備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練專題04一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(利用導(dǎo)函數(shù)研究切線單調(diào)性問題)(選填壓軸題)(學(xué)生版+解析)

專題04一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（利用導(dǎo)函數(shù)研究切線，單調(diào)性問題）（選填壓軸題）目錄TOC\o"1-2"\h\u一、切線問題 1角度1：已知切線幾條求參數(shù) 1角度2：公切線問題 2角度3：和切線有關(guān)的其它綜合問題 3二、單調(diào)性問題 4角度1：已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù) 4角度2：由函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間求參數(shù) 5角度3：已知函數(shù)在某區(qū)間上不單調(diào)求參數(shù) 5角度4：利用函數(shù)的單調(diào)性比大小 6一、切線問題角度1：已知切線幾條求參數(shù)1．（23-24高三上·廣東汕頭·階段練習(xí)）若過點(diǎn)可作曲線三條切線，則（

）A． B．C．或 D．2．（23-24高二下·山西晉中·階段練習(xí)）已知過點(diǎn)作曲線的切線有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（23-24高三上·浙江·期中）若函數(shù)的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．4．（23-24·河南·模擬預(yù)測(cè)）若過點(diǎn)可以作曲線的三條切線，則（

）A． B．C． D．5．（23-24高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若經(jīng)過點(diǎn)且與曲線相切的直線有三條，則（

）A． B． C． D．或角度2：公切線問題1．（23-24高二下·江蘇·階段練習(xí)）若曲線與曲線存在公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．（23-24高三上·湖北荊州·階段練習(xí)）若曲線與曲線有公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（多選）（23-24高二下·山東煙臺(tái)·期末）關(guān)于曲線和的公切線，下列說法正確的有（

）A．無論a取何值，兩曲線都有公切線B．若兩曲線恰有兩條公切線，則C．若，則兩曲線只有一條公切線D．若，則兩曲線有三條公切線二、單調(diào)性問題角度1：已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)1．（23-24高三上·遼寧營(yíng)口·期末）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（23-24高三下·遼寧撫順·階段練習(xí)）若對(duì)任意的，，，恒成立，則a的最小值為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·山東威?！て谀┤艉瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．4．（22-23高三上·河南鄭州·期末）已知，函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù).5．（22-23高三上·湖北·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間相同，并且既有單調(diào)遞增區(qū)間，也有單調(diào)遞減區(qū)間，則的取值范圍是.角度2：由函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間求參數(shù)1．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）在區(qū)間上，函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（23-24高二下·陜西西安·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)減區(qū)間，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（23-24高二下·重慶萬州·階段練習(xí)）已知函數(shù)存在三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（23-24高二下·天津·階段練習(xí)）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.5．（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是．角度3：已知函數(shù)在某區(qū)間上不單調(diào)求參數(shù)1．（23-24高二下·重慶·期末）已知函數(shù)在上不單調(diào)，則m的取值范圍是A． B． C． D．2．（23-24高二下·河北張家口·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．3．（23-24高三上·山西忻州·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上不單調(diào)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（23-24高三上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知在上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．角度4：利用函數(shù)的單調(diào)性比大小1．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）設(shè)，則（

）A． B． C． D．2．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．4．（2024·遼寧·二模）若，則（

）A． B．C． D．專題04一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（利用導(dǎo)函數(shù)研究切線，單調(diào)性問題）（選填壓軸題）目錄TOC\o"1-2"\h\u一、切線問題 1角度1：已知切線幾條求參數(shù) 1角度2：公切線問題 6角度3：和切線有關(guān)的其它綜合問題 12二、單調(diào)性問題 17角度1：已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù) 17角度2：由函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間求參數(shù) 21角度3：已知函數(shù)在某區(qū)間上不單調(diào)求參數(shù) 24角度4：利用函數(shù)的單調(diào)性比大小 27一、切線問題角度1：已知切線幾條求參數(shù)1．（23-24高三上·廣東汕頭·階段練習(xí)）若過點(diǎn)可作曲線三條切線，則（

