2022廣東省中考數(shù)學?？級狠S試題（含答案解析）

【精編】最新廣東省中考數(shù)學壓軸題

(含答案)

一.(中考壓軸題)已知如圖1,在△/比1中，/ACB=90°,BC=AC,

點〃在四上，應(yīng)士仍交比于2點少是熊的中點

(1)寫出線段砂與線段用的關(guān)系并證明；

(2)如圖2,將△皮應(yīng)繞點〃逆時針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°),

其它條件不變，線段必與線段尾的關(guān)系是否變化，寫出你的結(jié)論

并證明；

(3)將△叱繞點夕逆時針旋轉(zhuǎn)一周，如果a'=4,BE=2?直

接寫出線段跖的范圍.

二.(中考壓軸題)如圖，4?是。。的直徑，AC=B連結(jié)4。，過

點。作直線/〃48,點〃是直線)上的一個動點，直線必與。。交于

另一點〃，連結(jié)⑺，設(shè)直線處與直線4c交于點反

(1)求/為。的度數(shù)；

(2)當點〃在”上方，且5_L砂時，求證：PC=AC；

(3)在點〃的運動過程中

①當點A在線段處的中垂線上或點夕在線段PA的中垂線上時，求

出所有滿足條件的N/切的度數(shù)；

②設(shè)。。的半徑為6,點月到直線/的距離為3,連結(jié)劭，DE,直

接寫出△叱的面積.

三.（中考壓軸題）（14分）如圖：/〃是正△48。的高，。是/〃上

一點，。。經(jīng)過點〃分別交/反4。于區(qū)F

（1）求N及用'的度數(shù)；

（2）若AD=6M，求△/跖的周長；

（3）設(shè).EF、4?相較于M若四=3,EF=7,求ZW的長.

四.（中考壓軸題）（14分）如圖1,拋物線_7=3*+及+3交x軸于

點2（-1,0）和點方（3,0）.

（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）如圖2,該拋物線與y軸交于點。，頂點為凡點〃（2,3）

在該拋物線上.

①求四邊形2池的面積；

②點P是線段）夕上的動點（點〃不與點4、夕重合），過點〃作

軸交該拋物線于點。，連接2。、DQ,當是直角三角形

VO）的圖象上，點方在直線y=x-3的圖象上，點〃的縱坐標為-1,

ABA_x軸，且S^OAB=4.

（1）求點力的坐標和A的值；

（2）若點尸在反比例函數(shù)尸"（AV0）的圖象上，點0在直線y

X

=X-3的圖象上，P、。兩點關(guān)于y軸對稱，設(shè)點尸的坐標為（力,

加,求?辭的值?

六.（中考壓軸題）（14分）已知，48是。。的直徑，點。在。。上,

點戶是45延長線上一點，連接以

（1）如圖1,若/PCB=/A.

①求證：直線先是。。的切線；

②若。三。1,04=2,求⑦的長；

（2）如圖2,若點"是弧"的中點，CM交AB于點N,MN、MC=9,

圖1圖2

答案

一.【分析】（1）結(jié)論：FD=FC,DF1CF.理由直角三角形斜邊中

線定理即可證明；

（2）如圖2中，延長〃1到〃使得0仁勿，延長切到凡使得"V

=DE,連接BN、BM.EM、AN,延長ME交.AN于H,交AB于0.想

辦法證明而且△/儂，推出AN=EM,再利用三角形中位線定理

即可解決問題；

（3）分別求出跖的最大值、最小值即可解決問題；

【解答】解：（1）結(jié)論：FD=FC,DFVCF.

理由：如圖1中，

圖1

'：ZADE=ZACE=9Q°,AF=FE,

：.DF=AF=EF=CF,

：.Z.FAD=AFDA,/FAC=/FCA,

：.ADFE=/FDA+/FAD=2/FAD,AEFC=ZFAC+ZFCA=2ZFAC,

'：CA=CB,ZACB=9Q°,

：.ZBAC=45°,

AZDFC=AEFD^AEFC=2(7.FADy/FAC)=90°,

：.DF=FC,DFA.FC.

(2)結(jié)論不變.

理由：如圖2中，延長4C到"使得0Q。，延長劭到也使得

DN=DE,連接瞅BM.EM、AN,延長蛇交楸于，，交AB于0.

,BCLAM,AC=CM,

同法BE=BN,

*/ABM=/EBN=9G,

./NBA=/EBM,

.△松博△血陽

.AN=EM,:./BAN=/BME,

'AF=FE,AC=CM,

.CF*EM,FC//EM,同法川FD//AN,

.FD=FC,

,/BME+/BOM=90°,/BOM=/AOH,

:./BAN^/A0H=9G，

：.ZAHO=90°，

:.ANIMH,FDLFC.

（3）如圖3中，當點E落在46上時，防的長最大，最大值=3M

如圖4中，當點￡落在4?的延長線上時，"的值最小，最小值=

【點評】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形

的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、三角形中位線定理等

知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問

題，屬于中考壓軸題.

