中考壓軸題圓含答案解析

中考壓軸題(一)與圓有關(guān)壓軸題

1.如圖，在口”中，48所對的圓心角為120,已知圓的半徑為2cm,并建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

(1)求圓心M的坐標(biāo)；

(2)求經(jīng)過AB,C三點(diǎn)的拋物線的解析式;

(3)點(diǎn)。是弦AB所對的優(yōu)弧上一動點(diǎn)，求四邊形ACB。的最大面積;

(4)在(2)中的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使△PAB和XABC相似？若存

在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

［解］(1)如圖(1),連結(jié)MA,MB.

則NAMB=120"，4CMB=60°,NOBM=30".

:,OM=-MB=\,.,."(0,1).

2

(2)由AB,C三點(diǎn)的特殊性與對稱性，

知經(jīng)過4B,C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ar2+c.

■.■OC=MC-MO=},OB=^MB2-OM2=75,

.-.c（o,-i）,B（MO）.

圖1

（3）;S四邊形4cB￡）=%ABC+SAAB。,又S^ABC與均為正值，

.?.當(dāng)△AB。邊AB上的高最大時，S&ABD最大，此時點(diǎn)。為口M與y軸的交點(diǎn)，如圖1.

'''S四邊形"Bo=S^ABC+S&ABD=/AB。。。+—AB'OD=—AB*CD-4百cm~?

(4)方法1：如圖2,???△A8C為等腰三角形,

..△ABCS^PAB等價(jià)于ZR48=30。，PB=AB=28PA=&B=6.

設(shè)尸（x，y）且x＞（）,則*=尸4＜儂30°-4。=3百-百=28，y=PA-sin300=3.

又?./（2代3）的坐標(biāo)滿足.?.在拋物線y=—1上，存在點(diǎn)尸（2月,3）,使△ABCS/\PAB.

33

由拋物線的對稱性，知點(diǎn)(-233)也符合題意..?.存在點(diǎn)P,它的坐標(biāo)為(2百3)或(-2&3).

方法2：

如圖(3),當(dāng)時，ZPAB=ZBAC=30,又由(1)知NM4B=30,

二點(diǎn)P在直線AM上.

設(shè)直線AM的解析式為y=kx+b,

,顯

將A(-y/3,0),M(ai)代入，解得，“=芋’.?.直線AM的解析式為

6=1.

6,

y=—x+L

解方程組3得尸(233).

y=-x2-1

I3

又vtanZPBx=—=^~產(chǎn)=6,ZPBx=60°..?.々=30°

2V3-V3

:.^ABC^/\PAB.

.?.在拋物線y=gf_i上，存在點(diǎn)尸(2石3),使△ABCSAQAB.

由拋物線的對稱性，知點(diǎn)(-2代3)也符合題意..?.存在點(diǎn)P,它的坐標(biāo)為(233)或(-263).

方法3：

如圖3,???△ABC為等腰三角形，且絲=6,設(shè)P(x,y)則圖3

△4BCs△P4B等價(jià)于尸B=AB=2G，PA=y/3AB=6.

當(dāng)x>0時，得<揚(yáng)+'「=2"解得P(2再3).

+y~=6.

又尸(2右3)的坐標(biāo)滿足y=gx2-i,...在拋物線、=^x2_］上，存在點(diǎn)/2人3),使

由拋物線的對稱性，知點(diǎn)(-2看3)也符合題意..?.存在點(diǎn)尸，它的坐標(biāo)為(26)3)或(-233).

［點(diǎn)評］本題是一道綜合性很強(qiáng)也是傳統(tǒng)型的壓軸題，涉及了函數(shù)、方程、相似、圓等大量初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識，解這

類問題要求學(xué)生必須穩(wěn)固的掌握各個領(lǐng)域的數(shù)學(xué)知識，須注意的是在第4小問中涉及了相似三南形的問題，很有可能

會有多解的情況出現(xiàn)，此時就要求學(xué)生擁有較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合思想去探索結(jié)論的存在性。

2.(06湖南湘潭卷)已知：如圖，拋物線y=—弓犬2一孚百的圖象與％軸分別交于4B兩點(diǎn),與)，軸交于C

點(diǎn)，□時經(jīng)過原點(diǎn)。及點(diǎn)4C,點(diǎn)。是劣弧。A上一動點(diǎn)(。點(diǎn)與A,。不重合).