）A． B．C．或 D．【答案】D【優(yōu)尖升-分析】設(shè)出切點(diǎn)，求導(dǎo)，得到切線方程，將代入切線方程，得到，故有三個(gè)實(shí)數(shù)根，令，求導(dǎo)，得到其單調(diào)性和極值點(diǎn)情況，從而得到不等式，求出答案.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則，，故，且切線方程為，因?yàn)樵谇芯€上，故，整理得，因?yàn)檫^點(diǎn)可作曲線三條切線，故有三個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)，則，由得，或，因?yàn)?，由得或，此時(shí)單調(diào)遞增，由得，此時(shí)單調(diào)遞減，所以的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為，故要有三個(gè)實(shí)數(shù)根的充要條件為，即，解得.故選：D【點(diǎn)睛】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)已知切點(diǎn)求斜率,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；(2)已知斜率求切點(diǎn)即解方程；(3)已知切線過某點(diǎn)(不是切點(diǎn))求切點(diǎn),設(shè)出切點(diǎn)利用求解.2．（23-24高二下·山西晉中·階段練習(xí)）已知過點(diǎn)作曲線的切線有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【優(yōu)尖升-分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，結(jié)合斜率公式可得出，可知關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，令，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以，切線斜率為，整理得，關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根.令函數(shù)，由題意可得，解得且，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增..作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.3．（23-24高三上·浙江·期中）若函數(shù)的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【優(yōu)尖升-分析】求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線垂直的性質(zhì)，以及余弦函數(shù)進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象上存在兩條相互垂直的切線，不妨設(shè)函數(shù)在和的切線互相垂直，則，即①，因?yàn)閍一定存在，即方程①一定有解，所以，即，解得或，又，所以或，，所以方程①變?yōu)?，所以，故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.4．（23-24·河南·模擬預(yù)測(cè)）若過點(diǎn)可以作曲線的三條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】D【優(yōu)尖升-分析】利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，轉(zhuǎn)化為有三個(gè)不同的解，再構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)分析其圖像即可得到結(jié)論.【詳解】，設(shè)切點(diǎn)為，則，整理得，由題意知關(guān)于的方程有三個(gè)不同的解.設(shè)，，由得或，又，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.又易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，開口向上，所以當(dāng)x趨向于負(fù)無窮或正無窮時(shí)，都趨向于正無窮.而當(dāng)x趨向于負(fù)無窮時(shí)，趨向于正無窮,故也就趨向于正無窮；當(dāng)x趨向于正無窮時(shí)，趨向于正無窮且增長(zhǎng)速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過，故且趨向于零，又，，函數(shù)的大致圖像如圖所示.因?yàn)榈膱D像與直線有三個(gè)交點(diǎn)，所以，即.故選：D.5．（23-24高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若經(jīng)過點(diǎn)且與曲線相切的直線有三條，則（

）A． B． C． D．或【答案】A【優(yōu)尖升-分析】設(shè)切點(diǎn)為，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合兩點(diǎn)間的斜率公式可得有3個(gè)解，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性與極值可得的取值范圍.【詳解】，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)且與曲線相切的切點(diǎn)為，則.又切線經(jīng)過，故由題意有3個(gè)解.化簡(jiǎn)有，即有3個(gè)解.設(shè)，則，令有或，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.又，，且，，故要有3個(gè)解，則.故選：A【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解角度2：公切線問題1．（23-24高二下·江蘇·階段練習(xí)）若曲線與曲線存在公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【優(yōu)尖升-分析】求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)相等列方程，再由方程有根轉(zhuǎn)化為求最值，求得的范圍.【詳解】由，得；由，得，因?yàn)榍€與曲線存在公切線，設(shè)公切線與曲線切于點(diǎn)，與曲線切于點(diǎn)，則，又，則，將代入，得，則，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，則的范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，利用公切線的性質(zhì)得到，從而得到關(guān)于的表達(dá)式，從而得解.2．（23-24高三上·湖北荊州·階段練習(xí)）若曲線與曲線有公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【優(yōu)尖升-分析】設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，則可得，消去，得，再構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，由，得，所以公切線的斜率為，所以公切線方程為，化簡(jiǎn)得，設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，由，得，則公切線的斜率為，所以公切線方程為，化簡(jiǎn)得，所以，消去，得，由，得，令，則，所以在上遞減，所以，所以由題意得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出公切線方程，考查計(jì)算能力，屬于較難題.3．（多選）（23-24高二下·山東煙臺(tái)·期末）關(guān)于曲線和的公切線，下列說法正確的有（