二.【分析】(1)只要證明△/a'是等腰直角三角形即可;

(2)只要證明％=力切=。即可；、

(3)①分四種情形分別畫出圖形一一求解即可；

②分兩種情形如圖6中，作鼠LPC于《只要證明四邊形/〃a'是

正方形即可解決問題；如圖7中，連接0C,作BG1CP千G,EKL

PC于K.由XAOQsXADB,可得5\力初二苧，可得&恂=見戚-義力即

=再根據(jù)&即￡="I"，S△0勿計算即可解決問題；

【解答】解：(1)如圖1中，連接式：

?AC=BC，

：.BC=CA,

?.?四是直徑,

：.ZACB=90°,

：.ZBAC=ZCBA=45°.

(2)解：如圖1中，設(shè)以交CD于K.

??*****

?AC=BC，

:./CDB=/CDP=43°,CB=CA,

:.CD平分~4BDP,又,：CDIBP,

:./DKB=/DKP=90°，'：DK=DK,

：.ADKB□叢DKP,

:.BK=KP,

即切是外的中垂線，

：.CP=CB=CA.

(3)①(I)如圖2,當〃在必的中垂線上，且P在右時一，AACD

=15。；

（圖2）

理由：連接劃、0C.作BGLPC于G.則四邊形。/K是正方形,

,:BG=OC=OB=CG,

,:BA=BA,

:.PB=2BG,

:./BPG=3G°,

'：AB//PC,

：.AABP=^°,

?初垂直平分/R

：.ZABD=^ZABP=15°,

：.ZACD=15°

(II)如圖3,當〃在用的中垂線上，且尸在左，//切=105°；

(S3)

理由：作優(yōu)4b于G.

同法可證//石=30°,可得NN期=N皿-N4℃=15°,

:./ABD=R3°,

'：ZAC^ZABD=18Q°,

：.ZACD=105°；

(III)如圖4,/在加的中垂線上，且尸在右時N〃7?=60°；

理由：作AHLPC千H,連接比.

同法可證N4勿=30°,可得N%C=75°,/D=/ABC=45°,

：.ZACD=^°；

(IV)如圖5,/在出的中垂線上，且尸在左時N4切=120°

（S5）

理由：作AHLPC于H.

同法可證：/APH=30°,可得N/〃C=45°,N%C=60°-45

=15°,

：.AACD=\^°.

②如圖6中，作貿(mào)1A7于尤

'：EK=CK=3,

:.EC=3版,

?20=6版

：.AE=EC,

'：AB//PC,

:./BAE=/PCE,V/AEB=/PEC,

:ZB叫XCPE,

：.PC=AB=CD,

...△也?是等腰直角三角形，可得四邊形/〃％是正方形,

=

??SxBDE=5?s正方形/1￡!BC36.

如圖7中，連接％,作優(yōu)工爐于G,EKLPC于K.

由題意％=a=3,PK=\,PG=2,

由△/0心必尸我,可得"二卷，

16X34

P@=25，

_540

由△40g△/龐,可得S4,ABD---訴

_72

??Si\PBD=S&ABP~

5A、.ABD]7，

_108

??S^BDE="y*5AF,BD----jy

綜上所，滿足條件的△⑸定的面積為36或聘.

【點評】本題考查圓綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、相似

三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)和判

定、直角三角形中30度角的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學會用分

類討論的思想思考問題，學會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解

決問題，屬于中考壓軸題.

三.【分析】（1）如圖1中，作O/_L/8于/,八力。于/連接陽

OF.想辦法求出/后郎的度數(shù)即可解決問題;

(2)如圖1中，作0m〃于I,0cLzc于/連接OE,OF.利用

全等三角形的性質(zhì)證明EK=EM,FM=FL,即可推出△力旗的周長=

2AL.即可解決問題；

(3)如圖3中，作FPLAB于P,作祝L/C于M,作于Q,

DL1AC于匚想辦法求出/〃，4V即可解決問題；

【解答】解：(1)如圖1中，作。/，然于I,on/c于/連接

OE,OF.

?.3。是正△/回的高，

「.N胡。=60°,AD平分/BAC,

：.ZBAD=ZCAD=3Q°,

；OLL也于/,?？诹?。于/

：.ZAIO=ZAJO=90°,

.\ZW=360°-90°-90°=60°=120°,01=0J,

'：OE=OF,

.,.RtA6>7^ARtA6>/F(Z&),

：./IOE=/JOF,

:/EOF=/EOJ+/FOJ=/EOJ+/IOE=/IOJ=120°,

:./EDF=W/E0F=6S.

(2)如圖1中，作〃于&DLIAC于L,DM1EF于M,連接

FG.