(1)求拋物線的頂點(diǎn)E的坐標(biāo);

(2)求口朋的面積；

(3)連CO交AO于點(diǎn)尸，延長C。至G,使FG=2,試探究當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動到何處時，直線GA與口M相切，并請

說明理由.

［解］(1)拋物線丁=一3/一2叵1+6

33

—烏八2川"+等

(2)連AC；?.?□M過AO,C,/40。=90。；.4。為口0的直徑.

L

2

而|。4|=3,0C=v3/.r=-^―=V3SM=nr-3K

(3)當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動到。4的中點(diǎn)時，直線GA與口“相切

理由：在RtA4CO中，|OA|=3,0c=5:tanNACO=2=G

ZACO=60°,ZCAO=30°?.?點(diǎn)。是04的中點(diǎn)AD=DO

ZACG=ZDCO=30°OF=OCQan30°=1,/CFO=60°

在△G4F中，AF=2,FG=2/4/6=/。/0=60°；.2\46/為等邊三角形，/&4/=60°

ZC4G=ZGAF+ZCAO=90°又AC為直徑，.?.當(dāng)。為04的中點(diǎn)時，GA為口例的切線

［點(diǎn)評］本題將拋物線與圓放在同一坐標(biāo)系中研究，因此數(shù)形結(jié)合的解題思想是不可缺少的，解第3小問時可以先自己

作圖來確定D點(diǎn)的位置。

3.(06湖南永州卷)如圖，以。為圓心的兩個同心圓中，大圓的直徑AO交小圓于V,N兩點(diǎn)，大圓的弦AB切小圓

于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作直線CEJ_AD,垂足為E,交大圓于RH兩點(diǎn).

(1)試判斷線段AC與3c的大小關(guān)系，并說明理由.

(2)求證：FCUCH=AED4。.

(3)若FC,C”是方程V—26x+4=0的兩根(C”>CF),求圖中陰影部分圖形的周長.

[解](1)相等.

連結(jié)OC,則C0_LA3,故AC=5C.

(2)由△ACHsAFCB,wACXCB=FC[JJH=AC2,

又由△ACES/\AOC,得AC2=AEQ4O.FC[CH=AED4O.

(3)解方程得：CH=y[5+\,CF=y/5-l,C￡=6—(6-1)=1,A(72=4AC=2,

CF1

在RtZ\ACE中，sinA=——=一，，NA=30°,NAOC=60°,NCON=120。.

AC2

在△AC。中，C0=ACtanA=2x且=2若,

33

AC_473AM=AO-OM=^-^=^,

sin60°-丁333

弧CN長=1乂2兀［^=迪兀，A7V=AM+2OC=^+2x—=2x/3,

33933

陰影部分周長=AC+AN+CN=2+26+竽兀.

［點(diǎn)評］本題是比較傳統(tǒng)的幾何型綜合壓軸題，涉及圓、相似、三角等幾何重點(diǎn)知識。

4.(06遼寧卷)如圖，已知A(-l,0),E(0，-券)，以點(diǎn)A為圓心，以A。長為半徑的圓交x軸于另一點(diǎn)8,過點(diǎn)8作

5尸〃AE交UA于點(diǎn)F,直線正交x軸于點(diǎn)C.

(1)求證：直線尸C是口4的切線；

(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線尸C的解析式；

(3)有一個半徑與口A的半徑相等，且圓心在x軸上運(yùn)動的口P.若口P與直線FC相交于M,N兩點(diǎn)，是否存在這樣

的點(diǎn)P,使是直角三角形.若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

［解］(1)證明：連結(jié)AF

-,-AE//BF：.Z1=Z3,Z4=Z2

又N3=N4.-.Z1=Z2

XAO=AF,AE=AE

.?.△AOE絲△AFE:.ZAFE=ZAOE=9Q

：.FC是口。的切線.

(2)方法①由(1)知EF=OE=^

AE.//DrACCEOC+lCEg72夜G

?：AE//BF,——=——------=—；=?,CE=—CO+—(1)

ABEF17222

彳

又-.?OE2+OC2=CE2,CE2=+CO2②

由①②解得。C=o(舍去)或OC=2,

(S'

?.,直線FC經(jīng)過E0,-注,C(20)兩點(diǎn)設(shè)FC的解析式：y=kx+h

k2)

2k+b=0k=—rr

.?.<友解得4直線尸c的解析式為

b=~—7542

［2b=--

I2

方法②：:CF切口A于點(diǎn)尸，ZAFC=ZEOC=90°

72

又NACF=NOCE,.?.△COEsACFA,—:.-^=—即CE=^2CO--

AFCF1G及2

2

(5Y

5LOE2+OC2=CE\CE2=—+CO2②

<2?