）A．無論a取何值，兩曲線都有公切線B．若兩曲線恰有兩條公切線，則C．若，則兩曲線只有一條公切線D．若，則兩曲線有三條公切線【答案】BCD【優(yōu)尖升-分析】設(shè)曲線和的公切線分別與兩曲線相切于，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，化簡(jiǎn)可得，結(jié)合對(duì)數(shù)的定義可判斷A選項(xiàng)；構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，進(jìn)而分析方程解的情況，進(jìn)而求解.【詳解】設(shè)曲線和的公切線分別與兩曲線相切于，，因?yàn)?，，所以，，所以公切線的方程為，即，也可以為，即，所以，即化簡(jiǎn)得，即，若，，則上述式子無意義，此時(shí)兩曲線沒有公切線，故A錯(cuò)誤；①令，則，所以，令，則；令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.當(dāng)，即時(shí)，有兩解，即方程在時(shí)有兩解.當(dāng)，即時(shí)，只有一解，即方程在時(shí)只有一解.當(dāng)，即時(shí)，無解，即方程在時(shí)無解.②令，則，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，而當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，，，則，所以函數(shù)在上一定存在使得，即方程在時(shí)只有一解.綜上所述，當(dāng)時(shí)，有兩條公切線，故B正確；當(dāng)時(shí)，有一條公切線，而，所以時(shí)，只有一條公切線，故C正確；當(dāng)時(shí)，有三條公切線，而，所以時(shí)，有三條公切線，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求兩曲線的公切線及其相關(guān)問題時(shí)，常常結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出公切線方程，列出方程組分析求解.4．（23-24高二上·重慶·期末）若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為.【答案】【優(yōu)尖升-分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出曲線與公切線的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得兩切點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式，進(jìn)而求出t的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值，即可求得答案.【詳解】由題意得，，設(shè)公切線與曲線切于點(diǎn)，與曲線切于點(diǎn)，則，則，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)與的圖象存在公切線，符合題意；當(dāng)時(shí)，，即，故，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故，故，綜合得實(shí)數(shù)t的取值范圍為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答時(shí)要設(shè)出曲線與公切線的切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切點(diǎn)坐標(biāo)之間關(guān)系，關(guān)鍵在于由此結(jié)合該關(guān)系求得參數(shù)t的表達(dá)式，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)解決問題.5．（23-24高三上·四川遂寧·階段練習(xí)）若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【優(yōu)尖升-分析】設(shè)切點(diǎn)為，求導(dǎo)計(jì)算得到切線方程，與二次函數(shù)聯(lián)立，計(jì)算得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，計(jì)算最值得到，解不等式得到范圍.【詳解】，可得，設(shè)切點(diǎn)為，則，則公切線方程為，即，，則，所以，整理可得，又由，可得，解得，令，其中，可得，令，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，且當(dāng)趨近于時(shí)，趨近正無窮，所以函數(shù)的值域?yàn)?，所以且，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決公切線問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中將公切線問題根據(jù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵，構(gòu)造新函數(shù)是常用的方法，需要熟練掌握.角度3：和切線有關(guān)的其它綜合問題1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，，滿足，則的最小值為（

）A． B．8 C．4 D．16【答案】B【優(yōu)尖升-分析】利用絕對(duì)值的性質(zhì)及兩點(diǎn)間的距離公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】由得，，，即，，的幾何意義為曲線上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)連線的距離的平方，不妨設(shè)曲線，直線，設(shè)與直線平行且與曲線相切的直線方程為，顯然直線與直線的距離的平方即為所求，由，得，設(shè)切點(diǎn)為，，則，解得，直線與直線的距離為，的最小值為8．故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為求曲線上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)連線的距離的平方，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為求曲線上的點(diǎn)到直線上點(diǎn)的距離的平方，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)到直線的距離公式即可.2．（23-24高二下·貴州遵義·階段練習(xí)）若x、a、b為任意實(shí)數(shù)，若，則最小值為(

)A． B．9 C． D．【答案】C【優(yōu)尖升-分析】由題可知，問題可轉(zhuǎn)化為圓上動(dòng)點(diǎn)到函數(shù)y＝lnx圖像上動(dòng)點(diǎn)距離的最小值，即求函數(shù)y＝lnx上動(dòng)點(diǎn)到圓心距離的最小值，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)y＝lnx在處的切線與和連線垂直時(shí)為最小值，據(jù)此求出m的值，即可得到答案．【詳解】由可得在以為圓心，1為半徑的圓上，表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方，即表示圓上動(dòng)點(diǎn)到函數(shù)y＝lnx圖像上動(dòng)點(diǎn)距離的平方．設(shè)為y＝lnx上一點(diǎn)，且在處的y＝lnx的切線與和連線垂直，可得，即有，由在時(shí)遞增，且，可得m＝1，即切點(diǎn)為，圓心與切點(diǎn)的距離為，由此可得的最小值為．故選：C．

