(5,3) D．180解析：(x－eq\f(2,x))10的二項綻開式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)·(－2)r·x10－2r，令10－2r＝6，求得r＝2，可得x6的系數為Ceq\o\al(2,10)·(－2)2＝180.故選D.答案：D2．(2024·甘肅質檢)(1－2x)3(2＋x)4綻開式中x2的系數為()A．0 B．24C．192 D．408解析：由題(1－2x)3的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,3)(－2x)r，(2＋x)4的通項公式為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,4)24－kxk.若(1－2x)3中供應常數項1，(2＋x)4的綻開式中供應二次項，此時r＝0，k＝2，則系數為Ceq\o\al(0,3)Ceq\o\al(2,4)22＝24；若(1－2x)3中供應一次項，(2＋x)4的綻開式中供應一次項，此時r＝1，k＝1，則系數為－2Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4)23＝－192.若(1－2x)3中供應二次項，(2＋x)4的綻開式中供應常數項，此時r＝2，k＝0，則系數為4Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(0,4)24＝192，故綻開式中x2的系數為24－192＋192＝24.故選B.答案：B3．(2024·蚌埠模擬)若二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x6－\f(1,x\r(x))))n的綻開式中含有常數項，則n的值可以是()A．8 B．9C．10 D．11解析：二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x6－\f(1,x\r(x))))n的第r＋1項為：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)(x6)n－r·(－1)r·(x－eq\f(3,2))r＝Ceq\o\al(r,n)·(－1)r·xeq\f(34n－5r,2)，由題意可知含有常數項，所以只需4n－5r＝0，比照選項當n＝10時，r＝8，故選C.答案：C4．已知(2m＋x)(1＋x)4的綻開式中x的奇數次冪項的系數之和為64，則mA.eq\f(7,4)B.eq\f(7,2)C．4 D．7解析：設(2m＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得(2m＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5①；令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5②.①－②，得16(2m＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×64，解得m＝eq\f(7,2)，故選B.答案：B[題后悟通]快審題看到二項式，想到先化簡形式，然后利用通項公式妙解法1.求二項式與代數式積的綻開式特定項系數問題的關鍵一是將二項式看作一個整體，利用安排律整理所給式子；二是利用二項綻開式的通項公式，求特定項，特定項的系數即為所要求的系數．2．求(x＋y＋z)n的綻開式的特定項的系數問題的技巧若三項能用完全平方公式，那當然比較簡潔，若三項不能用完全平方公式，只需依據題目特點，把“三項”當成“兩項”看，再利用二項綻開式的通項公式去求特定項的系數；把(x＋y＋z)n看作n個因式x＋y＋z的乘積，再利用組合數公式求解．3．二項式系數最大項的確定方法若n是偶數，則中間一項第eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)＋1))項的二項式系數Ceq\f(n,2)n最大；若n是奇數，則中間兩項第eq\f(n＋1,2)項與第eq\f(n＋1,2)＋1項的二項式系數最大避誤區(qū)(1)二項式系數與系數的區(qū)分．(2)中間項問題．(3)二項式系數的最大問題微積分基本定理授課提示：對應學生用書第13頁考情調研考向分析利用定積分求平面圖形的面積，定積分的計算是高考考查的重點.1.定積分的計算．2.求曲邊圖形的面積.[題組練透]1．(2024·蕪湖模擬)直線l過拋物線C:x2＝4y的焦點且與y軸垂直，則l與C所圍成的圖形的面積等于()A.eq\f(4,3) B．2C.eq\f(8,3) D.eq\f(16\r(2),3)解析：拋物線C的焦點為(0,1)，直線l：y＝1與拋物線的交點為(±2,1)，因此＝故選C.答案：C2．曲線y＝eq\f(4,x)與直線y＝5－x圍成的平面圖形的面積為()A.eq\f(15,2) B.eq\f(15,4)C.eq\f(15,4)－4ln2 D.eq\f(15,2)－8ln2解析：作出曲線y＝eq\f(4,x)與直線y＝5－x圍成的平面圖形如下：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,x),y＝5－x))解得：x＝1或x＝4，所以曲線y＝eq\f(4,x)與直線y＝5－x圍成的平面圖形的面積為S＝eq\a\vs4\al(\i\in(1,4,))(5－x－eq\f(4,x))dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(1,2)x2－4lnx))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(4,1)))＝(20－8－4ln4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(1,2)))＝eq\f(15,2)－8ln2.故選D.答案：D3．(2024·漢中質檢)已知(其中e為自然對數的底數)，函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx，x>0,10－x，x≤0))，則f(a)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,3)))等于()A．4 B．3＋eC.eq\f(4,3) D.eq\f(1,3)解析：因為lgeq\f(1,3)<0,所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,3)))＝＝10lg3＝3，又a＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,0)))＝e＋1－1＝e>0，所以f(a)＝f(e)＝1，所以f(a)