由①②解得CO=0(舍去)或CO=2「.C(20)(求尸。的解析式同上).

*注自4z7//or.ACCEOC+1CE.\/2A/2G

方法③???AE//BF——=——---------=—7=rCE=——C0+——(1)

ABEF17222

T

???〃。切口4于點(diǎn)尸，.?.N4bC=NCOE=90.?.NACE=NOCE,:./\COE^/\CFJ\

交

,OECO廣②由①②解得：

2=C0-CE=42CO—CO=2(求FC的解析式同上).

~AF~~CF'CE+顯2

2

(3)存在；

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)。左側(cè)時，若NMPN=90。,過點(diǎn)P作于點(diǎn)”，

乙MPN=90,PM=PN,PH=PMxcos45°=—

2

顯

PHC'PcCP

?/AF1FC,:,PH//AF.:ACPHsMAF——=—,:.工:—

AFCA13

:.CP=—,:.PO=--2,p(2-—,0

222

V2

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C右側(cè)戶時，設(shè)NMP'N'=90°,過點(diǎn)P'作P'Q,用N'于點(diǎn)0,則P'Q=

2

P'Q=PH,可知P與P關(guān)于點(diǎn)C中心對稱,

根據(jù)對稱性得

o5(a歷、

.?.OP'=OC+CP'=2+*/.P2+—,0

2I2)

存在這樣的點(diǎn)P,使得△PMN為直角三角形,

［點(diǎn)評］本題是一道綜合性很強(qiáng)的傳統(tǒng)型壓軸題，其難度比較恰當(dāng)，選拔功能較強(qiáng)，解第3小題時要注意分類討論，這

是本題最容易失分的地方

5.(06遼寧沈陽卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=—號*+1分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)8.

(1)以為一邊在第一象限內(nèi)作等邊△ABC及AABC的外接圓口用(用尺規(guī)作圖，不要求寫作法，但要保留作

圖痕跡)；

(2)若口〃與x軸的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)。，求A,B,C,。四點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)求經(jīng)過A,B,。三點(diǎn)的拋物線的解析式，并判斷在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使的面積等于△AOC的

面積？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

［解］(1)如圖，正確作出圖形，保留作圖痕跡

(2)由直線y=—苧*+1,求得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1)

.,.在RtZ\40B中，0A=6,OB=l

QA

"3=2,tanZOBA=—=V3

OB

:.ZOBA^60°

ZOAB=90°—NOBA=30°

?/△ABC是等邊三角形C4=AB=2,ZCAB=6Q°

：.ZCAD=ZCAB+ZOAB=90°.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(g,2),連結(jié)BM

?.?△ABC是等邊三角形/MBA=-ZABC=30°/.NOBM=/OBA+/MBA=90°

2

:.OB±BM直線。B是口M的切線；.OB1=ODUOAI2=00rg/.OD=^點(diǎn)。的坐標(biāo)為［#,())

(3)設(shè)經(jīng)過A,B,。三點(diǎn)的拋物線的解析式是y=ax—理—

4L

把8(0,1)代入上式得a=\：.拋物線的解析式是y=x2--V3x+l

存在點(diǎn)P,使△AOP的面積等于△AOC的面積

點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為片2百,?2,P2友手包,2).

［點(diǎn)評］本題是一道綜合性很強(qiáng)的壓軸題，主要考查二次函數(shù)、一次函數(shù)、圓、幾何作圖等大量知識，第3小題是比較

常規(guī)的結(jié)論存在性問題，運(yùn)用方程思想和數(shù)形結(jié)合思想可解決。

6.已知：拋物線A/:y=/+(加一1)%+(加-2)與x軸相交于A。,。)，^(馬,。)兩點(diǎn)，且%〈赴-

(I)若王々<0,且根為正整數(shù)，求拋物線M的解析式；(II)若％<1,々>1,求機(jī)的取值范圍;

(III)試判斷是否存在加，使經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B的圓與y軸相切于點(diǎn)。(0,2),若存在，求出機(jī)的值；若不存在，試說

明理由;

(W)若直線/:y=Ax+Z?過點(diǎn)/(0,7),與(I)中的拋物線M相交于P,Q兩點(diǎn)，且使卷=:，求直線/的解析

式.