3．（23-24高二下·江蘇南京·開學(xué)考試）若＝＝1，則(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值為（

）A． B．C． D．e4＋5e2＋5【答案】C【優(yōu)尖升-分析】問題轉(zhuǎn)化為曲線（）上的點(diǎn)與直線上的點(diǎn)之間的距離的平方，由曲線的單調(diào)性及同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩解析式圖象，得到曲線的切線與直線平行時(shí)，此時(shí)切點(diǎn)到直線的距離的平方即為所求，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線距離公式求得答案.【詳解】由得：（），，則表示曲線（）上的點(diǎn)與直線上的點(diǎn)之間的距離的平方，（），當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，且，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩解析式，如圖所示：當(dāng)曲線的切線與直線平行時(shí)，此時(shí)切點(diǎn)到直線的距離即為曲線（）上的點(diǎn)與直線上的點(diǎn)之間的距離的最小值，令，解得：，其中，所以切點(diǎn)為，其中，則即為答案.故選：C4．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）已知，則的最小值為.【答案】/【優(yōu)尖升-分析】將最小值問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)距離最小值的平方，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的點(diǎn)間距離最小值的平方，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的零點(diǎn)，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出，從而得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，則可以轉(zhuǎn)化為，兩點(diǎn)之間的距離，即，所以，因?yàn)?，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的切線與直線平行，則直線的斜率為1，可得，整理得，令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)無限趨向于負(fù)無窮大時(shí)無限趨近于，，，當(dāng)無限趨向于正無窮大時(shí)無限趨向于正無窮大，所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以方程有且僅有一個(gè)解，則，故的最小值為點(diǎn)到直線的距離，即的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了由導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值，解決本題的關(guān)鍵是觀察出點(diǎn)是函數(shù)圖象上的點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，即可借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)到直線距離的平方.5．（23-24高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）若點(diǎn)，則兩點(diǎn)間距離的最小值為.【答案】/【優(yōu)尖升-分析】由題意可得點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在曲線上，在曲線上找到與直線平行的切線，則該切線與直線的距離即為的最小值.【詳解】點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在曲線上，即求的最小值等價(jià)于求直線上的點(diǎn)到曲線上的點(diǎn)的距離的最小值，過上的點(diǎn)作的切線，可得，令，可得，故該切線為，則直線與的距離即為的最小值，此時(shí)，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于觀察出點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在曲線上，則可借助求直線上的點(diǎn)到曲線上的點(diǎn)的距離的最小值得到的最小值.二、單調(diào)性問題角度1：已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)1．（23-24高三上·遼寧營(yíng)口·期末）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【優(yōu)尖升-分析】由二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，構(gòu)造函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于a的不等式組求解即可.【詳解】函數(shù)，對(duì)恒成立.，當(dāng)時(shí)，.令，欲使恒成立，只需滿足，當(dāng)時(shí)，恒成立，即，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即.故選：D2．（23-24高三下·遼寧撫順·階段練習(xí)）若對(duì)任意的，，，恒成立，則a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】將不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，只需使在上遞減，則在恒成立，只需恒成立，然后求解的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，則可化為，整理得，因?yàn)?，所以，令，則函數(shù)在上遞減，則在上恒成立，所以在上恒成立，令，則在上恒成立，則在上遞減，所以，故只需滿足：.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與不等式問題，考查構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，難度較大.解答時(shí)，針對(duì)原式進(jìn)行等價(jià)變形是關(guān)鍵.3．（23-24高三下·山東威?！て谀┤艉瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．【答案】A【解析】化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），根據(jù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，f′（x）≤0恒成立，由此解不等式求出a的取值范圍．【詳解】由函數(shù)，且f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴在區(qū)間上,f′(x)=?sin2x+3a(cosx?sinx)+2a?1≤0恒成立，∵設(shè)，∴當(dāng)x∈時(shí),,t∈[?1,1]，即?1≤cosx?sinx≤1，令t∈[?1,1],sin2x=1?t2∈[0,1]，原式等價(jià)于t2+3at+2a?2≤0，當(dāng)t∈[?1,1]時(shí)恒成立，令g(t)=t2+3at+2a?2，只需滿足或或，解得或或，綜上，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的公式及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用換元將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題，屬于較難題.4．（22-23高三上·河南鄭州·期末）已知，函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù).【答案】2【優(yōu)尖升-分析】由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系結(jié)合條件可得對(duì)任意的恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值和取最大值的條件，由此可得的值.