仇;是等邊三角形，ADLBC,

：.ZB=QQ°,BD=CD,

*：/EDF=6G,

:./EDF=/B,

'：ZEDC=ZEDF+ZCDF=N於NBED,

：.ABED=ACDF,

\?5是圓。的直徑，

.?.N49C=90°,N677A90°,

:./FG分/FDG=9G,/FDC+/FDG=9G

二.ZFDC=ZFGD=ZDEF,

'：DKIEB,DMVEF,

：.AEKD=AEMD=^°,DK=DM,

:.RSDEKQRSDEMQHL),

:.：.EK=EM,

同法可證：DK=DL,

\DM=CL,

：DMVFE,DLLFC,

../FMD=/FLD=9G,

?.Rt△加任Rt△〃/Z(HL),

\FM=FL,

：AD=AD,DK=DF,

?.RtZ\/Z%^RtZW￡(HL),

\AK=AL,

?.△4EF的周長=AE+EF^AF=AE+EK+AF+FL=2AL,

:AD=6冊,

\AL=AD*cos30°=9,

?.△45F的周長=18.

(3)如圖3中，作FPLAB于P,作EMLAC^M,作于Q,

在雙△/￡"中，?.'/"=3,/EAM=60°,

：.AM=^AE=~,EM=年,

在Rt△石物中，砂=也信股2=「-（年產(chǎn)容

：.AF=AM^-MF=8,

?.?△45F的周長=18,

由（2）可知24￡=18,

.?J/=9,AD=%=6?

cos30

.\AP=jA^4,FP=4&,

'：NQ//FP,

■:bEQNS^EPF,

.EQ=EP=1

,?瓦一市一蛆'

'：/BAD=30°,

：.AQ=V3/W,設(shè)EQ=x,貝ij@V=4?x,AQ=\2x,

：.AB=llx=3,

...*_一五3，

：.AN=2NQ=^^,

：.DN=AD-AN=^^.

【點評】本題屬于圓綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，銳角三角

函數(shù)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平

分線的性質(zhì)定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔

助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，

屬于中考壓軸題.

四.【分析】（1）由爾〃兩點的坐標，利用待定系數(shù)法即可求得拋

物線解析式；

（2）①連接切，則可知切〃x軸，由4、分的坐標可知尺/至IJ切

的距離，利用三角形面積公式可求得和的面積，則可

求得四邊形40叨的面積；②由題意可知點/處不可能是直角，則

有N4制=90°或N/磔=90°,當N/〃Q=90。時，可先求得直線

/〃解析式，則可求出直線〃。解析式，聯(lián)立直線〃。和拋物線解析

式則可求得0點坐標；當N/Q〃=90°時，設(shè)0(3-「+2什3),

設(shè)直線四的解析式為則可用Z表示出〃，設(shè)直線〃。

解析式為尸Lx+'同理可表示出無，由力則可得到關(guān)于方

的方程，可求得。的值，即可求得0點坐標.

【解答】解：

⑴由題意可得｛晨露解得仁:

.?.拋物線解析式為y=-x+2%+3；

(2)①?.，=-1+2戶3=-(x-1)2+4,

AF(1,4),

Vr(0,3),D(2,3),

A67?=2,且切〃x軸，

\'A(-1,0),

S四邊形ACFD~5A/ICZ)+5ACT=-^-X2X3+-^-X2X(4-3)=4；

②\?點戶在線段ABk,

...N%0不可能為直角,

.?.當為直角三角形時，有N/〃Q=90°或N/Q〃=90°,

i.當N49Q=90°時、則〃

'：A(-1,0),〃(2,3),

，直線助解析式為y=x+l,

.?.可設(shè)直線〃。解析式為y=-x+?,

把〃（2,3）代入可求得6,=5,

直線〃。解析式為尸-x+5,

聯(lián)立直線制和拋物線解析式可得［"一、：，解得產(chǎn):或卜了,

y=-x'+2x+3Iy=4Iy=3

.?.0（1,4）；

ii.當N/3=90°時，設(shè)0（力，-產(chǎn)+2什3）,

設(shè)直線40的解析式為y=k\x+b},

~~k?+b?=0

把/、0坐標代入可得0解得k\--(t-3),

tk]+b]=-t+2t+3

設(shè)直線〃。解析式為y=k2x+bi,同理可求得k2--t,

'CAQLDQ,

二.k\kz=-1,即-（［-3）=-1,解得t=":在,

當勺菩時，--2什3=等，

當勺苧時，72+2>3=等，

.?.0點坐標為（普,苧）或（苧，苧）;

綜上可知。點坐標為（1,4）或（竽，岑或（苧，與羯.

【點評】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、三角形的

面積、二次函數(shù)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及分類討論思想等知

識.在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）①中注意把四邊形

轉(zhuǎn)化為兩個三角形，在②利用互相垂直直線的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中.

五.【分析】（1）想辦法求出點力坐標即可解決問題；

（2）設(shè)尸（勿，-奧），貝IJ0（-勿，-獨），想辦法構(gòu)建方程即

IDID

可解決問題；

【解答】解：（1）由題意〃（2,-1）,

V-^-X2X^=4,

：.AB=4,

?.?四〃y軸,

：.A（2,-5）,

?.3⑵-5）在尸工的圖象上，

X

：.k=-10.

（2）設(shè)尸（勿，-獨），則0（-R,-改），

IDID

?.?點0在尸X-3上，

整理得：力?+3勿-10=0,

解得力=-5或2,

當加=-5,〃=2時-，-+皿=-祟