［解］(I)解法一：由題意得，=m-2<0.解得，m<2.?.,6為正整數(shù)，=1y=%2-1.

解法二：由題意知，當(dāng)x=0時，y=02+(m-l)x0+(m-2)<0.以下同解法一)

-(/n-l)±(m-3)

解法三：,/△=(m-1)2-4(m-2)=(m-3)2,:.x=，，玉=-1,x=2-m.

22

又=2—相>0.<2.(以下同解法一.)

解法四：令y=0,即d+（加一1）%+（加-2）=0,.（以下同解法三.）

/.=-Lx2=2-m

(II)解法一：

?

?.,X1VL,%2>1,?.人/.(X,-1)(%2-l)<0,

即X1%2—(Xj+X2)+l<0.

vXj+%2=—(m—1),x]x2=m—2

(m-2)+(m-l)4-l<0.解得加<17.相的取值范圍是m<1.

解法二：由題意知，當(dāng)x=l時，

y=l+(m-l)+(m-2)<0.解得：機(jī)<1.的取值范圍是機(jī)<1.

解法三：由（I）的解法三、四知，X=-1,x2=2-m.

x1<1,x2>L/.2-/n>l,/.m<\,二機(jī)的取值范圍是m<1.

（III）存在.

解法一：因?yàn)檫^AB兩點(diǎn)的圓與），軸相切于點(diǎn)C（0,2）,所以A8兩點(diǎn)在y軸的同側(cè)，???不/>0?

由切割線定理知，OC2=OmB,即22=國同..小聞=4,

XyX^-4.二加一2=4./.m=6.

解法二：連接。'區(qū)o'c.圓心所在直線x=—2=—"!■=匕生，

2a22

設(shè)直線尤=匕”與x軸交于點(diǎn)。，圓心為。'，則O'O=OC=2,0'。=。。=舊叫.

22

2

,/AB=|x2—X||=—3)-|m-3|,BD—BD=-~~

在中，0'13+。片='0.即22+(生J)=號3.解得m=6.

（IV）設(shè)P&,%）,Q（w，%），則％=片一1，%=￥-L

過RQ分別向x軸引垂線，垂足分別為4a,0）,Q（w，0）?

則明〃FO〃QQ「

所以由平行線分線段成比例定理知，型=竺.

OQiFQ

0-x,1

因此,

-

X2-02,

過RQ分別向y軸引垂線，垂足分別為鳥(。乂)，。2(。%)，

則做〃QQ”所以△理.?.卷=芳.

2

,7->',_1.1.21-2(%,-1)=%2_1.

.-.21-2^=y.x；=4,;.%=2,或%=-2.

「必-72223-2X：=4X；—L

'7=kxQ+b,“四仿=7,

當(dāng)方=2時，點(diǎn)尸(Z3).?.?直線/過尸(Z3),"0,7),<解得《

3=kx2+b.[%=—2.

當(dāng)％=—2時，點(diǎn)尸(-23).???直線/過P(—2,3>尸(0,7),

7=2x0+6b=7,

解得1故所求直線/的解析式為:y=2x+7,或y=-2x+7.

3=%x(-2)+b.k=2.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)仇―2夜,0),A(/H,0)(-V2<m<0),以A8為邊在x軸下方作正方形ABC。，

點(diǎn)E是線段OD與正方形A8CO的外接圓除點(diǎn)D以外的另一個交點(diǎn)，連結(jié)BE與AD相交于點(diǎn)F.

(1)求證：BF=DO；

(2)設(shè)直線/是△8DO的邊B。的垂直平分線，且與BE相交于點(diǎn)G.若G是△3D。的外心，試求經(jīng)過區(qū)F,O

三點(diǎn)的拋物線的解析表達(dá)式；

(3)在(2)的條件下，在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使該點(diǎn)關(guān)于直線3E的對稱點(diǎn)在x軸上？若存在，求出所有這樣

的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

［解］(1)在△A5F和△ADO中，

?.?四邊形ABCO是正方形，.?.A8=A。，ZBAF=ZDAO=90°.

又/ABF=ZADO,:.^ABFg△AOO,

BF=DO.

(2)由(1),有△ABF且△ADO,->?AO=AF=m..?.點(diǎn)

F(m,in).

?.?G是△BOO的外心，，點(diǎn)G在。。的垂直平分線上..??點(diǎn)B也

在的垂直平分線上..,.△080為等腰三角形，BO=BD=y/2AB.