【詳解】因?yàn)?，所以，由已知函?shù)在其定義域上單調(diào)遞減，所以對(duì)任意的恒成立.設(shè)，則，由知，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在時(shí)取得最大值，又所以對(duì)任意的恒成立，即的最大值為，所以，解得.故答案為：25．（22-23高三上·湖北·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間相同，并且既有單調(diào)遞增區(qū)間，也有單調(diào)遞減區(qū)間，則的取值范圍是.【答案】【優(yōu)尖升-分析】求出的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)首先確定的粗略范圍，并求出的單調(diào)區(qū)間；再求出的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)題意兩函數(shù)單調(diào)性一致可以確定，展開計(jì)算得出的取值范圍.【詳解】法一：因?yàn)?，所以，若，則，在上單調(diào)遞增，只有單調(diào)增區(qū)間，不合題意；若，令，得，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間相同，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以對(duì)任意恒成立，即恒成立，由，所以，將，代入上式，整理得，即，從而，此時(shí)，所以的取值范圍為.法二：.當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增.沒有單調(diào)遞減區(qū)間，不符合題意.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.令，則.由題意，，恒成立，即恒成立.令，則恒成立.因?yàn)?，所以與有相同的單調(diào)性，所以.又，所以，即，即.綜上，的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題中存在兩個(gè)難點(diǎn)①兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性相同與數(shù)學(xué)表達(dá)式的轉(zhuǎn)換：兩個(gè)函數(shù)單調(diào)性相同說明導(dǎo)數(shù)在同一區(qū)間的符號(hào)相同，若函數(shù)解析式簡(jiǎn)單，可分別寫出兩個(gè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)區(qū)間；若如本題一樣導(dǎo)數(shù)解析式復(fù)雜，則先找導(dǎo)數(shù)的共性，然后討論非共性處，以本題為例：導(dǎo)數(shù)與的共性是同乘，因此符號(hào)情況決定了兩個(gè)函數(shù)是否增減區(qū)間相同，繼而將復(fù)雜式子簡(jiǎn)化只討論的情況即可.②題中需要用到恒成立問題結(jié)論：恒成立；恒成立角度2：由函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間求參數(shù)1．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）在區(qū)間上，函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【優(yōu)尖升-分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性建立不等式，再構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)最大值即得.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，不等式在上有解，即在上有解，令，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C2．（23-24高二下·陜西西安·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)減區(qū)間，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【優(yōu)尖升-分析】求出，由題意在上有解，再轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最小值．【詳解】由已知在上有解，即在上有解，設(shè)，則在上恒成立，因此在上是增函數(shù)，，所以，故選：D．3．（23-24高二下·重慶萬州·階段練習(xí)）已知函數(shù)存在三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【優(yōu)尖升-分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)存在三個(gè)單調(diào)區(qū)間，可得有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則滿足，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.4．（23-24高二下·天津·階段練習(xí)）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【答案】【優(yōu)尖升-分析】求出給定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)已知由小于0在有解，求出a的范圍.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，得，即在有解，當(dāng)時(shí)，，，因此，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：5．（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是．【答案】【優(yōu)尖升-分析】由題意得在區(qū)間上有解，參變分離得到，換元后利用對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求出，得到答案.【詳解】，則．函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，只需在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，所以在區(qū)間上有解，所以．令，則．令，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：角度3：已知函數(shù)在某區(qū)間上不單調(diào)求參數(shù)1．（23-24高二下·重慶·期末）已知函數(shù)在上不單調(diào)，則m的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【優(yōu)尖升-分析】求導(dǎo)，函數(shù)不單調(diào)，解得答案.【詳解】.因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以，故.故答案為A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2．（23-24高二下·河北張家口·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】B【優(yōu)尖升-分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，所以函數(shù)在上有實(shí)數(shù)根，且無重根，即，求得函數(shù)的值域，即可求解．【詳解】由題意，函數(shù)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間不單調(diào)，所以函數(shù)在上有實(shí)數(shù)根，且無重根，由，即，可得，即令，則，記，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又由，所以，即，可得，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（舍去），所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，即函數(shù)在上有實(shí)數(shù)根，且無重根，轉(zhuǎn)化為是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．3．（23-24高三上·山西忻州·階段練