而忸0|=2s/2,\AB\=|-2>/2—司=2及+初，20=血(20+他)，.?.m=2—2&.

.-.F(2-2A/2,2-272).

設(shè)經(jīng)過BF,。三點(diǎn)的拋物線的解析表達(dá)式為丁=以2+灰+4。。0).

?.?拋物線過點(diǎn)0(0,0),.;.y=℃2+6x................①

把點(diǎn)4-2夜,0）,點(diǎn)尸（2-262-2⑹的坐標(biāo)代入①中，得

0=12閭1+12閭41

-20a+b-0,ci=一,

即<//—\解得,2

2-2拒=(2-2可4+(2一2夜,2-2衣=

b=>/2.

.??拋物線的解析表達(dá)式為y=（無2+心.............②

（3）假定在拋物線上存在一點(diǎn)P,使點(diǎn)P關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)P'在x軸上.「BE是NQB。的平分線,

二x軸上的點(diǎn)P'關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)P必在直線5。上，即點(diǎn)尸是拋物線與直線BD的交點(diǎn).

設(shè)直線3。的解析表達(dá)式為丁=依+匕，并設(shè)直線80與y軸交于點(diǎn)。，則由△BOQ是等腰直角三角形.

:.\OQ\^\OB\..-.2(0,-2V2).

把點(diǎn)8卜2a,0),點(diǎn)。倒,一2夜)代入丁=依+匕中，得

0=-2y[2k+b,[k=-1,

V「.<

-2-^2=b.p=-2s/2.

：.直線BD的解析表達(dá)式為y=-x-2V2.

設(shè)點(diǎn)尸(%j,%),則有%=-毛_2夜....................③

把③代入②，得;片+近/=-x0-2V2,

—XQ++1)/+2>/2=0,即XQ+2^5/2+l)x0+4\/2=0.

.*.(xo+2V2)(xo+2)=O.解得/=一2血或%=一2.

當(dāng)面=_2夜時，y=—豌）一2血=2夜一28=0；當(dāng)毛=-2時，yQ=—XQ—2\]2=2—2>/2.

???在拋物線上存在點(diǎn)[（—2夜,0）,巴卜2,2-20）,它們關(guān)于直線3E的對稱點(diǎn)都在x軸上.

8.在平面直角坐標(biāo)系X。），中，己知直線A經(jīng)過點(diǎn)4-2,0）和點(diǎn)8（0,|6）,直線為的函數(shù)表達(dá)式為y=-*x+g石，

6與b相交于點(diǎn)0c是一個動圓，圓心C在直線/|上運(yùn)動，設(shè)圓心C的橫坐標(biāo)是億過點(diǎn)C作CMJ_x軸，垂

足是點(diǎn)M.

（1）填空：直線A的函數(shù)表達(dá)式是,交點(diǎn)P的坐標(biāo)是,/FPB的度數(shù)是；

（2）當(dāng)OC和直線/2相切時，請證明點(diǎn)尸到直線CM的距離等于。C的半徑R,并寫出R=3后-2時。的值.

（3）當(dāng)。C和直線6不相離時，已知。C的半徑R=3行-2,記四邊形NMOB的面積為S（其中點(diǎn)N是直線CM與

6的交點(diǎn)）.S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時a的值；若不存在,請說明理由.

/O、

[解]⑴y=—x+-V3P(l,石)60°

圖2

(第24題圖甲)

(2)設(shè)。C和直線b相切時的一種情況如圖甲所示，。是切點(diǎn)，連接C。，則COJ_PD

過點(diǎn)P作CM的垂線PG,垂足為G,則RtACDP^RtAPGC(ZPCD=ZCPG=30°,CP=PC),所以PG=CD=R.

當(dāng)點(diǎn)C在射線以上，0c和直線/2相切時，同理可證.取用=3后一2時，a=l+R=3行-1,或a=-(RT)=3-3萬

(3)當(dāng)。C和直線為不相離時，由(2)知，分兩種情況討論：

①如圖乙，當(dāng)0WaW3后-1時，5=-[^+(-—?+—)]-?=--a2+43a,

23336

—絲?=3時，(滿足aW3Vi-l),S有最大值.此時S最大值=—出k3百—9、

當(dāng)“=——(或一尸).

V3V322百

2x(-)4x(------)

66

②當(dāng)3-3后WaVO時，顯然。C和直線/2相切即〃=3-3行時，S最大.此時

4值=?苧_1(3-3際+竽]"3如除

綜合以上①和②，當(dāng)”=3或。=3-3后時，存在S的最大值，其最大面積為坐

2

9.如圖1,已知Rt^ABC中，NC4B=30°,3C=5.過點(diǎn)A作AE，AB,且AE=15,連接BE交AC于點(diǎn)P.

(1)求PA的長；

(2)以點(diǎn)A為圓心，AP為半徑作口4,試判斷BE與口4是否相切，并說明理由；

(3)如圖2,過點(diǎn)C作COLAE,垂足為O.以點(diǎn)A為圓心，「為半徑作口4；以點(diǎn)C為圓心，R為半徑作口。.若

「和R的大小是可變化的，并且在變化過程中保持口A和口C相切，且使。點(diǎn)在□A的內(nèi)部，B點(diǎn)在口A的外部，求

，?和R的變化范圍.

圖1圖2

［解］(1)?.?在RtZ\A8C中，NC4B=30°,BC=5,：.AC=2BC=10.

?.?AMB,:.AAPEsRCPB.:.PA:PC=AE:BC=3:1.PA:AC=3:4,FA=3xlO=15

42

(2)BE與口4相切.?.?在Rt^ABE中，AB=5y/3,AE=15,

AP15廣

tanZABE=—=「==6.-.ZABE=60°.

AB573

又???NPA8=30°,ZABE+ZPAB=90°,ZAPB=90°BE與□A相切.

(3)因?yàn)锳O=5,AB=56所以r的變化范圍為5<r<5g.

當(dāng)DA與口。外切時，R+r=10,所以R的變化范圍為10—5g<H<5：

當(dāng)口A與口。內(nèi)切時，/?-r=10,所以R的變化范圍為15<H<10+56.

［點(diǎn)評］本題是一道比較傳統(tǒng)的幾何綜合題，第1題運(yùn)用相似三角形知識即可得解，第2小題也較基礎(chǔ)，第3小題注意要

分類，試題中只說明了“□A和口。相切”，很多同學(xué)漏解往往是由于沒有仔細(xì)讀題和審題。

8,(06江蘇宿遷課改卷)設(shè)邊長為2”的正方形的中心A在直線/上，它的一組對邊垂直于直線/,半徑為r的。。的

圓心。在直線/上痔到，點(diǎn)A、。間距離為北

(1)如圖①，當(dāng)rVa時，根據(jù)d與。、/?之間關(guān)系，將。O與正方形的公共點(diǎn)個數(shù)填入下表:

d、“、r之間關(guān)系公共點(diǎn)的個數(shù)

d>a+r

d=a+r

a—r<d<a+r

d=a-r

d<a-r

所以，當(dāng)r<“時，。。與正方形的公共點(diǎn)的個數(shù)可能有個;

(2)如圖②，當(dāng)r=a時，根據(jù)d與a、r之間關(guān)系，將。。與正方形的公共點(diǎn)個數(shù)填入下表:

d、a、r之間關(guān)系公共點(diǎn)的個數(shù)

d>a+r

d=a+r

d<a

所以，當(dāng)r=a時，。。與正方形的公共點(diǎn)個數(shù)可能有________________個;

(3)如圖③，當(dāng)。。與正方形有5個公共點(diǎn)時，試說明r=3”；

4

圖③

(4)就的情形，請你仿照''當(dāng)……時，。。與正方形的公共點(diǎn)個數(shù)可能有

個”的形式，至少給出一個關(guān)于與正方形的公共點(diǎn)個數(shù)”的正確結(jié)論.

［解］⑴

d、a.r之間關(guān)系公花點(diǎn)的個數(shù)

d>a+r0

d=a+r1

a-r<d<a+r2

d—a—r1

d<a-r0

所以，當(dāng)時，。。與正方形的公共點(diǎn)的個數(shù)可能有0、1、2個;

(2)

d、“、/■之間關(guān)系公共點(diǎn)的個數(shù)

d>a+r0

d=a+r1

a^zd<a+r

2圖②

d<a4

所以，當(dāng)r=a時，與正方形的公共點(diǎn)個數(shù)可能有0、1、點(diǎn)4個;

(3)方法一：如圖所示，連結(jié)OC則。￡=OC=r,OF=EF-OE=2a-r.

方法二：如圖，連結(jié)B。、OE、BE、DE.

?.?四邊形BCMN為正方形

：.ZC=ZM=ZN=90°

.?.8。為。O的直徑，NBED=9Q°

:.NBEN+/DEM=90°

；NBEN+NEBN=9Q"

：.NDEM=ZEBN

BNEM1

???ABNEs4EMD：.—=：.DM=-a

NEMD2

由OE是梯形BDMN的中位線得。E=L(BN+MD)=-a.

24

(4)①當(dāng)aV-V3“時，。。與正方形的公共點(diǎn)個數(shù)可能有0、1、2、4、6、7、8個;

4

②當(dāng)時，。。與正方形的公共點(diǎn)個數(shù)可能有0、1、2、5、8個；

4

③當(dāng)億時，。。與正方形的公共點(diǎn)個數(shù)可能有0、1、2、3、4、6、8個；

4

④當(dāng)r=缶時，。。與正方形的公共點(diǎn)個數(shù)可能有0、1、2、3、4個；

⑤當(dāng)「＞缶時，。。與正方形的公共點(diǎn)個數(shù)可能有0、1、2、3、4個.

［點(diǎn)評］本題是一道較為新穎的幾何壓軸題，考查圓、相似、正方形等幾何知識，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，試題的區(qū)

分度把握非常得當(dāng)，是一道很不錯的壓軸題。

9.(06山東棗莊課改卷)半徑為2.5的。O中，直徑AB的不同側(cè)有定點(diǎn)C和動點(diǎn)P.已知BC：CA=4:3,點(diǎn)P在

AB上運(yùn)動，過點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長線交于點(diǎn)O

(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對稱時，求CQ的長;

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動A8到的中點(diǎn)時，求CQ的長；

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，CQ取到最大值？求此時CQ的長.

(備用圖)

［解］(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對稱時，CP±AB,設(shè)垂足為D.

VAB為。O的直徑，ZACB=90°.

AB=5,AC:CA=4:3,BC=4,AC=3.

XVAC?BC=AB?CD

在RtAACB和RlAPCQ中，

ZACB=ZPCQ=90°,ZCAB=ZCPQ,

RtAACB^RtAPCQ

.ACBC“BO3PC4“32

PCCQAC35

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到弧AB的中點(diǎn)時，過點(diǎn)B作BELPC

于點(diǎn)E（如圖）是弧AB的中點(diǎn)，...NPCB=45°,CE=8E=4^BC=20

2

又NCPB=NCAB,NCPB=tanNCAB=—

3

PE==當(dāng)，而仄PC=PE+EC=當(dāng)

414J2

由(1)得，CQ=§PC=L^-.

(3)點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動時，恒有00=50。=4pg.

AC3

故PC最大時，CQ取到最大值.

20

當(dāng)PC過圓心0,即PC取最大值5時，CQ最大值為7

［點(diǎn)評］本題屬于常規(guī)的幾何綜合題，解第3小問時要有動態(tài)的思想(在草稿上畫畫圖)不難猜想出結(jié)論。

10.如圖，點(diǎn)尸在y軸上，口尸交X軸于A8兩點(diǎn)，連結(jié)BP并延長交口P于C,過點(diǎn)C的直線y=2x+%交X軸于。，

且口尸的半徑為石，AB=4.

(1)求點(diǎn)B,P,C的坐標(biāo)；

(2)求證：CO是口「的切線；

(3)若二次函數(shù)y=—f+(a+l)x+6的圖象經(jīng)過點(diǎn)B,求這個二次函數(shù)的解析式，并寫出使二次函數(shù)值小于一次函

數(shù)y=2x+。值的x的取值范圍.

［解］(1)如圖，連結(jié)C4'：OPLAB：.OB=OA=2

,：OP2+BO1=BP2：.OP2=5-4=1,OP=\

???5。是口/1的直徑，/68=90°(也可用勾股定理求得下面的結(jié)論)

?：CP=BP,OB=OA：.AC=2OP=2,8(2,0),P(0,l),C(—2⑵

(2)y=2x+Z?過C點(diǎn)...人=6y-2x+6

'：當(dāng)y=0時，x=-3/.D(-3,0)

"：OB=AC=2,AD=OP=\

ACAD=ZPOB=90°/?△ZMC^/XPOB：.ZDCA=N4

,/ZACB+ZCBA^90°

，ZDCA+ZACB=90°(也可用勾股定理逆定理證明)

。。是口尸的切線

(3),.,y=f2+(a+l)x+6過3(2,0)點(diǎn)

?*.0—2"+(a+1)X2+6ci——2y——x+6

因?yàn)楹瘮?shù)y=-f—x+6與y=2x+6的圖象交點(diǎn)是(0,6)和點(diǎn)。(―3,0)(畫圖可得此結(jié)論)

所以滿足條件的x的取值范圍是x<-3或x>0

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫。O,P是。O上一動點(diǎn)，且P在第一象限內(nèi)，過

點(diǎn)P作。O的切線與x軸相交于點(diǎn)A,與y軸相交于點(diǎn)B。

(1)點(diǎn)P在運(yùn)動時，線段AB的長度在發(fā)生變化，請寫出線段AB長度的最小值，并說明理由；

(2)在。O上是否存在一點(diǎn)Q,使得以Q、0、A、P為頂點(diǎn)的四邊形時平行四邊形？若存在，請求出Q點(diǎn)的坐標(biāo);

若不存在，請說明理由。

［解］(1)線段AB長度的最小值為4

理由如下：連接0P

因?yàn)锳B切。0于P,所以O(shè)PLAB

取AB的中點(diǎn)C,則A3=20。

當(dāng)OC=QP時，0C最短，即AB最短，此時A5=4

圖①

（2）設(shè)存在符合條件的點(diǎn)Q,

如圖①，設(shè)四邊形APOQ為平行四邊形，

因?yàn)樗倪呅蜛POQ為矩形又因?yàn)镺P=OQ所以四邊形APOQ為正方形

所以O(shè)Q=QANQOA=45°,

在RtaOQA中，根據(jù)OQ=2,NAOQ=45°,得Q點(diǎn)坐標(biāo)為（、歷，—友）。

如圖②，設(shè)四邊形APQO為平行四邊形因?yàn)镺Q〃PA,NAPO=9（）°,所以

ZPOq=9CP,又因?yàn)镺P=OQ所以NPQO=45°,

因?yàn)镻Q〃OA,所以PQ_Ly軸。設(shè)PQ_Ly軸于點(diǎn)H,

在RtaOHQ中，根據(jù)OQ=2,NHQO=45。，得Q點(diǎn)坐標(biāo)為（一J2,行）

所以符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（行,—行）或（一行,、歷）。

12.如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心的O。的半徑為、歷—1,直線/：y=—x—也與坐標(biāo)軸分別

交于A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（4,1）,OB與x軸相切于點(diǎn)仞。

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及NC40的度數(shù)；

（2）以每秒1各單位長度的速度沿x軸負(fù)方向平移，同時，直線/繞點(diǎn)A順時針勻速旋轉(zhuǎn)。當(dāng)。B第一次與

。。相切時，直線/也恰好與。B第一次相切。問：直線AC繞點(diǎn)4每秒旋轉(zhuǎn)多少度？

（3）如圖②，過A、。、C三點(diǎn)作。01,點(diǎn)E為劣弧A。上一點(diǎn)，連接EC、￡4、EO,當(dāng)點(diǎn)E在劣弧A0上運(yùn)動

時（不與A、。兩點(diǎn)重合），.的值是否發(fā)生變化?如果不變，求其值；如果變化，說明理由。

13.（06廣東深圳課改卷）（10分）如圖10T,在平面直角坐標(biāo)系wy中，點(diǎn)M在x軸的正半軸上，（DM交x軸于

A、B兩點(diǎn),交），軸于C、。兩點(diǎn)，且C為AE的中點(diǎn)，AE交y軸于G點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,0）,AE=8

（1）（3分）求點(diǎn)C的坐標(biāo).

（2）（3分）連結(jié)MG、BC,求證：MG//BC

OF

（3）（4分）如圖10-2,過點(diǎn)。作。M的切線，交x軸于點(diǎn)P.動點(diǎn)F在?！钡膱A周上運(yùn)動時，素的比值是否發(fā)生

變化，若不變，求出比值；若變化，說明變化規(guī)律.

14.（06安徽蕪湖市課改卷）一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面軌道上滾動一個半徑為10cm的圓盤，如圖所示,

AB與CD是水平的，BC與水平面的夾角為60°,其中AB=60cm,CD=40cm,BC=40cm,請你作出該小朋友將園盤從

A點(diǎn)滾動到D點(diǎn)其圓心所經(jīng)過的路線的示意圖，并求出此路線的長度。

15.（07蕪湖市）24.已知圓P的圓心在反比例函數(shù)y=&（左＞1）圖象上，并與x軸相交于4、8兩點(diǎn).且始終與y軸相

x

切于定點(diǎn)C（0，1）.

（1）求經(jīng)過A、B、C三